Bài thảo luận: Phương pháp mã hóa Shannon – Fano và phương pháp Huffman

Bài thảo luận
Môn: Lý thuyết thông tin

Nhóm thảo luận:
1.
2.
3.
4.
5.

Câu hỏi thảo luận: Phương pháp mã hóa
Shannon – Fano và phương pháp Huffman.

Mục lục
1


2

I>

Mã thống kê tối
ưu……………………………………………………… 3

II>

hương pháp mã hóa Shannon – Fano
1.

Phương pháp Shannon……………………………………………
4

2.

Phương pháp
Fano…………………………………………………. 5

III>

Phương pháp Huffman………………………………………………..
7

IV>

Ứng
dụng……………………………………………………………………. 9


I>Mã thống kê tối ưu
-

Là phép mã hóa mà kết quả là một bộ mã có chiều dai trung bình là
nhỏ nhất trong tất cả các phép mã hóa có thể có trong nguồn.

-

Bộ mã của phép mã hóa tối ưu cho nguồn được gọi là mã hóa tối ưu.

-

Ba phép mã hóa: Shannon, Fano, Huffman.

-

Trong mỗi phép mã hóa chúng ta sẽ mã hóa với cơ số mã m=2.
Ta xét phép mã hóa sau đối với các tin của nguồn rời rạc A:

f: aI → αIni
Mỗi tin ai được mã hóa bằng một tổ hợp mã (từ mã) αIni (αini là một tổ
hợp
mã gồm ni dấu mã).
Ta xét trường hợp mã nhị phân tức là mỗi dấu mã chỉ nhận một trong
hai
giá trị 0 và 1.
Độ dài của trung bình của một tổ hợp mã được xác định bởi công
thức:

=ip(ai)
Một phép mã hóa được gọi là tối ưu nếu nó làm cực tiểu giá trị

3

.


II> Phương pháp mã hóa Shannon – Fano
1.

Phương pháp Shannon

Các bước thực hiện mã hóa theo phương pháp Shannon:

B1: Sắp xếp các xác suất theo thứ tự giảm dần. Không mất tính tổng quát
giả sử P1> P2 > … > Pk.
B2: Định nghĩa q1=0, qi= với mọi i= 1,2,…,k.
B3: Đổi qi sang cơ số 2 (biểu diễn qi trong cơ số 2) sẽ được một chuỗi nhị
phân.
B4: Từ mã được gán cho ai và li ký hiệu lấy từ vị trí sau dấu phẩy của chuỗi
nhị phân tương ứng với qi, trong đó li=[-log2pi].

Ví dụ: Mã hóa nguồn S={a1;a2;a3;a4;a5;a6;a7;a8} với các xác suất lần lượt là
0,25; 0.125; 0.0625; 0.0625; 0.25; 0.125; 0.0625; 0.0625.
Tin ai
a1
a5
a2
a6
a3
a4
a7
a8

Xác suất pi
0.25
0.25
0.125
0.125
0.0625
0.0625
0.0625
0.0625

q i=
0
0.25
0.5
0.625
0.75
0.8125
0.875
0.9375

Biểu diễn
nhị phân
0.0000000
0.0100000
0.1000000
0.1010000
0.1100000
0.1101000
0.1110000
0.1111000

li=[-log2pi]
2
2
3
3
4
4
4
4

Từ mã wi
00
01
100
101
1100
1101
1110
1111

Độ dài trung bình của từ mã:
= 0.25*2 + 0.25*2 + 0.125*3 + 0.125*3 + 0.0625*4 + 0.0625*4 +
0.0625*4 + 0.0625*4 = 2.75

4


Entropie của nguồn tin:
H(s) = - [0.25*log20.25 + 0.25*log20.25 + 0.125*log20.125 + 0.125*log20.125
+ 0.0625*log20.0625 + 0.0625*log20.0625 + 0.0625*log20.0625 +
0.0625*log20.0625] = 2.75
Hiệu suất lập mã:

h== =1
2.

Phương pháp Fano

Các bước thực hiện mã hóa theo phương pháp Fano:

B1: Sắp xếp các xác suất theo thứ tự giảm dần. Không mất tính tổng quát
giả sử P1>P2>…>Pk.
B2: Phân các xác suất thành hai nhóm có tổng xác suất gần bằng nhau.
B3: Gán cho hai nhóm lần lượt các ký hiệu 0 và 1.
B4: Lặp lại B2 cho các nhóm con cho tới khi không thể tiếp tục được nữa.
B5: Từ mã ứng với mỗi tin là chuỗi bao gồm các ký hiệu theo thứ tự lần
lượt được gán cho các nhóm có chứa xác suất tương ứng của tin.

Ví dụ: Mã hóa nguồn S={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8} với các xác suất lần lượt là
0.25; 0.125; 0.0625; 0.0625; 0.25; 0.125; 0.0625; 0.0625

5

Tin ai

P(ai)

Lần 1

Lần 2

Lần 3

Lần 4

Từ mã

a1

0.25

0

0

00

a2

0.25

0

1

01

a3

0.125

1

0

0

100

a4

0.125

1

0

1

101


a5

0.0625

1

1

0

0

1100

a6

0.0625

1

1

0

1

1101

a7

0.0625

1

1

1

0

1110

a8

0.0625

1

1

1

1

1111

Độ dài trung bình của từ mã:
= 0.25*2 + 0.25*2 + 0.125*3 + 0.125*3 + 0.0625*4 + 0.0625*4 +
0.0625*4 + 0.0625*4 = 2.75
Entropie của nguồn tin:
H(s)= - [0.25*log20.25 + 0.25*log20.25 + 0.125*log20.125 + 0.125*log20.125
+ 0.0625*log20.0625 + 0.0625*log20.0625 + 0.0625*log20.0625 +
0.0625*log20.0625] = 2.75
Hiệu suất lập mã:

h== =1

Nhận xét:
-

6

Hai phương pháp Shannon và Fano thực chất là một, đều xây dựng
trên cùng một cơ sở độ dài từ mã tỉ lệ nghịch với xác suất xuất hiện,
không cho phép lập mã một cách duy nhất vì sự chia nhóm trên cơ
sở đồng đều và tổng xác suất nên có thể có nhiều cách chia.

-

Sự lập mã theo cách chia nhóm trên cơ sở đồng xác suất tạo cho bộ
mã có tính Prefix.

-

Phương pháp mã hóa từng tin của nguồn tin chỉ có hiệu quả khi
entropie của nguồn lớn hơn 1 ( H(u) > 1). Trường hợp H(u) < 1 thì
phương pháp mã hóa từng tin riêng biệt không đưa đến cải tiến tốt
tính tối ưu của mã. Trong trường hợp này dùng phương pháp mã
hóa từng khối tin.

III> Phương pháp Huffman
Các bước thực hiện phương pháp Huffman:
B1: Khởi động một danh sách các cây nhị phân một nút chứa các trọng
lượng p1, p2, …, pn cho các tin a1, a2, …, an.
B2: Thực hiện các bước sau n-1 lần:
1)

Tìm hai cây T’ và T’’ trong danh sách với các nút gốc có trọng lượng
tối thiểu p’ và p’’.

2)

Thay thế hai cây này bằng cây nhị phân với nút gốc có trọng lượng p’
+ p’’ và có các cây con là T’ và T”.

Đánh dấu các mũi tên chỉ đến các cây con 0 và 1

B3: Mã số của tin ai là dãy các bit được đánh dấu trên đường từ gốc của
cây nhị phân cuối cùng tới nút ai.
7


Ví dụ: Xét các ký tự A, B, C, D có các xác suất xuất hiện tương ứng là
0.25, 0.125, 0.125, 0.5.
B1:

B

C

A

D
B2:

B

C

A

D

B3:

8

Ký tự

A

B

C

D

Mã tương
ứng
ni

01

000

001

1

2

3

3

1

Nhận xét:
Ưu điểm
-

Xử lý khá tốt độ dư thừa phân bố kí tự.

-

Quá trình mã hóa và giải mã tương đối đơn giản.

-

Cho mã có độ dài tối ưu.

Hạn chế
-

Giải quyết kém hiệu quả đối với các loại độ dư thừa khác (chẳng hạn
như độ dư thừa vị trí).

-

Tốn nhiều thời gian xây dựng cây mã.

-

Cấu trúc của cây mã hoặc bộ từ mã đã dùng để mã hóa phải được
gởi đi cùng với số liệu đã được mã hóa.

Điều này làm giảm hiệu suất nén.

IV> Ứng dụng

9

-

Lưu trữ .

-

Truyền dữ liệu.

-

Dùng trong các chương trình nén như: compress, pack trong Unit và
winzip, winrar trong Windowns.