Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

ĐỀ TÀI

DÙNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
Nhóm nghiên cứu: Phạm Thị Xuân Đoan , Nguyễn Hồng Tính
Đơn vị: Trường THPT Trần Phú

Năm học: 2012 – 2013 


MỤC LỤC

1. Tóm tắt đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  trang 1
2. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  trang 1
2.1. Hiện trạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  trang 1
2.2. Giải pháp thay thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
2.3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài . . . . . . . . . . . . trang 2
2.4. Vấn đề nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
2.5. Giả thiết nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 2 
3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 2
3.1. Khách thể nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 2
3.2. Thiết kế nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 3
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 4
4. Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 4
4.1. Phân tích dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 4
4.2. Bàn luận kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 4
5. Kết luận và khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 5

5.1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 5
5.2. Khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .trang 5
6. Tài lệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trang 5
7. Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  trang 6


DÙNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
 Phạm Thị Xuân Đoan, Nguyễn Hồng Tính
 Trường THPT Trần Phú – Tuy An – Phú Yên
1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một trong những 
môn học đòi hỏi tính tư duy quan sát rất cao mà đặc biệt là trí tưởng tượng hình  
học. Chính vì thế mà đại số hóa hình học là một phương pháp hữu ích giúp học  
sinh có thể  giải nhanh một bài toán hình học. Giải pháp tôi đưa ra  ở  đây là sử 
dụng phương pháp tọa độ  trong không gian để  giải một số  bài toán hình học 
không gian, có nghĩa là gán hệ trục tọa độ Descast trong không gian vào hình vẽ.
Nghiên cứu được tiến hành trên hai lớp tương đương: Lớp 12A1 và lớp 12A2  
trường THPT Trần Phú. Lớp 12A1 là lớp thực nghiệm và lớp 12A2 là lớp đối 
chứng. Lớp thực nghiệm được trang bị  cách sử  dụng phương pháp tọa độ  trong 
các tiết tự chọn. Kết quả cho thấy lớp thực nghiệm có kết quả học tập cao hơn  
lớp đối chứng. Điểm bài kiểm tra của lớp thực nghiệm có giá trị  trung bình là 
8,1 ; Điểm bài kiểm tra của lớp đối chứng có giá trị  trung bình là 7,2 . Kết quả 
kiểm chứng t­test cho thấy  p < 0,05 có nghĩa là có sự  khác biệt lớn giữa điểm 
trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Điều đó chứng minh rằng nếu  
được trang bị  cách sử  dụng phương pháp tọa để  giải các bài toán hình thì học 
sinh sẽ có kết quả học tập tốt hơn đối với môn hình học.
2. GIỚI THIỆU
2.1 Hiện trạng
Trong khuôn khổ  bộ  môn Toán học, Descast – người sáng lập ra phương  

pháp tọa độ  nói : “ Tôi có thể giải mọi bài toán hình học”. Vì vậy, việc quy đổi 
về  đại số  hay tọa độ  hóa chúng quả  thật là rất thuận lợi, đặc biệt là đối với  
những học sinh có trí tưởng tượng trong hình học không được phong phú. Cho dù  
biết rằng mỗi bài toán hình học đẹp với bản chất hình học của nó chứ  không 
phải  ở bản chất đại số. Giải một bài toán hình học bằng đại số, là chỉ  cần tính 
toán mà không phải cầu kì về  hình vẽ. Điều này càng chứng minh câu nói của  
Descast là có căn cứ.  Ở trường phổ thông hiện nay, giáo viên cũng đã vận dụng  
phương pháp tọa độ  để  giải toán hình học nhưng chưa nhiều, cần có những 
nghiên cứu tiếp tục bổ sung góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng dạy hoc. 
Xuất phát từ những điều trên nên chúng tôi nghiên cứu đề tài :
DÙNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
1


nhằm góp phần tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát  
hiện và giải quyết vấn đề qua việc tổ chức dạy học các tiết luyện tập hình học  
lớp 12 nâng cao.
Qua việc thăm lớp, dự  giờ  trước khi tác động, chúng tôi nhận thấy học  
sinh rất lúng túng khi giải các bài toán hình học bởi vì học sinh không những phải  
quan sát hình vẽ  một cách kỹ  càng mà còn phải tư  duy logic. Để  thay đổi hiện 
trạng trên, đề tài nghiên cứu này đã sử dụng giải pháp đại số hóa hình học.
2.2 Giải pháp thay thế 
 Gán hệ  trục tọa độ  Descast trong không gian vào hình vẽ  để  giải các bài 
toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ.
2.3. Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài
Vấn đề  dùng phương pháp tọa độ  để  giải các bài toán hình không gian đã 
có rất nhiều bài viết. Ví dụ : 
­ “ Rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh phổ thông để giải các bài  
toán hình học không gian” – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP Hà 

Nội, năm 2000.
­ “ Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề  kết 
hợp sử dụng phần mềm GSP trong dạy học một số chủ đề  của hình học không  
gian” – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Kim Nhung, ĐHSP Hà Nội, năm 2004.
­ “ Biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khắc quan trợ giúp dạy học về 
phương pháp tọa  độ  trong không gian lớp 12 THPT” – luận văn thạc sĩ của 
Nguyễn Thị Thu Hằng, K14 ĐHSP Đại Học Thái Nguyên , năm 2008.
Trong đề tài nghiên cứu này, chúng tôi muốn trình bày cụ thể hơn, rõ ràng  
hơn việc dùng phương pháp tọa độ  trong không gian để  giải các bài toán hình 
không gian.
2.4. Vấn đề nghiên cứu 
 Việc dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài  hình không gian  
có nâng cao kết quả học tập môn hình của học sinh lớp 12 hay không ?
2.5. Giả thiết nghiên cứu 
 Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình không gian 
sẽ  nâng cao kết quả  học tập môn hình của học sinh lớp 12 trường THPT Trần  
Phú.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.1.  Khách thể nghiên cứu.
Chúng tôi lựa chọn trường THPT Trần Phú vì trường có những điều kiện 
thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
* Giáo viên:
Hai thầy giáo dạy hai lớp 12 nâng cao có lòng nhiệt tình và trách nhiệm cao  
trong công tác giảng dạy và giáo dục học sinh.
2


1. Nguyễn Hồng Tính – Giáo viên dạy toán lớp 12A1 ( Lớp thực nghiệm)
2. Nguyễn Khắc Ngân – Giáo viên dạy toán lớp 12A2 ( Lớp đối chứng)
* Học sinh:

Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng với 
nhau. Cụ thể:
­ Về sĩ số : Lớp 12A1 có 41 học sinh, lớp 12A2 có 43 học sinh.
­ Về chương trình học: Hai lớp 12A1 và 12A2 là hai lớp chọn của trường,  
cùng học chương trình nâng cao.
­ Về  ý thức học tập: Tất cả  các học sinh  ở  hai lớp này đều tích cực, chủ 
động.
­ Về thành tích học tập của năm học trước: Hai lớp tương đương nhau về 
điểm số ở tất cả các môn học.
3.2. Thiết kế nghiên cứu.
Chọn hai lớp nguyên vẹn: Lớp 12A1 là lớp thực nghiệm, lớp 12A2 là lớp 
đối chứng. Chúng tôi dùng bài kiểm tra 1 tiết môn toán làm bài kiểm tra trước tác  
động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp có sự khác nhau, do 
đó chúng tôi dùng phép kiểm chứng t­test để  kiểm chứng sự  chênh lệch giữa 
điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương.
Thực nghiệm
Đối chứng
Điểm trung bình
6,3
6,0
p
0,3418
P = 0,3418 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai lớp 
thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai lớp được coi là tương đương.
Kiểm tra trước và sau tác động của hai lướp tương đương được mô tả trong 
bảng 1.
Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu:
Nhóm

Kiểm tra trước 
TĐ
Thực nghiệm
O1
Đối chứng

O2

Tác động

Kiểm tra sau 
TĐ
Dạy hình không gian có 
O3
dùng phương pháp tọa 
độ
Dạy hình không gian 
O4
không dùng phương 
pháp tọa độ
3


Ở thiết kế này chúng tôi đã sử dụng phép kiểm chứng t­test độc lập
3.3.  Quy trình nghiên cứu.
* Chuẩn bị bài của giáo viên:
­ Thầy Tính dạy lớp thực nghiệm: Sưu tầm và sắp xếp từ  dễ  đến khó các bái 
toán hình không gian và thiết kế  bài giảng theo hướng giải bằng phương pháp 
tọa độ.
­ Thầy Ngân dạy lớp đối chứng: Thiết kế  bài giảng hình học không gian thuần  

túy, không sử dụng phương pháp tọa độ.
* Tiến hành dạy thực nghiệm:
Thời   gian   tiến   hành   thực   nghiệm   vẫn   tuân   theo   kế   hoạch   dạy   học   của   nhà 
trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan.

4


3.4.  Đo lường và thu thập dữ liệu
Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 1 tiết sau khi học sinh học xong  
chương I : “Khối đa diện và thể tích của chúng ” do tổ Toán thống nhất nội dung 
và ra đề chung cho toàn khối 12.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong phần phương  
pháp tọa độ  trong không gian do hai giáo viên dạy toán lớp 12A1 và 12A2 cùng 
thống nhất và thiết kế. Bài kiểm tra sau tác động gồm 1 câu tự luận.
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
Sau khi thực hiện dạy xong các phần về  phương pháp tọa độ  trong không gian,  
chúng tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết ( nội dung kiểm tra  ở phần phụ lục), sau đó 
tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ 
4.1. Phân tích dữ liệu
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Thực nghiệm
Đối chứng
Điểm trung bình
8,1
7,2
Độ lệch chuẩn
0,842
0,996

Giá trị p của t­test
0,00003
Theo trên đã chứng minh được rằng kết quả  hai lớp trước tác động là tương 
đương. Sau tác động, kiểm chứng chênh lệch  điểm trung bình bằng t­test cho kết 
quả  p = 0,00003 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình lớp thực nghiệm 
và lớp đối chứng là rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình lớp  
thực nghiệm cao hơn điểm trung bình lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do 
kết quả  của tác động. Hơn nữa điều này cho thấy mức độ  ảnh hưởng của dạy  
hình không gian có trang bị phương pháp tọa độ của lớp thực nghiệm là lớn.
Giả thuyết của đề tài “Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải 
các bài toán hình không gian sẽ nâng cao kết quả học tập môn hình của học sinh 
lớp 12 trường THPT Trần Phú ” đã được kiểm chứng.
4.2. Bàn luận kết quả
Kết quả bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm là 8,1 ; kết quả bài 
kiểm tra tương  ứng của lớp đối chứng là  7,2 . Độ  chênh lệch điểm số  của hai  
lớp là 0,9 . Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai lớp đã có sự  khác biệt rõ  
rệt, lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đối chứng. Phép kiểm  
chứng t­test điểm trung bình sau tác động của hai lớp là p = 0,00003 < 0,05. Kết  
quả  này khẳng định sự  chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm không phải là 
do ngẫu nhiên mà là do tác động.
* Hạn chế:
5


Khi gán hệ tọa độ vào hình vẽ thì cần chọn gốc tọa độ, các trục Ox, Oy, Oz sao  
cho thật sự phù hợp, nếu không, bài toán trở nên “rắc rối ” hơn.
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1.  Kết luận
Việc trang bị  cho học sinh phương pháp tọa độ  trong không gian để  giải 
các bài toán hình không gian đã nâng cao hiệu quả học tập của học sinh, giúp cho 

học sinh có thêm một cách nhìn, một cách suy nghĩ và một cách giải quyết các bài  
toán hình không gian theo hướng đại số hóa hình học. Học sinh có thể giải nhanh  
một bài toàn hình không gian bằng các công thức quen thuộc trong phần phương  
pháp tọa độ.
5.2.  Khuyến nghị
­ Đối với học sinh: Cần nắm vững các kiến thức về  phương pháp tọa độ 
trong không gian, các công thức tính góc, tính khoảng cách, tính thể  tích; nắm 
được định nghĩa và các tính chất của hệ tọa độ trong không gian
­   Đối   với   giáo   viên:   Không   ngừng   tự   học,   tự   bồi   dưỡng   chuyên   môn 
nghiệp vụ, luôn trau dồi kiến thức và phương pháp sư phạm. Đặc biệt, biết khai 
thác thông tin trên mạng internet, có kĩ năng sử dụng thành thạo các trang thiết bị 
dạy học hiện đại và các phần mềm toán học.
­ Đối với các cấp lãnh đạo: Cần quan tâm về  cơ  sở  vật chất và đội ngũ 
giáo viên. Cụ thể cần trang bị đầy đủ  phòng học, đủ  các trang thiết bị, giảm số 
lượng học sinh trên mỗi lớp. Biên chế đủ giáo viên trên từng bộ môn ( có thể dư) 
để tăng tiết học tự chọn ở mổi lớp.
6. TÀI LIỆU THAM KHẢO
­  Rèn luyện phương pháp tọa độ  cho học sinh phổ  thông để  giải các bài  
toán hình học không gian – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP Hà 
Nội, năm 2000.
­ Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp 
sử dụng phần mềm GSP trong dạy học một số chủ đề của hình học không gian –  
luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Kim Nhung, ĐHSP Hà Nội, năm 2004.
­  Biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khắc quan trợ giúp dạy học về 
phương   pháp   tọa   độ   trong   không   gian   lớp   12   THPT   –   luận   văn   thạc   sĩ   của  
Nguyễn Thị Thu Hằng, K14 ĐHSP Đại Học Thái Nguyên , năm 2008.
 
­ Tuyển tập 750 bài toán hình học 12­ Nguyễn Sinh Nguyên (chủ  biên)­ 
Nhà xuất bản Đà Nẵng.
­ 1234 bài tập tự luận điển hình Hình học, lượng giác­ Lê Hoành Phò­ Nhà 

xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
6


­ Mạng internet:  ;  

7


7. PHỤ LỤC
Phụ lục 1. Giáo án giảng dạy trong các tiết tự chọn.
I. Mục tiêu:
­ Về kiến thức : Học sinh hiểu được cách gán hệ trục tọa độ trong không gian 
vào hình vẽ để giải các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ.
­ Về kỹ năng : Vận dụng được các kiến thức về phương pháp tọa đọ để giải 
toán.
­ Về thái độ : Rèn luyện tư duy logic, cẩn thận, chính xác, biết quy lạ về quen.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
­ Giáo viên : Giáo án, bảng phụ, phấn màu, thước vẽ hình.
­ Học sinh : Thước kẻ, các kiến thức về phương pháp tọa độ.
III. Phương pháp: Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp xen kẽ hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài học:
Hoạt động 1:
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
   a). Chứng minh rằng A’C  ⊥  (AB’D’).
   b). Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm BB’. Chứng minh rằng A’C  ⊥  
MN. 
uuuur
uuuur
   c). Tính côsin của góc giữa hai vecto   MN  và  AC '  .

   d). Tính thể tích của khối tứ diện A’CMN theo a.

8


Hoạt động 
của GV
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
vẽ hình.
­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
gán hệ tọa độ 
vào hình vẽ.
­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
chứng minh 
đường thẳng 
vuông góc với 
mặt phẳng.
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
trình bày
­ Nhận xét và 
hoàn chỉnh bài 
giải của học 
sinh
­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
chứng minh 

hai đường 
thẳng vuông 
góc.
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
trình bày
­ Nhận xét và 
hoàn chỉnh bài 
giải của học 
sinh

Hoạt động 
của HS
­ Vẽ hình

Ghi bảng
z

A'

­ Nêu cách 
gán hệ tọa độ

D'
C'

B'
N

y

M

A

D
C

B
x

­ Nêu cách 
chứng minh 
đường thẳng 
vuông góc 
với mặt 
phẳng
­ Trình bày 
bài giải

­ Nêu cách 
chứng minh 
hai đường 
thẳng vuông 
góc 

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A, 
B   Ox, D   Oy, A’   Oz. 
Từ đó suy ra: A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0), 
A’(0 ; 0 ; a) , B’(a ; 0  ;a) , 

C’(a ; a ; a) , D’(0 ; a ; a).
uuuur
uuur
a). Ta có   A ' C = (a; a; −a) ,  AB ' = ( a ;0; a)  , 
uuuur
AD ' = (0; a ; a )
uuuur uuur
uuuur uuuur
Do đó :   A ' C . AB ' = 0  và  A ' C . AD ' = 0
A ' C ⊥ AD '   và   A ' C ⊥ AB '
Vậy A’C  ⊥  (AB’D’).
a
a
; 0)  , N (a ; 0 ; )   
2
2
a
)
2
  A’C  ⊥  MN.

b). Ta lại có  M (0 ;
uuuur
a
  MN = (a ; − ;
uuuur uuuur 2
A ' C . MN = 0    

­ Trình bày 
bài giải

uuuur
c). Ta có  AC ' = ( a ; a ; a)
Vậy 
­ Gọi 1 học 
a2 a2
2
uuuur uuuur
a − +
sinh nêu công  ­ Nêu công 
uuuur uuuur
MN. AC '
2 2 = 2
c
os(MN,
AC
')
=
=
uuuu
r
uuuu
r
thức tính góc  thức tính góc  
.
3
MN . AC '
3a 2
2
giữa hai vecto giữa hai vecto 

. 3a
2
­ Gọi 1 học 
uuuur
a
sinh lên bảng  ­ Trình bày 
d). Ta có   A ' N = (a ; 0 ; − )  , 
2
trình bày
bài giải
uuuuur
a
­ Gọi 1 học 
A ' M = (0
9 ; ; −a)
2
sinh nêu các 
­ Nêu các 
uuuur uuuuur
a2 2 a2
công thức tính  công thức 
�
�
A ' N . A ' M �= ( ; a ; )
�


Hoạt động 2:
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a 2  , SC  ⊥  (ABC). Tam giác 
ABC vuông tại A. Các điểm M  SA , N BC sao cho  AM = CN = t  ( 0 < t < 2a ).

a). Tính độ dài đoạn MN. Tìm t để đoạn MN ngắn nhất.
b). Khi đoạn MN ngắn nhất , chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc 
chung của BC và SA.

10


Hoạt động 
của GV
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
vẽ hình.

Hoạt động 
của HS
­ Vẽ hình

Ghi bảng
z
S

M

y

A
B

­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 

gán hệ tọa độ 
vào hình vẽ.

­ Gọi 1 học 
sinh nêu công 
thức tính độ 
dài đường 
thẳng.
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
trình bày
­ Nhận xét và 
hoàn chỉnh bài 
giải của học 
sinh

­ Nêu cách gán 
hệ tọa độ

x

C

N

  
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho  O trùng với A , 
trục Ox chứa AC , trục Oy chứa AB , 
trục Oz  ⊥  (ABC).
Khi đó cạnh SC song song trục Oz và ta có :

A( 0 ; 0 ; 0), B(0 ;  a 2  ; 0) , C( a 2 ; 0 ; 0), 
S( a 2  ; 0 ;  a 2 )
­ Nêu công 
a). Từ giả thiết ta suy ra :
thức tính độ dài 
�t 2
t 2�
đường thẳng
 M   � ; 0 ;
và N
�
2 �
�2
�
t 2 t 2 �
a 2−
;
; 0�
­ Trình bày bài  �
2
2
�
�
giải
uuuur �
t 2
t 2 �
; −
  MN = � 2(a − t ) ;
�

2
2 �
�
 MN =  2( a 2 − 2at + t 2 ) +
            =     3t 2 − 4at + 2a 2   
2

­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
chứng minh 
MN là đoạn 
vuông góc 
chung của hai 
đường thẳng 
chéo nhau.

t2 t2
   
+
2 2

­ Nêu cách 
chứng minh 
MN là đoạn 
vuông góc 
chung của hai 
đường thẳng 
chéo nhau
­ Trình bày bài 
giải

2a � 2a 2
a 6
�
  =    3 �
  
t−
�+
3
� 3 � 3
2a
a 6
Vậy MN ngắn nhất bằng 
 khi t =  .
3
3
b). Khi MN ngắn nhất thì  M
�a 2
�2a 2 a 2 �
a 2 �
;0;
;
; 0�
�
�  và  N �
3
3
3
3
�

�
�
�
uuuur �a 2 a 2
a 2�
;
;−
  MN  =  �
�
3
3
3 �
�
uur
Ta lại có :  SA = (− a 2 ; 0 ; − a 2 )  và 
uuur
BC = (a 2 ; − a 2 ; 0)
uuuur uur
MN . SA = 0
11
Do đó :   uuuur uuur
 
MN . BC = 0


Hoạt động 3:

Bài 3. 
Cho hình chóp S.ABCD , SA  ⊥ (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật có AB = a , 
AD = b , SA = 2a. Gọi N là trung điểm SD.

a). Tính  d(SB, CN).
b). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD)  và  (SBC).
1
ﾷ
c). Gọi M là trung điểm SA . Tìm điều kiện của a và b để cos CMN
  = 
3
 . 

12


Hoạt động 
của GV
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
vẽ hình.

Hoạt động 
của HS
­ Vẽ hình

­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
gán hệ tọa độ 
vào hình vẽ.

­ Nêu cách gán 
hệ tọa độ

Ghi bảng

z
S

M

N
y

A
D

  

B

C

x

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A, 
B   Ox, D   Oy, S   Oz. 
Từ đó suy ra :  A( 0 ; 0 ; 0) , S(0 ; 0 ; 2a) , 
­ Gọi 1 học 
­ Nêu  công 
B(a ; 0 ; 0) , C(a ; b ; 0) ,  D(0 ; b ; 0).
sinh nêu công  thức tính 
Từ giả thiết ta suy ra : M(0 ; 0 ; a ) , N
thức tính 

khoảng cách 
b
(0 ; ; a )
khoảng cách 
giữa hai đường 
2
uur
giữa hai đường  thẳng chéo 
a). Ta có :  SB = ( a ; 0 ; − 2a )
thẳng chéo 
nhau
uuur
b
     
CN
= (− a ; − ; a )
nhau.
2
uuur
       SC = (a ; b ; − 2a )
­ Gọi 1 học 
­ Trình bày bài 
Vậy  d(SB , CN)   = 
sinh lên bảng  giải
uur uuur uuur
�
trình bày
SB , CN �
. SC
2ab

�
�
=
uur uuur
­ Nhận xét và 
�
4a 2 + 5b 2
SB , CN �
hoàn chỉnh bài 
�
�
giải của học 
sinh

­ Gọi 1 học 
sinh nêu công 
thức tính góc 
giữa hai mặt 
phẳng.

­ Nêu công 
thức tính góc 
giữa hai mặt 
phẳng

­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
trình bày
­ Nhận xét và 
hoàn chỉnh bài 

giải của học 

­ Trình bày bài 
giải

uuur
uuur
b).  SC = (a ; b ; − 2a )  và   SD = (0 ; b ; − 2a ) . 
ur uuur uuur
SC , SD �
= (0 ; 2a 2 ; ab )   
       Suy ra     n1 = �
�
�
uuur
uur
       SC = (a ; b ; − 2a )  và   SB = (a ; 0 ; − 2a ) . 
uur uuur uur
SC , SB �
Suy ra   n2 = �
�
�= ( − 2a ; 0 ; − ab )
Gọi   ϕ  là góc giữa hai mặt phẳng (SCD)  và  
(SBC). Ta có :
uur uur
n1 .n 2
a 2b 2
cosϕ = uur uur =
 
n1 . n 2

4 a 4 + a 2 b 2 . 4 a 2 b 2 + a 2b 2
=

13 b

20a 2 + 5b 2
uuur


Hoạt động 4:
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = 2a , AA’ = a 2  
; M là một điểm thuộc đoạn AD , K là trung điểm của B’M
a). Đặt AM = m ( 0 < m < 2a ). Tính thể tích tứ diện A’KID theo a và m, 
trong đó I là tâm hình hộp. 
b). Khi M là trung điểm AD, mặt phẳng (B’CK) cắt hình hộp theo thiết 
diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó theo a.

14


Hoạt động 
của GV
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
vẽ hình.

Hoạt động 
của HS
­ Vẽ hình

Ghi bảng
z
D'

C'
B'

A'

­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
gán hệ tọa độ 
vào hình vẽ.

­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
giải câu a).
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
trình bày
­ Nhận xét và 
hoàn chỉnh bài 
giải của học 
sinh

­ Nêu cách gán 
hệ tọa độ

y

D
C
A

B
  
x
  
Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với D, 
A   Ox, C   Oy, D’   Oz. 
Từ đó suy ra D( 0 ; 0 ; 0), D’(0 ; 0 ; a 2 ),
A(2a ; 0 ; 0) , B(2a ; a ; 0) ,  C(0 ; a ; 0).
a). Ta có :  M (2a – m ; 0 ; 0 )
�
m a a 2� � a a 2�
­ Nêu cách giải  K   �
2a −
; ;
a ; ;
 ,  I  �
�
�
2
2
2
2 �
�
� � 2
câu a)
uuuur

Ta lại có :   A ' D = − 2a ; 0 ; − a 2   , 

(

­ Trình bày bài 
giải

)

uuur �
a
a 2�
A' I = �
−a ; ; −
�
2
2
�
�
2
uuuur uuur
�
�
�= �a 2 ; 0 ; − a 2 � và 
A
'
D
,
A
'

I
 � �
�
�
� 2
�
uuuur � m a
a 2�
A' K = �
− ; ; −
�
2 �
�2 2
uuuur uuur uuuur
1 �
A' D , A' I �
. A' K
Vậy :  VA ' KID =
�
6 �
1 ma 2 2 a 3 2
1 2
+
=
a 2 (2a − m)
    = −
6
4
2
24

­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
tìm thiết diện.
­ Gọi 1 học 
sinh nêu cách 
giải câu b).
­ Gọi 1 học 
sinh lên bảng 
trình bày
­ Nhận xét và 

b). Mặt phẳng (B’CK) trùng với mặt phẳng 
(B’CM) cắt hai mặt phẳng (BB’C’C) và mặt 
­ Nêu cách tìm 
phẳng (AA’D’D) song song theo hai giao 
thiết diện
tuyến song song. Suy ra B’C // MN.
Thiết diện B’CMN là hình thang.
  S B 'CMN = S B ' MN + S B 'CM
­ Nêu cách giải 
M là trung điểm AD    m = a     N là trung 
câu b).
điểm AA’
�
a 2�
2a ; 0 ;
 M ( a ; 0 ; 0)  và  N  �
�
­ Trình bày bài 

2 �
�
uuuuur
giải
15 B ' M = − a ; − a ; − a 2   và 
Ta có :  

(

uuuur �
a 2�
B'N = 0 ; −a ; −
  , 

)


16


Phụ lục 2 : Đề và đáp án kiểm tra sau tác động
Đề kiểm tra sau tác động
Họ và tên : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Lớp          : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đề kiểm tra : 
 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xét hai điểm 
M  AD’, N  BD sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a  2 ) và P là trung điểm B’C’.
a). Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AP và BC.
b). Tính thể tích khối tứ diện APBC.
c). Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.

d). Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc 
chung của AD’ và BD.

17


Đáp án bài kiểm tra sau tác động

z
A'
B'

D'
C'

M
A

D

N

B

y

C

x

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A, B   Ox, 
D   Oy, A’   Oz. Từ đó suy ra A( 0 ; 0 ; 0), A’(0 ; 0 ; a),
B(a ; 0 ; 0), B’(a ; 0  ;a), C(a ; a ; 0), C’(a ; a ; a), 
D(0 ; a ; 0), D’(0 ; a ; a).
a
a). Ta có P  (a ; ; a )
2
uuur
uuuur
a
AP =    (a ; ; a )  và   BC ' = (0 ; a ; a )
2
Gọi  ϕ  là góc giữa hai đường thẳng AP và BC’, Ta có
uuur uuuur
AP . BC '
1
  cosϕ = uuur uuuur =
       ϕ  = 450
2
AP . BC '
uuur
uuuur
uuur
a
b). Ta có : AP = (a ; ; a )  ,  AB  = (a ; 0 ; 0) ,  AC '  = ( a ; a ; a)
2
2
uuur uuur
a
2

 �
AP . AB �
�
�= (0 ; a ; − 2 )
uuur uuur uuuur a 3
1 �
Vậy : VAPBC ' = �
AP . AB �
. AC ' =  ( đvtt)
�
6
12
c). Theo giả thiết  M AD’, N BD , AM = DN = k
k
k
k a 2 −k
;
)   và  N (
 M (0 ;
;
; 0)
2
2
2
2

18


2

2

2

k � �
k �
�k
� �a 2 − k
Do đó  MN    =   � − 0 �+ �
−
0−
�+ �
�
2� �
2�
�2
� � 2
=  3k2 – 2a 2 k + a2   với  0 < k < a 2
2
�
�
�
a
2
−
k
a2 � a2
2
k−

         MN   =   3 �
�
�+ �
9
2
�
�
� 9�
�
�
a2
a 2
2
MN  nhỏ nhất bằng   khi  k = 
9
3
a
a 2
MN nhỏ nhất bằng    khi  k = 
3
3
uuuur a a
a
a 2
d). Khi MN ngắn nhất thì k = 
     MN = ( ; ; − )
3 3
3
uuu3r
uuuur

Ta lại có :  AD '  = ( 0 ; a ; a)  ,  BD  = (­a ; a ; 0)
uuuur uuuur
MN . AD ' = 0
Do đó :  uuuur uuur
    MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD.
MN . BD = 0
2

19


Phụ lục 3 : Bảng điểm

Lớp thực nghiệm ( lớp 12A1)

TT

Họ và tên

01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11

12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Nguyễn Thị Kim Anh
Nguyễn Thị Ngọc Ánh
Phạm Nhật Biển
Trần Mạnh Cầm
Nguyễn Thị Ngọc Công
Nguyễn Chí Cường
Đặng Bảo Dâng
Trần Thị Mỹ Duyên
Trương Thị Duyên

Trần Quốc Đạt
Trần Quốc Đạt
Đinh Thị Ninh Giang
Nguyễn Thị Hải
Bùi Thị Bích Hạnh
Trần Thị Bích Hạnh
Thái Thị Linh Hảo 
Bùi Thị Ánh Huệ
Nguyễn Quốc Huy
Trần Thị Mỹ Khiêm
Trần Nguyễn Yến Kiều
Nguyễn Thanh Lam
Nguyễn Thị Kim Lành
Đoàn Nữ Ái Linh
Hồ Yến Loan
Nguyễn Thị Khánh Ly
Trần Nguyễn Trúc Ly
Ngô Thị Thu Nga
Phan Trần Hiếu Nghi
Châu Ngọc Nha
Bùi Thị Ý Như
Phan Kiều Lam Phương

Điểm kiểm tra 
trước tác động
7
6
7
8
6

8
9
7
9
7
5
6
8
7
6
7
6
6
7
5
7
7
6
6
5
7
7
6
4
6
4
20

Điểm kiểm tra 
sau tác động

8
8
9
10
7
9
10
8
9
8
7
8
9
10
8
8
8
8
9
8
9
8
7
9
7
8
8
8
7
8

8


32
33
34
35
36
37
38
39
40
41

5
5
6
7
7
8
4
4
5
5

Trần Minh Quốc
Nguyễn Thị Hồng Thắm
Lê Văn Thiện
Hoàng Thị Kim Thoa
Nguyễn Thị Bích Tiển

Nguyễn Hữu Toàn
Nguyễn Minh Triều
Huỳnh Trương Gia Trí
Trần Thanh Trúc
Nguyễn Trần Hiền Vy

21

7
7
8
8
9
8
7
8
7
8


Lớp đối chứng ( lớp 12A2)
TT

Họ và tên

01
02
03
04
05

06
07
08
09
10
11
12

Nguyễn Đức   Anh
Vũ Trần Kim   Chi
Trần Thị Kim   Dân
Đặng Hoàng   Duy
Đỗ Thị Hồng   Đào
Nguyễn Tiến   Đạt
Lê Trung   Đô
Lê Thị Tiết   Hạnh
Phan Thị Thu   Hiền
Nguyễn Kim   Hoài
Ngô Thị Mỹ   Hồng
Huỳnh Phạm Hồng   
Huyên
Bùi Anh   Khoa
Nguyễn Thị Bích   Lài
Võ Nhật   Linh
Ngô Hoàng Phương   Linh
Bùi Thị Hạnh   Nhân
Huỳnh Thị Quỳnh   Như
Nguyễn Thanh   Phong
Nguyễn Thị Trúc   Phương
Cao Thị Bích   Phượng

Nguyễn Thị Lệ   Quyên
Phạm Xuân   Quỳnh
Phạm Thanh   Sang
Lê Cao Nhất   Sinh
Nguyễn Tấn   Thành
Nguyễn Thị Mai   Thảo
Phạm Thị   Thắm
Phạm Ngọc   Thiện
Nguyễn Thị Nhật   Thúy
Nguyễn Ngọc Minh   Thư

13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

22

Điểm kiểm tra 
trước tác động
5
5
8
6
8
7
9
4
7
9
5
4

Điểm kiểm tra 
sau tác động
5
7
8
6
8
7
9
4
9
9

7
6

5
5
6
5
6
7
4
6
7
8
7
3
5
7
7
5
5
8
8

6
7
8
7
7
8
7

8
8
8
7
7
7
8
8
7
7
8
8


32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43

6
5
4

5
6
7
5
8
7
4
4
6

Trần Thị Cẩm   Tiên
Trương Phạm Trung   Tín
Lê Hoàng   Tính
Hồ Văn   Toàn
Nguyễn Thị Phương   Trà
Đỗ Thị Hoài   Trâm
Bùi Thị Ngọc   Trí
Nguyễn Thị Cẩm   Trúc
Lê Ngọc   Tuấn
Tô Hoàng Anh   Tuấn
Lê Hoàng   Vị
Võ Tài   Vương

8
6
7
7
7
7
7

8
8
7
6
7

   Tuy An , ngày  25  tháng  02  năm  2013
   Người viết :

       Phạm Thị Xuân Đoan

23