Bai 8 pt luong giac co dien.ppt

TOÁN HỌC
BÀI 8: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CỔ
ĐIỂN. acosx+bsinx=C
GVHD: PHẠM ĐÌNH THUẤN

Giải Bài Tập Tự Luyện
1
a.
b.
c.
d.
2 2
2cos x 4cos x 3sin x+ =
4 2
4sin x 12cos x 7+ =
2
sin x(1 tanx)=3sinx(cosx-sinx)+3+
4 4 4 2
x 1
sin x sin x cos x= sin 2x
2 8 2
π
 
+ + +
 ÷
 

Hướng dẫn giải:
a.
2 2

2cos x 4cos x 3sin x+ =
2 2
2
2cos x 4cos x 3(1 cos x)
5cos x 4cos x 3 0
-2- 31
cosx=
10
-2+ 31
cosx=
10
-2- 31
x arcos k2
10
⇔ + = −
⇔ + − =



⇔



 
⇔ = ± + π
 ÷
 ÷
 

b.

4 2
4sin x 12cos x 7+ =
( )
4 2
4 2
4sin x 12 1 sin x 7 0
4sin x 12sin x 5 0
1
sin2x
2
5
sin2x
4
⇔ + − − =
⇔ − + =

=

⇔


=


Loại
2 2
1
sin x 1 2sin x 0 cos2x=0
2
2x= k x= k (k )

2 4 2
= ⇔ − = ⇔
π π π
⇔ + π ⇔ + ∈ ¢

c.
2
sin x(1 tanx)=3sinx(cosx-sinx)+3+
Điều kiện
x k
2
π
≠ + π
2 2 2
2
sinx
(*) 1 cos x+(1-cos x) 3sinxcos x 3sin x 3
cosx
sinx
1 cosx+ sinxcosx=3sinxcosx+3cos x
cosx
⇔ − = − +
⇔ − −

⇔ −
 
⇔ − =
 ÷
 




⇔ ⇔


− =


2
sinx+cosx
4cos x(sinx+cosx)=0
cosx
1
(cosx+sinx) 4cos x 0
cosx
cosx+sinx=0
tanx=-1
1
4cos x 0
4cos x=1
cosx
π
π


π
= − + π
= − + π




= − + π

⇔ ⇔ ⇔ ∈



π


+
= ±





¢
x k
x k
x k
4
4
(k )
4
1
2(1 cos2x)=1
x
cos2x=-
3

2

d.
4 4 4 2
x 1
sin x sin x cos x= sin 2x
2 8 2
π
 
+ + +
 ÷
 
π
 
⇔ + + +
 ÷
 
π
 
⇔ + +
 ÷
 
4 4 4 2
2 2 2 2 2 4 2
x 1
sin x cos x sin = sin 2x
2 8 2
x 1
(sin x cos x) -2sin xcos x+sin = sin 2x
2 8 2

π
 
⇔ − + +
 ÷
 
π
 
⇔ − + +
 ÷
 
π
 
⇔ + +
 ÷
 


⇔
π

 
+
 ÷

 

2 4 2
2 4
2 4

1 x 1
1 sin 2x sin = sin 2x
2 2 8 2
x
1 sin 2x sin =0
2 8
x
cos 2x sin =0
2 8
cos2x=0
x
sin =0
2 8

π

= + π


⇔

π

+ = π


π π

= +



⇔

π

= − + π


π
⇔ = − + π ∈ ¢
2x k
2
x
n
2 8
x k (1)
4 2
x n2 (2)
4
x n2 (n )
4

2. Định m để phương trình
2
2
3
3tan x m(tanx+cotx)-1=0
sin x
+ +
Có nghiệm

Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
x k
2
π
≠
Với
x k
2
π
≠
2 2
2 2
(*) 3(1 cot x tan x) m(tanx+cotx)-1=0
3(cot x tan x 2) m(tanx+cotx)-4=0
⇔ + + +
⇔ + + +
Đặt tanx+cotx = u thì
u 2≥
được phương trình:
2
3u mu 4 0+ − =

2
2
4 3u
mu 4 3u m (do u 2)
u
−

⇔ = − ⇔ = ≥
Xét tương giao của hai đồ thị:
−
= =
2
4 3u
y ; y m
u

−
= = −
2
4 3u 4
y 3u
u u
Hàm số
= − − <
2
4
có y' 3 0
u
Bảng biến thiên

Từ hình bên
=>để
phương trình
có nghiệm
thì
m 4≥

3. Cho phương trình
2
(2sinx 1)(2cos2x 2sinx m) 3 4cos x− + + = −
a. Giải phương trình khi m=1.
b. Định m để phương trình có đúng 2
nghiệm thuộc
[ ]
0;π

Hướng dẫn giải:
2
(2sinx 1)(2cos2x 2sinx m) 3 4cos x− + + = −
2 2
2
2
(2sinx 1)(2cos2x 2sinx m) 3 4(1 sin x) 4sin x 1
(2sinx 1) 2(1 sin x) 2sinx m 2sinx 1 0
(2sinx 1) 4sin x m 1 0
⇔ − + + = − − = −
 
⇔ − − + + − − =
 
 
⇔ − − − =
 

** Khi m=1:
2
2sinx 1 0
(2sinx 1) 4sin x 2 0

2(1 cos2x)-2=0
5
1
x k2 ,x k2
sinx=
6 6
(k )
2
cos2x=0
x k
4 2
− =

 
− − = ⇔

 
−

π π

= + π = + π



⇔ ⇔ ∈


π π


= +



¢

2
(2sinx 1)(2cos2x 2sinx m) 4sin x 1− + + = −
[ ]
[ ]
(2sinx 1) 2cos2x 2sinx m 2sinx 1 0
(2sinx 1) 2cos2x m 1 0
2sinx 1 0 (1)
2cos2x m 1 0 (2)
⇔ − + + − − =
⇔ − + − =
− =

⇔

+ − =


5
(1) Cho x k2 , x k2
6 6
π π
= + π = + π
[ ]
5

Do x 0, nên x= , x
6 6
π π
∈ π =
1-m
(2) cos2x=
2
⇔
Theo Yêu cầu bài toán thì:
1 m 1 1 m
cos2 m 0
6 2 2 2
π − −
= ⇔ = ⇔ =
5 1 m 5 1 m 1
cos2 cos m 0
6 2 3 2 2
π − π −
= ⇔ = = ⇔ =

Hoặc phương trình:
1 m
cos2x
2
−
=
Vô nghiệm:
1 m
1
2

−
⇔ >
1 m 2 m 1
1 m 2
1 m 2 m 3
− > < −
 
⇔ − > ⇔ ⇔
 
− < − >
 

Phương trình
acosx + bsinx = C (*)
Cách giải 1: Giả sử
b c
a 0,(*) cosx+ sinx=
a a
≠ ⇔
Đặt
2
2
b b 1
tan arctan cos =
a a
b
1+
a
 
= ϕ ϕ = ⇒ ϕ

 ÷
 
Điều kiện
2 2
a
1
a b
≤
+

ϕ
⇔ ϕ ϕ ϕ
c
cosx+tan sinx=
a
c
cosxcos +sinxsin = cos
a
2 2 2 2
c a c
cos(x- )= cos ,
a
a b a b
⇔ ϕ = = α
+ +
Từ đây rút nghiệm

Cách giải 2: Đặt
x
tan t

2
=
−
⇔ + =
+ +
⇔ − + = +
2
2 2
2 2
a(1 t ) b2t
(*) c
1 t 1 t
a at 2bt c ct
2
(a a)t 2bt c a 0⇔ + − + − =
Điều kiện có nghiệm:
2 2 2 2 2 2
b -c +a 0 a +b c≥ ⇔ ≥

Bài tập luyện
1. Giải các phương trình.
a.
x x
3 sin cos 2
2 2
− =
b.
c.
d.
e.

cosx+2sinx=3
( 3 1)sinx-( 3 1)cosx=1- 3− +
sin4x 3cos4x+ 3 0+ =
( 2 1)cos2x+sin2x=1−

Giải
a.
x x
3 sin cos 2
2 2
− =
3 x 1 x 2
sin cos
2 2 2 2 2
⇔ − =
x x 2
sin cos sin cos
2 6 6 2 2
π π
⇔ − =
x
sin sin
2 6 4
π π
 
⇔ − =
 ÷
 
x 5
k2 x k4

2 6 4 6
x 3 11
k2 x k4
2 6 4 6
π π π
 
− = + π = + π
 
⇔ ⇔
 
π π π
 
− = + π = + π
 
 