SKKN Tu giac noi tiep

*****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009*****
Đề tài: Vai trò của tứ giác nội tiếp trong giải toán
I- Đặt vấn đề.
Trong chơng trình hình học lớp 9 việc chứng minh đợc vận dung nhiều đến khái niệm góc
liên quan đến đờng tròn, nên việc sử dụng tứ giác nội tiếp trong chứng minh đóng vai trò
quan trọng . Nhng đối với học sinh lớp 9 khi chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng
tròn còn hạn chế ở tính chất Tổng hai góc đối diện bằng hai góc vuông do đó đối với
học sinh trung bình , khá thờng gặp khó khăn trong việc giải toán hình học ở lớp 9 . Vì
vậy qua đề tài này tôi muốn giúp các em nhìn lại các dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội
tiếp và đặc biệt là vận dụng tứ giác nội tiếp một đờng tròn để chứng minh một số dạng bài
toán khác nhau ở mức độ đơn giản để các em hiểu rõ hơn về việc chứng minh tứ giác nội
tiếp và vai trò của tứ giác nội tiếp trong giải toán.
II- Nội dung đề tài.
1) Xây dựng kiến thức cơ bản
Bài toán: Cho tứ giác ABCD . Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại N, hai cạnh
AB và CD cắt nhau tại M. Các điều kiện sau đây là tơng đơng.
a) Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn.
b) ACB = ADB
c) ABC + ADC = 180
0

d) DAB = MCB
e) MA.MB = MC.MD
f) NA.NC = NB.ND
g) AB.CD + AD.BC = AC.BD
(Định lý Ptô-lê-mê)
2) Tìm hiểu chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua bài tập.
Bài tập 1: Cho đờng tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Qua A kẻ tiếp tuyến AB
và cát tuyến AMN với đờng tròn (O). Lấy I là trung điểm MN . Chứng minh A, B, O, I
cùng thuộc một đờng tròn.
H ớng dẫn:

*) T/h 1. Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về 2 nửa mp bờ là đờng thẳng chứa đoạn
thẳng OA

Ta có ABO + AIO = 90
0
+ 90
0
= 180
0
ABOI nội tiếp 1 đờng tròn
1
N
A
D
M
C
B
I
N
M
O
B
A
*****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009*****
*) T/h 2. Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm cùng nửa mp bờ là đờng thẳng chứa
đoạn thẳng OA
+ Lợi dụng định nghĩa đờng tròn.
Lấy C là trung điểm của OA
=> CA = CB = CO = CI
ABIO nội tiếp 1 đờng tròn

+ Lợi dụng cung chứa góc .
Ta có I và B cùng thuộc cung chứa góc 90
0
dựng trên OA
ABIO nội tiếp 1 đờng tròn
Bài tập 2: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB . Trên nửa đờng tròn đó lấy 2 điểm C và
D sao cho AC = CD = DB, các tiếp tuyến kẻ từ C và B của đờng tròn cắt nhau tại I . Hai
tia AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn (bằng hai
cách)
H ớng dẫn:
Cách 1:
Ta có KCI = KBI
Tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn
Cách 2. Gọi giao điểm DK và CI là M
KMI = DMC (c- g - c)
Nên KI // CD
=> KIB = KCB = 90
0
Tứ giác KIBC nội tiếp một đờng tròn
Nhận xét : Qua hai bài tập nêu trên phần nào đã cho học sinh thấy đợc việc chứng
minh 1 tứ giác nội tiếp 1 đờng tròn bằng nhiều cách. Do đó qua bài tập này đã rèn thêm
học sinh các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp 1 đờng tròn. Với đề tài này tôi mục đích
khai thác khai thác tứ giác nội tiếp để chứng minh một số yếu tố thông qua các bài tập để
học sinh thấy đợc vai trò tứ giác nội tiếp trong giải toán có phần qua trọng nh thế nào.
3) Vai trò của tứ giác nội tiếp đ ờng tròn trong giải toán.
Dạng 1: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh các góc bằng nhau.
Bài tập 1a: Cho đờng tròn tâm (O) và một điểm C ở ngoài đờng tròn. Từ C kẻ
hai tiếp tuyến CE,CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn. Đờng thẳng CO cắt đờng tròn (O)
tại hai điểm A và B. Gọi I là giao điểm của AB với EF.
2

//
//
C
I
N
M
O
B
A
M
K
I
B
O
A
C D
*****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009*****
Chứng minh rằng AIM = BIN
H ớng dẫn:
Ta có CM. CN = CI. CO (= CE
2
)
Lại có CEM = CNE (cùng chắn cung ME)
CMI CON (c- g - c)
Tứ giác IONM nội tiếp 1 đờng tròn
Nên IOM = INM =
2
1
sđ MM
/

sđ AM =
2
1
sđ MM
/

AM = AM
/

Vậy AIM = BIN (= AIM
/
)
Bài tập 1b: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên (O) lấy điểm C , gọi H là chân đ-
ờng vuông góc kể từ C xuống AB . M và N lần lợt là tâm đờng tròn nội tiếp các tam giác
ACH và BCH. Gọi giao điểm MN với AC và BC lần lợt là P và Q.
a) Chứng minh CPQ = MHC
b) Khi C chạy trên nửa đờng tròn tâm O thì đờng trung trực PQ luôn đi qua 1 điểm cố
định
H ớng dẫn:
Ta có NCH MAH (g- g)
Vì MHA = NCH = 45
0
và MAH = NCH
=> MHN AHC (c- g - c)
Nên tứ giác APMH nội tiếp 1 đờng tròn
CPQ = MHC (đpcm)
Tam giác PCQ vuông cân tại C
Đờng trung trực PQ luôn đi qua 1 điểm cố định
Dạng 2: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau.
Bài tập 2a: Cho tam giác ABC (AB < AC) , đờng trung tuyến AD và đờng phân

giác AE. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB và AC lần lợt tại M và N. Chứng
minh BM = CN.
H ớng dẫn:
Vẽ đờng tròn ngoại tiếp ABE cắt AC tại F
Vì BAE = CAE => EB = EF và EM = EN
3
S
S
S
Q
P
N
M
H
B
O
A
C
/
M
N
M
I
B
A
C
O
E
F
F

N
M
D
E
A
B
C
*****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009*****
Do tứ giác ABEF và tứ giác AMEN
BEF = MEN do đó BEM = FEN
Nên BEM = FEN (c-g-c) => BM = FN (1)
Lại có tứ giác AEDN nội tiếp nên CDN = EBF (= EAN)
Do đó DN // BF
Xét CBF có DB = DC, DN // BF => CN = FN (2)
Từ (1) và (2) => BM = CN (đpcm)
Bài tập 2b: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác AD. Gọi
H,K theo thứ tự là tâm các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ACD . Chứng minh
OH = OK.
H ớng dẫn:
Ta có OH, OK và HK lần lợt là trung trực
của AB, AC và AD
Nên AIHM và AMNK là các tứ giác nội tiếp
Do BAD = CAB => OHK = OKH
OH = OK
Bài tập 2c : Từ điểm A bên ngoài đờng tròn (O) , vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B và
C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE . Đờng thẳng đi qua D và vuông góc với OB cắt BC ,
BE theo thứ tự tại H và K. Chứng minh rằng DH = HK
H ớng dẫn:
Kẻ OM DE, các điểm B, C, M cùng thuộc
đờng tròn đờng kính AO => BCM = BAM

Lại có BAM = HDM (soletrong) => HDM = BCM
Do đó tứ giác CDHM nội tiếp 1 đờng tròn
DCH = HMD
Lại có DCH = AEB => HMD = AEB => MH // EB
Nên DH = HK (đpcm)
Dạng 3: Vai trò tứ giác nội tiếp trong chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài tập 3a: Tứ giác ABCD có ABC = 70
0
, ADC = 110
0
. Gọi H, I, K theo thứ tự là
chân các đờng vuông góc kẻ từ D đến các đờng thẳng AB, AC và BC . Chứng minh rằng 3
điểm H, I, K thẳng hàng.
H ớng dẫn:
4
K
H
N
M
I
D
O
A
B
C
H
K
E
D
M

A
O
B
C
110
0
70
0
I
K
H
A
B
C
D
*****Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009*****
Ta có các tứ giác AHDI và DIKC nội tiếp
DIH + DIK = DAH + 180
0
DKC (1)
Do tứ giác ABCD nội tiếp một đờng tròn
Nên DCK = DAH (2)
Từ (1) và (2) => DIH + DIK = 180
0
Nên ba điểm H, I, K thẳng hàng
Bài tập 3b: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H . Gọi AM, AN là các
tiếp tuyến của đờng tròn (O) đờng kính BC (M, N là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm
M, H, N thẳng hàng.
H ớng dẫn:
Ta có AN

2
= AE. AC
Do tứ giác DHEC nội tiếp 1 đờng tròn
Nên AE . AC = AH. AD
=> AN
2
= AH. AD => AHN AND (c- g - c)
=> AHN = AND
Chứng minh tơng tự ta có AHM = AMD
Do tứ giác AMDN nội tiếp (c/m dễ dàng)
AHN + AHM = AND + AMD = 180
0
Ba điểm M, H, N thẳng hàng (đpcm)
Bài tập 3c: Đờng tròn tâm O nội tiếp tam gíc ABC , tiếp xúc với các cạnh AB, AC
lần lợt tại F và E . Gọi H là hình chiếu của B trên CO; K là hình chiếu của C trên BO .
Chứng minh rằng 4 điểm E, F, H, K thẳng hàng.
H ớng dẫn:
Ta có tứ giác HFOB và HKCB nội tiếp
OHF = FBO = KBC và CHK = CBK
Do đó OHF = CHK => H, F, K thẳng hàng
Chứng minh tơng tự ta có H, E, K thẳng hàng
Vậy 4 điểm E, F, H, K thẳng hàng. (đpcm)
Dạng 4: Vai trò tứ giác nội tiếp để tìm quỹ tích.
Bài tập 4a: Cho đờng tròn (O, R) AB và CD là hai dây của đờng tròn (O) sao
cho AB // CD. M là điểm chuyển động trên (O) MD cắt AB tai Q . Tìm quỹ tích tâm đờng
tròn ngoại tiếp tam giác MCQ.
5
S
M
H

E
C
O
D
B
N
A
F
E
K
H
O
A
B
C