Chuyên đề: Nghiên cứu Ngôn ngữ hình thức, Văn phạm phi ngữ cảnh và Automata đẩy xuống

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin chân thành cảm  ơn các thầy cô giáo trong khoa Công 
nghệ thông tin Trường ĐH Kỹ thuật – Hậu cần CAND đã trang bị những kiến  
thức cơ bản, cần thiết và quý báu để em thực hiện chuyên đề của mình.
Đặc biệt, em xin bày tỏ  lòng kính trọng và biết  ơn sâu sắc tới thầy  
Nghiêm Văn Hưng, giáo viên giảng dạy, và thầy Cao Xuân Trường, người đã  
tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em trong quá 
trình thực hiện chuyên đề.
Mặc dù đã rất cố gắng cùng nhận được sự giúp đỡ tận tâm của thầy giáo 
hướng dẫn, xong do trình độ  còn hạn chế, tài liệu chưa được phong phú, và 
nội dung này khá khó đối với em nên không tránh khỏi những thiếu sót trong  
quá trình tiếp nhận kiến thức. Em rất mong nhận được sự quan tâm giúp đỡ, 
chỉ dẫn của thầy cô và sự góp ý từ bạn bè để trong thời gian tới em có thể tiếp  
tục tìm hiểu và xây dựng chuyên đề một cách hoàn thiện nhất.
Em xin chân thành cảm ơn!


GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ
Tên chuyên đề: Nghiên cứu Ngôn ngữ  hình thức, Văn phạm phi ngữ 
cảnh và Automata đẩy xuống
Sinh viên thực hiện: Hoàng Văn Thao
Lớp: B3­D2B
Giáo viên hướng dẫn: Thiếu úy Cao Xuân Trường
Tính cấp thiết của chuyên đề:
Lý thuyết ngôn ngữ  hình thức và Automata đóng một vai trò rất quan 
trọng trong các cơ sở toán học của tin học. Ngôn ngữ hình thức được sử dụng 
trong việc xây dựng các ngôn ngữ  lập trình, lý thuyết về  các chương trình 
dịch. Các ngôn ngữ  hình thức tạo thành một công cụ  mô tả  đối với các mô 
hình tính toán cả cho dạng thông tin vào ­ ra lẫn kiểu thao tác. Lý thuyết ngôn 
ngữ hình thức, chính vì thực chất của nó là một lĩnh vực khoa học liên ngành; 
nhu cầu mô tả  hình thức văn phạm được phát sinh trong nhiều ngành khoa 

học khác nhau từ  ngôn ngữ  học đến sinh vật học. Do đó những khía cạnh 
thích hợp của lý thuyết ngôn ngữ hình thức sẽ  có tầm quan trọng quyết định  
trong các giáo trình về Lý thuyết ngôn ngữ hình thức và Automata. 
Lĩnh vực mà lý thuyết ngôn ngữ  hình thức nghiên cứu là những mẫu 
hình (pattern) có cấu trúc bên trong ngôn ngữ hình thức, và đó là những khía  
cạnh hoàn toàn mang tính chất có cú pháp. Ngôn ngữ  hình thức không còn 
đơn giản chỉ  là để  định nghĩa ngôn ngữ  tự  nhiên, mà nó vượt ra ngoài khỏi  
phạm vi đó và nó cũng là một cách để  thể  hiện được những quy tắc có cú 
pháp của ngôn ngữ tự nhiên.
Mục tiêu của chuyên đề: Nghiên cứu tổng quan về văn phạm hình thức 
và các Automata, là những công cụ sinh ngôn ngữ, đồng thời đề  cập đến các  
tính chất của ngôn ngữ chính quy, ngôn ngữ phi ngữ cảnh. Ngoài ra, cũng giới  
thiệu sơ lược về Trình biên dịch, một phần quan trọng của học phần Chương  
trình dịch gắn bó chặt chẽ  với Lý thuyết ngôn ngữ  hình thức và Automata, 
trong đó Văn phạm phi ngữ cảnh là cơ sở lý thuyết để xây dựng Bộ phân tích 
cú pháp, là thành phần quan trọng nhất trong một Trình biên dịch.
Đối tượng nghiên cứu: Ngôn ngữ hình thức và lý thuyết Automata.
Phạm vi nghiên cứu:
 Ngôn ngữ phi ngữ cảnh cùng hai phương tiện để xác định chúng là Văn 
phạm phi ngữ cảnh;
 Automata đẩy xuống.


Phương pháp nghiên cứu:
 Phương pháp nghiên cứu tài liệu;
 Phương pháp chuyên gia;
 Phương pháp thực nghiệm.
Nội dung nghiên cứu:
 Lý thuyết về Ngôn ngữ hình thức, Văn phạm phi ngữ cảnh và Automata 
đẩy xuống;

 Các tính chất của Ngôn ngữ  hình thức, Văn phạm phi ngữ  cảnh và 
Automata đẩy xuống;
 Ứng dụng của Ngôn ngữ hình thức và Automata với trình biên dịch.
Chuyên đề gồm 5 chương:
Chương I: Nhập môn về văn phạm và ngôn ngữ hình thức
1.1 Khái niệm ngôn ngữ
1.2 Văn phạm và ngôn ngữ sinh bởi văn phạm
1.3 Một số tính chất của ngôn ngữ
Chương II: Văn phạm phi ngữ cảnh
2.1 Suy dẫn phi ngữ cảnh
2.2 Biến đổi các Văn phạm phi ngữ cảnh
Chương III: Automata đẩy xuống
3.1 Automata đẩy xuống không tiền định
3.2 Automata đẩy xuống và Văn phạm phi ngữ cảnh
Chương IV: Tổng quan về trình biên dịch
4.1 Ngôn ngữ lập trình
4.2 Trình biên dịch
4.3 Ứng dụng của Văn phạm phi ngữ cảnh và Automata đẩy xuống với  
trình biên dịch
Chương V: Demo một bài toán
5.1 Bài toán và cơ sở lý thuyết
5.2 Demo ví dụ về sự tương đương giữa BTCQ và NFAε
Sản phẩm:
 Báo cáo chuyên đề;


 Chương trình demo cơ bản.


MỤC LỤC

MỤC LỤC HÌNH

MỤC LỤC BẢNG


LỜI NÓI ĐẦU
Ngôn ngữ là phương tiện để giao tiếp, sự giao tiếp có thể hiểu là giao 
tiếp  giữa  con  người  với  nhau,  giao  tiếp  giữa  người  với  máy,  hay  giao  tiếp 
giữa máy  với máy.  Ngôn ngữ để  con người có thể giao tiếp với nhau được 
gọi là ngôn ngữ tự nhiên, chẳng hạn như tiếng Anh,  tiếng Nga, tiếng Việt… 
là  các  ngôn  ngữ  tự  nhiên.  Các  quy  tắc  cú  pháp  của  ngôn  ngữ  tự  nhiên  nói 
chung  rất  phức  tạp  nhưng  các  yêu  cầu  nghiêm  ngặt  về  ngữ  nghĩa  thì  lại 
thiếu  chặt  chẽ,  chẳng  hạn  cùng  một  từ  hay  cùng  một  câu  ta  có  thể  hiểu 
chúng  theo  những  nghĩa  khác  nhau  tùy  theo  từng  ngữ  cảnh  cụ  thể.  Con 
người  muốn  giao  tiếp  với  máy  tính  tất  nhiên  cũng  thông  qua ngôn ngữ. Để 
có sự giao tiếp giữa người với máy hay giữa máy với nhau, cần phải có một 
ngôn  ngữ  với  các  quy  tắc  cú  pháp  chặt  chẽ  hơn  so  với  các  ngôn  ngữ  tự 
nhiên, nói cách khác,  với  một  từ  hay  một  câu  thì  ngữ  nghĩa  của  chúng  phải 
là  duy  nhất  mà  không  phụ  thuộc  vào  ngữ  cảnh.  Những  ngôn  ngữ  như  thế 
được gọi là  ngôn ngữ hình  thức.  Con người muốn máy  tính  thực  hiện  công 
việc,  phải  viết  các  yêu  cầu  đưa  cho  máy  bằng  ngôn  ngữ  máy  hiểu  được. 
Việc viết các yêu cầu như thế gọi là lập trình.  Ngôn ngữ dùng để lập trình 
được gọi là ngôn  ngữ lập trình.  Các ngôn ngữ lập trình đều là các ngôn ngữ 
hình thức.
Cả  ngôn  ngữ  hình  thức  lẫn  ngôn  ngữ  tự  nhiên  đều  có  thể  xem  như 
những tập các từ,  tức là các xâu hữu hạn các phần tử của một bộ chữ cái cơ 
sở nào đó. Về mặt truyền thống, lý  thuyết ngôn ngữ hình thức liên quan đến 
các  đặc  tả  cú  pháp  của  ngôn  ngữ  nhiều  hơn  là  đến  những  vấn  đề  ngữ 

nghĩa. Một  đặc  tả về cú  pháp của  một ngôn ngữ có hữu hạn từ, ít nhất về 
nguyên tắc, có thể được cho bằng cách liệt kê các từ. Điều đó không thể áp 
dụng  đối  với  các  ngôn  ngữ  có  vô  hạn  từ.  Nhiệm  vụ  chính  của  lý  thuyết 
ngôn ngữ hình thức là nghiên cứu các  cách đặc tả hữu hạn của các ngôn ngữ 
vô hạn.
Lý  thuyết  ngôn  ngữ  hình  thức  và  ôtômat  đóng  một  vai  trò  rất  quan 
trọng  trong các cơ sở toán học của tin học. Ngôn ngữ hình thức được sử dụng 
trong việc  xây  dựng  các  ngôn  ngữ  lập  trình,  lý  thuyết  về  các  chương  trình 
dịch.  Các  ngôn  ngữ hình  thức tạo thành một  công cụ mô tả đối với các mô 
hình  tính  toán  cả  cho  dạng  thông  tin  vào­ra  lẫn  kiểu  thao  tác.  Lý  thuyết 
ngôn  ngữ  hình  thức,  chính  vì  thực  chất  của  nó  là  một  lĩnh  vực  khoa  học 
liên  ngành;  nhu  cầu  mô  tả  hình  thức  văn phạm được phát  sinh  trong nhiều 
ngành khoa học khác nhau từ ngôn ngữ học  đến sinh vật học.
Báo cáo  này  nhằm  trình  bày  về  văn  phạm  hình  thức  và  ôtômat  đẩy 
xuống, là những công cụ sinh ngôn ngữ, đồng thời đề cập đến các tính  chất 
của ngôn ngữ chính  quy, ngôn  ngữ phi  ngữ cảnh, ngôn  ngữ đệ quy và  ngôn 
ngữ đệ quy đếm được. Ngoài ra cũng giới  thiệu sơ lược về trình biên  dịch, 
một phần quan trọng của học phần Chương trình dịch/.
7


Chuyên đề gồm 8 phần chính:
Lời mở đầu: Giới thiệu về chuyên đề
Chương I: Nhập môn về văn phạm và ngôn ngữ hình thức
Chương II: Văn phạm phi ngữ cảnh
Chương III: Automata đẩy xuống
Chương IV: Tổng quan về trình biên dịch
Chương V: Giới thiệu về chương trình Demo
Kết luận: Đưa ra một số đánh giá tổng quan về kết quả nghiên cứu, nêu 
ra hướng phát triển trong thời gian tới.

Tài liệu tham khảo: Đưa ra các tài liệu đã được trích dẫn, tham khảo  
khi thực hiện chuyên đề.

8


CHƯƠNG 1.
1.1.

NHẬP MÔN VỀ VĂN PHẠM VÀ NGÔN NGỮ HÌNH 
THỨC

Khái niệm ngôn ngữ

Các khái niệm cơ bản
Bảng chữ cái
Theo tài liệu [3], tác giả: Phan Đình Diệu, có viết “Một dãy hữu hạn hay 
vô hạn các phần tử, kí hiệu   được gọi là một bảng chữ  cái trong đó mỗi  
phần tử a 
được gọi là một kí hiệu (một chữ cái).”.
Từ đó ta có Định nghĩa I.1.
Định nghĩa I.1
Tập  khác  rỗng  gồm  hữu  hạn  hay  vô  hạn  các  ký  hiệu  được  gọi  là 
bảng chữ  cái.  Mỗi phần tử a
được gọi là một chữ cái hay một ký hiệu.
Thí dụ 1.1:
Dưới đây là các bảng chữ cái:
= {a, b, c, …, x, y, z},
Δ = { ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ,  },
Г = {0, 1},

W = {if, then, else, a, b, c,  d, e, f, +,  ,  , /, =,  }.
Từ
Định nghĩa I.2
Giả sử có bảng chữ cái 
ai2 … ait, với aij
 
 
cái  .

= {a1, a2, …, am}, một dãy các chữ cái α = ai1 

(1 ≤  j ≤ t) được gọi là một từ hay một xâu trên bảng chữ 

Tổng số vị trí của các ký hiệu xuất hiện trong xâu α được gọi là độ dài 
của từ α và ký hiệu là | α |. Như vậy, một từ trên bảng chữ cái  là một xâu 
hữu  hạn  gồm  một  số  lớn  hơn  hay  bằng  không  các  chữ  cái  của  ,  trong  đó 
một chữ cái có thể xuất hiện nhiều lần.
Xâu  không  có  chữ  cái  nào  được  gọi  là  từ  rỗng  và  được  ký  hiệu  là  . 
Rõ  ràng  từ  rỗng  là  từ  thuộc mọi bảng chữ cái. Hai từ  = a1a2…an và  = 
 
b1b2…bm được gọi là bằng nhau, và được ký hiệu là  =  , nếu n =  m và a = 
 
i 
b với mọi i = 1, 2, …, n.
i 
9


Nếu α là một từ trên bảng chữ cái  , và 

Δ thì α cũng là từ trên bảng 
*,
chữ cái Δ. Tập mọi từ trên bảng chữ cái  được ký hiệu là 
 còn tập mọi 
+
+ 
* 
từ  khác  rỗng  trên  bảng  chữ  cái  được ký hiệu là  .  Như vậy 
= 
\ 
*  + 
* 
+ 
{ } và  = 
{ }.  Dễ thấy rằng các tập  và  là vô hạn.
* 
Về cấu trúc đại số thì  là một vị nhóm tự do sinh bởi  với đơn vị là 
+ 
từ rỗng  , còn  là một nửa nhóm tự do sinh bởi  . Có thể chứng minh được 
* 
+ 
rằng các tập  và  là vô hạn đếm được.
Thí dụ 1.2:
Ta có  ,  0,  01,  101, 1010, 110011 là  các  từ  trên  bảng chữ  cái  Г = {0,1}. 
Các xâu  , beautiful, happy, holiday là các từ trên bảng chữ cái  = {a, b, c, …, 
z}.
Ngôn ngữ
Định nghĩa I.3
Cho  bảng  chữ  cái  ,  mỗt  tập  con  L 
hình thức  (hay ngôn ngữ) trên bảng chữ cái  .

* 

được  gọi  là  một  ngôn  ngữ 

Tập rỗng, ký hiệu  , là một ngôn ngữ không gồm một từ nào và được 
gọi là ngôn ngữ rỗng.  Vậy ngôn ngữ rỗng là ngôn ngữ trên mọi bảng chữ cái.
Chú ý rằng ngôn ngữ rỗng: L = 
rỗng: L = { }.

là khác với ngôn ngữ chỉ  gồm một từ 

Thí dụ 1.3: 
* 

là ngôn ngữ  gồm tất cả các từ trên 
cả các từ khác từ trống  trên  .

còn 

+ 

là ngôn ngữ  gồm tất 

 L = {  , 0, 1, 01, 10, 00, 11, 011,100} là một ngôn ngữ trên bảng chữ  cái 
Г = {0, 1}.
 L = {a, b, c, aa, ab, ac, abc} là  ngôn ngữ trên bảng chữ cái 

= {a, b, c}.

n n 
 L = { , a, b, abb, aab, aaa, bbb, abab}, L = {a b | n N} là hai ngôn 
1 
2 
ngữ trên bảng chữ  = {a, b}, L là ngôn ngữ hữu hạn trong khi L là ngôn 
1 
2 
ngữ  vô  hạn.  Mỗi  từ  thuộc  ngôn  ngữ L có số chữ cái a bằng số  chữ cái b 
2 
với a và b không xen kẽ, a nằm ở phía trái và b ở phía phải của từ.
10


Các phép toán trên các từ
Phép nhân ghép
Theo tài liệu [5], tác giả: Nguyễn Văn Định, có viết “Tích  ghép  (hay 
nhân  ghép)  của  hai  từ  α  =  a1a2…a và  từ  =  b1b2…bn trên  bảng  chữ 
m 
 
cái  , là từ  = a1a2…amb1b2…b trên bảng chữ cái  .
n 
Kí hiệu phép nhân ghép là 

= α.

(hay 

= α ).”

Từ đó ta có Định nghĩa I.4.

Định nghĩa I.4
Tích ghép (hay nhân ghép) của hai từ α = a1a2…am và từ  = b1b2…bn 
 
trên  bảng chữ cái  , là từ  = a1a2…amb1b2…bn trên bảng chữ cái  .
 
Kí hiệu phép nhân ghép là 

= α.

(hay 

= α ).

Thí dụ 1.4:
Trên bảng chữ cái W = {if, then, else, a, b, c,  d, e, f, +,  ,  , /, =,  }, ta 
có các  từ  =  if  a+b=c then c d=e và  = else c/d=f, còn α là từ:  if a+b=c 
then c d=e else c/d=f.
Cho  =  {a,  b,  c},  khi  đó:  Từ 
=  abcbcb  chứa  2  vị  trí  của  bcb,  đó 
là  a*bcb*cb  và abc*bcb*,  φ  =  bcb  là  một  từ  con  của  .
Từ 
chứa 
một  vị  trí  của  ký  hiệu  a,  đó  là *a*bcbcb.
Từ  = 010111001 trên bảng chữ cái {0, 1} có độ dài 9, trong đó 0101 là 
tiền tố và 11001 là hậu tố của  .
Phép lấy từ ngược
Theo tài liệu [5], tác giả: Nguyễn Văn Định, có viết “ Giả sử có từ khác 
rỗng 
= a1a2 …am trên bảng chữ cái  , khi đó từ am am­1… a2a1 được gọi là 
 

 
 
 
^
từ ngược (hay từ soi gương) của từ  , và được ký hiệu là  R, hay  .
Khi 

= 

ta quy ước 

R

 

=  .”

Từ đó ta có Định nghĩa I.5.
Định nghĩa I.5

11


Giả sử có từ khác rỗng 

= a1a2 …am trên bảng chữ cái  , khi đó từ am 
 
 
am­1…  a2 a1 được gọi  là  từ  ngược  (hay từ  soi  gương)  của  từ  ,  và  được  ký 
   

,
^
hiệu là  R  hay  .
Khi 

ta quy ước 

= 

 

R

=  .

Thí dụ 1.5: 
Cho các từ α = 100110 và 
nghĩa ta có:

= aabb trên bảng chữ  cái {0,1,a,b}, theo định 

 
 
 
αR = 011001 và (αR)R = (011001)R = 100110 = α.
 

R

 

 
= bbaa và ( R)R = (bbaa)R = aabb =  .

Cho các từ happy và oto trên bảng chữ  cái  = {a, b, c, …x, y, z}, khi đó 
 
 
 
ta có: (happy)R = yppah và (oto)R = oto. Ngoài ra ta có: | (happy)R | = | yppah| = | 
happy | = 3.
Phép chia từ
Là phép toán ngắt bỏ  phần đầu hay phần cuối của một từ.  Ta có các 
định nghĩa sau:
 Phép chia trái của từ α cho từ  (hay thương bên trái của α và  ) cho 
kết quả là phần còn lại của từ α sau khi ngắt bỏ  phần đầu  trong  từ α, và 
được ký hiệu là  \
 Phép chia phải của từ α cho từ  (hay thương bên phải của α và  ) 
cho  kết quả là phần còn lại của từ α sau khi ngắt bỏ  phần cuối  trong 
α
từ α, và được ký hiệu là  /
Các phép toán trên ngôn ngữ.
Các họ ngôn ngữ cụ thể  thường được đặc  trưng một cách tiện lợi qua 
các  phép  toán  xác  định  trên  ngôn  ngữ,  họ  đó  gồm  các  ngôn  ngữ  nhận  được 
bằng việc tổ  hợp  từ một  số ngôn  ngữ  cho  trước  bởi  một  số  phép  toán  nào 
đó. Vì mỗi ngôn ngữ là một tập hợp nên ta có các phép toán  đại số tập hợp 
như là phép giao, phép hợp, phép hiệu, phép lấy bù trên các ngôn ngữ. Chẳng 
hạn, với L và L là hai ngôn ngữ trên bảng chữ cái  thì ta cũng có các ngôn 
1 
2 
* 
ngữ mới sau đây  trên bảng chữ cái  : L

L , L
L , L .L ,  \ L .
1 
2 1 
2 1 2
1
Phép hợp
12


Theo tài liệu [9], tác giả: Nguyễn Quốc Thắng – Nguyễn Lâm Tùng, 
có viết “Tập các từ {x | x
L1 hoặc x
L2 } được gọi là hợp của hai ngôn  
 
 
ngữ L1 và L2, ký hiệu L1 L2.”.
Từ đó ta có Định nghĩa I.6.
Định nghĩa I.6
Hợp của hai ngôn ngữ L và L trên bảng chữ cái  , ký hiệu L
1 
2 
1
là một  ngôn ngữ trên bảng chũ cái  , đó là tập từ:
L = {

* | 

L hoặc 
1 

L , 
2

L }
2 

Định  nghĩa  phép  hợp  có  thể  mở  rộng  cho  một  số  hữu  hạn  các  ngôn 
ngữ,  tức  là  hợp  của  các  ngôn ngữ L , L , …, L trên bảng chữ  cái  , là tập 
1 2
n 
từ:
 và 

13


Phép giao
Định nghĩa I.7
Giao của hai ngôn ngữ L và L trên bảng chữ cái  , ký hiệu L ∩ L  là 
1 
2 
1
2,
một  ngôn ngữ trên bảng chữ cái  , đó là tập từ:
L = {

* | 

L và 

1 

L }
2 

Định  nghĩa  phép  giao  có  thể  mở  rộng  cho  một  số  hữu  hạn  các  ngôn 
ngữ,  tức  là giao  của các  ngôn ngữ L , L , …, L trên bảng chữ  cái  , là tập 
1 2
n 
từ:
 {

* | 

L  với mọi i, 1 ≤ i ≤ n }
i,

Phép lấy phần bù
Định nghĩa I.8
Ngôn  ngữ  phần  bù  của  ngôn  ngữ  L  trên  bảng  chữ  cái  ,  ký  hiệu  C L 
(hay  đơn  giản  là  CL, nếu  không  gây nhầm  lẫn), là một ngôn ngữ  trên  bảng 
chữ cái  , đó là tập từ:  C L = {
* | 
L }.
Thí dụ 1.6:
Cho ngôn ngữ L = { , 0, 01}, L = { , 01, 10} trên bảng chữ cái 
1 
2 
1}, khi đó ta có:  L
L = { , 0, 01, 10}, L ∩ L = { , 01}.

1
2 
1 
2 
Cho ngôn ngữ  L  = {
*,  với | 
+,
C L = {
 với |  | là một số lẻ}.

= {0, 

| là một số  chẵn },  khi đó ta có: 

Phép nhân ghép
Định nghĩa I.9
Cho  hai  ngôn  ngữ  L trên  bảng  chữ 
và  L trên  bảng  chữ  .  Nhân 
1 
1 
2 
2
ghép  hay tích của hai ngôn ngữ L và L là một ngôn ngữ trên bảng chữ 
1 
2 
1 
, ký hiệu L L ,  đuợc xác định bởi: L L = {
|  L và  L }.
2
1 2

1 2 
1 
2
Thí dụ 1.7:
Đây là một phản ví dụ để chỉ ra rằng phép nhân ghép không có tính phân 
phối đối  với phép giao.  Phép hợp, phép giao không có tính phân phối đối với 
14


phép nhân ghép. Xét các ngôn ngữ  L = {0, 01}, L = {01, 10}, L = {0} trên 
1 
2 
3 
bảng chữ cái  = {0, 1}.
Có thể kiểm tra được rằng phép nhân ghép không có tính phân phối đối 
với phép giao: Ta có: L
L =  , do đó: L (L
L ) =  ,
2 
3 
1 2 
3
Mặt khác, ta có L L = {001, 010, 0101, 0110} và L L = {00, 010}, do 
1 2 
1 3 
đó: (L L )  (L L ) = {010}. Vậy L (L
L )  (L L )  (L L ), tức là 
1 2
1 3
1 2 

3
1 2
1 3
phép nhân ghép không có tính phân phối đối với  phép giao.
Kiểm tra tính phân phối của phép hợp, phép giao đối với phép nhân ghép: 
Ta có: L L = {010, 100}, do đó: L
(L L ) = {0, 01, 010, 100},
2 3 
1 
2 3
Mặt khác ta cũng có L

L = {0, 01, 10} và L
L = {0, 01}, do đó: 
1 
2 
1 
3 
(L
L )(L
L )  = {00,  001, 010, 0101, 100,  1001}.  Vậy  L
(L L ) 
1 
2 1 
3
1 
2 3
(L
L )(L
L ),  tức  là  phép  hợp  không  có  tính  phân  phối  đối  với 

1 
2 1 
3
phép nhân ghép. Tương tự, đối với phép giao, ta có:  L L = {010, 100}, do đó: 
2 3 
L
(L L ) =  .
1 
2 3
Mặt khác L

L = {01}, L
L = {0}, do đó: (L
L )(L
L ) 
2 
1 
3 
1 
2 1 
3
= {010}. Vậy L
(L L )  (L
L )(L
L ). Tức là phép giao không 
1 
2 3
1 
2 1 
3

có tính phân phối đối với  phép nhân ghép. Vì phép ghép ngôn ngữ có tính kết 
n 
hợp  nên  ký  hiệu  L được  dùng  với  mọi  ngôn  ngữ  L  và  số  tự nhiên n theo 
nghĩa quen thuộc sau:
1 

Phép lặp
Định nghĩa I.10
Cho ngôn ngữ L trên bảng chữ cái  , khi đó:
 Tập từ  được gọi là ngôn ngữ  lặp cắt của ngôn ngữ  L, ký hiệu là L *. 
Vậy ngôn ngữ lặp của L là tập hợp lũy thừa của L: 
L*=
 Tập từ   được gọi là ngôn ngữ  lặp cắt của ngôn ngữ  L, ký hiệu là L +, 
Vậy ngôn ngữ lặp cắt của L là hợp của mọi lũy thừa dương của L: L+= 
15


Thí dụ 1.8:
+ Xét ngôn ngữ L = {0, 1} trên bảng chữ 

= {0, 1}. Ta có:

2 
L = {00, 01, 10, 11}, tập hợp các xâu nhị phân độ dài 2;
3 
L = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}, tập hợp các xâu nhị  phân độ 
n 
* 
dài 3.  Tương tự, L là tập hợp các xâu nhị phân độ dài n. Vì vậy, L là tập 
hợp tất cả các xâu nhị phân.

+ Xét hai ngôn ngữ trên bảng chữ 
2n 
L = {a | n 
1 

= {a}:

1},

5n+3 
L = {a
| n 
2 

0}.

2 +
5 * 3
Khi đó, ta có L = {a } , L = {a } {a }.
1 
2 
Phép lấy ngôn ngữ ngược
Định nghĩa I.11
Cho  ngôn  ngữ  L  trên  bảng  chữ  cái  ,  khi  đó  ngôn  ngữ  ngược  của  L  là 
R 
^
một ngôn ngữ trên bảng chữ cái  , được ký hiệu là L hay L , là tập từ:
R 
L = {

R 

* / 

L}

Thí dụ 1.9:
Cho L = { , ab, abc, cbaa} là một ngôn ngữ  trên bảng chữ cái 
R 
c}, khi đó L = { , ba, cba, aabc} là ngôn ngữ ngược của L.

= {a, b, 

Phép chia ngôn ngữ
Định nghĩa I.12
Cho  ngôn  ngữ  X  và  Y trên  bảng  chữ  cái  ,  khi  đó  thương  bên  trái  của 
X, 
ngôn  ngữ X cho ngôn ngữ Y là một ngôn ngữ  trên  , được ký hiệu là  \ 
Y 
là tập từ:
X 

Y 

\ 

= {z 

* / x 

X, y 

Y mà x = yz}

Cho ngôn ngữ X và Y trên bảng chữ cái  , khi đó thương bên phải của ngôn 
16


ngữ X cho ngôn ngữ Y là một ngôn ngữ trên  , được ký hiệu là 
X 

/ 

Y 

1.2.

= {z 

* / x 

X, y 

X 

/  là tập từ:
Y,

Y mà x = zy}

Văn phạm và ngôn ngữ sinh bởi văn phạm

Ta có thể hình dung một văn phạm như một “thiết bị tự động” mà nó có 
khả năng sinh  ra  một  tập  hợp  các từ  trên  một  bảng  chữ  cái  cho trước. Mỗi 
từ  được  sinh  ra  sau  một  số  hữu  hạn  bước thực  hiện  các  quy  tắc  của  văn 
phạm.
Việc  xác  định  một  ngôn  ngữ  trên  bảng  chữ  cái  cho  trước  có  thể  được 
thực hiện bằng  một trong các cách thức sau:
 Cách  1.  Đối  với  mỗi  từ  thuộc  ngôn  ngữ  đã  cho,  ta  có  thể  chọn  một 
quy cách hoạt động của  “thiết bị tự động” để sau một số hữu hạn bước làm 
việc nó dừng và sinh ra chính từ đó.
 Cách 2.  “Thiết bị  tự động” có khả năng lần lượt sinh ra tất cả các từ 
trong ngôn ngữ đã cho.
 Cách 3. Với mỗi từ  cho trước, “thiết bị tự động” có thể cho biết từ 
đó có thuộc ngôn ngữ  đã cho hay không.
Trong  lý  thuyết  văn  phạm,  người  ta  đã  chứng  minh  được  rằng  ba 
cách  thức  trên  là  tương  đương  nhau  hay  văn  phạm  làm  việc  theo  các  cách 
trên là tương đương nhau. Vì vậy, ở đây ta  quan tâm đến cách thứ nhất, tức 
là ta xét văn phạm như là một “thiết bị tự động” sinh ra các  từ. Vì lẽ đó mà 
người ta còn gọi các “thiết bị tự động” đó là văn phạm sinh.
Định nghĩa văn phạm
Theo tài liệu [2], tác giả: Trần Văn Lộc, có viết: “Văn phạm G là  1 bộ 
sắp thứ tự gồm 4 thành phần: G = <  , , S, P >…”
Từ đó ta có Định nghĩa I.13.
Định nghĩa I.13
Văn phạm G là 1 bộ sắp thứ tự gồm 4 thành phần: G = <  , , S, P >, 
trong đó:

là một bảng chữ cái, gọi là bảng chữ cái cơ bản (hay bảng chữ cái 
kết thúc), mỗi phần tử  của nó được gọi là một ký hiệu kết thúc hay ký hiệu 

cơ bản;

là một bảng chữ cái, 
=  , gọi là bảng ký hiệu phụ (hay 
báng  chữ  cái  không  kết  thúc),  mỗi  phần  tử  của  nó  được  gọi  là  một  ký 
hiệu không kết thúc hay ký hiệu phụ.
17


 S 

được gọi là ký hiệu xuất phát hay tiên đề;

 P là  tập hợp  các  quy  tắc sinh  có dạng 

, 

được  gọi  là  vế  phải  của  quy  tắc  này,  với  , 
chứa ít nhất một ký hiệu không kết thúc.
P = {

| 

= α’Aα’’, với A 

được  gọi  là vế trái và 
* 
(
) và  trong 

Δ, α’, α’’, 

(

)

* 

}

Chẳng hạn, với  = {0,1},  = {S, A, B} thì các quy tắc S  0S1A, 
0AB  1A1B, A    ,… là các quy tắc hợp lệ vì vế trái luôn chứa ít nhất 
1 ký hiệu phụ thuộc .  Nhưng  các quy tắc dạng  0  A, 01  0B,… là 
các quy tắc không hợp lệ.
Thí dụ 1.10:
Các bộ bốn sau là các văn phạm:
G = <{0,1},{S},S,{S 0S1,S
1 

}>,

G = <{a, b}, {S, A}, S, {S Ab, A aAb, A
2 

}>,

G = <{a, b, c}, {S, A, B, C}, S, {S ABC, A aA, B bB, C cC, A a, 
3 
B b, C c}>
Chú ý: Nếu các quy tắc có vế trái giống nhau có thể viết gọn lại: hai quy 

tắc 
, 
có  thể  được viết là 
|  .  Chẳng hạn, như trong văn 
phạm G ở thí dụ 1.10, ta có thể viết hai  quy tắc của nó dưới dạng S 0S1 | 
1 
.
Ngôn ngữ sinh bởi văn phạm
Định nghĩa I.14
Cho văn phạm G = <  , , S, P > và  , 
G 
dẫn trực tiếp từ  trong G, ký hiệu  ├
không  sợ  nhầm  lẫn),  nếu  tồn  tại  quy  tắc 
cho  = 
,  = 
.
Điều này có nghĩa là nếu  nhận vế trái 
con thì ta thay  bằng  để được từ mới  .

(

*
) . Ta nói    được suy 

hay ngắn gọn là  ├ 
P  và  , 
của quy tắc 

(

(nếu 
* 
) sao 

như là từ 

*
Cho văn phạm G = <  , , S, P > và  , 
(
) . Ta nói    được 
G 
suy dẫn từ  trong G, ký hiệu  ╞
hay ngắn gọn là  ╞  (nếu không 
18


sợ  nhầm  lẫn),  nếu 
k

(

*
)  sao cho 

= 
0 

hoặc  tồn  tại  một  dãy  D  = 

=  , 

k 

= 

và 

i­1

├ 

i

, 
0

,…, 
1

, với i = 1, 2,..., k.

,  , …, 
được gọi là một dẫn xuất của  từ  trong G 
0 1
k 
và số k được gọi  là độ dài của dẫn xuất này.  Nếu 
= S và 
* thì dãy 
0 
k 

D gọi là dẫn xuất đầy đủ.
Dãy D = 

Nếu 

được suy dẫn trực tiếp từ 
bằng việc áp dụng một quy tắc 
i 
i­1 
p nào đó trong G  thì ta nói quy tắc p được áp dụng ở bước thứ i.
Cho  văn  phạm  G  =  <  ,  , S,  P  >.  Từ 
*  được  gọi  là  sinh  bởi  văn 
phạm G nếu tồn tại suy dẫn S╞  . Ngôn ngữ sinh bởi văn phạm G, ký hiệu 
L(G), là tập hợp  tất cả các từ sinh bởi văn phạm G:
L(G) = {

* 

G 
| S ╞
}.

Hai  văn  phạm  G =  <  ,  , S ,  P >  và  G =  <  ,  , S ,P > 
1 
1 1
1 1 
2 
2 2
2 2 
được gọi là tương đương nếu L(G ) = L(G ).

1
2
Thí dụ 1.11:
Xét  văn  phạm  G trong  thí  dụ  1.11  Từ  =  00001111  được  suy  dẫn  từ 
1 
S  bằng  dãy  dẫn  xuất  độ  dài  5:  S├  0S1├  00S11├  000S111├  0000S1111  ├ 
4 4
00001111  (có  thể  viết  ngắn  gọn là  = 0 1 ). Bằng việc sử dụng n lần (n 
n n
n n 
0) quy tắc 1 rồi quy tắc 2, ta có: S╞ 0 1 . Do đó L(G ) = {0 1 | n  0}.
1
Xét văn phạm G trong thí dụ 1.10 Sử dụng quy tắc 1, rồi n lần (n 
2 
n n
n n+1
quy tắc 2, sau đó quy tắc 3 để kết thúc, ta có: S├ Ab╞ a Ab b├ a b
.
n n+1 
Do đó L(G ) = {a b
| n 
2

0) 

0}.

Dễ  dàng thấy rằng: L(G ) = {tôi ăn cơm, anh ăn cơm, chị  ăn cơm, tôi ăn 
4
phở, anh ăn phở,  chị  ăn  phở,  tôi  uống  sữa,  anh  uống  sữa,  chị  uống  sữa,  tôi 

uống café, anh uống café, chị  uống café}.
Ta  có  thể  biểu  diễn  việc  dẫn  xuất  từ  <câu>  đến  một  từ  trong  L(G ), 
4
chẳng  hạn  “tôi  ăn  cơm”  bằng  một  cây  gọi  là  cây  dẫn  xuất  hay  cây  phân 
tích cú pháp như dưới đây. Tất nhiên, theo  quan điểm phân tích cú pháp thực 
19


tế, việc xem xét các quy tắc theo hướng ngược lại là từ  phải  qua  trái.  Điều 
đó  có  nghĩa  là  cây  dưới  đây  được  xử  lý  từ  dưới  lên  trên  chứ  không  phải  là 
từ trên xuống dưới. (Hình 1.1).

Hình 1. Cây dẫn xuất cho ví dụ
Phân loại văn phạm theo Chomsky
Theo tài liệu [8], tác giả: Trần Văn Ban, có viết “ Trong định nghĩa của  
văn phạm G = (VN,  , P, S); VN là tập các biến,   là tập chữ cái và S  VN. Để 
tiện lợi cho việc nghiên cứu và khảo sát các ngôn ngữ  được sinh ra bởi văn  
phạm, chúng ta tìm cách phân loại chúng. Muốn phân loại được các ngôn  
ngữ, chúng ta phải dựa vào các dạng khác nhau của các qui tắc dẫn xuất.  
Chomsky đã chia các qui tắc dẫn xuất của văn phạm G thành bốn loại …”
Dựa vào đặc điểm của tập quy tắc mà người ta chia các văn phạm thành 
các  nhóm  khác  nhau.  Noam  Chomsky  (Institute
 
       Professor ,   Massachusetts   
 Institute      of      Technology .  Born   December      7 ,  1928  Philadelphia, Pennsylvania, 
USA) đã phân loại văn phạm thành bốn nhóm:
 Nhóm 0:  Văn phạm không hạn chế (hay văn phạm ngữ cấu, văn phạm 
tổng quát),
 Nhóm 1:  Văn phạm cảm ngữ cảnh,
 Nhóm 2:  Văn phạm phi ngữ cảnh,

 Nhóm 3:  Văn phạm chính quy.
Dưới đây là các định nghĩa cho các nhóm văn phạm nói trên.
Định nghĩa I.15
Văn phạm G = <  , , S, P > mà không có một ràng buộc nào đối  với 
các quy tắc của nó được gọi là văn phạm tổng quát  hay văn phạm không 
hạn chế.
Như  vậy,  các  quy  tắc  trong  văn  phạm  nhóm  0  có  dạng: 
20

,  với 

= 


*
α’Aα’’, A  Δ, α’, α’’, 
(
) .Các quy tắc của văn phạm nhóm 0 
được gọi là quy tắc không hạn  chế.  Ngôn ngữ do văn phạm nhóm 0 sinh ra 
được gọi là ngôn ngữ tổng quát.
Văn  phạm  G  =  <  ,  ,  S,  P  >  mà  các  quy  tắc  của  nó  đều  có  dạng: 
*
,  với  = α’Aα’’, A  Δ, α’, α’’, 
(
) , và |  | ≤ |  |, được 
gọi là văn phạm nhóm 1hay  văn phạm cảm ngữ cảnh.
Các  quy  tắc  trong  văn  phạm  nhóm  1  được  gọi  là  quy  tắc  cảm  ngữ 
cảnh. Ngôn  ngữ  do  văn  phạm cảm  ngữ cảnh sinh ra được gọi là  ngôn ngữ 
cảm ngữ cảnh.
Các  văn  phạm  mà  các  quy  tắc  của  chúng  có  dạng  trên,  đồng  thời  chứa 

thêm quy  tắc  rỗng  S , cũng được xếp vào lớp văn phạm nhóm 1.
Thí dụ 1.12:
Cho văn phạm:  G =  <{1},  {S, A, B}, S,  P >, với P =  {S
1 
1 
1 

,  S 1A, 

2n 
A 1B, B 1A,  A 1}. Khi đó, G là văn phạm chính quy và L(G ) = {1 | n 
1 
1
2n
2n
0}.  Thật vậy, sử dụng  quy tắc 1,  ta  có  S├  1 ,  ( =  1 ,  với  n  =  0),  sử 
dụng quy tắc 2, rồi n­1 lần (n  1) liên tiếp cặp quy  tắc 3 và 4, cuối cùng là 
quy tắc 5, ta có:
S├ 1A ├ 11B ├ 111A ├ … ╞ 1(1

21

2n­2

2n­2
2n
)A ├ 1(1
)1 = 1 .

1.3.

Một số tính chất của ngôn ngữ

Một số tính chất của văn phạm và dẫn xuất
Định lý I.1
Với mọi văn phạm G = <  , , S, P >, luôn tồn tại một văn phạm G’ = 
<  ’, ’, S’, P’ > tương đương với văn phạm G, tức là L(G) = L(G’).
Chứng minh:
Giả sử có văn phạm G = <  , , S, P >, ta xây dựng văn phạm G’ = < 
’, ’, S’, P’  >, trong đó:
’ =  , và với mỗi a 
,  ta bổ xung  một  ký hiệu   
gọi là đối ngẫu của  a, đặt Г  = {  |  a 
}
’ = 

và 

Г

S’ = S
P ,  với  P =  {   
a  |  a 
},  P =  {
| 
1 
2
1 
2 

P},  và 
là  các  xâu  và  đã  được  thay  các  ký  hiệu  thuộc 
bằng các ký hiệu đối ngẫu của nó. Dễ thấy rằng L(G) = L(G’), thật vậy ta 
sẽ chứng minh hai bao hàm thức:
P’  =  P

a./  Chứng  minh  L(G) 

L(G’):  Lấy  bất  kỳ 

L(G),  khi  đó  ta  có 
G
G 
G 
S╞ , tức là ta có một dãy  suy  dẫn  trực  tiếp  trong  G:  S  =  ├
├ … 
0
1
G 
├
=  ,  với  dãy  suy  dẫn  này,  ta  thay  mọi  quy tắc trong các suy dẫn 
k 
i 
G 
├
, ( 0 ≤ i ≤ k­1), bởi các quy tắc tương ứng trong P và P ,  ta  nhận 
i+1
1 
2
G’ 

G’
G’ 
được  dãy  các  suy  dẫn  trong  G’:  S  =  ’ ├
’ ├ …  ├
’ =  ,  do 
0
1 
m 
G’
đó  ta  có S╞
, tức là 
L(G’).  Vậy L(G)  L(G’).
b./  Chứng  minh  L(G’)   L(G):  Lấy  bất  kỳ 
L(G’),   khi  đó   ta  có 
G’
G’ 
G’ 
G’ 
S╞
, tức là ta có một dãy  suy dẫn trong G’: S =  ’ ├
’ ├ … ├
0
1 
G’ 
’ =  , trong các suy dẫn  ├
, ( 0 ≤ i ≤  k­1),  ta  thay  mọi  kí  hiệu  a 
k 
i
i+1
Г  bởi  các  ký  hiệu  tương  ứng  a 

,  khi  đó  mọi  quy  tắc  đều thuộc P, 
1
G 
G 
G 
ta nhận được dãy các suy dẫn trưc tiếp trong G: S =  ├
├ … ├
0
1
k 
22


=  , ta có  S╞

G

, tức là 

L(G). Vậy L(G’) 

L(G).

Định lý I.2 (Hợp thành các suy dẫn)
Cho hệ  viết lai  W=(V, P)  và cho  u1,…, un, v1,…, vn  là các xâu trong  V*. 
Bây giờ nếu u1*v1,…, un*vn, thì ta có u1…un *v1…vn.
Ta thừa nhận định lý trên (không cần chứng minh).
Tính đóng của lớp ngôn ngữ sinh bởi văn phạm
Định lý I.3
Lớp  ngôn  ngữ  sinh  bởi  văn  phạm  là  đóng  đối  với  phép  hợp  ( ),  phép 

giao (∩) và  phép nhân ghép ngôn ngữ (.)
Chứng minh:
Trước  hết,  ta  sẽ  chứng  minh  lớp  ngôn  ngữ  sinh  bởi  văn  phạm  là  đóng 
đối  với  phép  hợp,  việc  chứng  minh  tính  đóng  của  lớp  ngôn  ngữ  sinh  bởi 
văn  phạm  đối  với  các  phép  giao  và  phép  nhân ngôn ngữ là hoàn toàn tương 
tự.
Giả sử L , L là các ngôn ngữ được sinh bởi văn phạm G = < ,  , 
1 2 
1
1 1
S , P >, G = < ,  , S , P >, tức là L = L(G ), L = L(G ). Ta chứng 
1 1
2 
2 2 2 2
1 
1
2 
2
minh tồn tại văn phạm G sao cho  L(G) = L
L .
1
2
Xây dựng văn phạm G sinh ra ngôn ngữ L

1

L như sau: G = < , , 
2 

S, P>, với:

= 

1

Δ =  Δ
P = P

2
{S}

1 2 

1

P

2 

{S S , S S }
1
2

Ta sẽ chứng  minh L(G) = L
1
thức:
a./  Chứng  minh  L(G) 

L
1

L bằng cách chứng  minh hai bao  hàm 
2 

L :  Giả  sử 
2
G 
một suy dẫn trong văn  phạm G: S ╞
, trong đó 

L(G),  khi  đó  tồn  tại 
* = (

)*. Do 

1
2
cách xây dựng tập quy tắc P, nên trong suy dẫn S╞  , có hai khả năng:

23


G 
G1 
 hoặc S├ S ╞
, vậy 
1
do đó 
L(G ).  (a)
1
G 

G2 
 hoặc S├ S ╞
, vậy 
2
do đó 
L(G ).  (b)
2
Từ (a) và (b), ta thấy 
b./ Chứng minh L
hai khả năng: 

L
1

L

1

là kết quả của suy dẫn S ╞ 
1

trong G , 
1

là kết quả của suy dẫn S ╞ 
2

trong G , 
2

L , hay L(G) 
2

L(G): Giả sử 

2 
L hoặc 
1 

L
L

1

1

L

2

L , khi đó ta cũng có 
2

L :
2 

G1 
L = L(G ), khi đó ta có suy dẫn S ╞
trong G , do đó 
1 

1
1
1
G 
G1 
ta cũng có suy dẫn S ├ S ╞
là một suy dẫn trong G (vì theo cách xây 
1 
dựng G, mọi quy tắc và mọi ký hiệu trong  G cũng đều thuộc G), như vậy 
1 
L(G).
 Nếu 

G2 
L = L(G ), khi đó ta có suy dẫn S ╞
trong G , do đó 
2 
2
2
2
G 
G2 
ta cũng có suy dẫn S ├ S ╞
là một suy dẫn trong G (vì theo cách xây 
2 
dựng G, mọi quy tắc và mọi ký hiệu trong  G cũng đều thuộc G), như vậy 
2 
L(G).
 Nếu 

Vậy  ta  luôn  luôn  có  

L(G),  do  đó:  L L
1 2 
chứng minh được rằng L(G) = L
L .
1
2

L(G).  Tức  là  ta  đã 

Tương  tự,  để  chứng  minh  tính  đóng  của  lớp  ngôn  ngữ  sinh  bởi  văn 
phạm đối với phép nhân  ghép ngôn ngữ, ta xây dựng văn phạm G = < , , 
S, P> sao cho L(G) = L(G ). L(G ) như  sau:
1
2
= 

1

Δ =  Δ
P = P
24

1

2

1 2 
P

2 

{S}
{S S S }.  Khi đó L(G) = L(G ).L(G )
1 2
1
2


Để  chứng  minh  tính  đóng  của  lớp  ngôn  ngữ  sinh  bởi  văn  phạm  đối 
với  phép  giao,  ta  xây  dựng  văn  phạm  G  =  < ,  ,  S,  P>  sao  cho  L(G)  = 
L(G )  L(G ) như sau:
1
2
= 

1 

Δ = Δ
1 2 

2
Г
1 

Г
{S}
2 

Trong đó: Г = {  | a 
} là tập các ký hiệu đối ngẫu của các ký hiệu 
1 
1
trong , còn Г2= { | b } là tập các ký hiệu đối ngẫu của .
P =  { S  } 
Trong đó  là tập hợp các quy tắc nhận được từ  , mà mọi ký hiệu a đều 
được thay đổi bởi ký hiệu đối ngẫu tương ứng của nó 

25