Bồi dưỡng HSGT6 Kĩ thuật chặn

Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải
Chuyên đề: Kĩ thuật chặn để giải bài tập số học 6
I.Các ví dụ hình thành ph ơng pháp
Ví dụ 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho
a. 2
x
+ 5y = 21
b. 7
x
+ 12
y
= 50
Giải :
a. Vì 2
x
1 nên 5y 20 vậy y 4 . Ta có bảng lựa chọn sau :
y 0 1 2 3 4
5y 0 5 10 15 20
2
x
21 16 11 6 1
x không có 4 không có không có 0
Đáp số : Nếu x = 4 thì y = 1 ; Nếu x = 0 thì y = 4
b. Vì nếu y 2 thì 12
y
12
2
> 50 . Vậy y < 2 y = 0 hoặc y = 1
Nếu y = 0 thì 12
0
= 1 nên 7

x
= 49 x = 2
Nếu y = 1 thì 12
1
= 12 nên 7
x
= 38 loại
Đáp số x = 2 và y = 0
Nhận xét : Câu này ta đã chặn theo các giá trị của y , tuy nhiên ta cũng có thể chặn
theo các giá trị của x nh sau : Vì 2
5
= 32 > 21 nên x

4

x
{
0 , 1 , 2 , 3 , 4
}
và
lập bảng lựa chọn để giải tiếp
Ví dụ 2 : Tìm số biết
5.3x yz
= 7850
Giải :
Ta thấy nếu x 3 thì
5.3x yz
35.300 = 10500 > 7850 . Vậy x < 3
Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì
5.3x yz

15. 399 = 5985 < 7850 .
Nh vậy 1 < x < 3 nên x = 2 . thay vào đề bài ta có 25. = 7850 nên
3yz
= 7850 : 25 = 314 = 14 . Vậy
xyz
= 214
Nhận xét : ở đây ta đã chặn theo các giá trị của x . Ta cũng có thể chặn nh sau:
5.3x yz
= 7850 =
7580 7580
26
300
3yz

. Vậy x = 2 hoặc x = 1.Đến đây việc giải tiếp
dễ dàng . Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z vì nếu nh có
làm đợc thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn
Ví dụ 3: Tìm các số nguyên x , y biết | 5x 2 | 13
Giải :
Nếu x 4 thì | 5x 2 | | 5.4 2 | = | 18 | = 18 > 13 , vậy x 3
Nếu x - 3 thì | 5x 2 | | 5.( - 3) 2 | = | 17 | = 17 > 13 . vậy x - 2
Vậy : - 2 x 3 x { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }. Thử lại ,ta có bảng sau :
x - 2 - 1 0 1 2 3
| 5x 2 | | 12 | | 7 | | 2 | | 3 | | 8 | | 13 |
2008 - 2009 Page 1
Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải
Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn . Vậy bài toán có các đáp số nh trên
Ví dụ 4 : Tìm ba số tự nhiên a , b , c biết a + b + c = abc và a > b > c > 0
Giải :
Vì a > b > c nên a + b + c < a + a + a = 3a , mà a + b + c = abc abc < 3a hay bc <

3 . Vậy bc { 1 ; 2 } do abc 0 . lại vì b > c nên b = 2 và c = 1.
Thay vào bài ta có a + 2+ 1 = 2a a = 3 .
Đáp số : a = 3 ; b = 2 ; c = 1
Nhận xét : ở ví dụ này ta không thể chặn a trực tiếp bằng một số cụ thể nào mà chỉ
sử dụng tính chất : là số lớn nhất của nó . Bạn đọc tự xét xem tại sao không nên
chặn theo b hoặc theo c . Để biết thêm thế mạnh của cách chặn này ta xét ví dụ 4
sau đây
Ví dụ 5 : Tìm biết
y
xx xyyx
=
Giải :
Ta thấy y > 1 vì nếu y = 1 thì = vô lý . Vậy y 2 .
Ta lại thấy y < 4 vì nếu y 4 thì > 10
4
= 10000 > . Vậy y { 2 ; 3 }
Nếu y = 2 ta có = x
2
.121 = x.1001 + 220 = x.11.91 + 11.20 = 11(x.91
+ 20)
Vậy x
2
.11 = x.91 + 20 x
2
.11 91x = 20 x.( x.11 91 ) = 20
x.11 > 91 > 91 . Vậy x= 9 . Thử vào 99
2
= 9801 loại
Nếu y = 3 ta có = . Nếu x 2 thì 22 = 10648 có 5 chữ số. vậy x = 1 .
Thử vào bài 11 = 1331 hợp lý . Đáp số =13

Ta cũng có thể giải nh sau : ta có =

x
3
.11
3
= x.1001 + 330 = x.11.91 +
11.30 = 11( x.91 + 30 )
Vậy x
3
. 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 30x)

30 30x 121

30(1 x) 121
mà ( 30 ; 121 ) = 1 nên 1 x 121 , do x là chữ số nên 1 x = 0 hay x = 1.Thử vào
bài ta có 11
3
= 1331 hợp lý . Vậy x = 1 và y =3 . Đáp số =13
Nhận xét : Ta cũng có thể chặn nh sau : Vì 9999 < 10000 = 10
4
. Vậy < 10
4

< nên y < 4 . Mặt khác
y
xx
> 99
1
vì = có 4 chữ số Vậy y 2 . Vậy y { 2 ; 3 }.

Phần còn lại giải nh trên .
Ví dụ 6 : Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 249
Giải :
Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249
2008 - 2009 Page 2
Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải
Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì n + s(n) 99 + 9 +
9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số.
Đặt n = thì ta có :
abc
+ a + b + c = 249
Vì a + b + c 27 nên 200 < < 249 a = 2 , Thay vào bài ta đợc :
+ 2 + b + c = 249 200 +
bc
+ 2 + b + c = 249
+ b + c = 249 202

bc
+ b + c = 47 . Vậy b 4 . Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên nhỏ nhất là 47
18 = 29 vậy b 2 . Ta có 2 b 4 b { 2 ; 3 ; 4 }
Nếu b = 2 ta có + 2 + c = 47 22 + 2c = 47 2c = 25 ( loại )
Nếu b = 3 ta có
3c
+ 3 + c = 47 33 + 2c = 47 2c = 14 c = 7
Nếu b = 4 ta có
4c
+ 4 + c = 47 44 + 2c = 47 2c = 3 ( loại )
Đáp số : số phải tìm là 237
Ví dụ 7 : Tìm các số nguyên x và y biết : 2|x| + 3|y| = 5
Giải :

Nếu y = 0 , ta có 2|x| = 5 |x| = 2,5 vô lý vì x Z
Xét y 0 thì 3|y| 3 nên 2|x| 2 |x| 1. Vậy |x| { 0 ;1 }
Với |x| = 0 thì 3|y| = 5 |y| = 5/3 vô lý vì y Z
Với |x| = 1 x { 1 } khi đó |y| = 1 và y { 1 } . Thử vào đề bài ta đợc
các đáp số là : ; ; ;
Ví dụ 8 : Tìm số tự nhiên biết = 4321
Giải :
abcd abc ab a
+ + +
= 4321 = 4321
Ta thấy a < 4 , vì nếu a 4 thì 4444 + > 4321
và a > 2 vì nếu a 2 thì 2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321
Vậy a = 3 khi đó ta có
bbb cc d
+ +
= 4321 3333 = 988 .
Ta thấy b < 9 vì nếu b = 9 thì = 999 > 988 cha kể . lại thấy b > 7 vì nếu b 7
thì 777 + 99 + 9 = 885 < 988 . vậy b = 8 . Khi đó = 100 điều này chỉ có thể ở
trờng hợp 100 = 99 + 1 , vậy c = 9 và d = 1
Đáp số = 3891
Ví dụ 9 : Tìm các số nguyên dơng x , y thỏa mãn
1 1 1
3x y
+ =
và x y
Giải :
2008 - 2009 Page 3
Båi dìng HSG to¸n 6 T¹ Ph¹m H¶i
V× x ≥ y > 0 khi ®ã ≤ vµ
1 1 1 1 2

x y y y y
+ ≤ + =
. VËy ≥ = ⇒ y ≤ 6
L¹i v× > 0 nªn < vËy y > 3 , hay y ≥ 4 . VËy ta cã 4 ≤ y ≤ 6
• NÕu y = 4 ta cã + = + = ⇔ = ⇔ x = 12
• NÕu y = 5 ta cã + = + = ⇔ = - = lo¹i v× x ∉ Z
• NÕu y = 6 ta cã + = + = ⇔ = ⇔ x = 6
Bµi to¸n cã 2 ®¸p sè lµ ( x ; y) = ( 12 ; 4 ) vµ ( x ; y) = ( 6 ; 6 )
VÝ dô 10 : T×m sè biÕt
1 1 1
d
a b c
+ + =
víi a > b > c
Gi¶i :
V× a > b > c > 0 nªn c ≥ 1 ; b ≥ 2 ; a ≥ 3 khi ®ã ta cã
1 1 1 1 1 1 11
2
3 2 1 6a b c
+ + < + + = <
mµ
1 1 1
d
a b c
+ + =
nªn d < 2 ,VËy d = 1 . Ta cã :
1 1 1
1
a b c
+ + =

víi a > b > c .
L¹i v× a > b > c > 0 ⇒
1 1 1
a b c
< <
khi ®ã ta cã
1 1 1 1 1 1 3
a b c c c c c
+ + < + + =
mµ
1 1 1
1
a b c
+ + =
nªn
3
1
c
>
VËy c
∈

{
1 ; 2
}
Víi c = 1 th×
1 1 1
1
1a b
+ + =

v« lý
Víi c = 2 th×
1 1 1 1 1 1
1
2 2a b a b
+ + = ⇒ + =
, mµ
1 1 1 1 2
a b b b b
+ < + =
nªn
2 1 2
2 4b
> =
do ®ã b < 4 mµ b > c = 2 nªn b = 3 . ta cã
1 1 1 1 1 1 1
3 2 2 3 6a a
+ = ⇒ = − =
, vËy a = 6
VËy a = 6 , b = 3 , c = 2 , d = 1 vµ : = 6321
2008 - 2009 Page 4
Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải
Ví dụ 11 : Tìm các số nguyên tố a , b , c ( có thể bằng nhau ) thỏa mãn
abc < ab + bc + ca và a b c
Giải :
Vì a b c . Ta có :
ab + bc + ca ab + ab + ab = 3ab . Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc < 3ab
c < 3 mà c nguyên tố nên c = 2 .
Thay vào bài ta đợc 2ab < ab +2( a + b) ab < 2(a + b) 2( a + a) = 4a . Vậy ab < 4a
nên b < 4 b { 2 ; 3 } .

Nếu b = 2 , thay vào đề bài ta đợc 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + 4 đúng
với mọi số nguyên tố a
Nếu b = 3 , thay vào bài ta đợc 2.3.a < 3a + 6 + 2a , hay 6a < 6 + 5a a < 6 , do
a nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5
Đáp số : b = c = 2 và a là số nguyên tố tùy ý
c = 2 , b = 3 và a = 3 hoặc a = 5
Ví dụ 12: Cho 4 số nguyên dơng có tổng bằng 9 , Chứng minh rằng trong 4 số đó có ít
nhất hai số bằng nhau
Giải :
Giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau .Gọi 4 số đã cho là a , b , c
, d với a > b > c > d . Ta có : d 1 ; c 2 ; b 3 ; a 4 . Nh vậy a + b + c + d 1 + 2 +
3 + 4 = 10 . Theo bài ra ta có a + b + c + d = 9 nên sẽ có 9 10 vô lý . Vậy giả sử
trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau là không đúng nên phải có ít nhất 2 số
trong các số đã cho là bằng nhau . ( đpcm)
Bài tập luyện tập
Bài 1 : Tìm biết = 1037
Bài 2 : Tìm
xyz
biết
4 . 5yz x
= 17395
Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng các chữ
số của nó thì bằng 405
Bài 4 : Tìm số
abcd
biết
.ab cb ddd
=
Bài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết
B i 6 : Cho hai số nguyên dơng khác nhau là a và b . Chứng minh > 2

Bài 7 : Cho a , b , c là các số nguyên dơng . Chứng minh rằng
1 <
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
< 2
Bài 8 : Tìm các số nguyên x và y biết | 5x + 2 | 13
2008 - 2009 Page 5