Giáo án BDHSG 9 chuyên đề HH Đường tròn Duy

CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN

CHỦ ĐỀ 1 : ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Đường trịn, hình trịn, góc ở tâm, số đo cung
- Đường trịn tâm O, bán kính R là hình gồm các
điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu (O ; R).
- Hình trịn là hình gồm các điểm nằm trên đường
tròn và các điểm nằm bên trong đường trịn đó.
0
0
- Trên hình vẽ:
0    180
+) Các điểm A, B, C, D nằm trên (thuộc) đường
tròn; OA = OB = OC = OD = R.
+) M nằm bên trong đường tròn; OM < R
+) N nằm bên ngồi đường trịn; ON > R
+) Đoạn thẳng AB là dây cung (dây)
+) CD = 2R, là đường kính (dây cung lớn nhất,
dây đi qua tâm)
0



0

+) AmB là cung nhỏ ( 0    180 )
+) AnB là cung lớn
+) Hai điểm A, B là hai mút của cung
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn được gọi
là góc ở tâm ( AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ

AmB)
- Góc bẹt COD chắn nửa đường tròn
- Số đo cung:
+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở
tâm chắn cung đó
0

0

s® AmB   ( 0    180 )
+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và
số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung
lớn)
0

s® AnB  360  
+) Số đo của nửa đường tròn bằng 1800, số đo
của cả đường tròn bằng 3600
2. Quan hệ vng góc giữa đường kính và dây
- Trong một đường trịn, đường kính vng góc
với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
AB  CD tại H => HC = HD
- Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung
điểm của một dây không đi qua tâm thì vng góc
với dây ấy

0

  180

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

1


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

Định lí 1: Trong một đường trịn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
AB = CD => OH = OK
OH = OK => AB = CD
Định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
AB < CD => OH > OK
OH > OK => AB < CD

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn
a) Đường thẳng và đường trịn cắt nhau (có hai điểm
chung)
- Đường thẳng a gọi là cát tuyến của (O)
d = OH < R và HA = HB =

2

2

R  OH

b) Đường thẳng và đường trịn tiếp xúc nhau (có một
điểm chung)
- Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O)
- Điểm chung H là tiếp điểm
d = OH = R
*) Tính chất tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng là tiếp
tuyến của một đường trịn thì nó vng góc với bán kính
đi qua tiếp điểm.
a là tiếp tuyến của (O) tại H => a  OH
c) Đường thẳng và đường trịn khơng giao nhau
(khơng có điểm chung)
d = OH > R

5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Để nhận biết một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường trịn ta có hai dấu hiệu sau:
 Dấu hiệu 1: Đường thẳng và đường trịn chỉ có một điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến)
 Dấu hiệu 2: Đường thẳng đi qua một điểm của đường trịn và vng góc với bán kính đi qua
điểm đó

H   O



  a là tiếp tuyến của (O)
a OH tại H

6. Tớnh chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; đường tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác
GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

2


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt
nhau tại một điểm thì:
 Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
 Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của
góc tạo bởi hai tiếp tuyến
 Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của
góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

AB  AC;OAB  OAC ; AOB  AOC
b) Đường tròn nột tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi
là đường tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác gọi là
tam giác ngoại tiếp đường tròn
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của
các đường phân giác các góc trong của tam giác
c) Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và
tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là
đường tròn bàng tiếp tam giác
- Tâm của đường tròn bàng tiếp là giao điểm của hai
đường phân giác các góc ngồi tại hai đỉnh nào đó hoặc
là giao điểm của một đường phân giác góc trong và một
đường phân giác góc ngồi tại một đỉnh
- Với một tam giác có ba đường trịn

bàng tiếp (hình vẽ là đường trịn bàng
tiếp trong góc A)
7. Vị trí tương đối của hai đường tròn, tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
a) Hai đường trịn cắt nhau
(có hai điểm chung)
- Hai điểm A, B là hai giao điểm
- Đoạn thẳng AB là dây chung
R - r < OO' < R + r

- Đường thẳng OO’ là đường nối tâm, đoạn
thẳng OO’ là đoạn nối tâm
*) Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm là
đường trung trực của dây chung
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
(có một điểm chung)
- Điểm chung A gọi là tiếp điểm
+) Tiếp xúc ngoài tại A:

OO'  R  r

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

3


CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN

+) Tiếp xúc trong tại A:

OO'  R  r

c) Hai đường trịn khơng giao nhau
(khơng có điểm chung)
+) Ở ngồi nhau:

OO'  R  r
+) Đựng nhau:

OO'  R  r
+) Đặc biệt (O) và (O’) đồng tâm:

OO'  0

d) Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường
thẳng tiếp xúc với cả hai đường trịn đó
- Tiếp tuyến chung ngồi khơng cắt đoạn nối tâm
- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm

8. So sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau.
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
- Kí hiệu: AB  CD; EF  GH  GH  EF
9. Liên hệ giữa cung và dây.
*) Định lí 1:
Với hai cung nhỏ trong một đường trịn hay trong hai đường
tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

AB  CD  AB  CD ; AB  CD  AB  CD

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

4


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

*) Định lí 2:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường
tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

AB  CD  AB  CD ; AB  CD  AB  CD
10. Góc nội tiếp
a) Định nghĩa:
- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và
hai cạnh chứa hai dây cung của đường trịn đó.
- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn
b) Định lí:
Trong một đường trịn, số đo của góc nội tiếp bằng
BAC là góc nội tiếp chắn cung
nửa số đo của cung bị chắn
nhỏ BC(hình a) và chắn cung
lớn BC(hình b)
BAC 

1

sđ BC
2

c) Hệ quả: Trong một đương trịn
+) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
+) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một
cung
+) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng.
11. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
a) Khái niệm:
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh
nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn
cạnh kia chứa dây cung của đường tròn
- Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn
- Hình vẽ:
 BAx chắn cung nhỏ AmB
 BAy chắn cung lớn AnB
b) Định lí:
- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng
nửa số đo của cung bị chắn
c) Hệ quả:
Trong một đường trịn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
BAx  ACB 

BAx  1 s® AmB
2
1
BAy 

s® AnB
2

1
sđ AmB
2

12. Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn. Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn.

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

5


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

a) Góc có đỉnh ở bên trong đường trịn.
- Góc có đỉnh nằm bên trong đường trịn được gọi là góc
có đỉnh ở bên trong đường trịn
- Hình vẽ: BEC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

d

m a
e

chắn hai cung là BnC , AmD
- Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng
nửa tổng số đo hai cung bị chắn

BEC  s®BnC  s® AmD
2

o
c
n
b

b) Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn.
- Góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn là góc có đỉnh
nằm ngồi đường trịn và các cạnh đều có điểm chung
với đường trịn
- Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc, hình

E
Am

vẽ bên: BEC là góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn, có
hai cung bị chắn là AmD vµ BnC
- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng
nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

D

O
B

BEC  s®BnC  s® AmD
2

n

C

13. Kết quả bài tốn quỹ tích cung chứa góc
a) Bài tốn: Với đoạn thẳng AB và góc 
0

0

( 0    180 ) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa
mãn AMB   là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn
thẳng AB

- Hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB đối
xứng với nhau qua AB

- Khi ỏ = 900 thì hai cung chứa góc là hai nửa đường
trịn đường kính AB, suy ra: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn
thẳng AB cho trước dưới một góc vng là đường trịn
đường kính AB (áp dụng kiến thức này để chứng minh tứ
giác nội tiếp)
GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

6


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN
2
3

1

b) Cách vẽ cung chứa góc ỏ
- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
- Vẽ tia Ax tạo với AB một gúc  ( BAx =  )
- Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax . Gọi O là giao điểm của
Ay với d
- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA sao cho cung này
nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.

c) Cách giải bài tốn quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình
H nào đó, ta chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H
14. Tứ giác nội tiếp
a) Khái niệm tứ giác nội tiếp
- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được
gọi là tứ giác nội tiếp đường trịn (gọi tắt là tứ giác nội
tiếp)
b) Định lí:
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện Tứ giác ABCD nội tiếp
(O), suy ra:
bằng 1800
0
A  C  B  D  180
c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
 Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

 Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là
tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác
 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc ỏ
Lưu ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là
một trong các hình : Hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân.
15. Đường trịn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

7


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

- Đường trịn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được
gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là
đa giác nội tiếp đường tròn
- Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác
được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi
là đa giác ngoại tiếp đường trịn

I

- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường trịn
ngoại tiếp, có một và chỉ một đường trịn nội tiếp.
- Trong đa giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng
với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa
giác đều.

16. Một số định lí được áp dụng : (khơng cần chứng minh)

a) Định lí 1:
+) Tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
+) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường trịn ngoại tiếp thì tam giác đó là
tam giác vng
b) Định lí 2:
Trong một đường trịn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
c) Định lí 3:
Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm
của dây căng cung ấy.
d) Định lí 4:
Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không phải là đường
kính) thì chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau
e) Định lí 5:
Trong một đường trịn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vng góc với dây
căng cung ấy và ngược lại, đường kính vng góc với một dây thì đi qua điểm chính giữa của
cung căng dây ấy.
17. Độ dài đường trịn, độ dài cung trịn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn
a) Độ dài đường trịn
Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi hình trịn) bán
kính R là:
Hoặc
C =2 R
C = d
Trong đó: C : là độ dài đường trịn
R: là bán kính đường trịn
d: là đường kính đường trịn
  3,1415... là số vơ tỉ.

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

8


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

b) Độ dài cung trịn
Độ dài cung trịn n0 là: l 
Trong đó:

 R.n
180

l : là độ dài cung trịn n0
R: là bán kính đường trịn
n: là số đo độ của góc ở tâm

c) Diện tích hình trịn
S   .R 2

Trong đó:
S : là diện tích hình trịn .
R : là bán kính hình trịn .
  3 , 14
d) Diện tích hình quạt trịn
 R 2n
.R
Hoặc
Squat =
Squat 
360

2

Trong đó:
S là diện tích hình quạt tròn cung n0
R là bỏn kớnh
l là độ dài cung n0 của hình quạt trịn
  3,14
B. BÀI TẬP
Bài 1 : Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB, M là điểm trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại
M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D.
a/. Chứng minh CD = AC + DB và tam giác COD vuông.
b/. Chứnh minh AC.BD  R 2
c/. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD.
d/. Khi BM = R, hãy tính theo R diện tích tam giác ACM.
Bài 2 : Cho đường trịn (O), đường kính AB và tiếp tuyến Bx. Trên tia Bx lấy điểm M; AM cắt
đường tròn tại S, gọi I là trung điểm của AS.
a/. Chứng minh 4 điểm O, I, M, B cùng thuộc một đường tròn.
b/. Chứng minh OI.MA = OA.MB
Bài 3 : Cho đường trịn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) lấy điểm C tùy
ý; CB cắt đường tròn (O) tại D. Gọi M là trung điểm của BD và E là giao điểm của AC với tiếp
tuyến của đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng :
a/. AD // OM
b/. AC.OB = BC.MO
c/. Bốn điểm O, A, E, D cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường
trịn này.
Bài 4: Cho (O;R) và điểm A nằm bên ngồi đường trịn, biết OA = 2R. Kẻ tiếp tuyến AB với đường
tròn. Vẽ dây BC vng góc với OA tại I.
a/ Tính OI, BC theo R.
b/ Vẽ dây BD của (O) song song với OA. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng.

c/ Tia OA cắt (O) tại E. Tứ giác OBEC là hình gì? Vì sao?
Bài 5: Cho (O;R) đường kính BC. Lấy điểm A trên (O) sao cho AB = R.
a/ Tính số đo các góc A, B, C và cạnh AC theo R.
b/ Đường cao AH của ABC cắt (O) tại D. Chứng minh: ADC là tam giác đều.
c/ Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh: EA là tiếp tuyến của (O).
d/ Chứng minh: EB . CH = BH . EC.
Bài 6: Cho ABC vng tại A (AB < AC). Đường trịn (O) đường kính AC cắt BC tại H.
GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

9


CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN

a/ Chứng minh: AH  BC.
b/ Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh HM là tiếp tuyến của (O).
c/ Tia phân giác của HAC cắt BC tại E và cắt (O) tại D. Chứng minh: DA . DE = DC2.
d/ Trường hợp AB = 12cm, AC = 16cm, tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMH.
Bài 7: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên đoạn OB lấy điểm H sao cho HB = 2HO.
Đường thẳng vng góc với AB tại H cắt nửa (O) tại D. Vẽ đường tròn (S) đường kính AO cắt AD
tại C.
a/ Chứng minh: C là trung điểm của AD.
b/ Chứng minh: bốn điểm C, D, H, O cùng thuộc một đường tròn.
c/ CB cắt DO tại E. Chứng minh: BC là tiếp tuyến của (S).
d/ Tính diện tích tam giác AEB theo R.
Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC với AB < AC.
a/ Tính BAC .
b/ Vẽ đường trịn (I) đường kính AO cắt AB, AC lần lượt tại H, K.
Chứng minh: ba điểm H, I, K thẳng hàng.
c/ Tia OH, OK cắt tiếp tuyến tại A với (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh: BD + CE = DE.

d/ Chứng minh: đường tròn đi qua ba điểm D, O, E tiếp xúc với BC.
Bài 9: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 6cm. Trên đoạn OB lấy điểm M sao cho
MB = 1cm. Qua M vẽ dây CD của đường trịn (O) vng góc với AB.
a/ Chứng minh: tam giác ABC vng và tính BC.
b/ Đường thẳng qua O vng góc với AC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại E.
Chứng minh: EC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c/ Gọi F là giao điểm của hai tia AC và DB. Kẻ FH  AB tại H và gọi K là giao điểm của hai
tia CB và FH. Chứng minh: tam giác BFK cân.
d/ Chứng minh: Ba điểm H, C, E thẳng hàng.
Bài 10: Cho đường trịn (O;R), đường kính AB. Qua điểm A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và
(d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở
P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.
b) Hạ OI vng góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh: AM . BN = R2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất.
Bài 11: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài DE ,
với D thuộc (O) và E thuộc (O’). kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt DE tại I. Gọi M là giao điểm
của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.
a) Chứng minh ADE vuông.
b) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh hệ thức: IM . OI = IN . IO’
d) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường trịn có đường kính là DE.
e) Tính độ dài DE biết rằng OA = 5 cm, O’A = 3,2 cm.
f) Chúng minh DE là tiếp tuyến của đường trịn đường kính OO’
g) Chứng minh DE2 = 4Rr


AB 

Bài 12 : Cho nửa đường tròn  O;
. Từ A, B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc
2 

nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Đường thẳng AD và CB cắt
nhau tại N.
a) Tính COD
b) Chứng minh MN // AC
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
d) Tìm vị trí của M để AC + BD có giá trị nhỏ nhất
GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

10


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

Bài 13 : Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Kẻ các tiếp
tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm)
a) Chứng minh OA  BC
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh BD // AO.
c) Chứng minh tam giác ABC đều.
d) AD cắt đường tròn tại E. Chứng minh AE . AD = 3R2.
Bài 14 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Đường tròn tâm E đường kính BH
cắt AB ở M và đường tròn tâm I đường kính CH cắt cạnh AC ở N.
a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
b) Cho biết : AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
c) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (E) và (I)
d) Để AMHN là hình vng thì ABC cần có điều kiện gì ?
Bài 15: Cho hình vuông ABCD. M là điểm tùy ý trên BD, kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông

góc với AD
a) Chứng minh 4 điểm A, E, M, F cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh: DE = CF
c) Chứng minh 3 đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
d) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
CHỦ ĐỀ 2 : GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa – Định lý
Ký hiệu tốn học
Hệ quả
1. Góc ở tâm: Trong một (O,R) có: AOB ở tâm chắn AmB
đường trịn, số đo của góc  AOB = sđ AmB
ở tâm bằng số đo cung bị
chắn.

Hình vẽ

2. Góc nội tiếp:
* Định lý: Trong một (O,R) có: BAC nội tiếp chắn BC
đường trịn, số đo của góc  BAC = 1 sđ BC .
2
nội tiếp bằng nửa số đo
của cung bị chắn.
* Hệ quả: Trong một a) (O,R) có:
BAC n.tiế p chắ n BC 
đường trịn:

a) Các góc nội tiếp bằng EDF n.tiế p chaé n EF 
  BC  EF
nhau chắn các cung bằng


BAC  EDF
nhau.


b) (O,R) có:
b) Các góc nội tiếp cùng BAC n.tiế p chắ n BC 
chắn một cung hoặc chắn
  BAC  BDC
các cung bằng nhau thì BDC n.tiế p chắ n BC 
bằng nhau.
(O,R) có:
BAC n.tiế p chắ n BC 


EDF
n.tiế
p
chắ
n
EF
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn
  BAC  EDF
hoặc bằng 900) có số đo BC  EF


bằng nửa số đo của góc ở c) (O,R) có:

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

11


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

tâm cùng chắn một cung.

BAC n.tiế p chắ n BC 
1
  BAC  BOC
2
BOC ở tâ m chắ n BC

d) Góc nội tiếp chắn nửa d) (O,R) có:
đường trịn là góc vng. BAC nội tiếp chắn nửa đường trịn
đường kính BC  BAC = 900.

3. Góc tạo bởi tia tiếp
(O,R) có:
tuyến và dây cung:
* Định lý: Trong một BAx tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
1
đường trịn, số đo của góc
cung chắn AB  BAx = sđ AB .
tạo bởi tia tiếp tuyến và
2
dây cung bằng nửa số đo
của cung bị chắn.
(O,R) có:
* Hệ quả: Trong một

đường trịn, góc tạo bởi
tia tiếp tuyến và dây cung
và góc nội tiếp cùng chắn
một cung thì bằng nhau.
4. Góc có đỉnh ở bên
trong đường trịn:
* Định lý: Góc có đỉnh ở
bên trong đường trịn
bằng nửa tổng số đo hai
cung bị chắn.
5. Góc có đỉnh ở bên
ngồi đường trịn:
* Định lý: Góc có đỉnh ở
bên ngồi đường trịn
bằng nửa hiệu số đo hai
cung bị chắn.

BAx tạ o bở i tt & dc chaé n AB
  BAx  ACB
ACB nộ i tiếp chắ n AB


(O,R) có:
BEC có đỉnh bên trong đường trịn
1
 BEC = (sđ BC  sđ AD)
2

(O,R) có:
BEC có đỉnh bên ngồi đường trịn

1
 BEC = (sđ BC  sđ AD)
2

6. Cung chứa góc:
* Tập hợp các điểm cùng
nhìn đoạn thẳng AB dưới
một góc  khơng đổi là
hai cung trịn chứa góc
.

* Đặc biệt:
a) ADB  AEB  AFB   cùng nhìn
a) Các điểm D, E, F cùng
thuộc nửa mặt phẳng bờ đoạn AB  A, B, D, E, F cùng thuộc
AB, cùng nhìn đoạn AB một đường tròn.
GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

12


CHUN ĐỀ : ĐƯỜNG TRỊN

dưới một góc khơng đổi
 Các đểm A, B, D, E, F
cùng thuộc một đường
tròn.
b) Các điểm C, D, E, F
cùng nhìn đoạn AB dưới
một góc vuông  Các

đểm A, B, C, D, E, F
thuộc đường trịn đường
kính AB.
7. Tứ giác nội tiếp:
* Định nghĩa: Một tứ giác
có bốn đỉnh nằm trên một
dường trịn được gọi là tứ
giác nội tiếp đường tròn.
* Định lý: Trong một tứ
giác nội tiếp, tổng số đo
hai góc đối diện bằng
1800.

b) ACB  ADB  AEB  AFB  900
cùng nhìn đoạn AB  A, B, C, D, E,
F thuộc một đường trịn đường kính
AB.
* Tứ giác ABCD có A, B, C, D 
(O)
 ABCD là tứ giác nội tiếp (O).
* Tứ giác ABCD nội tiếp (O)
0

 A  C  180
 
0

 B  D  180

* Tứ giác ABCD có:

* Định lý đảo: Nếu một
A  C  1800  ABCD là tứ giác
tứ giác có tổng số đo hai
góc đối diện bằng 1800 thì n.tiếp
tứ giác đó nội tiếp được Hoặc:
B  D  1800  ABCD là tứ giác
đường tròn.
n.tiếp
8. Độ dài đường tròn,
cung tròn:
C = 2 R = d
* Chu vi đường tròn:


* Độ dài cung trịn:
9. Diện tích hình trịn,
hình quạt trịn:
* Diện tích hình trịn:

* Diện tích hình viên
phân:
* Diện tích hình vành
khăn:

1800

S   R2  

d2
4

 R2n

.R
2

S

Diện tích hình quạt trịn:

 Rn

360



Sviên phân = Squạt - SABC

S   ( R12  R22 )

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

13


CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R.. Các phân giác của các
góc ABC , ACB lần lượt cắt đường tròn tại E, F.

1. CMR: OF  AB và OE  AC.
2. Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR: Tứ giác
AMON nội tiếp và tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác này.
3. Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC. CMR: ID  MN.
4. CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC = 600.
Bài 2: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh
CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H.
1. CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp.
2. Khi BM =

a
. Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a.
4

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a.
4. Kéo dài AM cắt DC tại I. CMR:

1
1
 2 không đổi khi M di chuyển trên cạnh BC
2
AM
AI

Bài 2’: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh DC và N là điểm trên cạnh
BC sao cho DM + BN = MN.
a) Tính số đo góc MAN.
b) Đường chéo BD cắt AM, AN tại E và F. CMR: EF2 = ED2 + BF2.
c) CMR chu vi  CMN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC
d) Chứng minh rằng đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (A ; a) .

e) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác CMN lớn nhất.
Bài 2”: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên cạnh DC. Trên cạnh
BC lấy điểm N sao cho MAN  450 .
a) Chứng minh DM + BN = MN.
b) Đường chéo BD cắt AM, AN tại E và F. CMR: EF2 = ED2 + BF2.
c) CMR chu vi  CMN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC
d) Chứng minh rằng đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (A ; a) .
e) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác CMN lớn nhất.
Bài 3: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O. Đường cao BH và CK lần lượt cắt
(O) tại E và F.
a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp.
b) CMR: OA  EF và EF // HK.
c) Khi  ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung
nhỏ BC của (O).
d) CMR: AB.BK + AC.CH = BC2.
Bài 4: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ
đường thẳng vng góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F.
a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
b) CMR: DE.HE = BE.CE.
c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC.
d) CMR: HC là tia phân giác của DHF .
e) Gọi I là giao điểm của DE và AB. CMR:

1
1
 2 không đổi khi E di chuyển trên cạnh
2
DE
DI

BC
Bài 5: Một hình vng ABCD nội tiếp trong đường trịn Tâm O bán kính R . Một điểm M di động
trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H.
GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

14


CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN

1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2 .
2) CMR: MD.MH = MA.MC.
3)  MDC và  MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm M’. Khi
đó M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vng góc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I
là trung điểm của H’C .
Bài 6: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Biết AB = 24cm và O và
O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường trịn (O) và đường kính
AD của đường trịn (O’).
a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Tính độ dài đoạn OO’.
c) Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm).
CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF.
Bài 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và
By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba
cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
1. CMR:
a) Tứ giác AOMC nội tiếp.
b) CD = CA + DB và COD = 900.
c) AC. BD = R2.
2. Khi BAM = 600. Chứng tỏ  BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt trịn

chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R.
Bài 8: Từ điểm M ở ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến
MA và MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
a) CMR: MA2 = MC. MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường
tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường
tròn. Suy ra AB là phân giác của CHD .
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CMR: 3
điểm A, B, K thẳng hàng.
Bài 9:
Cho hình vng ABCD cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ
đường thẳng vng góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.
1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh: KM  DB.
3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB.
4. Kí hiệu SABM, SDCM là diện tích của tam giác ABM, tam giác DCM. CMR: (SABM + SDCM )
khơng đổi. Xác định vị trí của M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
nhất đó theo a.
5. Kéo dài AM cắt DC tại I. CMR:

1
1
 2 không đổi khi M di chuyển trên cạnh BC
2
AM
AI

Bài 10: Cho điểm A ở ngồi đường trịn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (B và
C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và F).

a) CMR:  AEC và  ACF đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường
tròn.
c) Từ E vẽ đường thẳng vng góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội
tiếp được trong đường tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang.
GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

15


CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN
d) Giả sử cho OA = R 2 . Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngồi hình

trịn (O)
Bài 11: Cho đường trịn (O; R)và một điểm A nằm bên ngồi đường tròn với OA = 3R. Qua A vẽ
hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( O) ( B, C là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b) Kẻ đường kính CD của (O). chứng minh BD // OA
c) Kẻ dây BN của (O) song song với AC, AN cắt (O) ở M. chứng minh MC2 = MA.MB
d) Gọi F là giao điểm của BN với CD. Tính theo R diện tích của tam giác BCF
Bài 12: Từ một điểm T nằm bên ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến TA, TB với đường trịn
đó. Biết góc AOB = 1200 và dây BC = 2R
a) Chứng minh OT // AC
b) Biết tia OT cắt đường tròn ( O, R) tại D. Chứng minh tứ giác AOBD là hình thoi
Bài 13: Cho tam giác ABC vng tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường cao AH, đường trịn
tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI vng góc với EF
a) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC. Tính diện tích hình trịn tâm K.

Bài 14: Cho tam giác ABC nhọn, đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D,
CE cắt BD tại H
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b) AH cắt BC tại F. chứng minh FA là tia phân giác của góc DFE
c) EF cắt đường trịn tại K ( K khác E). Chứng minh DK// AF
d) Cho biết góc BCD = 450 , BC = 4 cm. Tính diện tích tam giác DBC
Bài 15: Cho đường trịn ( O) và điểm A ở ngoài (O)sao cho OA = 3R. vẽ các tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp tuyến )
a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O) tại D ( khác B). đường thẳng AD cắt ( O)
tại E. Chứng minh AB2= AE. AD
c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA
d) Tính diện tích tam giác BDC theo R
Bài 16:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB >AC, nội tiếp đường tròn tâm (O,R), hai đường cao
AD, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp? Xác định tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó
b) Tia BH cắt AC tại E. chứng minh HE.HB= HF.HC
c) Vẽ đường kính AK của (O). Chứng minh AK vng góc với EF
d) Trường hợp góc KBC= 450, BC = R 3 . tính diện tích tam giác AHK theo R
Bài 17: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Ba đường cao AE, BF, CK
cắt nhau tại H. Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O lần lượt tại I và J.
a) Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh hai cung CI và CJ bằng nhau.
c) Chứng minh hai tam giác AFK và ABC đồng dạng với nhau
Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ),các đường cao BE, CF .
a. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
b. Chứng minh OA vng góc với EF.
c. P là hình chiếu của E trên AB, Q là hình chiếu của P trên BC, PQ cắt BE tại K. Chứng
minh FK//AC.

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

16


CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN

Bài 19: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
1) CMR:
a) AE.AC = AF.AB = AH.AD
b) HA.HD = HB.HE = HC.HF
c) AB2 + BC2 + CA2 = 2(AH.AD + BH.BE + CH.CF)
d) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
e)

HD HE HF DB EC FA CB HD FA



.
.

.
.
AD BE CF DC EA FB CD HA FB

2) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng AC tại I, qua C kẻ đường thẳng
vuông góc với AC cắt BI tại K. CMR: EF  AK
3) CMR:
a) SAEF = SABC .cos2A

b) AE.BF.CD = AB.BC.AC.cosA.cosB.cosC
c)

S DEF
 1  (cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C )
SABC

Bài 20: Cho (O,R) và dây BC < 2R cố định; A chạy trên cung lớn BC
1) Khi  ABC nhọn có các đường cao AD; BE; CF đồng quy tại H. CMR:
a) H là tâm đường tròn nội tiếp  DEF
b)  AEF  ABC. Từ đó chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp  AEF không đổi
c) OA  EF
d) SABC = p ' .R ( p ' là nửa chu vi của  DEF)
e) Tìm vị trí của điểm A trên cung lớn BC để p ' đạt giá trị lớn nhất
f) BC2 = BE.BH + CF.CH
2) Khi A chạy trên cung lớn BC . Gọi giao điểm của AH và (O) là A ' .
a) Chứng minh H và A ' đối xứng nhau qua BC
b) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp  HAB,  HBC,  HCA bằng nhau
c) Chứng minh: AH = 2 OM với M là trung điểm của BC
d) Chứng minh H, G, O thẳng hàng ( G là trọng tâm  ABC)
e) Khi A chạy trên BC thì H chạy trên đường nào?
f) Gọi M, N, P là trung điểm của CB, AC, AB. Kẻ các đường thẳng Mx//OA; Ny//OB;
Pz//OC. CMR: Mx, Ny, Pz đồng quy.
Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
1) AB2 + HC2 = BC2 + HA2 = CA2 + HB2.
2) AB.HC + BC.HA +AC.HB = 4S (với S là diện tích△ABC)
3)

AE 2 AF.EF


 cos 2 A .
2
AB
AC.BC

4) BH.BE + CH.CF + AH.AD =

1
 AB2  BC 2  CA2  .
2

5) H là tâm đường tròn nội tiếp △ABC.
6) AE.CD.BF = AF.BD.CE = DE.EF.FD.

HB.HC HC.HA HA.HB DH EH FH DB EC FA
.






.
.
AB. AC BC.BA CA.CB AD BE BE DC EA FB
HB.HC HC.HA HA.HB CB HD FA



.

.
 1.
8)
AB. AC BC.BA CA.CB CD HA FB
AD BE CF


9.
9)
HD HE HF
HD HE HF 3


 .
10)
AH BH CH 2

7)

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

17


CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN
HA HB HC
11)


 3 .

BC CA AB
S
S
S
12) AEF2  BDF2  CDE2 .
AH
BH
CH
AH BH CH
13)


2 .
HD HE HF
AB  BC  CA
A
14) ra 
tan . (ra bán kính đường trịn bàng tiếp góc A của △ABC)
2
2
AB  AB  BC
A
15) r 
.tan . (r bán kính đường trịn nội tiếp △ABC).
2
2
AB.BC.CA
16) R 
(R bán kính đường tròn ngoại tiếp △ABC).
4S ABC

17) BC2 = AB2 + AC2 - 2AB.AC.cosA.
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)

BC
CA
AB


 2R .
sin A sin B sin C
2
HA + HB + HC <  AB + BC + CA  .
3
A
BC
sin

.
2
2 AB.AC
A
B

C 1
sin .sin .sin  .
2
2
2 8
3
cosA+cosB+cosC  .
2
S AEF
 cos 2 A .
S ABC
S BFEC
 sin 2 A
S ABC
S DEF
 sin 2 A  cos 2 B  cos 2C .
S ABC

26) A, B, C là các tâm đường trịn bàng tiếp của △DEF.
27) OB vng góc với DF. (O là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC)
28) Kẻ FH và EK cùng vng góc với BC (H, K  BC), kẻ HM //AC và KN//AB (M  AB,
N  AC). Chứng minh EF//MN.
29) BF.BA = BH.BE = BD.BC
30) HA.HD = HB.HE = HC.HF
31) AB2 + BC2 + CA2 = 2(AH.AD + BH.BE + CH.CF).
32)

EA FA HA
.



EC FB HD

GV: Trần Ngọc Duy - Trường THCS Nguyễn Trãi

18