Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về các radical của các PI-đại số

BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA TOÁN


NINH QUANG THẮNG

VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ

LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ
MÀ SỐ 1.01.03

THÁNG 02 NĂM 1998


BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
KHOA TOÁN


NINH QUANG THẮNG

VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ

LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ
MÃ SỐ 1.01.03

NGƢỜI HƢỚNG DẪN:
PGS.PTS BÙI TƢỜNG TRÍ

THÁNG 02 NĂM 1998


LỜI MỞ ĐẦU

Ngƣời ta thƣờng xét các đại số trên một vành kèm thêm các điều kiện nào đó.
Các điều kiện này thƣờng đƣợc thể hiện bởi các "hệ thức" và đòi hỏi chúng luôn
luôn đúng. Chẳng hạn:
Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = 0 ∀a,b ∈ A đƣợc gọi là đại số
giao hoán.
Đại số A thỏa mãn các hệ thức a 2 = a

∀a∈ A đƣợc gọi là đại số Boolean.

Đại số A thỏa mãn các hệ thức ab + ba = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 ∀a,b, c
∈ A đƣợc gọi là đại số Lie…..
Trong luận án này, ta trình bày khái niệm các đồng nhất thức (Identity) trên
các đại số và xét đến các PI- đại số xem nhƣ các đại số thỏa mãn đồng nhất thức nào
đó.
Khi xét đến các PI đại số, vấn đề đƣợc quan tâm chủ yếu trong luận án nàv là
các radical. Chúng ta không chỉ xét đến các radical Tacobson mà còn định nghĩa và
xem xét các lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical của các Pl-đại
số.
Với định nghĩa về các PI đại số thì các đại số giao hoán chẳng qua là Pl-đại số
với một đồng nhất thức cụ thể. Các kết quả trên các đại số giao hoán là phong phú và
dễ nhận biết, cho nên cách tiếp cận nhằm đạt đƣợc những kết quả cho một PI đại số
tổng quát là bắt đầu với đại số giao hoán để rồi từ đó tiến hành tổng quát hóa.

Vì PI đại số đƣợc xem nhƣ đại số thỏa mãn một đồng nhất thức, cho nên các kết quả
về các radical của nó không chỉ từ lý thuyết về các đại số mà còn phải từ việc nghiên cứu các
tính chất của các đồng nhất thức. Việc xét kỹ các tính chất cùa các đồng nhất thức trên các PI
đại số cho thấy rằng có thể tiến hành "đa tuyến tính hóa" chúng, đƣa về việc xét các đồng
nhất thức chuẩn tắc.
Sự kết hợp giữa lý thuyết về các đại số với các kết quả về các đồng nhất thức trên các
Pl-đại số cũng nhƣ việc xét chi tiết một số PI- đại số cụ thể nhƣ : đại số các ma trận vuông
trêu một vành, đại số các đa thức một biến trên vành giao hoán . . . .v.v đã dẫn đến các kết
quả trình bày trong bản luận án này.
Luận án đƣợc chia thành hai phần:
Phần I: Trình bày các kiến thức căn bản. Ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal
và modun đƣợc dùng đến ƣong phần II, chúng tôi còn trình bày về các đồng nhất thức
(identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc. Một số định lý quan trọng nhƣ định lý về trù
mật đƣợc trình bày mà không chứng minh. Các phép chứng minh đó có thể tìm thấy trong
[1].
Phần II: Trong phần này, để xem xét các radical của các Pl-đại số, chúng tôi trình
bày theo tuần tự nhƣ sau:
A. Các radical của một đại số.
B. Các PI-dại số.
C. Các radical của đại số giao hoán. Với khái niệm các PI-đại số thì đại số
giao hoán chỉ là một trƣờng hợp riêng. Vì vậy việc xem xét các radical của các PI đại số đƣợc
bắt đầu với việc xét trƣờng hợp riêng này. Kết quả đƣợc chúng tối lƣu tâm tới để tiến hành
tổng quát hóa là việc lower nil radical, Levitzki lùi radical và upper nil radicaỉ của các đại số
giao hoán là trùng nhau


D. Định lý Kaplansky-Amittsur-Levitzki. Việc sử dụng định lý KaplanskyAmitsur-Levitzki sẽ cho phép "đa tuyến tính hóa " các đồng nhất thức của các PI đại số. Đây
là một trong những phƣơng pháp đƣợc chúng tôi dùng tới trong việc tổng quát hóa các kết

quá vẻ các radical của đại số giao hoán cho các PI đại số bất kỳ.

E. Các Pl-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. Việc xét các radical
của các PI đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh không chỉ là sự tổng quát hóa một
bƣớc những kết quả đã đạt đƣợc về các radical của các đại số giao hoán mà còn là công cụ để

tiếp tục tổng quát hóa.

F. Các radical của các PI-đại số. Dựa trên tất cả các kết quả có đƣợc trong các phần
trên, cuối cùng chúng ta chứng minh đƣợc rằng trong một PI-đại số bầt kỳ thì lower nil

radical, Levitzki nil radical và upper nil radical là trùng nhau. Tuy nhiên chúng không luôn
trùng với radical Jacobson. Ta có những phản ví dụ cho thấy điều trên. Bản luận văn còn cố
gắng trình bày một số trƣờng hợp về các PI-đại số trong đó tất cả các radical của chúng là

trùng nhau.


LỜI CẢM ƠN
Luận án đƣợc hoàn thành trƣớc nhất là do sự hƣớng dần tận tình của PGS.PTS Bùi
Tƣờng Trí. Không có sự hƣớng dần tận tình ấy, chắc chắn không thể có bản luận án này. Vì
vậy, tôi xin gửi tới thầy lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc.
Tôi xin chân thành cám ơn các thầy, cô trong Khoa Toán Đại Học Sƣ Phạm Tp Hồ
Chí Minh những ngƣời đã trang bị cho tôi rất nhiều kiến thức và phƣơng pháp tƣ duy mà nhờ
vào đố tôi hoàn thành đƣợc bản luận án này.
Tôi cũng xin gửi tới Phòng Nghiên Cứu Khoa Học, Ban Chủ Nhiệm Khoa l Toán
Đại Học Sƣ Phạm Tp Hồ Chí Minh lời cám ơn chân thành nhất về tất cả những điều kiện
thuận lợi mà Quí thày cô đã dành cho tôi.
Cuối cùng, xin cho tôi đƣợc cám ơn Ban Giám Hiệu trƣờng Đại Học Kiên Trúc Tp
Hồ Chí Minh nơi tôi đang công tác và tất cả bạn bè gần xa đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều

ƣơng suốt thời gian tôi làm bản luận án.
Bản luận án này chắc chắn không tránh khỏi ứiiếu sót. Kính mong mọi sự góp ý và
chỉ bảo của Quí thầy, cô và tất cả các bạn.


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] N.JACOBSON.
LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441.
PI - ALGEBRAS AN INTRODUCTION
SPRINGER - VERLAG - BERLIN - HEIDELBERG - NEWY0RK. 1975
[2] N.JAC0BS0N.
STRUCTURE OF RING.
A.M.S.1968
[3] I.N.HERSTEIN.
NON COMMUTATIVE RING A.M.S. 1968
[4] M.F.ATIYAH, I.G.MACDONALD.
INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA
ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY. MASSACHUSETTS. 1969.


MỤC LỤC

CHƢƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN ......................................................................................... 1
A. Các đại số, Ideal và Môđun ......................................................................................................... 1
B. Các đồng nhất thức ...................................................................................................................... 6
CHƢƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ ....................................................................... 8
A. Các Radical của một đại số ......................................................................................................... 8
B. Các Pi – đại số ............................................................................................................................. 19
C. Các radical trên đại số giao hoán.............................................................................................. 21

D. Định lý KAPLANSKY - AMITSUR-LEVITZKI. ................................................................... 23
E. Các Pi – đại số thảo mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. .................................................... 40
F. Các Radical của các Pi – đại số ................................................................................................. 45
LỜI KẾT LUẬN ................................................................................................................................... 57


1

CHƢƠNG I. CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN

Chƣơng này sẽ trình bày các khái niệm và kết quả căn bản đƣợc sử dụng đến trong
bản luận án này.
Nếu không nói gì khác, ta xét phạm trù các đại số có đơn vị (không nhất thiết giao
hoán) trên vành giao hoãn có đơn vị K. Các modun đƣợc nói tới nếu không nói khác đi luôn
đƣợc hiểu là các modun trái.

A. Các đại số, Ideal và Môđun
Giả sử A là một K-đại số.
1. Modun bất khả qui: Một A-mođun M đƣợc gọi là bất khả qui (ireducible) nếu M
≠ 0 và M chỉ có hai modun con là M và 0.
Các điều kiện sau đây đối với một modun M là tƣơng đƣơng:
a) M là A-modun bất khả qui.
b) M = Ax đối với x ∈M , x ≠ 0 nào đó.
c) M A/I với I là ideal trái nào đó của A.
2. Modun hoàn toàn khả qui: Một A-modun M đƣợc gọi là hoàn toàn khả qui
(completely reducible) nếu M= ∑

trong đó M là các A-modun bất khả qui.

Các điều kiện sau đây đối với một modun M là tƣơng đƣơng:

a) M là A-modun hoàn toàn khả qui.
b) M là tổng trực tiếp các A-raodun bất khá qui.
c) Đối với mọi modun con N của M đều tồn tại modun con N' của M sao cho
M = N N'.


2

3. Modun trung thành: Một A modun M đƣợc gọi là trung thành (faithful) nếu a,b∈
A, a

b x∈M sao cho ax

bx.

4. Đại số nguyên thủy: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nguyên thủy (primitive) nếu
có A-modun M bất khả qui, trung thành.
5. Đại số nửa nguyên thủy: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nửa nguyên thủy (semi
piimitive) hay nửa đơn (semi simple) nếu có A-modun M hoàn toàn khả qui, trung thành.
6. Ideal nguyên thủy: Một ideal

của đại số A đƣợc gọi là ideal nguyên thủy nếu A/

là đại số nguyên thủy.
7. Ideal chính qui: Một ideal phải
gọi là ideal phải chính qui nếu

của đại số A (không nhất thiết có đơn vị) đƣợc
∀x∈A. Tƣơng tự đối với ideal trái chính

a∈A để x-ax∈

qui.
Rõ ràng khi A là đại số có đơn vị thì mọi ideal đều chính qui.
8.Ideal tựa chính qui: Phần tử a∈A (A không nhất thiết có đơn vị) đƣợc gọi là tựa
chính qui phải nếu a'∈A sao cho a+ a’ + aa’ = 0. Một ideal phải

của đại số A đƣợc gọi là

ideal phải tựa chính qui phải nếu ∀x∈p đều tựa chính qui phái.
Tƣơng tự đối với ideal trái tựa chính qui trái.
Khi A là đại số có đơn vị, nếu a∈A là phần tử tựa chính qui phải thì từ đẳng thức a+ a
+ aa' = 0

1+ a+ a + aa' = 1

(1 + a)(l + a') = 1

1 + a khả nghịch phải.

Tƣơng tự khi a∈ A là phần tử tựa chính qui trái.


3

9. Đại số lũy linh, lũy linh địa phƣơng và nil đại số:
Xét đại số A (không nhất thiết có đơn vị).
A đƣợc gọi là lũy linh nếu 3m sao cho A =0.
A đƣợc gọi là lũy linh địa phƣơng nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một
đại số con lũy linh.

A đƣợc gọi là nil đại số nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh.
Một ideal của đại số A đƣợc gọi là lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil ideal ) nếu xem là
đại số thì nó là đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil đại số). Hiển nhiên là mọi ideal lũy
linh đều lũy linh địa phƣơng và mọi ideal lũy linh địa phƣơng đều là nil ideal.
Các bổ đề sau là dễ thấy:
Bổ đề I.1: Đại số con và ảnh đồng cấu của một đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng,
nil đại số ) là đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil dại số ).
Bổ đề I.2:

Nếu

là ideal của đai số A sao cho và A/

là ideal lũy linh (lũy linh

địa phuong, nil ideal) thì A là đại số lũy linh (lũy linh địa phƣơng, nil đại số ).
Bổ đề I.3: Nếu

1,

2

là các ideal lũy linh( lũy linh địa phƣơng, nil ideal ) thì

1,

2

cũng nhƣ vậy.
Chứng minh: Đó là vì ta có đẳng cấu ( 1+

Bổ đề 1.4: Nếu {
vậy.

2)/

2

=

1/

2

2

} là họ các nil ideal ( hoặc lũy linh địa phƣơng) thì ∑

cũng nhƣ


4

Từ bổ đề 1.4 ta suy ngay ra rằng đối vơi một đại số A bất kỳ tồn tại duy nhất một nil
ideal tối đại và nó chứa mọi nil ideal. Cũng vậy tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa
phƣơng tối đại và nó chứa mọi ideal lũy linh địa phƣơng Đây là cơ sở để chúng ta định nghĩa
upper nil radical và Levitzki nil radical ở chƣơng sau.
10.Đại số nguyên tố: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nguyên tố (prime) nếu 0 là
ideal nguyên tố của A.
Các điều kiện sau đây đối với đại số A là tƣơng đƣơng:
a) A là đại số nguyên tố.

b) bAc = 0
c) Nếu

b = 0 hoặc c = 0.

là ideal trái của A,

d) Nếu p là ideal phải của A,

0 thì { a∈A/ a
0 thì { a∈A/

=0}=0.

a =0}=0.

11. Đại số nửa nguyên tố: Một đại số A đƣợc gọi là đại số nửa nguyên tố (semi
priine) nếu A không có ideal lũy linh khác không.
12. Ideal nửa nguyên tố: Một ideal

của đại số A đƣợc gọi là ideal nửa nguyên tố

nến A/ là đại số nửa nguyên tố.
13. Đại số đơn: Một đại số A đƣợc gọi là đại số đơn nếu A

0, A không có ideal nào

khác ngoài 0 và A.
Nếu A là đại số đơn. Gọi c={ c∈A/cx=xc ∀x∈A } là tâm của A thì C là trƣờng và A
có thể xem là đại số trên C.

Ta xét trƣờng hợp đặc biệt khi K là một trƣờng. Nếu tâm C của A là C = K1 thì ta nói
rằng A là đại số tâm đơn trên trƣờng K.
Giả sử E là đại số trên trƣờng K chứa các đại số con A và B sao
cho ab =ba ∀a ∈A, b∈B; E sinh bởi A và B và nếu a1 a2…ar là K độc lập


5

thì từ ∑

= 0 đối với bi∈B suy ra mọi bi=0. Khi đó ánh xạ: a b

ab là một đẳng cấu

đại số. Do vậy trong trƣờng hợp này và khi A , B hữu hạn chiều thì [E:K]=[A:K][B:K].
14. Tích trực tiếp con: Giả sử { A } là một họ các đại số, xét ∏

là tích trực tiếp

của họ các đại số trên. Một đại số con A của ∏

đƣợc gọi là một tích trực liếp con của họ

{A

là toàn cấu.

} nếu hạn chế trên A của mỗi phép chiếu

Khi A là tích trực tiếp con của { A

}, ta gọi B

= Ker(

|A) thì A/B

A

và

⋂

= 0. Ngƣợc lại, giả sử A là một đại số bất kỳ và { B } là họ các iđeal trong A sao cho

⋂

= 0. Khi đó A sẽ đẳng cấu với tích trực tiếp con của họ {A } trong đó A

= A/B .

Liên quan giữa các đại nửa nguyên thủy và nguyên thủy ta có :
Bổ đề I.5: Một đại số là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của
các đại số nguyên thủy.
15.Bổ đề Schur: Nếu M là A-modun bất khả qui thì A’ = End AM là một đại số chia
đƣợc.
16.Định lý về trù mật: Giả sử V là không gian vector. Một tập hợp các phép biến đổi
tuyến tính trên V đƣợc gọi là trù mật nếu với mọi hệ độc lập tuyến tính {x1, x2, …., xn}

và

mọi hệ {y1, y2, …,yn} V đều tồn tại phép biến đổi tuyến tính a của tập trên sao cho axi = yi ∀
i, 1

.


6

Định lý: Mọi đại số nguyên thủy đều đẳng cấu với một đại số trù mật của các phép
biến đổi tuyến tính của một không gian vector trên đại số chia đƣợc.
Giả sử X và Y là các tập hợp. Y X là tập các ánh xạ từ X vào Y.
Với mỗi tập hữu hạn { xi } của X và với mỗi ánh xạ f: X

Y ta xét tập {g ∈YX /gxi = fxi ∀i }

. Trên YX xác định tôpô (gọi là tôpô hữu hạn) mà hệ cơ sở các tập mở bao gồm các tập hợp
đƣợc xác định nhƣ trên. Đặc biệt X=Y=V với V là không gian vector trên đại số chia đƣợc

thì End

V là không gian con đóng của V và một tập các phép biến đổi tuyến tính trên V

mà trù mật theo nghĩa trên thì cũng trù mật theo nghĩa tôpô. Các phép toán của không gian
vector V là các ánh xạ liên tục.

B. Các đồng nhất thức
1) Đại số tự do với tệp đếm đƣợc các phần tử sinh:
Giả sử X là vị nhóm tự do sinh bởi một tập đếm đƣợc các phần tử x1 , x2

Gọi

K[X] là đại số vị nhóm của X trên K. Nó đƣợc gọi là đại số tự do với tập đếm đƣợc các phần
tử sinh. X đƣợc nhúng vào K[X] và phép nhúng nhƣng i: X
là một đại số bất kỳ và ánh xạ : X

K[X] có tính phổ dụng: Với A

A luôn tồn tại duy nhất đồng cấu : K[X] A sao cho

i=
2. Đồng nhất thức:
Nếu f ∈ K[X] thì f∈K{x1 x2,... ,xm } với K{x1,x2….. xm }là đại số con sinh bởi
tập hữu hạn { x1, x2, . . . , xm} với m nào đó. Do đó ta viết f = f(x1 x2, ..., xm).


7

Nếu f = f(x1, x2, . . . , xm ) ∈ K[X] và A là một đại số thì ∀a1,a2….am ∈A, xét
ánh xạ: X

A mà xi

ai sẽ tồn tại duy nhất đồng cấu

: K[X]

A. Ta gọi ảnh của f qua

đồng cấu này là f(a1, a2,..., am ).

Định nghĩa: Nếu f(a1, a2,... ,am) = 0 ∀ a1, a2,..., am ∈ A thì ta nói rằng f là một đồng
nhất thức trên A trên tập các phép thế của n phần tử.
3) Đa thức chuẩn tắc: Đa thức chuẩn tắc bậc n là đa thức:

Trên tập các phép thế của n phần tử.


8

CHƢƠNG II: CÁC RADICAL CỦA CÁC PI - ĐẠI SỐ
Trong chƣơng này, chúng ta trình bày các kết quả về upper nil radical, lower nil
radical, Levitzki nil radical và radical Jacobson trên các PI-dạị số. Khái niệm các PI-đại số
đƣợc xem nhƣ một sự tổng quát hoá khái niệm các đại số giao hoán. Ta sẽ chứng minh upper
nil radical, lower nil radical và Levitzki nil radical của các đại số giao hoán là trùng nhau. Kết
quả nói trên đối với các đại số giao hoán đƣợc tổng quát hoá đối vơi một PI-đạị số bất kỳ.
Chúng ta cũng đƣa ra một số trƣờng hợp trong đó các nil radical nói trên trùng với radical
Jacobson. Đồng thời cũng đƣa ra một số trƣờng hợp trong đó chúng không trùng với radical
dacobson.

A. Các Radical của một đại số
Trƣớc nhất, chúng ta đƣa ra định nghĩa về các radical của một đại số A (không nhất
thiết giao hoán, có đơn vị) trên vành K có đơn vị, giao hoán. Các khái niệm về đại số nguyên
tố, nửa nguyên tố, nil đại số, đại số lũy linh và lũy linh địa phƣơng không có gì thay đổi so
vơi việc xét các đại số có đơn vị.
Do bổ đề 1.4 ở chƣơng trƣớc , các định nghĩa về upper nil radical và Levitzki nil
radical nhƣ sau đây là hợp lý. Viêc định nghĩa lower nil radical khó khăn hơn vì tổng các
ideal lũy linh không nhất thiết là lũy linh.


9

Upper nil radical
Định nghĩa II.1: Nil ideal tối đại cứa một đại số A đƣợc gọi là upper nil radical của A.

Levitzki nil radical
Định nghĩa II.2: Ideal lũy linh địa phƣơng tối đại của một đại số A đƣợc gọi là Levitzki nil
radical của A.

Lower nil radical
Tổng tắt cả các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng
này là N(0). Ta định nghĩa một dãy siêu hạn các ideal nhƣ sau:
N(0) đã đƣợc xác định nhƣ ở trên. Nếu

là tự số không là tự số giới hạn thì

=

+ 1,

ta định nghĩa N( ) là ideal trong A sao cho N( )/N( ) là tổng tất cả các ideal lũy linh của
A/N( ). Còn nếu

là tự số giới hạn thì định nghĩa N( ) = ⋃

Rõ ràng N( )c N( ') nếu

<

.

' cho nên tồn tại tự số đầu tiên sao cho N( ) = N( +

1). Do N(0) là nil ideal nên N( ) là nil ideal.
Định nghĩa II.3: N( ) đƣợc gọi là lovver nil radical của A.
Radical Jacobson
Định nghĩa 11.4: Giao tất cả các ideal phải tối đại, chính qui của đại số A đƣợc gọi là
Radiacal Jacobson của A.
Ta ký hiệu: Upper nil radical của A là Un(A).
Levitzki nil radical của A là L(A).
Lower nil radical của A là ln(A).
Radical Jacobson của A là J(A).


10

Mục tiêu của chúng ta là khảo sát cấc radical nói trên đối với cấc PI-đại số. Để có thể
thấy đƣợc các kết quả về các radical của các PI-đại số, chúng ta sẽ trƣớc nhất xem xét các
tính chất về các radical nói trên.
Mệnh đề II.1: A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác không ( Tức là A/ln(A) là đại số nửa
nguyên tố ).
Chứng minh:
Theo định nghĩa ln(A) = N( ) = N( +1). Nhƣng N( +1) là ideal trong A sao cho N(
+1)/N( ) là tổng các ideal lũy linh của A/N( ). Suy ra tổng các ideal lũy linh của A/N( )
bằng không. Do đó A/N( ) không chứa ideal lũy linh khác không.

Mệnh đề II.2: ln(A) trùng với giao các ideal nguyên tố của A.
Chứng minh:
Trƣớc hết ta chứng minh các bổ đề sau:
Bổ đề II.2.1: Đại số A là đại số nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con các đại
số nguyên tố.

Chứng minh Bổ đề II.2.1
Giả sử A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố A
linh của A. Rõ ràng N

=

(N) là ideal lũy linh A

0. Điều này đúng với mọi a nên N

.Vì A

và giả sử N là ideal lũy

là đại số nguyên tố nên N

=

= 0. Nhƣ vậy A không, chứa ideal lũy linh khác không.

Tức là A là đại số nửa nguyên tố.
Ngƣợc lại, giả sử A là đại số nửa nguyên tố và giả sử B
∈B, b1

0 thì Ab1A là ideal

chứa ideal Ab1A lũy linh
0

3 a1∈A

0 là ideal của A. Chọn b1

0 chứa trong B. Do (Ab1A)2 = Ab1Ab1A

0 ( vì nếu không A

0, trái với tính nửa nguyên tố của A ). Vì Ab1Ab1A

0

bịAb1


11

0 và b2 ∈ B. Cứ tiếp tục theo cách trên ta đƣợc một dãy các phần tử b1,

sao cho b2 = b1a1b1

b2 = b1a1b1, b3 = b2a2b2, . . . trong đó bi

0, bi ∈B. Đối với dãy nói trên , rõ ràng ta có bk

=biaijbj nếu k > i, j trong đó aij∈A. Do ∀ i, bi
cho Q { bi} =

0 nên (0) { bi} = . Xét họ các ideal Q sao

thì áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra tồn tại ideal P là phần tử tối đại của họ trên.

Ta chứng minh P là ideal nguyên tố của A. Thật vậy, giả sử C vàD là các ideal của A thỏa
mẫn C

0 (mod P), D

0 (mod P). Xét C1 = C + P thì C1 P, C1

tính tối đại của P). Tƣơng tự
C1D1

(bk ∈ C1D1, bk

minh đƣợc nếu C

bj ∈ D1 = D + p. Nếu k > i, j thì bk = biaijbj ∈ C1D1. Do đó

P). Vì C1D1

CD + P nên CD

0(mod P).Nhƣ vậy ta đã chứng

0(mod P). Có nghĩa là P là ideal

0(mod P), D 0(mod P) thì CD

nguyên tố. Tóm lại ta đã chứng minh đƣợc : nếu B là ideal
tố P mà B

p. Do đó bi ∈ C1 (do

0 của A thì tồn tại ideal nguyên

P

(do { bi } B mà { bi } P. Xét

⋂

, nếu

⋂

0 thì x

0,x ∈ Q

đối với mọi ideal nguyên tố Q. Khi đó xét B = AxA thì đó sẽ là ideal khác không của A mà B
Q đối với mọi ideal nguyên tố Q. Trái với điều vừa thấy ở trên. Vậy ⋂
A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố
Bổ đề II.2.2: Nếu B là ideal của A và { |
của A chứa B thì ⋂

∈

= ⋂

}, a∈A là một họ các ideal

∈

Chứng minh Bổ đề II.2.2: Hiển nhiên.
Bổ đề II.2.3: Q là ideal nguyên tố của A/B khi và chỉ khi Q = P/B với p là
ideal nguyên tố của A chứa B

=0


12

Chứng minh Bổ đề II.2.3:
Giả sử Q là ideal nguyên tố của A/B. Thế thì Q = P/B, ta chứng minh P nguyên tố.
Thật vậy, giả sử CD = 0 (mod P)

cd∈ p ∀ c ∈ c, ∀ d∈ D

cd+B∈Q (c+ B)(d +

B)∈Q c∈P hoặc d∈P. Tức là C≡ 0 (mod P) hoặc D≡O(mod P).
Ngƣợc lại, giả sử P là ideal nguyên tố của A chứa B và Q = P/B. Ta chứng minh Q là
ideal nguyên tố của A/B. Thật vậy, nếu (c + B)(d + B)∈Q

cd+B∈Q cd∈P c∈P hoặc d ∈P

(vì P nguyên tố).
Dùng các bổ đề trên ta chứng minh Mệnh đề II.2 nhƣ sau:
Gọi N' =⋂
⋂

. Theo Bổ đề II.2.2 ta có :
=(⋂
)/N’=0

Áp dụng Bổ đề II.2.1 ta suy ra A/N' nửa nguyên tố. Do đó A/N' không chứa ideal lũy
linh khác không.
Nếu N là ideal lũy linh của A thì do (N + N')/N'

N / (N∩N") ta suy ra (N + N')/ N'

là ideal lũy linh của A/N'. Nhƣng A/N' không chứa ideal lũy linh khác không cho nên (N +
N')/ N' = 0. Vì vậy N N'. Nhƣ vậy mọi ideal lũy linh của A đều
Giả thiết N( β)

N' thì khi đó với mọi ideal N

(N + N')/N' = N /(N∩N'). Mà N∩N'

N'. Do đó N(0)

N'.

N(p) sao cho N/N(P) lũy linh, ta có

N(β) nên N/ (N∩N') lũy linh

Do A/N' không chứa ideal lũy linh khác không nên (N + N')/N' = 0

(N + N')/N' lũy linh.
N

N\ Nhƣ thế có

nghĩa là nếu N' N(β) thì N' chứa mọi ideal N sao cho N/N(P) lũy linh. Suy ra N' N (β+1).
Phép qui nạp siêu hạn cho ta N' N(τ) = ln(A).
Ngƣợc lại, do A/ N(τ) = A/ LN(A) không chứa ideal lũy linh khác không (Mệnh đề
II.1 ) nên A/N(τ) nửa nguyên tố ⋂
II.2.1). Áp dụng bổ đề II.2.2 ta suy ra ⋂

= 0 (theo P/N(t) nguyên tố bổ đề
= N(


13

Nhƣng

Do vậy :
Mệnh đề II.2 đƣợc chứng minh xong
Nhận xét :Từ Mệnh đề trên thấy ngay rằng đại số A là nửa nguyên tố khỉ và chỉ khi ln(A) =
0.
Mênh đề II.3: A/ Un(A) không chứa nil ideal khác không. ( Và vì vậy Un(A/
Un(A)) = 0 ).

Chứng minh:
Giả sử Q = P/Un(A) là nil ideal của A/Un(A). Khi đó ∀

∈ Q, vì Q là nil ideal nên k

sao cho xk ∈ Un(A). Vì Un(A) là nil ideal nên m để cho (xk)m = 0

x ∈Un(A)

= 0.

Điều trên đúng ∀ ∈ Q nên Q = 0. Nhƣ vậy A/Un(A) không chứa nil ideal khác không. Suy ra
Un(A/Un(A)) = 0.
Mệnh đề II.4: A/ L(A) không chứa ideal lũy linh địa phƣơng khác không ( Và vì vậy
L(A/L(A)) =0).
Chứng minh:
Giả sử p/L(A) là ideal lũy linh địa phƣơng của A/L(A). Vì L(A) và p/L(A) lũy linh địa
phƣơng nên P lũy linh địa phƣơng. Do tính tối đại của L(A) ta có

L(A)

/L(A) = 0.

Nhƣ vậy A/L(A) chỉ có 0 là ideal lũy linh địa phƣơng duy nhất. Vậy L(A/L(A)) = 0.
Mệnh đề II.5 J(A) là ideal hai phía của A, tựa chính qui hai phía,chứa mọi ideal phải tựa
chính qui phải và chứa mọi ideal trái tựa chính qui trái.
Chứng minh: Trƣớc hết ta chứng minh một số bổ đề:


14

Bổ đề II.5.1: Nếu

là ideal phải chính qui của A, thì

phải tối đại , chính qui của A sao cho

0

0

là ideal

.

Chứng minh Bổ đề II.5.1:
Thật vậy, giả sử
x- ax ∈

là ideal phải chính qui của A,

∀ x ∈ A. Thế thì a

chính qui nên a ∈A để

A. Vì

(vì nếu không ∀ x ∈ A do x-ax ∈ , ax ∈

= ) a∈ A Xét họ

tất cả các ideal phải thực sự của A, chứa

Bổ đề II.5.1: Nếu

là ideal phải chính quy của A , thì

nên x ∈

thì rõ ràng ∀ 1∈

A
1

là B

là ideal phải tối đại, chính của A

sao cho
Chứng minh Bổ đề II.5.1:
Thật vậy, giả sử
∈

là ideal phải chình qui của A, p

∀ x ∈ A. Thế thì a

Xét họ

minh

0

chính quy nên

( vì nếu không ∀ x ∈ A do x – ax ∈ , ax ∈

tất cả các ideal phải thực sự của A, chứa

chính quy của A và a

A. Vì

1.

thi rõ ràng ∀

Áp dụng bổ đề Zorn ta suy ra

là ideal tối đại của A. Thật vậy giả sử

. Thế thì a ∈

. Nhƣ vậy

1

a ∈ A để x – ax

nên x ∈

∈

có phần tử tối đại

A= ).

1 là

ideal phải

0.

Ta chứng

là ideal phải của A sao cho

,

là ideal phải tối đại, chính qui của A,

Bổ đề II.5.2: J(A) là ideal phải.tựa chính qui phải của A.
Chứng minh Bổ đề II.5.2:
∀x ∈ J(A), ta xét I = { xy + y / y∈ A}. Vì (xy + y)z = xyz + yz = = xy' + y’ với y’ =

yz ∈ A nên I là ideal phải của A. Mặt khác, nếu ta gọi a = - x thì ∀ y∈ A ta có y - ay = xy + y
∈ I cho nếu I là ideal phải chính qui của A. Ta chứng minh I = A.
Giả sử ngƣợc lại I A, I

0

0 trong

đó

xy ∈

0

0

đều

là ideal phải tối đại chính qui. Do x∈J(A)

và vì xy + y ∈ I

Do I = A

A. Vì I là ideal phải chính qui nên theo bổ đề II.5.1 thì I

-x ∈ I

0

nên y ∈

0

0

x∈

0

. Khi đó ∀ y∈A, do x∈

= A vô lý. Mâu thuẫn này chứng tỏ I = A.

w∈A sao cho -x =xw + w

x+w+xw = 0. Nhƣ vậy ∀ x∈J(A)

w∈ A sao cho x+w+xw = 0. Cho nên J(A) tựa chính qui phải.
Bổ đề II.5.2 đƣợc chứng minh xong.


15

Bổ đề II.5.3: Gọi

( Ở đây Ann(M) = { a ∈ A/ Ma={0}).
Khi đó

đối với mọi là ideal phải, tựa chính qui

phải bất kỳ của A.
Chứng minh Bổ đề II.5.3:
Thật vậy giả sử ngƣợc lại
m∈M, m

M là A modun bất khả qui sao cho M

{0}

{0}. Khi đó vì m là modun con của M, M bất khả qui nên m

0 sao cho m

= M. Do đó t ∈ sao cho mt =-m. Những t ∈ , mà tựa chính qui phải nên

s∈ A sao cho t

+ s + ts = 0. Suy ra 0 = m(t + s + ts) = mt + ms + m(ts) = - m + ms + (-m)s = -m

m = 0. Mâu

thuẫn.
Bổ đề II.5.4: Giả sử là ideal phải chính qui của A.
Gọi ( : A) ={ x∈A / Ax

} thì :

a) ( : A)=Ann(M) với M=A/ và là ideal hai phía của A
b) ( : A) là ideal hai phía lớn nhất chứa trong .
Chứng minh Bổ đề II.5.4:
a) Dễ dàng kiểm tra đƣợc rằng ( : A) là ideal hai phía của A. ∀a∈Ann(M)
a∈ ( : A). Vậy Ann(M)

= Ma =0

Aa

Aa/

(A/ )a = 0 Ma = 0

=0

( : A). Ngƣợc lại ∀a∈ ( : A)

a∈Ann(M). Vậy ( : A)

Ann(M). Suy ra

(A/ )a
Aa c
( : A) =

Ann(M).
b) ∀x∈ ( : A), do chính qui nên a ∈ A sao cho x - ax∈ . Nhƣng vì Ax
x∈ . Vây ( : A)
∈

1

VxeA

Ab

. Giả sử rằng

1

b ∈ (p : A). Vậy

là ideal hai phía của A,
1

( : A).

Bổ đề II.5.5:

( là ideal nói đến trong bổ đề II.5.3)

1

nên ax ∈

. Khi đó ∀b∈

1

xb


16

Chứng minh Bổ đề II.5.5: Vì theo bổ đề II.5.2 J(A) là ideal tựa chính qui phải của A nên
theo bổ đề II.5.3 J(A) c X.
Ngƣợc lại, ta biết rằng A modun phải M là bất khả qui
tối đại, chính qui của A. Áp dụng bổ đề II.5.4 ta có
Nhƣng vì ( : A)

M -A/ với

là ideal phải

= ⋂

.

liên suy ra ⋂

Bổ đề II.5.5 đƣợc chứng minh xong.
Ta áp dụng các bổ đề nêu trên để chứng minh mệnh đề II.5:
Ta thấy rằng J(A) là ideal hai phía vì là giao của các ideal hai phía (
J(A) là ideal tựa chính qui phải và vì J(A) =

: A). Đồng thời

nên theo bổ đề II.5.3 J(A) chứa mọi ideal phải

tựa chính qui phải. Mặt khác ta thấy: ∀a∈ J(A), vì J(A) tựa chính qui phải nên a'∈ A sao cho:
a+a'+aa'=0.

(*)

Nhƣng a, aa' ∈J(A) nên a' ∈J(A). Lại do a'∈ J(A) nên a'∈A sao cho :
a'+a"+a'a" =0. (**)
Từ (*)và (**)

aa" + a'a" +aa'a" = 0 và aa' + aa" + aa'a" = 0

và (** ) ta đƣợc a + a' - a' + a"

a'a" = aa'. Thay vào (* )

a = a". Thay vào (** ) ta đƣợc a + a' + a'a = 0

a tựa

chính qui trái. Nhƣ vậy đã chứng minh đƣợc J(A) tựa chính qui trái.
Nếu gọi Jt(A) là giao các ideal trái tối đại chính qui của A thì tƣơng tự nhƣ các bổ đề
trên ta sẽ chứng minh đƣợc Jt(A) là ideal hai phía, tựa chính qui trái và phải, chứa mọi ideal
trái, tựa chính qui ƣái của A.
Vì J(A) tựa chính qui trái nên J(A)

Jt(A). Vì Jt(A) tựa chính qui phải nên Jt(A)

J(A). Vậy J(A) = -Jt(A). Do đó J(A) là ideal hai phía, tựa chính qui cả hai phía và chứa mọi
ideal trái, tựa chính qui trái cũng nhƣ mọi ideal phải, tựa chính qui phải.


17

Mệnh đề II.6: J(A) chứa mọi nil ideal trái và phải của A
Chứng minh:
n sao cho an = 0.

là nil ideal của A. Khi đó ∀ a ∈

Giả sử

Gọi b = -a + a2 - a3 +…+ (-1)n-1 an-1 . Khi đó ta thấy ngay a + b + ab = 0 và a + b + ba = 0. Có
nghĩa là a tựa chính qui cả trái lẫn phải. Do đó a ∈ J(A). Cho nên

J(A).

Mệnh đề II.7: J(A/J(A)) = 0
Chứng minh:
Gọi
của A thì

= A/J(A). Theo định nghĩa của J(A) ta thấy ∀
J(A). Gọi

=

/ J(A) = {x + J(A) / x ∈

Giả sử . là ideal phải của ,
vì

là ideal tối đại của A )

,
=

thì

} thì rõ ràng

là ideal phải của A,

. Điều đó chứng tỏ rằng

ideal phải, chính qui phải của A nên a∈ A sao cho y - ay ∈
chứng tỏ rằng

là ideal phải của A .
,

=A(

là ideal tối đại của A. Do
∀y∈ A

-

∈

là

. Điều đó

là ideal chính qui phải của . Nhƣ vậy với mọi ideal phải, tối đại, chính qui

phải của A thì
⋃

là ideal phải tối đại, chính qui

là ideal phải, tối đại, chính qui phải của ̅. Nhƣng do J(A) =
nên suy ra

Mệnh đề II.7 đƣợc chứng minh xong.