Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết độ từ hóa của các hệ spin giả hai chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ 
HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC


Hà Nội – Năm 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Lê Thị Ngân

LÝ THUYẾT ĐỘ TỪ HÓA CỦA CÁC HỆ SPIN GIẢ HAI 
CHIỀU

Chuyên ngành: Vật Lý Lý Thuyết và Vật Lý Toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

                                                          NG ƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA H ỌC:
                                           GS.TS Bạch Thành Công

2


Hà Nội – Năm 2015

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới GS. TS Bạch Thành 
Công. Cảm ơn thầy đã nhiệt tình giúp đỡ để em hoàn thành đề tài luận văn đạt kết 
quả tốt nhất. Em chân thành cảm ơn thầy!
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến GS. TS Nguyễn Quang Báu cũng các thầy cô trong 
bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý toán đã ủng hộ và tạo điều kiện để em thuận lợi 
hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.37 đã hỗ trợ nghiên cứu.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, động viên và 
là hậu phương vững chắc cho con trong giai đoạn này.
Xin chân thành cảm ơn!

3


DANH MỤC HÌNH VẼ
Nội dung

Trang

Hình 1a

Tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở bên dưới bao 
quanh cực E = ­iε

14

Hình 1b

Tích phân γ khép kín trong mặt phẳng phức E ở nửa mặt phẳng 
phía trên

14

Hình 2

Mô hình màng mỏng gồm nhiều lớp spin nguyên tử  trong hệ  tọa  
độ

28

Hình 3.1

Sự  phụ  thuộc của độ  từ  hóa  m  của màng mỏng từ  đơn lớp vào 
nhiệt độ

38

Hình 3.2

Sự  phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở  các 
nhiệt độ khác nhau, trường hợp S=1, ρ=1.7

39

Hình 3.3

Sự  phụ  thuộc của phổ  năng lượng sóng spin vào vectơ  sóng trong 
không gian ba chiều, trường hợp S=1, ρ=1.7

39

Hình 3.4

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng 
nhiệt độ τ=0.01

40

Hình 3.5

Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt 
độ

44

Hình 3.6

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở 
cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp, S=1

45

Hình 3.7

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở 
cùng nhiệt độ (lát cắt trong không gian ba chiều), trường hợp màng 
mỏng từ hai lớp,  η=1.2

45

Hình 3.8

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở 
cùng nhiệt độ (trong không gian ba chiều), trường hợp màng mỏng 
từ hai lớp,  η=1.2

46

Hình 3.9

Sự phụ thuộc của phổ năng lượng của sóng spin vào vectơ sóng ở 
cùng nhiệt độ trong trường hợp màng mỏng từ hai lớp,  η=1.2

46

Hình 3.10 Sự phụ thuộc của độ từ hóa m của màng mỏng từ hai lớp vào nhiệt 

49

Hình 3.11 Sự phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ sóng ở cùng 

50

độ 

4


nhiệt độ, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị hướng, η=1.2, S=1
Hình 3.12 Sự  phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ  sóng  ở  các 

50

Hình 3.13 Sự  phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ  sóng  ở  các 

51

Hình 3.14 Sự  phụ thuộc của phổ năng lượng sóng spin vào vectơ  sóng  ở  các 

51

nhiệt độ  khác nhau, trường hợp màng mỏng 2 lớp có dị  hướng 
ρ=1.7, , S=1
nhiệt độ khác nhau (lát cắt trong không gian ba chiều), trường hợp  
màng mỏng 2 lớp có dị hướng ρ=1.7, , S=1
nhiệt độ  khác nhau (trong không gian ba chiều), trường hợp màng 
mỏng 2 lớp có dị hướng

5


 MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1.

Lý do chọn đề tài:

Vật liệu nano (nano materials) là một trong những lĩnh vực nghiên cứu đỉnh  
cao sôi động nhất trong thời gian gần đây. Điều đó được thể hiện bằng số các công  
trình khoa học, số  các bằng phát minh sáng chế, số  các công ty có liên quan đến 
khoa học, công nghệ nano gia tăng theo cấp số mũ. Con số ước tính về số tiền đầu  
tư  vào lĩnh vực này lên đến 8,6 tỷ  đô la vào năm 2004. Khi ta nói đến nano là nói 
đến một phần tỷ của cái gì đó, ví dụ, một nano giây là một khoảng thời gian bằng  
một phần tỷ của một giây. Còn nano mà chúng ta dùng ở đây có nghĩa là nano mét, 
một phần tỷ của một mét. Nói một cách rõ hơn là vật liệu chất rắn có kích thước 
nm vì yếu tố quan trọng nhất mà chúng ta sẽ làm việc là vật liệu ở trạng thái rắn. 
Vật liệu nano là vật liệu trong đó ít nhất có một chiều có kích thước nano  
mét (nm). Về  trạng thái của vật liệu, người ta phân chia thành ba trạng thái rắn, 
lỏng và khí. Vật liệu nano được tập trung nghiên cứu hiện nay, chủ yếu là vật liệu  
rắn, sau đó mới đến chất lỏng và chất khí. Về hình dáng vật liệu, người ta phân ra  
thành các loại sau:
Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano), ví dụ: đám 
nano, hạt nano, …
Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano,  
ví dụ: dây nano, ống nano, …
Vật liệu nano hai chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thước nano, ví  
dụ: màng mỏng, …


Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano hay nanocomposite trong đó chỉ có  
một phần của vật liệu có kích thước nano, hoặc cấu trúc của nó có nano không  
chiều, một chiều, hai chiều đan xen lẫn nhau.

Hiện nay màng mỏng đang là một lĩnh vực nghiên cứu mạnh mẽ  của khoa 
học và công nghệ vật liệu, vật lý chất rắn... với nhiều khả năng  ứng dụng to lớn 
trong đời sống hàng ngày, trong  sản xuất.  Màng mỏng  (tiếng Anh:  Thin film) là 
một hay nhiều lớp vật liệu được chế  tạo sao cho chiều dày nhỏ  hơn rất nhiều so  
với các chiều còn lại (chiều rộng và chiều dài). Khái niệm "mỏng" trong màng  
mỏng rất đa dạng, có thể  chỉ  từ  vài lớp  nguyên tử, đến vài nanomet, hay hàng 
micromet. Khi chiều dày của màng mỏng đủ  nhỏ  so với quãng đường tự  do trung 
bình của điện tử hoặc các chiều dài tương tác thì tính chất của màng mỏng hoàn 
toàn thay đổi so với tính chất của vật liệu khối. Hiệu  ứng thay đổi tính chất rõ rệt  
nhất về tính chất của màng mỏng là hiệu ứng bề  mặt. Khi vật liệu có kích thước  
nm, các số  nguyên tử  nằm trên bề  mặt sẽ  chiếm tỉ  lệ  đáng kể  so với tổng số 
nguyên tử. Chính vì vậy, các hiệu ứng có liên quan đến bề mặt, gọi tắt là hiệu ứng  
bề mặt sẽ trở nên quan trọng làm cho tính chất của vật liệu có kích thước nm khác 
biệt so với vật liệu  ở  dạng khối. Ví dụ  như  trong các vật liệu sắt từ,  ở  vật liệu 
dạng khối, dị hướng từ tinh thể ảnh hưởng rất lớn đến tính chất từ, nhưng khi chế 
tạo ở các màng đủ mỏng, dị hướng từ tinh thể có thể biến mất mà thay vào đó là dị 
hướng từ bề mặt.
Màng vật liệu từ tính có trạng thái vật lý ở thể rắn là với chiều dày khoảng 
vài μm (nhỏ hơn 5μm), còn được biết với tên gọi màng sắt từ  hay màng từ. Màng  
từ  có thể  là đơn tinh thể, đa tinh thể, vô định hình hoặc là đa lớp.  Ứng dụng bao 
gồm các lĩnh vực bộ lưu trữ quang từ, đầu ghi cảm ứng, cảm biến từ trở, các thành  
phần xử lý và lưu trữ của máy tính. Màng mỏng từ tính và tính chất của nó đã thu  
hút rất nhiều sự  quan tâm chú ý của nhiều nhà khoa học trong suốt 30 năm qua. 
Đặc biệt là những hiệu ứng liên quan đến sự phụ thuộc vào độ dày màng mỏng [3],  
[8]. Ví dụ: hình 1 (xem [3]) cho thấy nhiệt độ  Curie giảm khi độ  dày màng mỏng 
giảm và tỷ số hằng số mạng  tăng khi độ dày màng mỏng giảm


Một số tác giả đã nghiên cứu và chỉ ra được sự phụ thuộc độ từ hóa và nhiệt 
độ  Curie vào độ  dày màng mỏng bằng phương pháp phiếm hàm mật độ  (DFT) và 

phương pháp tích phân phiếm hàm [6], [7]. 
Dựa trên những ý tưởng đó, luận văn này sẽ đi sâu nghiên cứu về độ từ  hóa 
và sóng spin màng từ siêu mỏng với vài lớp spin nguyên tử bằng phương pháp hàm 
Green   nhiệt   độ   hai   thời   điểm   và   phương   pháp   gần   đúng   ngắt   chuỗi   của  
Bogolyubov và Tiablikov. Với tên luận án là: “Lý thuyết độ  từ  hóa của các hệ 
spin giả hai chiều”.

2.

Phương pháp nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng ta sử dụng phương pháp hàm Green nhiệt độ  hai  
thời điểm và phương pháp ngắt chuỗi của Bogolyubov và Tiablikov để  nghiên cứu 
tính toán. Đồng thời, công cụ Matlab cũng được sử  dụng để  tính toán số  và vẽ  đồ 
thị.

3.

Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương chính
­

Chương   1:   Hàm   Green   nhiệt   độ   hai   thời   điểm.   Chương   này   là   lý 

thuyết về  phương pháp hàm Green nhiệt độ  hai thời điểm; về  Hamiltonian sắt từ 
và các toán tử  spin, về  phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên. Đây là cơ  sở  lý  
thuyết   để   ta   đi   thiết   lập   phương   tình   tổng   quát   cho   màng   mỏng   từ   tính   trong 
chương 2.
­

Chương 2: Độ từ hóa và phổ sóng spin trong màng mỏng từ trong gần 

đúng Bogolyubov và Tiablikov. Dựa trên cơ sở lý thuyết ở chương 1, ta sẽ tính toán  
để nhận chuỗi móc xích cho hàm Green xây dựng trên các toán tử  spin trong màng 


mỏng   và   ngắt   chuỗi   hàm   Green   trong   gần   đúng   Bogolibov­Tiablikov.   Đưa   ra 
phương trình xác định phổ năng lương sóng spin và độ từ hóa phụ thuộc nhiệt độ.
­

Chương 3: Độ  từ  hóa và phổ  sóng spin trong màng mỏng đơn lớp và  

hai lớp spin nguyên tử. Áp dụng biểu thức được thiết lập cho màng mỏng từ  gồm  
vài lớp spin nguyên tử   ở  chương 2 để  tìm biểu thức độ  từ  hóa và biểu thức phổ 
năng lượng của sóng spin trong các trường hợp cụ thể: trường hợp màng mỏng đơn 
lớp với trao đổi dị  hướng trong mặt màng; trường hợp màng mỏng gồm hai lớp 
nguyên tử với sự ảnh hưởng của tích phân dị hướng trong mặt lớp và giữa các lớp 
lên độ từ hóa và phổ sóng spin.

CHƯƠ NG 1
HÀM GREEN NHI ỆT ĐỘ HAI THỜI ĐIỂM


Chương 1 đưa ra tổng quan về   phương pháp hàm Green nhiệt độ  hai thời 
điểm, Hamiltonian từ  và phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) làm cơ  sở 
khoa học cho việc tính toán ở các chương sau.
Phương pháp hàm Green nhiệt độ  hai thời điểm có  ứng dụng rất rộng rãi 
trong vật lý thống kê đó là một công cụ hữu hiệu để tính toán các đặc trưng vĩ mô 
và vi mô (ví dụ năng lượng kích thích cơ bản, thời gian sống của hạt …). Trong các  

bài toán động học như  tính độ  dẫn điện, độ  cảm từ, hệ  số  động học … người ta 
cũng thường sử  dụng phương pháp hàm Green. Phương pháp hàm Green hai thời  
điểm cho các hệ từ tính được mô tả trong [9].

1.1

Hàm tương quan thời gian và hàm Green

1.1.1 Hàm tương quan thời gian
Cho A(t) và B(t’) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg
                             

(1.1)

Ở  đây H là Hamiltonian của hệ  (ta coi H chứa cả số hạng ­λ  với  λ  là hoá 
,
thế  và là toán tử  số  hạt tổng cộng trong hệ). Trong trường hợp tổng quát A, B có 
thể  là tích của các hàm sóng lượng tử  hoá hay các toán tử  sinh huỷ  hạt. Phương  
trình chuyển động cho các toán tử có dạng:
hay
                                

(1.2)

Giao hoán tử   ở  phía bên phải của (1.2) có thể  chứa nhiều số  toán tử  tuỳ 
thuộc vào dạng của Hamiltonian H .
Ta định nghĩa hàm tương quan thời gian của hai toán tử A(t), B(t’) là
FAB(t,t’)=
(1.3)
                                             

Ngoặc nhọn  <…> biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H.
<A> = Tr (ρ A)                                             (1.4a)
Ở đây ρ là toán tử thống kê ( Tr là ký hiệu lấy vết – Trace)
, θ=kBT                                    (1.4b)
Q còn là tổng thống kê
                                             

(1.4c)

Mối quan hệ  giữa tổng thống kê và thế  nhiệt động  Ω  thể  hiện qua đẳng 
thức
                                        

(1.4d)

( Hoặc = Tr () = Q ). Toán tử thống kê còn được viết là
                                                 (1.5)
Do tính chất bất biến của vết –  Tr với hoán vị  tuần hoàn các toán tử  dưới  
dấu vết Tr nên hàm tương quan (1.3) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’). Thật  
vậy

                             = 
Hay  FAB(t,t’) = FAB(t­t’)                                                                                (1.6)
Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tương quan thời gian trở thành trung bình 
thống kê thông thường
                                

(1.7)

Lấy đạo hàm của hàm tương quan thời gian (1.3) theo một biến thời gian (t  
chẳng hạn) ta sẽ  có phương trình mô tả  sự  biến đổi của nó theo thời gian (xem  
(1.2)).
Hay


                                 

(1.8)

Phía bên phải của (1.8) chứa giao hoán tử của A(t) với H nói chung chứa một 
số toán tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tương quan bậc cao hơn. Hoàn toàn tương  
tự nếu lấy đạo hàm bên phải của (1.8) theo t ta được hệ  các phương trình chuyển 
động kiểu móc xích
                         

(1.9)

Hệ móc xích các phương trình chuyển động (1.8), (1.9) không giải chính xác 
được mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó ví dụ  ngắt chuỗi phương 
trình đó  ở  một bước nào đó để  nhận được một hệ  phương trình hữu hạn sau đó  
giải hệ để tìm biểu thức cho hàm tương quan.

1.1.2 Hàm Green
Chúng   ta   định   nghĩa   hàm  Green  chậm   (ký   hiệu   r   –  retarded),   nhanh   (a   – 
advanced) và nguyên nhân (c – causal) như sau:
                 
                

(1.10a)

(1.10b)

                           

(1.10c)

Ở  đây ký hiệu giao hoán tử   và trật tự  thời gian  cũng như  hàm bậc thang  
θ(x) có ý nghĩa là
                                
                    

(1.11a)

(1.11b)

                                                           

(1.11c)


Tham số   ξ  = 1 hay ­1 được chọn tuỳ  theo sự tiện lợi không phụ  thuộc vào  
định luật giao hoán cho A, B. Thông thường người ta chọn ξ = 1 nếu các toán tử A,  
B thể hiện qua các toán tử  kiểu Bose và  ξ  = ­1 nếu chúng được thể  hiện qua các 
toán tử kiểu Fermi.
Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng được biểu thị  qua các 
hàm tương quan (1.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’).
   (j = r, a, c)                                    (1.12)
Theo định nghĩa hàm Green  phụ thuộc tuyến tính vào các tham số trước toán 

tử A, B hay
            

(1.13)

Với α1, α2 là các số tuỳ ý.
Bây giờ ta sẽ lập phương trình chuyển động cho hàm Green bằng cách đạo  
hàm (1.10a), (1.10b), (1.10c) theo t. Khi đó chúng ta phải biết cách đạo hàm hàm bậc 
thang θ(t). Để làm việc này ta dùng biểu diễn tích phân sau của hàm gián đoạn θ(t)
        ()                               (1.14)
Ở đây δ(t) là hàm delta – Dirac. Chú ý rằng theo (1.14)
                                                         

(1.15)

Sử dụng (1.15), phương trình chuyển động cho toán tử (1.2), ta được phương 
trình chuyển động (viết chung cho cả ba loại hàm Green)
 (j=r,a,c)     (1.16)
Phương trình (1.16) khác với phương trình chuyển động (1.8) cho hàm tương 
quan  ở  chỗ  bên phải có số  hạng thứ  nhất với hệ  số  là hàm delta. Phương trình  
(1.16) giống với phương trình toán lý cho hàm truyền (hàm Green) cho nên các biểu 
thức (1.10a), (1.10b), (1.10c) được gọi là định nghĩa cho hàm Green nhiệt độ hai thời  
điểm.


Tương tự  như  khi nhận được chuỗi phương trình móc xích cho hàm tương 
quan thời gian, ta có thể lấy đạo hàm theo t tiếp đối với hàm Green bậc cao  ở vế 
bên phải của (1.16) (số hạng thứ hai).
  

(1.17)

(1.17) là phương trình chuyển động cho hàm Green . Nếu lấy đạo hàm theo t 
tiếp cho hàm Green bậc cao hơn nữa (số hạng thứ hai trong bên phải của (1.17)) và  
tiếp tục quá trình đó ta sẽ  nhận được chuỗi phương trình móc xích cho các hàm 
Green

Chuỗi phương trình móc xích cho ta loại hàm Green chậm, nhanh và nguyên  
nhân đều như nhau

1.2

Biểu diễn Fourier cho hàm Green

Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như  các hàm tương quan) ta có 
thể phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier
                            
 

(1.18a)

gọi là ảnh Fourier của nguyên hàm .

Biến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm
                                

(1.18b)

Với j = r, a, c
Sử  dụng (1.18a) ta có thể  viết phương trình chuyển động cho hàm Green 

(1.16):


Hay
                        

(1.19)

Ở  đây, ký hiệu  biểu thị  hàm Green  ảnh , còn  là hàm Green  ảnh của hàm  
Green bậc cao tương  ứng. Ngoài ra, ta đã sử  dụng biểu diễn sau cho hàm delta – 
Dirac
                                    

(1.20)

Phương trình đạo hàm Green  ảnh (1.19) được gọi là phương trình chuyển 
động cho hàm Green trong biểu diễn E (biểu diễn năng lượng).
Để  giải phương trình cho hàm Green (1.16) ta cũng cần biết điều kiện biên  
theo t của các hàm đó, điều kiện này khác nhau cho từng loại hàm Green nhanh,  
chậm, nguyên nhân. Dạng các điều kiện biên xuất phát ngay từ  định nghĩa của 
chúng (1.10a), (1.10b), (1.10c). Một cách tiện lợi hơn là ta sử dụng ảnh Fourier của  
hàm Green , khi đó vai trò điều kiện biên sẽ là biểu diễn phổ cho hàm Green hoặc  
hệ  thức tán sắc (hệ  thức tán sắc xác định cách đi vòng cực của hàm Green  ảnh,  
điều đó có nghĩa là điều kiện biên cho chính hàm Green).
Chúng ta cần thấy rằng sự  xuất hiện chuỗi phương trình móc xích (1.16), 
(1.17)… cho hàm Green là tất yếu cho hệ các hạt tương tác với nhau: ta không thể 
xét một hạt này tách rời khỏi các hạt khác. Nhiệm vụ  chính là phải tìm một cách 
gần đúng để  giải chuỗi phương trình móc xích vô hạn đó. Cách thông thường là  
ngắt chuỗi hàm Green ở một bước nào đó để nhận được hệ phương trình hữu hạn 
cho các hàm Green rồi giải.

1.3

Biểu diễn phổ cho hàm Green

1.3.1 Biểu diễn phổ cho hàm tương quan
Ta biểu thị một cách hình thức Eν và Cν là các giá trị  riêng và hàm riêng của 
Hamiltonian H của hệ


(H ­ Eν)Cν = 0 

                                         (1.21)

Hệ các hàm riêng  là hệ  đầy do đó ta có thể  viết giá trị  trung bình thống kê  
của tích hai toán tử

Vì vết (Tr) là tổng các thành phần ma trận chéo nên

    

(1.22)

Q là tổng thống kê (1.4c). Chú ý rằng
                                           

 (1.23)

Và theo định nghĩa (1.1) về các toán tử trong biểu diễn Heisenberg, (1.22) trở 
thành:

    

(1.24)

Tính toán hoàn toàn tương tự cho hàm tương quan 

Hay viết theo thứ tự giống (1.24)
(1.25)
Ta đưa vào khái niệm hàm cường độ phổ IAB(ω)
       

(1.26)

Thì   hàm   tương   quan   (1.24),   (1.25)   được   biểu   diễn   trong   dạng   tích   phân 
Fourier


                                

(1.27a)

                             (1.27b)
(1.27a), (1.27b) còn được gọi là biểu diễn phổ cho hàm tương quan thời gian.
Khi t = t’ ta có công thức cho trung bình các toán tử dưới dáng tích phân
                                              (1.28a)
                                      (1.28b)
Nhân (1.27a) và (1.28a) với  ξ  và lấy (1.27b), (1.28b) trừ  đi chúng, một cách 
tương ứng ta được biểu diễn phổ cho trung bình của các giao hoán tử.
            (1.29a)

                       

(1.29b)

Đó là các biểu thức chính xác.Tóm lại (1.27a), (1.27b), (1.29a), (1.29b) là biểu  
diễn phổ cho các hàm tương quan và cho trung bình của các giao hoán tử.

1.3.2 Biểu diễn phổ cho hàm Green
Hàm Green chậm trong biểu diễn năng lượng ((1.18b), (1.11a))

Theo (1.29a) thì

            

(1.30)

Bây giờ  ta sử  dụng biểu diễn sau cho hàm gián đoạn  θ(t) (đặt (1.20) vào 
(1.14)):
          (ε> 0)


                                            

(1.31)

Ngược lại ta có thể chứng minh theo biểu diễn tích phân (1.31) thì  như sau: 
Sử dụng tính chất của hàm biến phức cho rằng E là đại lượng phức. Áp dụng định  
lý về thặng dư:
  

(1.32)

z0 là cực của hàm f(z).
f(z) là hàm holomorphic trong mặt phẳng phức trừ ở các cực.
γ là đường chu tuyến bao quanh cực z0, có chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Khi t > 0 ta có thể  chọn đường lấy tích phân  γ  khép kín trong mặt phẳng 
phức E ở bên dưới bao quanh cực E = ­iε (hình vẽ 1.a) 

θ(t) = 1
Khi t < 0 đường lấy tích phân nằm khép kín trong nửa mặt phẳng phía bên  
trên (hình 1.b). Khi đó đường lấy tích phân không chứa điểm cực E = ­iε, hàm dưới  
dấu tích phân là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng phức phía trên và θ(t) = 0, đó là 
điều phải chứng minh.
Tích phân theo t trong công thức (1.30) trở thành:

(1.33)
Ảnh Fourier cho hàm Green chậm (1.30) bây giờ  được biểu diễn qua hàm 
cường độ phổ như sau:
                    

(1.34)


Bằng cách hoàn toàn tương tự ta có biểu diễn cho hàm Green nhanh
                        

(1.35)

((1.35) chỉ khác (1.34) khi thay +iε → ­iε)
Trong (1.33)   (1.35) E được coi là thực. Bây giờ  nếu ta coi E là đại lượng  

phức thì (1.34), (1.35) có thể viết chung làm một công thức
  

(1.36)

(1.34)  (1.36) được gọi là biểu diễn phổ cho hàm Green.
Hàm Green chậm  và nhanh  là các hàm giải tích trong nửa mặt phẳng trên 
(ImE > 0) và dưới (ImE < 0) tương  ứng. Cả  hai hàm đó có thể  xem như  một hàm  
giải tích GAB(E) có một cực trên trục thật (cho nên trong tính toán nhiều khi ta  
không viết ký hiệu hàm Green chậm, nhanh – r hoặc a).
Cũng tương tự ta có thể thiết lập biểu diễn phổ cho hàm Green nguyên nhân
                 

(1.37)

Sử dụng biểu diễn sau cho hàm delta – Dirac
                                    

(1.38)

P – ký hiệu chỉ giá trị chính
Sử dụng (1.38) ta viết (1.37) trong dạng khác

(1.39)
Hàm Green nguyên nhân (1.39) chỉ xác định trên trục thật (E thực) ở nhiệt độ 
hữu hạn θ ≠ 0 không thể khai triển vào mặt phẳng phức được, do đó người ta ít sử 
dụng nó. Từ nay về sau ta sẽ sử dụng hàm Green nhanh hoặc chậm mà thôi.


Một  ứng dụng quan trọng của biểu diễn phổ  (1.36) là ta có thể  xác định 

cường độ phổ IAB(ω) nếu biết ảnh Fourier GAB(E)
                  

(1.40)

Thật vậy, theo (1.36)

Áp dụng (1.38) cho biểu thức trong ngoặc móc, ta được

Đó là điều phải chứng minh.
Biết IAB(ω) (1.19) ta dễ  dàng tính được trung bình thống kê tích các toán tử 
theo (1.8a) hoặc (1.8b). Thí dụ (1.8b) được viết là
          

(1.41)

Nếu A là toán tử sinh hạt A = a +, B là toán tử huỷ hạt B = a thì (1.20) cho ta  
cách tính giá trị trung bình số hạt  ở một nhiệt độ xác định.

1.4

Hamiltonian sắt từ và các toán tử spin

Hamiltonian Heisenberg:Trước hết chúng ta nghiên cứu hiện tượng sắt từ 
trong tinh thể từ trật tự gồm các nguyên tử từ có spin  đứng tại nút j của mạng tinh 
thể hoàn hảo (j là chỉ số nút mạng, ta cũng kí hiệu  là vectơ chỉ vị trí nút mạng trong  
hệ toạ độ tinh thể). Các spin tại nút i và j tương tác trao đổi với nhau và độ lớn của  
tương tác đó được đặc trưng bởi tích phân trao đổi Jij. Xét về  mặt vi mô, nguyên 
nhân của tương tác trao đổi là sự  phủ  của các hàm sóng quỹ  đạo của các điện tử 
thuộc các lớp vỏ  điện tử  không chiếm đầy hoàn toàn của các nguyên tử  từ  (ở  đây  

nói về tương tác trao đổi trực tiếp, ngoài ra còn có thể có cơ chế trao đổi gián tiếp  
qua các ion hoặc điện tử trung gian).


Hamiltonian mô tả hệ spin định xứ tương tác trao đổi với nhau và được đặt 
trong trường ngoài được viết là:
                                   

(1.42)

Tổng thứ  nhất lấy theo mọi cặp (i, j) khác nhau; h – cường độ  từ  trường 
ngoài, g – nhân tử Lande,  Magneton Bohr. Số hạng thứ hai là số hạng Zeeman mô  
tả  tương tác của hệ  spin với từ  trường ngoài   hướng song song với trục z. Vì  Jij 
giảm rất nhanh khi khoảng cách giữa   và   tăng lên nên trong tính toán người ta  
thường dùng các phép gần đúng sau:
+ Gần đúng lân cận gần nhất (nearest neigbour approximation – viết tắt là  
n.n) Jij = J1 khi i và j là lân cận gần nhất, Jij = 0 khi i ≠ j không là lân cận gần nhất.
+ Gần đúng đến lân cận thứ hai (n.n.n – next nearest neigbour)
Jij = J1 (i, j là lân cận gần nhất)
Jij = J2    (i, j là lân cận thứ hai)
Jij = 0 (trong các trường hợp khác)
Để thấy rõ đóng góp vào tương tác của các spin người ta hay viết (1.42) như 
sau:
                              

(1.43)

Chỉ  số   α  chỉ  các loại spin (α=1 là n.n,  α=2 là n.n.n…) là lân cận loại nào 
tương ứng với tích phân trao đổi J1, J2 … vectơ kể từ nút j tới các nút lân cận biến  
α.

Hamiltonian (1.42), (1.43) có thể mô tả một số loại trật tự từ
­ Sắt từ (ferromagnetism – F) khi J1> 0.
­ Phản sắt từ (Antiferromagnetism – AF) khi J1< 0.
­ Cấu trúc từ xoắn (Helimagnetism – H) khi tính tới cả tương tác n.n.n, ngoài  
ra J1, J2 khác dấu nhau.


Trật tự  từ  được đặc trưng bởi “tham số  trật tự”. Thí dụ  trong trường hợp 
sắt từ ở trạng thái cơ bản tất cả các moment spin nguyên tử song song với nhau nên 
ta chọn tham số trật tự là . Điều đó có thể thấy rõ ngay vì thành phần z của moment  
từ tổng cộng
                         

(1.44)

Ta chọn là tham số trật tự hoặc  σ là tham số trật tự cũng được (σ còn được 
Sz

gọi là từ  độ tỷ  đối). Vì 

 chỉ khác với Mz một hằng số nên nhiều khi người ta 

cũng gọi nó là độ từ hoá (khi dùng thuật ngữ này ta hiểu N là số nguyên tử  hay số 
spin trong một đơn vị thể tích).
Tham số trật tự trong trường hợp AF được chọn là độ từ hoá của một trong  
hai phân mạng.
Trường hợp cấu trúc spin xoắn tham số  trật tự  có thể  chọn là  ảnh Fourier  
của spin  ở vecto sóng  ứng với bước của cấu trúc xoắn.
Các toán tử  spin (Spin operators): Toán tử  spin nguyên tử  tại nút j () có ba 
thành phần là . Các thành phần đó tuân theo định luật giao hoán (tương tự  như  các  

định luật giao hoán cho moment cơ học quỹ đạo)
                                          (1.45)
Ở đây là ký hiệu Kronecker
Ngoài ra bình phương toán tử  spin bằng S(S+1)
                                  

(1.46)

Thành phần z của toán tử  spin trong biểu diễn mà nó là chéo hoá chỉ có thể 
có (2S + 1) giá trị. Điều này có thể thể hiện bằng công thức


                                                  

(1.47)

Thay cho các toán tử  (α = x, y, z) người ta thường sử dụng các toán tử
                                   

(1.48)

Biểu thị   ngược lại qua  và đặt vào (1.45) ta được biểu thức giao hoán sau  
cho toán tử
                                              

(1.49)

Sử dụng (1.46), (1.48), (1.49) ta còn có
                                           

1.5

(1.50)

Sóng   spin:   gần   đúng   pha   ngẫu   nhiên   (Random   –   phase   –  

Approximation)
Trong phương pháp trường phân tử của Weiss hay phương pháp trường trung  
bình Hamiltonian HMF  có dạng đơn ion, mỗi spin Sj  chịu  ảnh hưởng của các spin 
khác thông qua tác động của một trường trung bình đồng nhất, không thay đổi theo  
thời gian. Từ  đó ta thấy tính chất tập thể  của hệ  spin được thể  hiện trong phép  
TTB rất hạn chế. Ta có thể chỉ ra hạn chế đó trên một suy luận sau: giả sử ở T = 0  
các nguyên tử chất rắn đông cứng ở các vị trí cân bằng, đối với chất sắt từ thì các  
spin là songsong với nhau. Khi nhiệt độ tăng lên các nguyên tử dao động xung quanh  
vị  trí cân bằng, nguyên tử  này  ảnh hưởng lên nguyên tử  khác thông qua thế  năng 
tương tác nguyên tử ­ nguyên tử làm xuất hiện “sóng mạng” ở nhiệt độ thấp và khi 
lượng tử  sóng đó ta có chuẩn hạt phonon. Tương tự  như  vậy  ở  T ≠ 0, vectơ  spin 
của nguyên tử ở một nút mạng nào đó sẽ lệch khỏi định hướng của nó khi T = 0, vì  
tương tác trao đổi giữa các spin  ở  nút mạng khác nhau có xu hướng giữ  các vectơ 
spin song song với nhau (trường hợp sắt từ) cho nên định hướng của các spin lân  
cận cũng bị ảnh hưởng. Hệ quả là sẽ lan truyền “sóng spin” trong tinh thể sắt từ và  


nếu lượng tử  hoá ta có khái niệm magnon. Gần đúng TTB là định xứ  (H MF là tổng 
của các số hạng đơn ion) không mô tả được trạng thái tập thể kiểu “sóng spin” kể 
trên.
Để  nghiên cứu sóng spin ta viết Hamiltonian (1.42) trong gần đúng lân cận  
gần nhất
                  (1.51)
Chuyển sang các biến là các toán tử 

Hamiltonian Heisenberg trở thành
        (1.52)
Các toán tử Sz, S± tuân theo định luật giao hoán
                      

 (1.53)

Bây giờ  ta viết phương trình chuyển động cho  ảnh Fourier của hàm Green 
xây dựng trên các toán tử    và Bj’  (ta chưa đưa ra dạng chính xác của toán tử  Bj’). 
Theo phương trình chuyển động trong biểu diễn Fourier (1.19)
                   (1.54)
Giao hoán tử của  với H được tính dựa trên (1.52) và (1.53)

                                                                      (1.55)
Dễ dàng tính các toán tử trong (1.55), thí dụ
a.
(ở đây ta sử dụng đẳng thức [a,bc] = [a,b]c + b[a,c])

b. 
c.


d. (1.56)
Đặt các giao hoán tử đó vào (1.55) ta có
 (1.57)
Vì các toán tử  spin thuộc các nút mạng khác nhau là giao hoán nên (1.57)  
được viết gọn lại là
                                                                   

(1.58)

Chỉ  có số  hạng cuối cùng trong (1.58) (số  hạng Zeeman) là có dạng hàm 
Green ban đầu còn số hạng thứ hai, thứ ba là hàm Green bậc cao hơn. Dễ thấy rằng  
để nhận (1.58) ta đã sử dụng Hamiltonian chính xác H chứ không dùng Hamiltonian 
MF

TTB H .
Chúng ta có thể lập tiếp phương trình chuyển động cho các hàm Green bậc  
cao hơn như ; … và như vậy nhận được chuỗi móc xích cho các hàm Green. Ở đây  
ta sử  dụng cách ngắt chuỗi hàm Green của  Bogolyubov ­ Tiablikov  thể  hiện hàm 
Green bậc cao trong (1.58) qua hàm Green ban đầu như sau:
                               (1.59)
Trong phép gần đúng (1.59) thăng giáng của thành phần z spin () đã bị bỏ qua  
( được thay bằng giá trị trung bình ). được xác định một cách tự hợp trong hình thức 
luận hàm Green. Phương trình (1.59) chính xác hơn khi nhiệt độ càng thấp vì khi đó  
= S. Cách ngắt chuỗi (1.59) của Bogolyubov ­ Tiablikov được gọi là “Random phase 
approximation”_ RPA gần đúng pha ngẫu nhiên do nguyên nhân là nó bỏ  qua sự 
tương quan giữa thành phần dọc () và thành phần ngang của các spin lân cận (),  
phương trình (1.58) trở thành
(1.60)