Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Suy luận tương tự trong dạy học môn Toán trung học phổ thông: Nghiên cứu trường hợp Phương pháp tọa độ trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
––––––––––

BÙI PHƯƠNG UYÊN

SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC 
MÔN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: 
NGHIÊN CỨU TRƯỜNG HỢP 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC 
BỘ MÔN TOÁN
Mã số chuyên ngành: 62 14 01 11

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TP HỒ CHÍ MINH ­  2016


Công trình được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thành 
phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS. NGUYỄN PHÚ LỘC
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN 
TRUNG

Phản biện 1: PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
Phản biện 2: PGS. TS. LÊ VĂN TIẾN
Phản biện 3: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Luận án sẽ  được bảo vệ  trước Hội đồng chấm luận án cấp 
trường họp tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh  
vào hồi ……..giờ …..ngày ….tháng ….năm 201…

Có thể tìm hiểu luận án tại:
­ Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.


­ Thư viện Khoa học tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Việc sử  dụng suy luận tương tự vào dạy học được nhiều nhà giáo  
dục trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu 
Khi gặp một tình huống mới, học sinh (HS) có xu hướng so sánh, đối  
chiếu nó với các vấn đề tương tự trước đó, từ đó tìm ra cách giải quyết  
vấn đề. Việc sử dụng suy luận tương tự (SLTT) trong quá trình dạy học 
(DH) đòi hỏi HS phải hoạt động dựa trên kiến thức cũ để tự mình khám 
phá ra các kiến thức mới. Vì vậy, HS là người chủ  động, tích cực để 
hình thành giả thuyết mới. Quá trình này thúc đẩy phát triển tư duy và là  
động lực để phát huy tư duy độc lập, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo  
của HS.
SLTT có vai trò quan trọng trong DH khoa học nói chung và DH toán 
nói riêng. SLTT được dùng để  xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng  
giả  thuyết trong DH khám phá, dự  đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS,  
dùng tương tự  để  giải bài tập toán. SLTT được nhiều tác giả  trong và  
ngoài   nước   quan   tâm   nghiên   cứu   như:   Polya,   Dedre   Gentner,  Keith 

Holyoak,  Paul   Thagard,  Hassan   Hussein   Zeitoun,   Shawn   M.   Glynn; 
Harrison, Coll, Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Đào Tam, Nguyễn Phú  
Lộc, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải,… 
1.2. Mối quan hệ  tương tự  giữa PPTĐ trong không gian và trong mặt  
phẳng
Phương   pháp   tọa   độ   (PPTĐ)   là   một   nội   dung   quan   trọng   trong  
chương trình toán phổ  thông hiện nay. Nghiên cứu chương trình, SGK  
cho thấy rằng có nhiều khái niệm  ở  chương PPTĐ trong không gian là  
những vấn đề tương tự như đối với các khái niệm ở chương PTTĐ trong  
mặt phẳng. Hơn nữa,  ở  hai chương này, rất nhiều dạng bài tập có nội  
dung và cách giải hoàn toàn tương tự nhau. Từ  đây đặt ra cho chúng tôi  
bốn nghi vấn sau:
­ Thứ nhất, tác giả SGK HH hiện hành có sử dụng SLTT để trình bày  
các nội dung cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian hay không?


2

­ Thứ  hai, từ việc sử  dụng SLTT trong các SGK, giáo viên (GV) toán 
THPT và sinh viên (SV) sư phạm toán có ưu tiên lựa chọn sử dụng SLTT 
như là một chiến lược nhằm phát huy tính tích cực của HS hay không?
­  Thứ  ba,  HS mắc phải những loại sai lầm nào khi sử  dụng SLTT  
trong quá trình học tập ở chương PPTĐ trong không gian? 
­ Thứ  tư, làm thế  nào để  phát huy tính hiệu quả  khi DH với SLTT  ở 
chương PPTĐ trong không gian?
Từ đây, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án:
“Suy luận tương tự  trong dạy học môn Toán trung học phổ  thông:  
Nghiên cứu trường hợp Phương pháp tọa độ trong không gian”.
2. Phạm vi lý thuyết và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lý thuyết về 

tương tự, SLTT và DH với SLTT. Một số công cụ lý thuyết của didactic  
toán được vận dụng trong luận án là: thuyết nhân học trong didactic toán;  
hợp đồng DH; lý thuyết tình huống. Mục đích của đề  tài là tìm hiểu về 
tương tự, SLTT, vai trò của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian. Từ 
nghi vấn ban đầu, chúng tôi đã cụ thể thành các câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi nghiên cứu 1: Mối tương quan tương tự giữa PPTĐ trong 
mặt phẳng và PPTĐ trong không gian ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ 
nào trong chương PPTĐ trong không gian tương tự  các kiểu nhiệm vụ 
trong PPTĐ trong mặt phẳng? Có kết luận gì về  thực trạng sử  dụng 
SLTT trong SGK Hình học hiện nay?
Câu hỏi nghiên cứu 2: Sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT trong 
chương PPTĐ trong không gian ở các SGK đối với việc thực hành giảng 
dạy của GV toán THPT và SV năm cuối ngành sư phạm toán ra sao? 
Câu hỏi nghiên cứu 3: HS gặp phải những sai lầm nào khi sử dụng  
SLTT vào giải bài tập chương PPTĐ trong không gian?
Câu hỏi nghiên cứu 4: Những biện pháp nào để  phát huy tác dụng  
tích cực của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian? Làm thế  nào để 
kiểm chứng tính hiệu quả của các biện pháp này?
3. Giới hạn của đề tài


3

Chúng tôi lựa chọn nghiên cứu SLTT và vận dụng vào DH các nội 
dung cụ  thể   ở  chương PPTĐ trong không gian. Trong luận án chúng tôi 
chỉ tập trung nghiên cứu những SLTT chuyển từ mặt phẳng sang không 
gian.
4. Giả thuyết khoa học
H1: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể tổ chức DH giúp HS khám  
phá tri thức toán học ở chương PPTĐ trong không gian.

H2:  Bằng cách sử  dụng SLTT, GV có thể  giúp HS tìm tòi lời giải  
cho các bài toán ở chương PPTĐ trong không gian. 
H3: Trong học tập chương PPTĐ trong không gian, HS sẽ gặp phải  
những sai lầm khi giải bài tập toán do sử dụng SLTT.
5. Đóng góp chính của luận án
5.1. Về mặt lý luận
­ Tổng hợp quan điểm của nhiều nhà giáo dục về tương tự, SLTT, vai  
trò của SLTT trong DH, các cách phân loại về  tương tự và các mô hình 
DH sử dụng SLTT như: mô hình GMAT, mô hình TWA, mô hình FAR,… 
­ Đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH.
­ Đề xuất 6 giải pháp phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH.
­ Đề  xuất 6 quy trình DH  với  SLTT:  DH khám phá khái niệm; DH 
khám phá định lý, DH giải bài tập; dự đoán sai lầm của HS do các nguồn 
tương tự trước khi giảng dạy; phân tích và phát hiện sai lầm; sửa chữa 
sai lầm. 
5.2. Về mặt thực tiễn
­ Phân tích các tương tự và SLTT được sử dụng ở các SGK Hình học  
ở chương PPTĐ trong không gian.
­ Làm rõ những ảnh hưởng của cách trình bày SLTT ở SGK đến việc  
DH sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian của GV và SV toán. 
­ Chỉ  ra một số  sai lầm của HS do sử dụng SLTT khi gi ải bài tập  ở 
chương PPTĐ trong không gian.
­   Các giải pháp và quy trình DH với SLTT góp phần nâng cao hiệu 
quả  quả  DH các nội dung cụ  thể   ở  chương PPTĐ trong không gian nói  
riêng và DH môn toán nói chung.


4

6. Những điểm cần bảo vệ

­ Những quan niệm về tương tự, SLTT và vai trò của SLTT trong DH.
­ Những SLTT được sử dụng trong SGK hiện hành và thực trạng DH 
với SLTT của GV, SV ở chương PPTĐ trong không gian.
­ Một số kết quả về nghiên cứu sai lầm của HS khi sử dụng SLTT  ở 
chương PPTĐ trong không gian.
­ Các phương thức sử dụng SLTT trong DH PPTĐ trong không gian và 
kết quả thực nghiệm kiểm chứng.
7. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được  
trình bày theo 6 chương: Chương 1. Cơ sở lý thuyết; Chương 2. Phương pháp 
và thiết kế nghiên cứu; Chương 3. Nghiên cứu SLTT trong chương PPTĐ trong 
không gian; Chương 4.  Nghiên cứu thực tiễn DH sử  dụng SLTT ; Chương 5. 
Nghiên cứu thực tiễn về  sai lầm của HS khi sử  dụng SLTT;   Chương 6.  Giải 
pháp phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH toán và thực nghiệm sư 
phạm.

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
Chương này đã phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan niệm về 
tương tự, SLTT, vai trò của SLTT trong DH toán và các mô hình DH sử 
dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết.
1.1. Khái niệm tương tự và suy luận tương tự
1.1.1. Tương tự là gì?
Luận án đề cập các khái niệm tương tự theo G. Polya, H. Zeitoun, D. 
Gentner; trong đó, chúng tôi đặc biệt chú ý và lấy quan niệm về tương tự 
của G. Polya làm cơ sở lý thuyết cho luận án. 
Theo   G.   Polya  (1997),   tương   tự   là   một   kiểu  giống   nhau  nào   đó.  
Những đối tượng phù hợp với nhau trong những mối quan hệ được quy 
định là những đối tượng tương tự. Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp  
với nhau trong các mối quan hệ  xác định rõ ràng giữa những bộ  phận 
tương ứng. Ví dụ, tam giác tương tự tứ diện. 

1.1.2. Suy luận tương tự là gì?
Luận án trình bày quan niệm về SLTT của các tác giả Hoàng Chúng, 
Hativah, Gentner, Holyoak.


5

Trong logic, Hoàng Chúng (1994) định nghĩa SLTT là suy luận căn cứ 
vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để  rút ra kết luận  
về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó.
SLTT, theo Hativah (2000), được định nghĩa như là “sự so sánh giữa  
những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống nhau ở vài  
khía cạnh thích hợp”. Vật làm cơ  sở  cho tương tự  gọi là nguồn; vật 
được học nhờ sử dụng SLTT gọi là đích.
Những kết luận dự kiến của SLTT chỉ là giả  thuyết, thực tế  đúng  
đắn của chúng cần phải được kiểm tra một cách riêng biệt. 
Trong luận án, chúng tôi xem xét SLTT là suy luận từ  những đặc 
điểm chung của nguồn và đích, rút ra những đặc điểm chung khác của  
chúng. 
1.1.3. Suy luận tương tự dưới góc độ triết học và tâm lý học
1.1.4. Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận tương tự
SLTT có mối quan hệ  khắng khít với các thao tác tư  duy khác như : 
phân tích, so sánh, khái quát hóa. 
1.1.5. Các loại suy luận tương tự
a. Theo Nirah Hativah (2000), có thể xem xét ba loại: SLTT với nguồn  
và đích trong miền giống nhau, SLTT với nguồn và đích trong miền khác  
nhau, SLTT với nguồn dựa vào kinh nghiệm của HS.
b.  Theo Helmar Gust và các cộng sự  (2008), có 3 cách phân loại : 
SLTT hình thức (A: B) :: (C: X); SLTT là suy đoán; SLTT để  giải quyết 
vấn đề.

c.  Theo Nguyễn Phú Lộc (2010),  SLTT được chia thành SLTT theo 
thuộc tính và SLTT theo quan hệ. 
d. Theo Orgill và Yener, khi nghiên cứu SLTT được trình bày trong các 
SGK có các cách phân loại SLTT sau đây (xem bảng 1.1). Cách phân loại 
này để sử dụng trong nghiên cứu SLTT trình bày ở SGK ở chương 3.
Bảng 1.1.  Phân loại SLTT trong nghiên cứu SGK
Mối quan 
hệ tương 
tự giữa 
nguồn và 
đích

Cấu trúc:  nguồn và đích chia sẻ những tương đồng về 
tính năng bên ngoài hoặc đặc điểm của đối tượng. 
Chức năng: nguồn và đích chia sẻ những cấu trúc quan hệ, 
chức năng hoặc hành vi của nguồn và đích là giống nhau.
Cấu trúc – chức năng: nguồn và đích chia sẻ cả những đặc 
điểm về cấu trúc và chức năng.


6
Hình thức 
trình bày
Mức độ 
trừu tượng 
của nguồn 
và đích
Vị trí tương 
đối của 
nguồn và 

đích
Mức độ 
phong phú
Hạn chế 
của SLTT

Bằng lời nói: Tương tự được thể hiện dạng lời nói.
Bằng lời nói ­ hình ảnh: Tương tự được thể hiện bằng lời 
nói và hình ảnh của nguồn.
Cụ thể ­ cụ thể: có thể nhìn thấy, nghe thấy, hay chạm tay 
cả nguồn và đích.
Trừu tượng ­ trừu tượng: cả nguồn và đích đều trừu 
tượng.
Cụ thể ­  trừu tượng: nguồn thì cụ thể, đích thì trừu 
tượng.
Trình bày nguồn trước:  nguồn được trình bày trước đích.
Song song:  nguồn được trình bày song song với đích.
Trình bày nguồn sau:  nguồn được trình bày sau đích.
Đơn giản:  một câu đơn giản rằng nguồn tương tự với 
đích.
Phong phú: phát biểu với những giải thích, lập tương ứng 
giữa nguồn và đích.
Mở rộng: tương tự với những tương ứng rõ ràng hoặc 
được tác giả sử dụng nhiều lần trong cùng quyển sách.
Phát biểu về những sai lầm khi sử dụng SLTT.
Không phát biểu về những sai lầm khi sử dụng SLTT.

1.2. Vai trò của suy luận tương tự trong dạy học
Dùng SLTT để  xây dựng ý nghĩa của tri thức; xây dựng giả  thuyết; 
dùng trong giải bài tập toán; để phát hiện và sửa chữa sai lầm của HS 

1.3. Các mô hình dạy học sử dụng suy luận tương tự
1.3.1. Mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching) 
Mô hình GMAT được đề  xuất bởi H. Zeitoun (1984) bao gồm các 9 
bước; trong đó, nhấn mạnh cần thiết lên kế  hoạch trước khi sử  dụng  
SLTT để giúp HS học tập kiến thức mới và đánh giá những tác động của  
SLTT để đáp ứng nhu cầu của HS. 
1.3.2. Mô hình FAR (Focus­Action­Reflection) 
Trước và sau khi DH một tương tự, GV cần phân tích tương tự đó  
theo mô hình FAR (the Focus­Action­Reflection) để DH hiệu quả hơn.


7

1.3.3. Mô hình TWA (Teaching­With­Analogies)
Quy trình của DH với SLTT được thể hiện trong mô hình TWA (the 
Teaching­With­Analogies), do Glynn đề nghị (1989), bao gồm:
1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích);
2. Khơi dậy kí ức của HS về tình huống tương tự;
3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng của kiến thức nguồn;
4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích;
5. Chỉ ra những kết luận không đúng;
6. Rút ra kết luận về kiến thức đích.
1.4. Một số yếu tố của Didactic toán
Trình bày tóm tắt một số  công cụ  lý thuyết của didactic toán như: 
thuyết nhân học trong didactic toán; lý thuyết tình huống; hợp đồng DH.
1.5. Kết luận chương 1
Chương 1 đã trình bày cơ sở lý thuyết của SLTT làm cơ sở cho các 
nghiên cứu ở các chương sau. 
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP VÀ THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU
Chương này đề  xuất phương pháp nghiên cứu để  trả  lời 4 câu hỏi 

nghiên cứu đã nêu.
2.1. Nghiên cứu các SLTT trong chương PPTĐ trong không gian (trả 
lời câu hỏi nghiên cứu 1)
Chúng tôi tiến hành phương pháp phân tích nội dung để :
­ Phân tích những khái niệm, tính chất tương tự  ở hai nội dung PPTĐ  
trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian. Phân tích những SLTT được 
các tác giả SGK HH hiện hành theo phân loại SLTT ở bảng 1.1 và những 
SLTT ở chương PPTĐ trong không gian. 
­ Trình bày tóm tắt 30 tổ chức toán học có đặc điểm tương tự trong hai  
chương  PPTĐ   trong mặt  phẳng và   PPTĐ  trong  không gian theo quan  


8

điểm của didactic toán bao gồm: T là kiểu nhiệm vụ,  τ là kĩ thuật,  θ  là 
công nghệ. Phân tích cụ thể một số tổ chức toán học làm cơ sở cho việc  
vận dụng SLTT vào DH giải bài tập toán và nghiên cứu sai lầm của HS.  
2.2. Nghiên cứu thực tiễn DH sử  dụng SLTT (trả  lời câu hỏi nghiên  
cứu 2)
2.2.1. Khảo sát giáo viên
Mục đích nhằm trả lời hai câu hỏi: GV toán THPT có lựa chọn sử 
dụng SLTT nhằm giúp HS khám phá kiến thức mới hay không? Nếu GV 
có sử  dụng SLTT trong quá trình DH thì tính chất và mức độ  như  thế 
nào?
Khảo sát 20 tiết dạy trong chương PPTĐ trong không gian của 18 
GV toán ở các trường THPT tại đồng bằng sông Cửu Long. Để xem xét, 
đánh giá mức độ  sử  dụng SLTT, chúng tôi sử  dụng tiêu chí đánh giá  ở 
bảng 2.1. 

9
Bảng 2.1 Thang bậc đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH 
Mức Mức độ sử dụng SLTT
0
Không sử dụng tương tự.
1
Chỉ nêu được tên nguồn tương tự.
Nhắc lại đặc điểm của nguồn, nhưng chưa thiết lập tương ứng 
2
giữa nguồn với đích.
3
Lập được tương ứng giữa nguồn và đích.
Thực hiện tốt sự tương ứng giữa nguồn và đích: chỉ ra được 
4
tương đồng và dị biệt; có những kết luận thích đáng nhờ SLTT.

2.2.2. Khảo sát SV sư phạm 
Mục đích của nghiên cứu nhằm trả lời các câu hỏi sau:
1. SV sư  phạm toán trường ĐH Cần Thơ  có lựa chọn sử  dụng SLTT 
trong thực hành soạn giáo án chủ đề PPTĐ trong không gian hay không?
2. Những khó khăn SV gặp phải khi thực hành soạn giáo án vận dụng  
mô hình TWA vào DH các nội dung chương PPTĐ trong không gian?
3. SV có những biện pháp nào để khắc phục những khó khăn này?
* Khảo sát 1: Để trả lời cho câu hỏi 1, chúng tôi khảo sát 52 SV khóa 36:
Bước 1: SV soạn giáo án bài Hệ tọa độ trong không gian trong 1 tuần.
Bước 2: SV được chia nhóm từ  3 đến 4 SV thảo luận với nhau về 
cách dạy học bài Hệ tọa độ trong không gian trong 60 phút.
* Khảo sát 2: Để  trả  lời câu hỏi 2 và 3, chúng tôi khảo sát 31 SV khóa 
37:
Bước 1: Chúng tôi giới thiệu cho SV về SLTT, mô hình TWA và một 

ví dụ minh họa. Sau đó, SV thảo luận theo nhóm (từ 3 đến 4 SV) trong  
60 phút để  soạn giáo án DH các khái niệm, tính chất và bài tập chương 
PPTĐ trong không gian theo mô hình TWA.
Bước 2: SV thảo luận trả lời các câu hỏi sau trong 30 phút:
1. Khi vận dụng mô hình TWA vào DH khái niệm, tính chất, bài tập, các em có  
được những thuận lợi và khó khăn nào?
2. Hãy cho biết những khó khăn mà em gặp phải trong mỗi bước khi áp dụng mô  
hình TWA vào DH? Theo em, bước nào là khó nhất? Cho ví dụ minh họa.
3. Làm thế nào để vận dụng một cách hiệu quả nhất mô hình TWA vào DH?

Tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT theo bảng 2.1.
2.3. Nghiên cứu về  sai lầm của HS khi sử  dụng SLTT (trả  lời câu  
hỏi nghiên cứu 3) 


10

Từ tính đúng sai của nguồn và đích, chúng tôi nhận thấy có hai loại sai  
lầm đối với đích có thể xảy ra khi HS sử dụng SLTT vào giải toán:
Sai lầm loại 1: HS mắc phải sai lầm khi giải các bài toán nguồn nên  
mắc phải những sai lầm tương tự khi giải bài toán đích.
Sai lầm loại 2: HS thành công khi sử dụng chiến lược giải này ở bài  
toán nguồn nhưng khi áp dụng vào bài toán đích lại dẫn đến sai lầm.
Phương pháp nghiên cứu: Phân tích tiên nghiệm: phân tích cụ thể một  
số  sai lầm khi thực hiện các kiểu nhiệm vụ  trong chương PPTĐ trong  
không gian. Phân tích hậu nghiệm: phát phiếu điều tra cho 309 HS và 
chọn 6 HS để phỏng vấn để làm rõ cách sử dụng SLTT của các em.
2.4. Nghiên cứu giải pháp và thực nghiệm sư  phạm sử  dụng SLTT 
vào DH PPTĐ trong không gian (trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 4)
Mục đích nghiên cứu:  Đề  xuất các giải pháp phát huy tác dụng tích 

cực của SLTT vào DH và thực nghiệm kiểm chứng các giả  thuyết H1, 
H2, H3.
Phương pháp nghiên cứu: Thực nghiệm 4 tình huống DH đối với HS 
lớp 12 (năm học 2014­ 2015), trường THPT Thực hành Sư  phạm, TP. 
Cần Thơ. 
2.5. Kết luận chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã đề  xuất các phương pháp nghiên 
cứu để trả lời cho bốn câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra. 

Chương 3. NGHIÊN CỨU SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG 
CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu trả lời câu hỏi nghiên cứu 1. 
3.1. SLTT được sử dụng trong chương PPTĐ trong không gian 
3.1.1. Các tương tự trong PTTĐ trong mặt phẳng và không gian
Trình bày các nội dung trong chương PPTĐ trong không gian có đặc  
điểm tương tự với các nội dung trong PPTĐ trong mặt phẳng.
3.1.2. SLTT trong các SGK Hình học hiện hành
Đề cập 8 trường hợp SLTT được sử dụng trong SGK Hình học 10, 
11, 12 cơ bản, 15 trường hợp SLTT trong SGK Hình học 10, 11, 12 nâng  
cao và phân loại các trường hợp này theo bảng 1.1. 
3.1.3. Những SLTT cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian 


11

Các tác giả SGK sử dụng SLTT vào 4 trường hợp: chứng minh tích  
rr
vô hướng   b .n = 0,   PTTS của đường thẳng trong không gian (ở  SGK 12  
cơ  bản) và định nghĩa hệ  trục tọa độ  trong không gian, công thức tính  
khoảng cách từ  1 điểm đến mặt phẳng (ở  SGK 12 nâng cao). Những 

SLTT này được sử dụng với mục đích: giới thiệu bài học mới; một tình  
huống có vấn đề  giúp HS dự  đoán về  kiến thức mới; giới thiệu một 
công thức mới mà không có phần chứng minh; áp dụng một cách chứng 
minh tương tự đã trình bày trước đó. Hơn nữa, các tác giả  SGK chỉ  dẫn 
dắt để  trình bày kiến thức mới, chưa phải là những hoạt động giúp HS  
tự khám phá kiến thức mới. 
3.2. Các tổ  chức toán học tương tự  trong chương PPTĐ trong mặt  
phẳng và trong không gian
Trình bày 30 tổ  chức toán học điển hình trong chương PPTĐ trong 
không gian có mối quan hệ tương tự với 30 tổ chức toán học trong PPTĐ  
trong mặt phẳng gồm 3 thành phần: kiểu nhiệm vụ   T, kĩ thuật  τ , công 
nghệ   θ . Qua đó cho thấy có thể dùng SLTT để  giúp HS tìm tòi lời giải  
cho các bài toán mới trong PPTĐ trong không gian.
3.3. Kết luận chương 3
Qua phân tích cho thấy mối quan hệ tương tự giữa những khái niệm, 
tính chất và các tổ  chức toán học  ở  PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ  
trong không gian. Tác giả  SGK đã sử  dụng SLTT nhằm giúp HS ôn tập 
kiến thức cũ, dẫn dắt để  trình bày kiến thức mới nhưng chưa đề  xuất  
các hoạt động để HS tự khám phá kiến thức mới.

Chương 4. NGHIÊN CỨU THỰC TIỄN DẠY HỌC 
SỬ DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ
Chương này trình bày kết quả  nghiên cứu trả  lời cho   câu hỏi nghiên  
cứu 2.
4.1. Khảo sát giáo viên
Có 5 trên 20 tiết dạy có sử dụng SLTT: 1 tiết dạy PTTQ mặt phẳng,  
1 tiết dạy PTTS đường thẳng và 3 tiết dạy công thức tính khoảng cách  
từ  1 điểm đến mặt phẳng. Các nội dung được GV sử  dụng SLTT có 
nhiều điểm tương đồng với những nội dung mà SGK dùng SLTT. GV đã  
sử dụng SLTT vào DH với mục đích giúp HS đưa ra giả thuyết về kiến  

thức mới, tìm tòi và giải quyết vấn đề, gợi động cơ  mở  đầu bài học.  
Những câu hỏi, những hoạt động được GV tổ  chức cho HS thực hiện  


12

được phát triển từ những trình bày của SGK. Điều này khẳng định được 
sự   ảnh hưởng của các SLTT trong các SGK đến quá trình DH sử  dụng 
SLTT của GV. 
4.2. Khảo sát SV sư phạm toán
a) Khảo sát 1
Chúng tôi xét mức trung bình của việc sử dụng SLTT theo thang bậc  
0 +1+ 2 + 3 + 4
đánh giá nêu trên là  a =
= 2 . Kết quả thu được sẽ so sánh 
5
với mức trung bình  a.  Ở  bước 1, đánh giá chung về  mức độ  sử  dụng 
SLTT trung bình của 52 SV  ở các nội dung đều nhỏ  hơn  a, do vậy mức 
độ sử dụng SLTT vào DH của SV khi làm việc cá nhân vẫn còn thấp. Ở 
bước 2, chúng tôi so sánh các mức độ sử dụng SLTT trung bình giữa giáo  
án cá nhân và giáo án nhóm. Kết quả  cho thấy cho thấy dù làm việc cá  
nhân hay theo nhóm, SV vẫn chưa ưu tiên sử dụng SLTT vào DH chủ đề 
PPTĐ.
b) Khảo sát 2
Bước 1: Nhiều SV đã vận dụng tốt mô hình TWA vào DH khám phá 
kiến thức mới. Một số SV vẫn chưa nắm vững mô hình TWA nên không  
thiết kế được các hoạt động DH phù hợp. 
Bước 2: Các em đã nêu lên được những thuận lợi khó, khó khăn và 
đề xuất các biện pháp sử dụng mô hình TWA hiệu quả.
4.3. Kết luận chương 4

Qua khảo sát GV và SV cho thấy rằng việc sử dụng SLTT vào DH 
PPTĐ trong không gian vẫn chưa được chú trọng. Điều này là do sự ảnh 
hưởng của việc trình bày SLTT ở các SGK hiện hành. 

Chương 5. NGHIÊN CỨU THỰC TIỄN VỀ SAI LẦM CỦA 
HỌC SINH KHI SỬ DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ
Chương   này   trình   bày   kết   quả   nghiên   cứu   trả   lời   cho  câu   hỏi  
nghiên cứu 3 và kiểm chứng giả thuyết H3. 
5.1. Nghiên cứu sai lầm của HS khi thực hiện kiểu nhiệm vụ  viết  
phương trình (PT) mặt phẳng qua 3 điểm phân biệt
5.1.1. Phân tích tiên nghiệm
5.1.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V1­1: Tính thẳng hàng của 3 điểm: thẳng hàng*, không thẳng hàng.
V1­2: Loại PT mặt phẳng: yêu cầu viết dưới dạng PTTQ* hay PTTS.


13

V1­3: Yêu cầu bài toán: tìm PT , chứng minh, trắc nghiệm lựa chọn,…
V1­4:  Công cụ  kĩ thuật: máy tính bỏ  túi *, máy vi tính có phần mềm toán 
học.
V1­5: Cách làm việc của HS: làm việc cá nhân* hay theo nhóm.
5.1.1.2. Kiểu nhiệm vụ tương tự (nguồn)
Xét kiểu nhiệm vụ  tương tự  trong mặt phẳng là “Viết PTTQ của 
đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B”. Trên cơ sở các chiến lược  
giải của nguồn, chúng tôi dự  đoán một sai lầm (loại 2) do SLTT mà HS  
có thể mắc phải khi tìm PTTQ của mặt ph
ng đi qua 3 đi
ểm thẳng hàng  
uuurẳuuu

r r
r �
�
là: sai lầm 1. HS thay tọa độ VTPT  n = �AB; AC �= 0  vào PT mặt phẳng và 
tồn tại một quy tắc của hợp đồng DH  ở  HS là  R1: HS không có nhiệm  
vụ kiểm tra tính thẳng hàng của 3 điểm khi viết PTTQ của mặt phẳng.
5.1.1.3. Tổ chức thực nghiệm
Chúng tôi đặt ra cho HS bài toán: 
*

Trong không gian Oxyz, cho A(4;1;2) B(5;­2;1), C(3;4;3), D(1;­2;5). Viết PTTQ  
của các mặt phẳng:    a. mp(ABD)     
b. mp(ABC)

Ở câu a, A, B, D không thẳng hàng; ở câu b, A, B, C thẳng hàng. Sau 
đó, phỏng vấn 6 HS mắc phải sai lầm để tìm hiểu những SLTT của HS. 
5.1.2. Phân tích hậu nghiệm
Ở  câu b, bằng cách dùng SLTT với cách giải của bài toán nguồn và 
cách giải cuuu
ủa câu a,  có đến gần 70% HS mắc  sai lầm 1 là thay tọa độ 
r � r uuur� r
n
=
AB
VTPT � ; AC �= 0 vào   PTTQ   của   mặt   phẳng.   Hơn   nữa,   nhiều   HS  
không kiểm tra tính thẳng hàng của A, B, C (tồn tại quy tắc R1) vì khi  
học trên lớp và làm bài tập SGK, các em không cần phải kiểm tra điều 
gì. 
5.2. Nghiên cứu sai lầm của HS khi thực hiện kiểu nhiệm vụ  viết  
PT mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 đường thẳng d và d’

5.2.1. Phân tích tiên nghiệm
5.2.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V2­1: Vị trí tương đối của d, d’: song song*, cắt nhau, chéo nhau.
Các biến V2­2 (Loại PT mặt phẳng), V2­3 (Yêu cầu bài toán), V2­4 (Công 
cụ kĩ thuật) và V1­5 (Cách làm việc của HS) tương tự như ở mục 5.1.1.1.
5.2.1.2. Kiểu nhiệm vụ tương tự (nguồn)


14

Xét  kiểu  nhiệm  vụ   tương  tự  trong mặt  phẳng “Viết   PTTQ  của  
đường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng  d”. Trên cơ sở 
các chiến lược giải của nguồn, chúng tôi dự đoán một sai lầm (loại 2) do  
SLTT mà HS có thể  mắc phải khi tìm PPTQ của mặt phẳng đi qua 1 
điểm và song song với hai đường th
r ẳng d, d’ (với d//d’) là : sai lầm 2. HS  
r r r
thay tọa độ VTPT  n = [ ud ; ud ' ] = 0  vào PT mặt phẳng và tồn tại một quy 
tắc của hợp đồng DH là R2: HS không có nhiệm vụ kiểm tra vị trí tương  
đối của hai đường thẳng khi viết PTTQ của mặt phẳng. 
5.2.1.3. Tổ chức thực nghiệm
Đặt ra cho HS bài toán: Viết PTTQ mặt phẳng  ( α )  qua A(3;2;­4) và 
x =8+t
x − 3 y −1 z −1
=
=
a. song song với  d : y = 5 + 2t  và  d ' :
.
−7
2

3
z =8−t

r
r �1 2 �
b. song song với giá của  u = ( − 3; − 4;6 ) và v = � ; ; − 1�.
�2 3 �
r
r
Ở  câu  a, d  và  d’  chéo nhau;  ở  câu  b,  u và v   cùng phương. Sau đó 
phỏng vấn 6 HS có mắc phải sai lầm để tìm hiểu những SLTT của HS.
5.2.2. Phân tích hậu nghiệm
Kết quả  cho thấy HS đã sử  dụng SLTT từ  cách giải của bài toán 
nguồn và cách giải bài toán  ở  câu  a  (d  và  d’  chéo nhau) để  suy ra cách 
giải cho bài toán viết PTTQ của mặt phẳng  ở câu b (d và d’ song song): 
r rr r
có 63.75% HS mắc phải sai lầm 2 là thay tọa độ   n = [ u , v ] = 0  vào PTTQ 
của mặt phẳng. Hơn nữa, có nhiều HS không kiểm tra vị  trí tương đối 
của d và d’ khi giải toán cho phép khẳng định sự tồn tại quy tắc R2. 
5.3. Nghiên cứu sai lầm của HS khi thực hiện kiểu nhiệm vụ viết PT  
của đường thẳng  ∆  qua 1 điểm và vuông góc với d trong không gian
5.3.1 Phân tích tiên nghiệm
5.3.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V3­1: Cách cho PT đường thẳng d: biết PTTS*, PTTQ, đi qua 2 điểm*,...
V3­2: Loại PT đường thẳng  ∆  cần tìm: PTTQ, PTTS*, PT chính tắc.
Các biến V3­3 (Yêu cầu bài toán), V3­4 (Công cụ kĩ thuật) và V3­5 (Cách 
làm việc của HS) được xét tương tự như ở mục 5.1.1.1.
5.3.1.2. Kiểu nhiệm vụ tương tự (nguồn)

15

Xét   kiểu  nhiệm   vụ   tương   tự   trong  mặt   phẳng  “Viết   PTTS   của  
đường thẳng  ∆  qua A và vuông góc với đường thẳng d”. Trên cơ sở các 
chiến lược giải của nguồn, chúng tôi dự  đoán 3 sai lầm (loại 2) do sử 
dụng SLTT khi tìm PTTS của đường thẳng trong không gian:  Sai lầm 3: 
r
HS lập luận  ud = (a; b; c)  có giá vuông góc với  ∆ , suy ra VTCP của  ∆  là 
r
r
u∆ = (b; − a; c)   hoặc   u∆ = (−b; a; c) ;  Sai lầm 4: HS cho rằng VTCP của  
đường thẳng d đã cho cũng là VTCP của đường thẳng  ∆ ; Sai lầm 5: HS 
tìm PTTS của đường thẳng qua điểm A, vuông góc và  cắt đường thẳng 
d.
5.3.1.3. Tổ chức thực nghiệm
Đặt ra cho HS bài toán: Viết PTTS của đường thẳng qua M(1;3;­2) và 
a. vuông góc với đường thẳng  d :

x −1 y + 2 z − 3
=
=
.
2
3
−1

b. vuông góc với đường thẳng đi qua A(3;1;­2) B(­1;­2;1).
Sau đó phỏng vấn 6 HS mắc phải sai lầm để  tìm hiểu những SLTT của 
HS.
5.3.3. Phân tích hậu nghiệm

Do sử  dụng SLTT với các cách giải của nguồn trong mặt phẳng,  
rất nhiều HS đã mắc phải sai lầm: Có 56.65% HS cho rằng VTCP của  ∆
chính là VTCP của  d  hay  AB. Khoảng 30% HS tìm VTCP bằng cách 
tương tự  như  trong mặt phẳng  : “đảo hoành độ  với tung độ, thêm dấu  
trừ”. Khoảng 13% HS đã tự bổ sung thêm điều kiện  “cắt” và vuông góc 
với đường thẳng d. Qua đó cho phép khẳng định được sự tồn tại của các 
sai lầm 3, 4, 5. 
5.4. Nghiên cứu sai lầm HS khi thực hiện kiểu nhiệm vụ   “tính góc 
giữa đường thẳng và mặt phẳng”
5.4.1. Phân tích tiên nghiệm
5.4.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V4­1: Cách cho đường thẳng d và mặt phẳng  ( α ) .
V4­2: Yêu cầu bài toán: yêu cầu tính góc*; trắc nghiệm nhiều lựa chọn;
…
Các biến V4­3 (Công cụ  kĩ thuật) và V4­4 (Cách làm việc của HS) 
được xét tương tự như các biến V1­4 và V1­5 ở mục 5.1.1.1.
5.4.1.2. Kiểu nhiệm vụ tương tự (nguồn)


16

Chúng tôi xét kiểu nhiệm vụ tương tự trong mặt phẳng là tính góc 
tạo bởi hai đường thẳng d và d’. Trên cơ  sở các chiến lược của nguồn, 
chúng tôi dự  đoán hai sai lầm loại 2 của HS khi tính góc giữa đường  
thẳng và mặt phẳng: Sai lầm 6: HS suy ra công thức tính góc giữa đường 

(r

r

)

thẳng và mặt phẳng  cos ( d , ( α ) ) = cos ud ; n( α ) ; Sai lầm 7: HS tìm VTPT 
r r
r
nd = (b; − a; c)  của d, sau đó tính  cos(d,(α )) = cos(nd ; n( α ) ) .
5.4.1.3. Tổ chức thực nghiệm
Đặt ra cho HS bài toán: Tính góc giữa d và  ( α )  biết :
a. đường thẳng d song song với trục Oz và mặt phẳng  ( α ) : x = 0 .
x− 2 y+1 z−1
=
=
b. PTTS của d: 
 và PTTQ của  ( α ) : 2 x − y − z − 8 = 0 .
−2
−3
5
Sau đó phỏng vấn 6 HS mắc phải sai lầm để  tìm hiểu những SLTT của 
HS.
5.4.2. Phân tích hậu nghiệm
Từ bài làm của HS cho thấy có hơn 50% HS không trả lời được bài  
toán này vì chưa được SGK giới thiệu hay GV giảng dạy trên lớp. Các  
em đã cố gắng dùng SLTT để tìm một cách giải cho bài toán mới từ cách 
giải của bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng: Có 25% HS sử dụng công  
r r
r
thức cos ( d , ( α ) ) = cos ud ; n( α )  và 9.06% HS tìm  nd = (b; − a; c)  của đường 

(

)

r r

thẳng d, sau đó tính  cos(d,(α )) = cos(nd ; n( α ) ) . Điều này chứng tỏ  sự  tồn  
tại của sai lầm 6 và 7 đã phân tích.
5.5. Kiểu nhiệm vụ nhận dạng PT đường tròn và mặt cầu
5.5.1. Phân tích tiên nghiệm
5.5.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V5­1: Dạng các cặp PT bậc hai  f ( x, y ) = g ( x, y )  đối với đường tròn và 
PT bậc hai h(x,y,z)=l(x,y,z) đối với mặt cầu.
V5­2: Yêu cầu bài toán: chứng minh; trắc nghiệm*; trả lời ngắn*;…
Các biến V4­3 (Công cụ  kĩ thuật) và V4­4 (Cách làm việc của HS) 
được xét tương tự như các biến V1­4 và V1­5 ở mục 5.1.1.1.
5.5.1.2. Các dạng toán tương tự  trong kiểu nhiệm vụ  nhận dạng PT  
đường tròn và PT mặt cầu
Phân tích 8 dạng cụ thể của 2 kiểu nhiệm vụ nhận dạng PT đường 
tròn và mặt cầu trong mối quan hệ tương tự và dự đoán các sai lầm loại  


17

1 và loại 2 mà HS có thể  gặp phải khi dùng SLTT để  thực hiện 2 kiểu  
nhiệm vụ này.
5.5.1.3. Tổ chức thực nghiệm
Đặt ra cho HS bài toán:
Trong mặt phẳng Oxy, các PT sau có   Trong không gian Oxyz, các PT sau có là PT mặt  
là   PT   đường   tròn   không?   Nếu   có   cầu không? Nếu có hãy tìm tâm và bán kính.
hãy tìm tâm và bán kính.
1a.  ( x − 4 ) + ( y + 3) = 16

1b.  ( x − 4 ) + ( y + 3) = 16

3a.  ( 3 x − 1) + ( 3 y + 3) = 36

3b.  ( 3 x − 1) + ( 3 y + 3) + ( 3 z − 2 ) = 36

2

2

2a.  ( 2 + x ) + ( 3 − y ) = 25
2

2

2

2

4a.  ( x − 1) + ( 3 y + 3 ) = 36
2

2

2

2

2

2b.  ( 2 + x ) + ( 3 − y ) + (2 + z ) = 25
2

2

2

2

2

4b.  ( x − 1) + ( 3 y + 3) + ( 2 z − 2 ) = 36
2

2

2

2
2
5a.  x + y − 2 x + 4 y + 6 = 0

2
2
2
5b.  x + y + z − 2 x + 4 y + 6 z + 6 = 0

2
2
6a.  3 x + 3 y − 6 x − 3 y + 9 = 0

2
2
2
6b.  3 x + 3 y + 3 z − 6 x − 3 y + 3 z + 9 = 0

2
2
7a.  2 x + y − 6 x − 4 y − 8 = 0

2
2
2
7b.  2 x + y + z − 6 x − 4 y + 2 z − 8 = 0

8a.  ( x + y ) − 6 x − 8 = 4 y + 2 xy

2
2
8b. ( x + y ) − 6 x − 8 − 2 xz = 4 y + 2 xy − ( x − z )

2

Sau đó phỏng vấn 6 HS mắc phải sai lầm để  tìm hiểu những SLTT của 
HS. 
5.5.2. Phân tích hậu nghiệm
Kết quả  cho thấy các em đã mắc phải hai loại sai lầm nêu trên do  
dùng  SLTT   để   nhận  dạng  PT   mặt  cầu  dựa   trên  cách  nhận  dạng  PT 
đường tròn. 
5.6. Kết luận chương 5

Từ  nghiên cứu bài làm và kết quả  phỏng vấn HS khi giải 5 bài toán 
trên cho thấy các em còn mắc phải nhiều sai lầm (loại 1 và loại 2 như đã 
phân tích) khi sử dụng SLTT và tồn tại các quy tắc của hợp đồng DH. Từ 
đó khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết H3.

Chương 6. GIẢI PHÁP PHÁT HUY TÁC DỤNG TÍCH CỰC 
CỦA SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC TOÁN
 VÀ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Chương này đề xuất những giải pháp sư phạm để phát huy tác dụng  
tích cực của SLTT vào DH một số nội dung ở chương PPTĐ trong không  
gian và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết H1, H2 và H3.
6.1. Giải pháp tổ chức dạy học bằng suy luận tương tự


18

6.1.1. Giải pháp 1: Khai thác và cải tiến những hoạt động sử dụng SLTT  
được trình bày ở các SGK theo hướng phát huy tính tích cực của HS
6.1.2. Giải pháp 2: Phát triển các quy trình DH các tình huống điển hình  
trong toán học bằng SLTT

6.1.2.1. Quy trình dạy học khám phá khái niệm với SLTT
Bảng 6.1. Quy trình DH khám phá khái niệm với SLTT (cải tiến từ TWA)

Bước 1: Gợi động cơ mở đầu và hướng đích;
Bước 2: Khơi dậy kí ức của HS về kiến thức nguồn;
Bước 3: HS chỉ ra dấu hiệu tương ứng giữa nguồn và đích;
Bước 4:  GV chỉ  ra kết luận không đúng, các dấu hiệu đặc trưng của  
khái niệm mới;
Bước 5: Yêu cầu HS phát biểu định nghĩa về khái niệm mới;

Bước 6:  GV chính xác hóa khái niệm mới và cho các ví dụ, bài tập vận  
dụng.

Chúng tôi đưa ra 3 ví dụ  minh họa là: DH khái niệm PT mặt cầu,  
PTTQ của mặt phẳng và PTTS của đường thẳng trong không gian.
* DH khám phá khái niệm PT mặt cầu:
Bước 1. Gợi động cơ mở  đầu và hướng đích:  GV đưa ra câu hỏi sau để 
HS suy nghĩ và thảo luận theo nhóm:
Câu hỏi 1a. Hãy nhắc lại cách giải bài toán: Trong mặt phẳng Oxy, tìm điều  
kiện để điểm M(x;y) thuộc đường tròn tâm I(1;2) bán kính R=3?
Câu hỏi 2a. Tương tự, hãy giải bài toán: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  
(S) tâm  I (1;2;0) , bán kính R=3. Tìm điều kiện để điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu  
(S)?
Câu hỏi 1b. Hãy nhắc lại định nghĩa đường tròn và cách xây dựng PT đường  
tròn (C) tâm  I ( x0 ; y0 ) , bán kính R?
Câu hỏi 2b.  Hãy giải bài toán: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm  
I ( x0 ; y0 ; z0 ) , bán kính R. Tìm điều kiện để điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu (S)?

Bước 2: Khơi dậy kí ức của HS về tình huống tương tự:
­ GV: Hãy phân tích mối quan hệ tương tự giữa các câu hỏi trên? 
­ HS: Đường tròn và mặt cầu có điểm tương tự  nên cách tìm điều 
kiện điểm M thuộc mặt cầu tương tự cách xây dựng PT đường tròn.
Bước 3. Yêu cầu HS chỉ ra dấu hiệu tương ứng giữa nguồn và đích: 


19

­ GV: Hãy nhắc lại định nghĩa đường tròn, mặt cầu? ­ HS: Nêu định 
nghĩa.
­ GV: Trong Oxy, PT đường tròn tâm  I ( x0 , y0 )  bán kính R là gì? 

2
2
2
­ HS: PT đường tròn:  ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = R . 
­ GV:   Trong  Oxyz,  điều kiện  để  điểm  M(x;y;z)  thuộc  mặt  cầu  tâm 
I ( x0 ; y0 ; z0 )  bán kính R có tương tự PT đường tròn không? 
2
2
2
2
­ HS so sánh và đưa ra dự đoán: ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = R
Bước 4. GV xác định dấu hiệu đặc trưng của khái niệm mới
­ GV yêu cầu HS kiểm chứng dự đoán.
2
2
2
*   Chỉ   ra   các   kết   luận   không   đúng:  về   hệ   số   của   x , y , z   và   PT 
2
2
( x − a ) + ( y − b ) = R 2  trong không gian không phải là PT mặt cầu. 
Bước 5: Yêu cầu HS phát biểu định nghĩa về khái niệm mới:
 ­ HS:  phát biểu định nghĩa PT mặt cầu.
Bước 6: GV chính xác hóa khái niệm mới và cho bài tập vận dụng: 
1. Viết PT mặt cầu có tâm I(1;2;­2) và đi qua điểm A(2;­1; 3).
2. Viết PT mặt cầu (S) qua A(0;­1;4), B(1;,­5;1), C(0;7;0), D(­3;3;­5).
6.1.2.2. Quy trình dạy học khám phá định lý
Bảng 6.2. Quy trình DH khám phá định lý với SLTT (cải tiến từ TWA)

Bước 1: Gợi động cơ mở đầu và hướng đích;
Bước 2: GV khơi gợi trí nhớ của HS về nguồn và các kiến thức có liên  

quan;
Bước 3: GV đưa ra gợi ý, hướng dẫn để  HS thảo luận. HS thảo luận  
với nhau để  phân tích đặc điểm của nguồn và thiết lập tương  ứng giữa  
kiến thức nguồn và kiến thức đích, từ đó hình thành giả thuyết;
Bước 4: GV hướng dẫn HS kiểm chứng giả thuyết;
Bước 5: GV chính xác hóa, phát biểu định lý và bài tập vận dụng.

Hai ví dụ  minh họa: DH định lý biểu thức tọa độ  của các phép toán  
vectơ trong không gian và DH định lý về khoảng cách từ 1 điểm đến mặt  
phẳng.
* DH khám phá định lý về khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Bước 1. Gợi động cơ mở đầu và hướng đích: 
­ GV đặt vấn đề nếu biết tọa độ một điểm và PPTQ của mặt phẳng 
thì có thể tính được khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hay không?


20

Bước 2: GV khơi gợi trí nhớ của HS về nguồn 
­ GV: Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách từ  một điểm đến 
đường thẳng trong mặt phẳng Oxy? ­ HS:  d ( M , ∆) =
­ GV: Nêu cách chứng minh công thức này?

Ax 0 + By0 + C

.

A2 + B 2
uuuuuur

r

­   HS:   Gọi   M’   là   hình   chi
ếu  của   M   lên   ∆ ,   từ   M ' M và   n   cùng 
uuuuuur

phương và  M ' �∆  để tìm  M ' M .

Bước 3: HS thảo luận để phân tích và hình thành giả thuyết.
­ GV: Hãy thảo luận theo nhóm trong 5 phút, mỗi nhóm gồm 3 HS  
để  giải bài toán: Trong không gian Oxyz, cho  (α ) : Ax + By + Cz + D = 0  và 
điểm  M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Tính  d (M , (α )) .
­ HS : Dự đoán  d ( M , (α )) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2

.

Bước 4: GV hướng dẫn HS kiểm chứng giả thuyết
­ GV: Hướng dẫn HS chứng minh. ­ HS: thảo luận theo nhóm.
Bước 5: GV chính xác hóa, phát biểu định lý và cho ví dụ minh họa.
­ GV phát biểu định lý và cho 2 ví dụ để HS luyện tập:

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ  M(1;­2;3) đến  ( α ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 .
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa ( α ) : x + 2 y + 2 z + 11 = 0 , ( β ) : x + 2 y + 2 z + 2 = 0 .

6.1.2.3. Quy trình dạy học giải bài tập
Bảng 6.3. Quy trình DH giải bài tập toán với SLTT (cải tiến từ mô hình TWA)

Bước 1: Tìm hiểu đề toán (bài toán đích);
Bước 2: Tìm bài toán tương tự đã biết (bài toán nguồn);
Bước 3: Phân tích điểm giống nhau và khác nhau của 2 bài toán;
Bước 4: Suy ra cách giải cho bài toán đích;
Bước 5: Trình bày lời giải;
Bước 6: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

Chúng tôi đã đưa ra 5 ví dụ vận dụng quy trình này vào DH giải bài  
tập viết PPTQ của mặt phẳng và PTTS của đường thẳng.
Ví dụ:  DH giải bài toán  Viết PTTQ của mặt phẳng   ( α ) đi qua 3 điểm 
M(2;0;­1), N(1;­2;3), P(0;1;2).
Bước 1: Tìm hiểu đề toán (bài toán đích):


21

­ GV cho bài toán. Hãy cho biết giả thiết và yêu cầu của bài toán?
­ HS: Giả thiết:  ( α )  đi qua M, N, P. Yêu cầu là tìm PTTQ của  ( α ) .
Bước 2: Tìm bài toán tương tự đã biết (bài toán nguồn):
­ GV: Hãy tìm bài toán tương tự với bài toán đã cho?
­ HS: Bài toán viết PT đường thẳng  ∆  đi qua hai điểm A, B.
Bước 3: Phân tích điểm giống nhau và khác nhau của hai bài toán:
­ GV: Hãy so sánh hai bài toán này?
­ HS: Đều có giả thiết: đi qua 2 điểm (hoặc 3 điểm) và yêu cầu tìm  
PT đường thẳng (mặt phẳng).
­ GV: Hãy nhắc lại cách giải của bài toán trong mặt phẳng Oxy?
r uuur
r
­ HS:  VTCP ud = AB = ( a; b) � VTPT nd = (b; −a) ,  suy ra PT  ∆ .
Bước 4: Suy ra cách giải cho bài toán đích:

­ GV: Tương tự, suy ra cách giải cho bài toán trong không gian.
uuuur uuur
MN , MP  là VTCP của  ( α ) . Do đó, ta 
­ HS: Vì  ( α ) đi qua M, N, P nên 
uuuur uuur
r
MN , MP �
chọn  VTPT n( α ) = �
�
�, suy ra PT mặt phẳng  ( α ) .
Bước 5: Trình bày lời giải: HS trình bày lời giải hoàn chỉnh.
Bước 6: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: GV nhận xét về lời giải trên. 
6.1.3. Giải pháp 3: Phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong việc dự  
đoán, ngăn ngừa và sửa chữa sai lầm của HS
a.   Trước  khi  giảng  dạy một  tri   thức,   GV  cần  dự   đoán những   nguồn 
tương tự nào mà HS có thể liên hệ đến có thể dẫn đến sai lầm; từ đó có  
biện pháp  ngăn ngừa sai lầm của HS khi sử dụng SLTT.
Bảng 6.4. Quy trình dự đoán sai lầm của HS do các nguồn tương tự trước khi DH
Bước 1: Xem xét các nguồn tương tự có thể đối với đích,
Bước 2: Từ mỗi nguồn tương tự, tìm những kết luận đúng và kết luận sai,
Bước 3: Tìm biện pháp ngăn ngừa những kết luận sai của HS.

b. Trong quá trình DH một tri thức,  GV cần giải thích rõ cho HS về các 
kết luận sai giúp tránh mắc phải sai lầm này ở lần sau.
c. Sau khi giảng dạy một tri thức với SLTT,  GV cần đưa ra lưu ý, đúc kết 
về kiến thức đã học giúp HS tránh mắc phải sai lầm về sau.
6.1.4. Giải pháp 4: Luyện tập cho HS phân tích phát hiện và sửa chữa các  
sai lầm do SLTT

22

a. Tạo cơ hội cho HS phân tích phát hiện các sai lầm 
Bảng 6.5. Quy trình phân tích phát hiện sai lầm 
Bước 1: HS tiếp xúc với bài toán có lời giải sai.
Bước 2: HS xác định sai lầm là gì?
Bước 3: HS tìm nguyên nhân sai lầm: xem xét sai lầm có phải là do vô ý, 
tính toán sai, hiểu sai khái niệm, do sử dụng SLTT,…
Bước 4:  HS tìm cách sửa chữa sai lầm bằng cách dùng SLTT: cho HS  
phân tích kiến thức nguồn   suy ra đặc điểm tương tự  cho kiến thức đích 
 suy ra cách giải cho bài toán đã cho.
Bước 5: HS giải lại bài toán.

b. DH phát hiện và sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT
Bảng 6.6. Quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT
Bước 1: HS tiếp xúc với đích;
Bước 2: GV khơi gợi về kiến thức nguồn;
Bước 3: HS dùng SLTT để  lập tương  ứng giữa nguồn và đích, suy ra giả 
thuyết;
Bước 4: HS kiểm chứng giả thuyết và bác bỏ giả thuyết;
Bước 5: HS tìm nguyên nhân sai lầm ;
Bước 6: HS đưa ra kết luận về kiến thức đích.

Hai   ví   dụ   giúp  HS  phát   hiện  và   khắc  phục   sai   lầm  khi   sử   dụng 
SLTT: giải bài toán tìm tọa độ trực tâm tam giác trong không gian và viết 
PPTQ của mặt phẳng qua điểm A và song song với (d, d’).
* Bài toán tìm tọa độ trực tâm tam giác trong không gian
Bước 1: HS tiếp xúc với kiến thức đích: 
­   GV   cho   bài   toán:  Trong   không   gian   Oxyz,   cho   ba   điểm   A(1;0;1),  
B(2;1;2), C(1;­1;1). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Bước 2: GV giới thiệu về kiến thức nguồn:
­ GV: Hãy nhắc lại cách giải của bài toán tìm tọa độ  trực tâm của tam 
giác ABC trong mặt phẳng?
uuuur uuur
uuur uuur
­ HS: Gọi H(x;y) là trực tâm. Có  AH .BC = 0 và BH .AC = 0  suy ra x, y.
Bước 3: HS lập tương ứng giữa nguồn và đích suy ra giả thuyết:
­ GV: Tương tự, hãy suy ra cách giải cho bài toán trong không gian?
uuuur uuur
uuur uuur
­ HS: Gọi H(x;y ;z). Ta có  AH .BC = 0 và BH .AC = 0  suy ra x, y, z.
Bước 4: HS kiểm chứng giả thuyết và bác bỏ giả thuyết:
­ GV: Hãy vận dụng cách giải vừa nêu để giải bài toán trên?