Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy - học Toán - Đồ án didatic trong môi trường máy tính bỏ túi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM

LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG
DẠY – HỌC TOÁN : ĐỒ ÁN DIDACTIC TRONG MÔI
TRƯỜNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
LUẬN VĂN THẠC SĨ

CHUYÊN NGÀNH:
LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN
CODE: 60.14.10
GIÁO SƯ HƯỚNG DẪN:
Annie BESSOT

TP. HCM – 2004


Tên đề tài:
Nghiên về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học toán: một
đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi
Hội đồng khoa học:
Chủ tòch hội đồng: TS. TRẦN VĂN TẤN
Thư ký hội đồng: TS. LÊ VĂN TIẾN
Giáo sư hướng dẫn: TS. Annie BESSOT
Phản biện: TS. Claude COMITI và TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU


LỜI CẢM ƠN
Xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh đạo và các Cán bộ của phòng Sau Đại học ĐHSP TP.HCM; Ban

Chủ nhiệm và các Giáo sư của Khoa Toán – Tin học ĐHSP TP. HCM; Ban Lãnh đạo và các Nhà Nghiên cứu
của nhóm DDM thuộc Phòng Nghiên cứu Leibniz của INPG (Nước Cộng Hòa Pháp) đã giúp đỡ và động viên
tôi thực hiện luận văn này. Đặc biệt, xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến:
- Giáo sư hướng dẫn Bà PGS TS Annie BESSOT. Với đầy nhiệt huyết và sự nghiêm khắc, Bà đã
không tiếc công sức hướng dẫn tôi thực hiện nghiên cứu didactic và giúp đỡ tôi trong việc trình bày
ngôn ngữ cho luận văn.
- TS Alain BIREBENT và TS LÊ VĂN TIẾN, những người đã giúp đỡ tôi như những Giáo sư đồng
hướng dẫn bằng những lời khuyên đầy chất lượng và những tài liệu bổ ích.
- PGS TS Annie BESSOT và PGS TS Claude COMITI, những người đã bảo hộ tôi trong những ngày ở
Pháp.
- GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI, TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU, TS LÊ VĂN TIẾN và TS ĐOÀN
HỮU HẢI vì sự giảng dạy đầy nhiệt tình và hiệu quả trong suốt khóa Cao học Thạc só Didactic Toán.
- Các anh: CÔNG KHANH, CHÍ THÀNH, ANFONSO, những người luôn giúp đỡ và động viên tôi trong
những ngày làm việc trong nhóm DDM của INPG tại Grenoble.
- Các bạn Học viên Cao học khóa 12, nhất là hai cô THỦY và HÀ, những người đã giúp tôi rất nhiều
trong quá trình học tập và nghiên cứu.
- Bà Claudine MERCIER, chủ nhà của tôi ở Grenoble, người đã rất hiếu khách và đón tiếp tôi như
một thành viên trong gia đình.
- Ban Giám hiệu Trường PTTH Chuyên TRẦN ĐẠI NGHĨA (QI) đã cho phép chúng tôi tiến hành các
thực nghiệm trong các lớp của trường.


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời tựa

Nội dung

Trang

Phần I:

I. Tổng hợp các công trình nghiên cứu didactic về khái niệm
giới hạn
I.1. Cornu B.(1983)
I.2. Robert A. (1982)
I.3. Ba quan điểm khoa học luận
I.4. Bosch, Espinoza và Gascon (2002)

1
1
2
3
4

II. Phân tích các chương trình và các SGK Việt nam
II.1. Phân tích tổ chức toán học (TCTH)
II.1.1. Cấu trúc của chương trình và SGK hiện hành
II.1.2. Những chuyển đổi didactic khác nhau trong các
SGK CCGD và trong SGK hiện hành
II.1.2.1. So sánh các SGK
II.1.2.2. Các TCTH cần giảng dạy trong các SGK
II.1.2.3. Kết luận về các TCTH trong SGK hiện hành
II.2. Các yếu tố của hợp đồng didactic trong SGK hiện hành
II.3. Giả thiết nghiên cứu

6
6
6

III. Thực nghiệm
III.1. Phân tích tiên nghiệm
III.1.1. Câu hỏi 1
III.1.2. Câu hỏi 2
III.2. Phân tích hậu nghiệm
III.2.1. Câu hỏi 1
III.2.1. Câu hỏi 2
III.3. Kết luận

22
23
23
25
25
25
28
30

Vấn đề đặt ra

30

7
8
12
18
19
22

Phần II:

I. Quan điểm dạy học Giải tích ở Pháp

31

II. Vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi trong giảng dạy Giải tích
(tổng quát) và khái niệm giới hạn (đặc biệt) ở Pháp.

32

III. Giả thiết công việc

33

IV. Sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các
chương trình Toán học THCS và THPT Việt nam
IV.1. Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước năm 1985)
IV.2. Giai đoạn CCGD từ 1986 đến 1999
IV.3. Chương trình hiện hành (từ năm 2000)
IV.4. Chương trình thí điểm
IV.5. So sánh và nhận xét

34
34
35
37
38
39

V. Công đoạn dạy học
V.1. Phân tích tiên nghiệm
V.2. Phân tích hậu nghiệm
V.3. Kết luận

41
44
49
54

Lời kết và triển vọng

55

Tài liệu tham khảo
Phụ lục


LỜI GIỚI THIỆU
Khái niệm giới hạn, trung tâm của giải tích, là một trong những khái niệm cơ
bản của toán học. Trong chương trình toán học phổ thông Việt nam, khái niệm này
xuất hiện ở lớp 11; người ta nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học khái niệm
này. Đây là một khái niệm kiểu mới đối với học sinh bởi vì đây là những lần đầu tiên
các tiến trình vô hạn xuất hiện.
Trong phần đầu của công việc, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau đây: đâu là thực
chất của những khó khăn trong việc lónh hội khái niệm giới hạn? Khái niệm này tồn tại
thế nào trong thể chế dạy học Việt nam?
Thứ nhất, chúng tôi tổng hợp một số kết quả nghiên cứu đã có ở nước Cộng hòa
Pháp về chủ đề này nhằm hiểu được các chướng ngại cơ bản trong việc học khái niệm
này và nhằm làm rõ các quan niệm khoa học luận về khái niệm này. Những kết quả

nghiên cứu này sẽ dùng làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế Việt nam về vấn
đề dạy và học khái niệm giới hạn.
Thứ hai, chúng tôi phân tích các chương trình và các sách giáo khoa của hai giai
đoạn “cải cách giáo dục” (từ những năm1990) và giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhấ” (kể
từ năm 2000) dưới các kiến thức của lý thuyết nhân chủng học được phát triển bởi
Y.Chevallard và nhóm nghiên cứu của ông (Chevallard, 1992) và của khái niệm hợp
đồng didatique được giới thiệu bởi G.Brousseau (Brousseau, 1980).
Việc nghiên cứu một phần “sinh thái học” của khái niệm giới hạn trong thể chế
Việt nam cho phép chúng tôi xác đònh các lựa chọn thể chế và đặc biệt là các yếu tố
của hợp đồng didactique. Từ đó, chúng tôi phát biểu thành các giả thiết nghiên cứu
như là hiệu ứng của các lựa chọn thể chế đã nghiên cứu ở trên.
Thứ ba, chúng tôi kiểm chứng sự hợp thức của các giả thiết nghiên cứu thông
qua một thực nghiệm trong lớp 12.
Các kết quả nghiên cứu trong phần đầu tiên đặt ra cho chúng tôi đến vấn đề về
sự mở rộng mối quan hệ thể chế của học sinh với khái niệm giới hạn.
Kể từ giai đoạn chống cải cách toán học hiện đại ở CH Pháp (1980 –1998),
quan điểm về dạy học giải tích ở trường PTTH là giảng dạy liên tiếp các vấn đề xấp
xỉ. Như vậy, máy tính bỏ túi đóng vai trò rất lớn đối với quan điểm dạy học này.
Ở Việt nam, trong những năm gần đây, chúng ta ghi nhận sự tiến triển đáng kể
của máy tính bỏ túi trong các chương trình phổ thông (PTCS và PTTH) . Trong khi mà
học sinh (ngày càng đông) sở hữu các máy tính bỏ túi (trên bàn học) với màn hình
(ngày càng lớn); thầy giáo vẫn chỉ có cái bảng đen , bục giảng, viên phấn và dẻ lau
bảng. Môi trường làm việc của ngøi thầy vẫn không có gì thay đổi từ hơn 25 năm
qua.


Điều này đặt ra câu hỏi về vai trò của máy tính bỏ túi (bên cạnh những công cụ
khác) trong thể chế phổ thông Việt nam. Chính vì vậy, trong phần thứ hai của luận
văn, chúng tôi phân tích sự có mặt của của các yếu tố tính toán và tin học trong các
chương trình Toán ở PTCS và PTTH Việt nam.

Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một công đoạn dạy học khái niệm giới hạn kết
hợp máy tính bỏ túi. Sự xây dựng công đoạn này dựa trên phương pháp luận của công
nghệ didactique mà chúng ta có thể tìm thấy các tài liệu tham khảo ở M. Artigue
(1988) và Y.Chevallard (1982).


Lời tựa: một số yếu tố về khái niệm đồ án didactic
Tài liệu tham khảo: Artigue (1988) và Chevallard (1982).

Khái niệm đồ án didactic:
Đồ án didactic là một tình huống giảng dạy được soạn thảo bởi nhà nghiên cứu,
một dạng công việc didactic tương tự như công việc của ngườiø kỹ sư: dựa trên và tuân
theo các kiến khoa học trong lónh vực của mình, nhưng để làm việc trên những đối
tượng thực tế phức tạp hơn nhiều so với những đối tượng thuần túy khoa học.
Hai chức năng của đồ án didactic:
Đồ án didactic cho phép:
- thực hành trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các phân tích didactic khởi đầu.
- kiểm chứng phần lý thuyết đã được soạn thảo bằng cách nghiên cứu sự thực
hiện nó trên một hệ thống giảng dạy.
Các pha khác nhau của phương pháp luận đồ án didactic:
1. Các phân tích khởi đầu:
Chúng dựa trên:
các kết quả nghiên cứu trong lónh vực;
phân tích khoa học luận tri thức nhắm đến;
phân tích các quan niệm và chướng ngại của học sinh;
phân tích thể chế dạy học (chương trình, sách giáo khoa).
2. Xây dựng công đoạn dạy học và phân tích tiên nghiệm và tổ chức thu thập các dữ
liệu
3. Thực nghiệm và tổ chức quan sát
4. Phân tích hậu nghiệm và hợp thức nội tại

Sự hợp thức nội tại được thực hiện bằng việc đối chiếu hai mô hình của phân tích tiên
nghiệm và phân tích hậu nghiệm


Giới thiệu luận văn:
Chúng tôi tiến hành các nghiên cứu về chủ đề: giảng dạy khái niệm giới hạn
trong môi trường máy tính bỏ túi ở trường PTTH, dựa trên phương pháp luận của đồ
án didactic.
Luận văn gồm hai phần:
Trong phần thứ nhất (Phần I), chúng tôi thực hiện các nghiên cứu khởi đầu về
vấn đề dạy và học khái niệm giới hạn ở trường THPT:
- tổng hợp một số kết quả nghiên cứu thực hiện ở Pháp nhằm hiểu được các
chướng ngại khoa học luận cơ bản trong việc học khái niệm này và nhằm làm rõ các
quan niệm khoa học luận về khái niệm này. Một số kết quả được dùng làm tham chiếu
cho việc nghiên cứu thể chế Việt nam.
- phân tích các chương trình và các sách giáo khoa của hai giai đoạn “cải cách
giáo dục” và giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhất” bằng cách sử dụng các công cụ của lý
thuyết nhân chủng học và hợp đồng didatic.
Các kết quả của phân tích thể chế được hợp thức bằng một thực nghiệm thực
hiện cho các học sinh lớp 12.
Đặc biệt, phần thứ nhất này cho phép khẳng đònh sự vắng mặt của quan điểm
khoa học luận xấp xỉ về khái niệm giới hạn, quan điểm cho phép hình thành khái niệm
giới hạn theo nghóa “giải tích”, trong mối quan hệ các nhân của học sinh.
Trong khi đó ở Pháp, về vấn đề giảng dạy Giải tích ở cấp độ THPT, cuộc chống
cải cách toán học hiện đại (1980 –1998) đã đònh hướng phải tổ chức giảng d liên tục
các vấn đề xấp xỉ được hổ trợ bởi sự có mặt của máy tính bỏ túi.
Chính vì lý do này, trong phần II, chúng tôi dự đònh xây dựng và thực hiện một
đồ án didactic trong đó mục tiêu dạy học là giới thiệu quan điểm “xấp xỉ” của khái
niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi.
Để thực hiện, đầu tiên chúng tôi xác đònh các yếu tố tính toán và tin học có mặt

trong các chương trình liên tiếp ở cấp II và cấp III cho các câu hỏi: trong số các yếu tố
tính toán này máy tính bỏ túi đóng vai trò gì và chiếm vò trí thế nào? vai trò và vò trí
của máy tính bỏ túi tiến triển ra sao?
Kế đến, dựa trên phân tích tiên nghiệm, chúng tôi xây dựng một đồ án didactic
về khái niệm giới hạn hàm số, kết hợp máy tính bỏ túi.
Sau đó, chúng tôi thực nghiệm đồ án này trong một lớp 11 mà ở đó khái niệm
giới hạn đã được giảng dạy.
Cuối cùng, chúng tôi tiến hành phân tích hậu nghiệm từ các dữ kiện thu được và
đối chiếu với phân tích tiên nghiệm.


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi

PHẦN I
I. Tổng hợp các công trình nghiên cứu didactique về khái niệm giới hạn
Chúng tôi tổng hợp lại các nghiên cứu lòch sử và khoa học luận cùng các kết
quả thực nghiệm ở CH Pháp về khái niệm này từ bốn công trình: Cornu (1983), Robert
(1982), Trouche (1996) và Bosch, Espinoza, Gascon (2002).
I.1 Luận án của Cornu (1983). Mục tiêu của nghiên cứu là nhằm hiểu rõ thực chất
của những khó khăn trong việc lónh hội khái niệm giới hạn và nhằm cải thiện việc dạy
và học khái niệm này.
¾ Nghiên cứu lòch sử khái niệm giới hạn
♦B.Cornu chứng minh rằng sự xuất hiện của khái niệm giới hạn một cách tất
yếu gắn với một trường rất nhiều khái niệm khác: khái niệm về sự vô hạn (tính xác
đáng của việc sử dụng vô hạn trong toán học); các đại lượng hình học (các diện tích và
các thể tích …); khái niệm thời gian (giới hạn có đạt được hay không?); các khái niệm
về dãy, chuỗi; khái niệm hàm số, đạo hàm, giá trò lớn nhất vá giá trò nhỏ nhất, tiếp
tuyến; các vất đề về tính liên tục, về tích phân; cùng với: vận tốc tức thời, tốc độ hội
tụ, chặn trên và chặn dùi, điểm tụ …
♦Cornu nghiên cứu các chướng ngại khoa học luận xuất hiện và phát triển trong

suốt lòch sử của khái niệm giới hạn:
- “Sự chuyển đổi sang phạm vi số” xuất hiện trong tiến trình trừu tượng ngữ
cảnh hình học và ngữ cảnh chuyển động học, “ các đại lượng” được quy về phạm vi số
mà ở đó khái niệm giới hạn được hợp nhất.
- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: một kiểu mới của những suy
luận toán học đòi hỏi phải áp dụngï. Ở đây không chỉ còn là một dãy các suy luận
logic, mà là suy luận trên các tiến trình vô hạn.
- Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại
lượng chưa bằng không, nhưng chúng không thể “gán được” nữa ? có tồn tại hay không
các đại lượng “tan dần” mà chỉ cần qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? có
phải một số nhỏ hơn tất cả các lượng (dương) cho trước thì bằng không?
- Một giới hạn có thể đạt tới hay không ?
- Ngoài ra còn có các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu. Một tổng vô hạn có
thể là một số hữu hạn. Hai đại lïng tiến về không vậy mà tỷ số giữa chúng lại tiến
về một lượng hữa hạn”.
¾ Từ các nghiên cứu lòch sử, Cornu xây dựng rất nhiều bài Test về vấn đề các
cụm từ “tiến về” và “giới hạn” nhằm quan sát các “quan niệm tự nhiên1 ” của học
1

Các “quan niệm tự nhiên” là những quan niệm không được xây dựng từ một sự giảng dạy có tổ chức (Cornu,
1983)

Trang 1


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
sinh. Các bài test này, được đề nghò cho những học sinh chưa học khái niệm giới hạn,
đã cho thấy sự đa dạng về các ý nghóa mà học sinh gán cho các cụm từ trên cũng như
sự đa dạng về quan niệm gắn với khái niệm giới hạn :
- Cụm từ “giới hạn” trước hết đối với học sinh mang ý nghóa về sự cố đònh: một

“giới hạn” được đặt trong không gian và thời gian; không được phép hay là không thể
vượt qua giới hạn này. Người ta khó mà tiếp cận một giới hạn và khó mà có thể đạt
được nó. “Giới hạn” hoặc là cái chia cắt thành hai phần hay là cái “cuối cùng”.
- Cụm từ “tiến về” nói chung mang nghóa “động” hơn.
Theo Cornu, các quan niệm tự nhiên để lại những ảnh hưởng rất mạnh mẽ và
dai dẳng. Chúng hòa lẫn với các từ vựng toán học cùng với khái niệm toán học và hình
thành nên những quan niệm riêng ở học sinh.
¾ Sau khi nghiên cứu lòch sử và các quan niệm riêng của học sinh, Cornu xây
dựng một công đoạn dạy học. Công đoạn này được lồng vào trong tiến trình dạy học
toán với mong muốn giúp học sinh vït qua các chướng ngại trong khi học khái niệm
giới hạn. Những phân tích của Cornu cho thấy rằng:
♦ Các học sinh (ở Pháp) vẫn gặp phải ba chướng ngại khoa học luận:
- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn rằng một số
tồn tại nếu ta không thể tính được nó?
- Các vô cùng bé và các vô cùng lớn: có tồn tại hay không những số rất nhỏ,
nhỏ hơn bất kì số một số “thất sự” nào, nhưng chưa bằng không?
- Một giới hạn có thể đạt tới hay không?
♦Chướng ngại khoa học luận quan trọng về “sự chuyển đổi sang phạm vi số”
không xuất hiện ở học sinh ngày nay bởi vì từ khi còn nhỏ học sinh đã có thói quen sử
dụng số để giải quyết các bài toán về các “đại lượng”.
♦Những chướng ngại không có nguồn gốc khoa học luận: bất đẳng thức, điều
kiện đủ, giá trò tuyệt đối, bước chuyển từ sự hội tụ đơn điệu sang sự hội tụ vv…
Đâu là những quan niệm riêng của học sinh ?
I.2. Robert A.(1982)
A. Robert nêu ra ba kiểu mô hình 2 của khái niệm giới hạn, theo những biểu
hiện về quan niệm riêng của học sinh, từ một thực nghiệm trên các sinh viên đại học
về khái niệm giới hạn của dãy số:
¾ Các mô hình “sơ khai” tương ứng với những miêu tả không đầy đủ của học
sinh về sự hội tụ: không tính đến chỉ số n. Các dãy số hội tụ được xem là các dãy số có
các số hạng không thể vượt qua một con số nào đó (mô hình thanh chắn).

2

Được kể ra bởi A. Bessot trong cour Thạc só (2002)

Trang 2


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
¾ Các mô hình “động” có tính đến chỉ số n và sự biến thiên của nó. Các mô
hình này được học sinh diễn tả bằng các động từ về sự tiến triển trong không gian và
thời gian
Ví dụ: n càng tăng , un càng dần về một số
n càng tăng, khoảng cách từ un đến L càng nhỏ.
Trường hợp riêng của mô hình “động” là mô hình động “đơn điệu”: một dãy số
hội tụ là dãy tăng dần đến giới hạn của nó.
¾ Các mô hình “tónh” tương ứng với sự miêu tả về sự hội tụ thể hiện mối liên
hệ giữa ε và N: mọi khoảng bé tùy ý chứa tất cả các un kể từ một chỉ số n nào đó hay
kể từ một chỉ số n nào đó tất cả các số hạng của dãy phải thuộc một lân cận của L nhỏ
tùy ý.
Các mô hình “tiền tónh” không thể hiện mối liên hệ giữa ε và N: với n đủ
lớn, các un chứa trong một khoảng chứa L, hay rất gần với L.
I.3. Làm rõ ba “quan điểm khoa học luận” 3 về khái niệm giới hạn
¾Quan điểm “chuyển động học”:
“Chính là biến số sẽ kéo hàm số” (Bkouche, 1996)
“Nếu một đại lượng biến x tiến về một giá trò a của đại lượng này (theo nghóa x
nhận các giá trò ngày càng gần giá trò a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào
đại lượng x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trò b. Nếu x dần dần xích
gần lại giá trò a, đại lượng y xích gần lại b” (Bkouche, 1996)
¾ Quan điểm “xấp xỉ”:

“Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số ”( Bkouche, 1996)
Quan điểm này được minh họa bởi sự xấp xỉ thập phân của một số a bằng một
dãy các số thập phân (an):
“Đònh nghóa bằng (ε, δ) không gì khác hơn là sự hệ thống hoá của khái niệm xấp
xỉ này” (Bkouche, 1996)
Đây chính là quan điểm cho phép hình thành một khái niệm giới hạn ổn đònh
ngày nay.
Như vậy, có một một sự đối lập giữa quan điểm chuyển động học và quan điểm
xấp xỉ:
“Nếu trong khái niệm chuyển động học, biến số sẽ kéo hàm số thì trong khái
niệm xấp xỉ, chính độ xấp xỉ mong muốn sẽ quy đònh độ xấp xỉ của biến”
Tuy nhiên, Bkouche bổ sung thêm mối liên hệ giữa hai quan điểm:
“Nếu đúng là quan điểm này 4 thực sự có ưu thế, đó là vì giá trò hình thức của nó
và tính hiệu quả của nó trong các chứng minh giải tích; sẽ là rất nguy hiểm nếu ta bỏ
3

trình bày trong luận án của L. Trouche, 1996

Trang 3


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
đi quan điểm chuyển động học như một phương tiện của một phạm vi trực quan mà ở đó
người ta nghó về khái niệm giới hạn”.
¾ Quan điểm “đại số” (thao tác): nó vận hành theo các quy tắc, nó “không
làm rõ bản chất của các đối tượng mà trên đó quan điểm đại số vận hành (DahanDalmédico, 1982).
Thật vậy, người ta thao tác các đònh lý, sử dụng các kết quả liên quan đến các
“giới hạn thông dụng”, nó không mang quan điểm chuyển động học và xấp xỉ. Quan
điểm này chỉ còn là việc tính toán trên các giới hạn.
♥ Ghi chú:

Nếu chúng ta đối chiếu ba quan điểm này với các mô hình diễn tả bởi các sinh
viên, các mô hình “động” tương ứng với quan điểm “chuyển động học”,ø các mô hình
“tónh” và “tiền tónh” tương ứng với quan điểm “xấp xỉ”.
Khái niệm giới hạn được giảng dạy ở phổ thông như thế nào ?
I.4. Bosch, Espinoza và Gascon (2002) cung cấp một phương pháp luận để phân
tích chuyển đổi didactique về khái niệm giới hạn hàm số trong thể chế phổ thông
Tây Ban Nha. Chúng tôi tóm tắt các bước phân tích và một vài kết quả:
¾ Mô tả tổ chức toán học (TCTH) tham chiếu
- Mô tả tổ chức toán học tham chiếu cho phép phân tích trở lại sự xây dựng có
thể của các TCTH trong chương trình chính thức và trong các SGK (ở đây liên quan
đến khái niệm giới hạn hàm số).
Từ sự phân tích chương trình chính thức và các SGK, ta mô hình hoá hai TCTH
đòa phương tham chiếu xoay quanh các giới hạn hàm số:
♦ OM1, xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, xuất phát từ việc giả sử sự
tồn tại giới hạn của hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác đònh giá trò giới hạn của
những hàm số quen thuộc. Vấn đề này được xử lý qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới
hạn của hàm số f(x) khi x->a, với a là số thực hữu hạn hay là vô cực; xác đònh giới hạn
của một hàm số tại một điểm hay ở vô cực. Những kỹ thuật toán học gắn với kiểu
nhiệm vụ này về cơ bản dựa trên sự thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x).
Công nghệ tối tiểu của OM1 giải thích cho các kỹ thuật có thể được miêu tả, chẳng
hạn, bằng một hệ thống tiên đề của Serge Lang trong quyển Calculus (1986) 5 .
♦ OM2, xoay quanh bản chất topo của khái niệm giới hạn, có ý đònh muốn đề
cập đến bản chất của đối tượng “giới hạn hàm số” và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự
tồn tại giới hạn của một kiểu xác đònh các hàm số. Câu hỏi này được xử lý qua một số
4
5

quan điểm xấp xỉ
Mỗi tiên đề biểu thò một “quy tắc tính toán”

Trang 4


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn tại (hay không tồn tại) giới hạn của một hàm số
f(x) khi x -> a, với a là hữu hạn hay vô hạn; chứng minh sự tồn tại (hay không tồn tại)
các giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp xác đònh các hàm số; chứng
minh các tính chất về các phép toán trên các giá trò giới hạn hàm số, một cách đặt biệt
bao gồm sự chứng minh “các quy tắc tính toán” là công nghệ tối tiểu của OM1. Công
nghệ tối tiểu của OM2 (giải thích cho các kỹ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ
này) được tập trung trên việc sử dụng các tính chất giới hạn dãy số và trên đònh nghóa
cổ điển bằng ngôn ngữ ε, δ. Công nghệ này đến lượt mình lại dựa trên lý thuyết số
thực.
Vậy là, ta có thể nói OM1 là một phần chứa trong OM2. Hai TCTH này chứa
đựng một hệ thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng các số thực. Hai TCTH
đòa phương này được kết hợp trong một TCTH miền trả lời, chẳng hạn, cho câu hỏi về
sự khả vi của một số kiểu hàm số, hay trả lời cho câu hỏi về sự khả tích.
¾ Người ta sử dụng cấu trúc đã mô tả của TCTH tham chiếu để giải thích cho
TCTH cần giảng dạy bằng cách xác đònh:
- Những gì là dấu vết của OM1 trong thể chế dạy học
- Những gì là dấu vết của OM2 trong thể chế dạy học
thức):

¾Làm rõ TCTH thật sự được giảng dạy và xác đònh quy trình xây dựng (tri
♥ Nhận xét
Việc giảng dạy khái niệm giới hạn đòi hỏi phải tính đến các yếu tố khoa học
luận (trường quan niệm, các chương ngại khoa học luận và các quan niệm riêng của
học sinh.

Cần thiết phải nghiên cứu “trường sinh thái” khái niệm giới hạn trong thể

chế Việt nam:
Chúng tôi sẽ nghiên cứu chương trình và SGK hiện hành (như một phần sinh
thái) để trả lời các câu hỏi sau:
Làm sao mà khái niệm giới hạn được giảng dạy trong thể chế phổ thông Việt
nam? (chúng tôi sẽ sử dụng tổ chức toán học tham chiếu như các TCTH trong bài báo
của Bosch và nhóm nghiên cứu (2002)).
Quan điểm khoa học luận nào của khái niệm giới hạn ngự trò trong thể chế phổ
thông Việt nam?

Trang 5


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
II. Phân tích các chương trình và các SGK Việt nam
II.1. Phân tích tổ chức toán học
Để trả lời cho câu hỏi “ khái niệm giới hạn được giảng dạy trong thể chế trung
học hiện tại như thế nào?”, chúng tôi phân tích chương trình 6 và SGK hiện hành 7 :
II.1.1. Cấu trúc của chương trình và cấu trúc của SGK hiện hành xoay quanh khái
niệm giới hạn là tương tự nhau
¾ Phần II bao gồm các chương sau đây:
- Chương III: dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
- Chương IV nhan đề “giới hạn” : giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số,
hàm số liên tục.
- Chương V : hàm số mũ và chương VI: hàm số logarit.
¾ Trong SGK , chúng ta nhận thấy rằng:
- Khái niệm dãy số được đònh nghóa như một hàm số có tập xác đònh là tập hợp
các số tự nhiên đầu tiên khác không
- Khái niệm giới hạn của dãy số được đònh nghóa bằng ngôn ngữ ε và N dẫu
rằng bảng kế hoạch của chương trình chỉ rằng “không sử dụng ngôn ngữ ε, δ”.
- Khái niệm giới hạn hàm số được đònh nghóa thông qua khái niệm giới hạn của dãy

số, sử dụng “ngôn ngữ giới hạn dãy số”.
♥ Các câu hỏi đặt ra:
Tại sao đònh nghóa truyền thống bằng ngôn ngữ (ε, N) vẫn còn được sử dụng dẫu
rằng dự đònh của chương trình là tránh nó? Tại sao người ta chọn cách đònh nghóa khái
niệm giới hạn hàm số qua khái niệm giới hạn của dãy số? Đâu là lý do xuất hiện và lý
do của những chọn lựa nội dung toán về khái niệm giới hạn trong SGK hiện hành?
Hai đònh hướng chính của chương trình hiện hành được được Bộ Giáo dục và
Đào tạo phê duyệt:
1) Không thay đổi chương trình CCGD được thể hiện qua ba bộ SGK Toán THPT.
2) Giảm tải, nghóa là giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược những nội dung
quá phức tạp hoặc xét thấy không cần thiết.
Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra ở trên, chúng tôi cố gắng xác đònh sự
tiến triển của các nội dung toán học và những lý do của sự tiến triển này thông qua
việc so sánh với các SGK của chương trình CCGD (1989).

6

Chương trình chỉnh lý hợp nhất áp dụng từ năm 2000.
Đại số và Giải tích 11 của nhóm các tác giả Trần Văn Hạo – Cam Duy Lễ – Ngô Thúc Lanh- Ngô Xuân Sơn –
Vũ Tuấn, nhà xuất bản Giáo dục, 2001
7

Trang 6


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi

Phần II
I. Quan điểm dạy học Giải tích ở Pháp
Kết quả nghiên cứu của chúng tôi trong phần I phù hợp với kết luận về vấn đề

giảng dạy giải tích trong thể chế trung học Việt nam của Lê Văn Tiến:
“Về phần giải tích, đó là một giải tích đại số hóa, nghóa là một giải tích không
đặt vấn đề xấp xỉ và không có các kỹ thuật của những chặn trên và chặn dưới (…)”(Lê
Văn Tiến, 2001, tr 224).
Như vậy, đâu là quan điểm về giảng dạy giải tích ở Pháp ngày nay?
Dự đònh của các nhà cải cách những năm 1981 ở Pháp về vấn đề giảng dạy giải
tích được miêu tả bởi Artigue (1996) như sau:
“Giải tích được xem như một trường của sự xấp xỉ và vấn đề là sắp đặt một sự
gặp gỡ liên tiếp giữa học sinh với trường này, không nên giới hạn các khía cạnh sử
dụng công cụ máy tính” (được kể ra trong luận án của Birebent, 2001, tr 147).
Trong bản tin Inter-irem về vấn đề giảng dạy giải tích (1981, tr 6), Lazet và
Ovaert nhấn mạnh mối liên hệ giữa đònh tính và đònh lượng (của giải tích):
“Các vấn đề lớn và các khái niệm (của giải tích) bao gồm cả khía cạnh đònh
lượng và đònh tính. Sự đào sâu của hai khía cạnh này phải đi đôi. Những hoạt động
trên số, sự nghiên cứu và việc khai thác các algorit rất hữu hiệu về mặt sư phạm”
(được kể ra trong luận án của Birebent, 2001, tr 147).
II. Vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi trong giảng dạy Giải tích (tổng quát) và trong
giảng dạy khái niệm giới hạn (đặc biệt) ở Pháp.
II.1. Cũng theo Lazet và Ovaert, mối liên hệ giữa đònh tính và đònh lượng (của giải
tích) chỉ hoàn toàn tìm thấy hiệu quả didactique của nó với sự can dự của máy tính bỏ
túi, bởi vì:
“ Trong triển vọng này, sử dụng máy tính bỏ túi rất đáng giá bởi nhiều lẽ:
> về tâm lý: công cụ sắc bén đầy thuận lợi cho học sinh, giới thiệu sự cụ thể, sự thực
nghiệm;
> về kỹ thuật: để có một dãy từ những kết quả có lợi đến những ghi nhận đúng đắn,
những tính toán dài dòng và chán ngắt thường phải thực hiện. Máy móc sẽ loại bỏ khía
cạnh khó chòu này;
> về sư phạm: trong giải tích, nói chung, sự đònh tính có thể chỉ được hiểu thấu đáo
thông qua một sự thực hành đầy đủ về đònh lượng;
> về văn hoá: người công dân tương lai sẽ không ngại trước sự tràn ngập các máy vi

tính. Những đối tượng này sẽ không còn là điều bí ẩn đối với anh ta” (được kể ra trong
luận án của Birebent, 2001, tr 147).
Trang 31


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi

Theo “Hoạt động chủ đề cho lớp 10” của IREM Grenoble, năm 1981 –1982:
“(…) máy tính bỏ túi là một công cụ sư phạm cho phép học sinh chiếm lónh một
số tri thức toán học. Máy tính bỏ túi cho phép thực hiện các thực nghiệm chuẩn bò để
giới thiệu một khái niệm. Máy tính bỏ túi hoàn toàn cho phép minh họa và kiểm chứng.
Ví dụ, ta có thể kể ra khái niệm dãy và giới hạn mà ở đó máy tính mang đến một “hình
ảnh” cụ thể. Với khái niệm hàm số, máy tính bỏ túi mang đến một sự tiếp cận bổ xung
tạo thuận lợi cho sự chiếm lónh khái niệm. Cuối cùng máy tính cho phép phát triển ở
học sinh một số thái độ đối với toán học, và đặc biệt cho sự suy luận toán học: máy
tính bỏ túi cho phép thực hiện các dự đoán. Dự đoán là những hành vi chính yếu trong
toán học, nhưng thường xuyên bò xoá đi trong các phương pháp thường dùng khi trình
bày các “bài học hàn lâm”. Máy tính bỏ túi cho phép làm rõ một số kết quả mà ít nhiều
bí ẩn (ví dụ: e0,01 = 1,01005… là một sự làm rõ của công thức ex = 1 + x + x2/2 + …).
Cuối cùng máy tính bỏ túi cho phép kiểm tra các kết quả nhận được bằng cách đối
chiếu với thực nghiệm hay với áp dụng số (…)”.
Tuy nhiên, việc sử dụng máy tính bỏ túi dựa trên một sự xử lý các số hiện thỉ
trên màn hình. Cũng theo bài báo này:
“(…) công cụ tính toán này chứa đựng một số nguy cơ, đặc biệt về sự chính xác
của các phép tính: việc làm tròn thập phân là một vấn đề mà chúng ta phải kiểm soát
(…). Ta phải hoàn toàn kiểm soát các sai số (do việc làm tròn và do phương pháp tính)
tạo ra bởi máy tính bỏ túi (…)”
Đâu là sự tiến triển của các chương trình ở Pháp liên quan đến vai trò và vò trí
của máy tính bỏ túi? Máy tính bỏ túi đóng vai trò gì trong việc nghiên cứu khái niệm
giới hạn trong giảng dạy phổ thông ở Pháp?

II.2. Luận án của Trouche (1996) về việc học khái niệm giới hạn hàm số trong
môi trường máy tính bỏ túi.
¾ L.Trouche đã phân tích các chương trình Pháp từ năm 1960 đến 1996 về vấn
đề các công cụ tính toán trong các chương trình (trang 93 đến trang 101) và chứng tỏ
rằng:
- Có một sự tiến triển quan trọng trong các dự đònh chương trình. Máy tính bỏ túi
chiếm một vò trí ngày càng lớn: năm 1971, người ta nói về việc sử dụng các máy tính
trong văn phòng. Năm 1982, người ta yêu cầu sử dụng rộng rãi các máy tính bỏ túi. Kể
từ năm 1986, việc sử dụng có hệ thống các máy tính bỏ túi được thúc đẩy và các máy
tính lập trình được khuyên dùng. Giữa những năm 1991 và 1996, các máy tính đồ thò

Trang 32


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
ngày càng được học sinh sử dụng nhiều hơn nhưng thể chế dạy học phổ thông vẫn chưa
hoàn toàn tính đến nó.
- Bên cạnh sự tiến triển của máy tính bỏ túi, L.Troche ghi nhận việc giảm đáng
kể việc trình bày toán học hình thức. Sự sử dụng các đồ thò, các phép tính số và các
công cụ tính toán cho một khả năng xây dựng cách “cụ thể và trực quan” các khái
niệm toán học.
- Với khái niệm giới hạn, sự chuyển đổi didactique, kể từ khi có sự tiến triển
của các chương trình, trình bày một khái niệm giới hạn gắn với hai quan điểm: quan
điểm chuyển động học, bắt nguồn từ việc nhận xét đồ thò và các hiện tượng; quan điểm
xấp xỉ (không được kiểm soát), bắt nguồn từ sự quan sát số.
III. Giả thuyết công việc
Từ đó, chúng tôi phát biểu các giả thuyết công việc:
Giả thuyết công việc:
♦ Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghóa của khái niệm giới hạn theo
nghóa topo có mặt một cách hình thức trong đònh nghóa bằng (ε, δ): quan điểm xấp xỉ

được xuất hiện nhờ các thực nghiệm số.
♦ Về máy tính bỏ túi, chúng tôi dùng lại một giả thuyết được phát biểu trong
bài giảng của Laborde (M2 EIAHD, 2003). Giả thuyết này được nhà tâm lý học
Rabardel đồng tình:
“Trong một số trường hợp, các kiến thức toán học được xây dựng một cách
đồng thời với việc nảy sinh công cụ”.
Như vậy, việc giảng dạy khái niệm giới hạn trong “môi trường máy tính bỏ
túi” đòi hỏi phải tính đến :
- Mối quan hệ cá nhân của học sinh với máy tính bỏ túi.
- Vò trí của máy tính bỏ túi trong hệ thống dạy học được xem xét.
- Tiến trình dạy học khái niệm giới hạn trong đó máy tính bỏ túi có thể “sống
được” .
Cần thiết phải nghiên cứu “trường sinh thái” các công cụ tính toán trong
thể chế Việt nam:
Chúng tôi nghiên cứu các chương trình liên tiếp ở Việt nam để trả lời cho các
câu hỏi: đâu là sự tiến triển của chương trình liên quan đến vai trò và vò trí của máy
tính bỏ túi? Máy tính bỏ túi đóng vai trò gì trong chương trình hiện hành?

Trang 33


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
IV. Sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương toán trình liên
tiếp của cấp THCS và THPT Việt nam
IV.1. Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước năm 1985)
Chúng ta hãy tập trung vào chương trình những năm 1960 của miền Bắc Việt
nam (hệ 10 năm)
Đối với chương trình này, một trong những mục tiêu dạy Toán là “ bồi dưỡng
cho học sinh những kỹ năng thói quen thành thạo để áp dụng các kiến thức vào các vấn
đề thực tế ” (trang 1). Chương trình xác đònh: “cần phải rèn luyện cho học sinh kỹ năng

làm tính và vẽ, sử dụng bảng số, các dụng cụ vẽ và dụng cụ đo đạc” (trang 1).
Chúng tôi giới thiệu trong bảng sau các đề mục kiến thức theo cấp lớp phổ
thông gắn với các nhiệm vụ tính toán hay các công cụ tính toán.
Cấp lớp
Đề mục
1
THCS 5
Số học. Nội dung 1
Số nguyên
Số học. Nội dung 7
Công tác thực hành
6

7

THPT 8
9

10

Các yếu tố tính toán yêu cầu
Tính nhẩm, tính nhanh và bàn
tính.
Các công cụ đo khoảng cách,
ước lượng bằng mắt một khoảng
cách, chế tạo bàn tính.
Hình học. Nội dung 1
Các công cụ đo góc, ước lượng
Các khái niệm cơ bản. Đường thẳng và bằng mắt độ lớn một góc.
góc

Đại số. Nội dung 5
Bảng bình phương và bảng khai
Sơ lược về phép khai phương
phương.
Hình học. Nội dung 4
Các hàm số lượng giác của một góc nhọn
Đại số. Nội dung 3
Logarit thập phân
Lượng giác. Nội dung 1
Các hàm số lượng giác của một góc bất
kỳ
Lượng giác. Nội dung 4
Giải tam giác

Bảng lượng giác, thước tính
logarit.
Bảng logarit
Bảng lượng giác.

Bảng lượng giác và bảng logarit.

Các công cụ tính toán có mặt chính thức trong chương trình này là các bảng số
và bàn tính.Bàn tính xuất hiện trong phần đầu tiên của số học ngay trong lớp đầu (lớp
5) với sự lưu ý như sau:
“Trong mục này 2 cần chú ý đến việc sử dụng thành thạo bàn tính để làm các
phép tính (nhất là cộng và trừ). Việc sử dụng bàn tính không phải chỉ bó hẹp trong mấy
1

Lớp đầu tiên của THCS

Trang 34


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
giờ đã quy đònh trong chương trình mà phải chú ý đến luôn cả trong khoá trình số học”.
(trang 4).
Ở thời điểm này, bàn tính được sử dụng rộng rãi trong đời sống thường nhật,
nhất là trong thương mại của những người Việt gốc Hoa nhờ vào các tính chất như: dễ
chế tạo, dễ sử dụng (trong khi chưa có máy tính bỏ túi) và giá thành thấp. Hơn nữa,
việc học sử dụng bàn tính một cách ngầm ẩn dựa trên các tính chất của số nguyên, ví
dụ, lý thuyết đồng dư .
Một lời bình chú khác của chương trình:
“ (…) Một điểm trọng yếu nữa của số học là tập cho học sinh tính nhẩm thông
thạo về số nguyên, phân số, số thập phân và tính nhanh.
Tính nhẩm không những gắn liền toán học với thưc tế, mà còn có tác dụng giáo
dục (phát triển óc suy nghó, trí nhớ, sức chú ý, sự nhanh trí, tính tháo vát v.v…). cần
quan niệm rằng bất cứ ở lớp nào, giờ nào, nếu có điều kiện dạy thêm những quy tắc
mới hoặc áp dụng tính nhẩm được thì không nên bỏ qua (…)” (trang 7)
Hiện tại, bàn tính đã biến mất trong nhà trường và đời sống thường nhật. Vậy
phương tiện tính toán nào đã thay thế? Dường như là máy tính bỏ túi đã thay thế
bàn tính.
Chương trình của những năm 1960 ở miền Bắc Việt nam rất nhấn mạnh việc
dạy cho học sinh tính nhẩm và tính nhanh. Liệu chương trính hiện hành có quan tâm
đến những kỹ năng này? Máy tính bỏ túi có vai trò gì so với các kỹ năng này?
IV.2 Giai đoạn CCGD từ 1986 đến 1999
Chương trình THCS của giai đoạn này đã được soạn thảo vào cuối những năm
1970. Tiếp theo, nó được triển khai áp dụng lần lượt từ những năm 1986. Sau một số
điều chỉnh và bổ sung, nó ổn đònh trong những năm 1994. Ở THPT, chương trình
CCGD được áp dụng trong những năm 1990.
Chương trình của những năm 1994

THCS

Cấp lớp Đề mục
6
Số học. Phần I
Tập hợp các số tự hiên
Số học. Chương II. Phần II
Phép tính vế phân số

2

Mục số nguyên

Trang 35

Các yếu tố tính toán yêu cầu
Tính nhẩm, tính nhanh, bảng tích
của hai số tự nhiên có hai chữ số và
máy tính bỏ túi
Bảng phần trăm của một số , bảng
tỷ số phần trăm của hai số


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
8

THPT

9

11

Hình học 8. Chương II
Tỷ số lượng giác của một góc
nhọn
Đại số 9. Chương I
Số thực – căn bậc hai (căn bậc
ba)
Đại số 11. Chương I
Hàm số lượng giác
Đại số 11. Chương VI
Hàm số mũ

Bảng lượng giác

Bảng căn bậc hai, bảng căn bậc ba
và máy tính bỏ túi
Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi
Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi.

- Trong phần hướng dẫn giảng dạy về số học lớp 6, người ta đọc thấy rằng:
“phải chú trọng đến các loại hình tính nhanh, tính nhẩm một cách thông minh” (tr13)
Bàn tính đã biến mất trong chương trình này. Thay vào đó, ngay từ đầu cấp II
(lớp 6), trong phần số học (Chương I. Bổ túc về số tự nhiên), là phần D, Bảng số – biểu
đồ – máy tính bỏ túi, gồm các bài học sau:
§19 – Bảng tích đúng của các số có hai chữ số
§20 –Biểu đồ
§21 – Hệ nhò phân. Ordinateur
§22 –Máy tính bỏ túi
Hệ nhò phân và máy tính điện tử xuất hiện trong chương trình mà không có lời

giải thích nào. Hơn nữa, chúng là những nội dung không quan trọng của chương trình
bởi vì với bài kiểm tra chương I (tiết thứ 34), “nội dung chủ yếu là các bài toán trong
N” (trang 17). Bảng căn bậc hai được giới thiệu trong phần đại số lớp 9, ở bài học 6,
bảng căn bậc hai, của chương I, số thực – căn bậc hai. Mục đích của nó là “học sinh
phải biết cách khai căn, biết sử dụng bảng căn bậc hai, bậc ba, máy tính bỏ túi”. (tr 50)
Chúng ta bắt gặp các kiến thức tin học trong chương IV của lớp 10 với nhan đề:
Khoa học và kỹ thuật tính toán, bao gồm các nội dung: phương pháp tính, thuật toán,
máy tính điện tử và tin học.
Một số dấu vết còn lại của bàn tính
Chúng tôi không thể tìm thấy chương trình của những năm 1986. tuy nhiên,
trong một quyển SGK toán lớp 6 của nhóm các tác giả Lê Hải Châu – Nguyễn Gia
Cốc, tập I, phần số học, chúng tôi ghi nhận:
- Bàn tính được giảng dạy rất kỹ lưỡng trong các bài học sau của chương I, bổ
túc về số tự nhiên: §15. Bàn tính; §16.Cộng bằng bàn tính; §17. Trừ bằng bàn tính.
- Máy tính bỏ túi chỉ xuất hiện trong bài đọc thên nhan đề “ máy tính bỏ túi”.
Máy tính bỏ túi có mặt rất sớm nhưng không có chỉ thò hay giải thích gì:
những máy tính bỏ túi nào được chương trính cho phép sử dụng? Trong mỗi bài học
thì chức năng nào của máy tính bỏ túi được phép sử dụng?
Trang
Tồn tại cùng lúc các bảng số và
máy 36
tính bỏ túi trong chương trình năm 1994
đồng thời số lượng các bảng số tăng lên. Làm sao để giải thích cho hiện tượng này?
Điều này còn tiếp diễn trong chương trình hiện hành hay không?


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi

IV.3 Chương trình hiện hành, được áp dụng kể từ năm 2000 (Chương trình chỉnh
lý và hợp nhất).

Sự thay đổi này đặt trên tư tưởng làm giảm tải chương trình trước đó
¾ Chương trình THCS vẫn còn là chương trình của những năm 1994
Chúng tôi đã có những thăm dò không chính thức với các giáo viên cấp II ở TP
HCM và những học sinh đầu lớp 10. Những điều sau đây còn phải được xác nhận lại
trong một cuộc điều tra chính thức và hệ thống hơn:
- Phần lớn các giáo viên cấp II cho phép học sinh của mình sử dụng máy tính bỏ
túi để tính các tỷ số lượng giác, khai căn bậc hai và căn bậc ba. Ngược lại, các bảng số
rất ít khi được đề cập đến.
- Vào đầu lớp 10, nhiều học sinh đã sở hữu và biết sử dụng máy tính bỏ túi
Casio fx-500A có các chức năng lượng giác, khai căn bậc hai và căn bậc ba … ngoài
ra máy tính này còn có chức năng giải các hệ phương trình bậc nhất hai, ba ẩn và
phương trình bậc hai một ẩn.
Ở cấp II, máy tính bỏ túi có được giáo viên và học sinh sử dụng hay không?
Sử dụng để làm gì? Khi nào và như thế nào? Kiểu máy tính bỏ túi nào là nhiều
nhất? Như vậy, các bảng số đóng vai trò gì?
¾ Chương trình THPT
Hai đònh hướng chính của chương trình hiện hành được được Bộ Giáo dục và
Đào tạo phê duyệt:
1) Không thay đổi chương trình CCGD năm 1989 được thể hiện qua ba bộ sách giáo
khoa Toán THPT.
2) Giảm tải, nghóa là giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược những nội dung
quá phức tạp hoặc xét thấy không cần thiết.
So với chương trình CCGD, các kiến thức về tin học và máy tính điện tử không
còn nữa. Ngược lại, mỗi năm học được dự kiến ba buổi học sử dụng máy tính Casio
fx-500A 3 với lưu ý như sau: “việc sử dụng máy tính bỏ túi không chỉ bó buộc trong 3
buổi quy đònh nhưng cần phải sử dụng máy tính bỏ túi trong suốt chương trình, giáo

3

Máy tính bỏ túi Casio fx – 500A (hay tương đương) được cho phép trong cuộc thi Tú tài và thi Tuyển đại học

Trang 37


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
viên phải lợi dụng những thời điểm thích hợp để giải thích cho học sinh cách sử dụng
máy tính bỏ túi” 4 (SGV 10)
Ở THPT, máy tính bỏ túi Casio fx-500A được cho phép rõ ràng trong chương
trình. Các bảng số đã biến mất.
Xem xét chương trình dự kiến trong tương lai, ta có thể nhận thấy rằng có
một sự lưỡng lự của các noosphère Việt nam giữa việt kết hợp môn tin học vào
Toán học hay đặt độc lập như một môn học , “Tin học”.
IV.4. Chương trình thí điểm
Sự cải cách dự kiến của chương trình tương lai, trước hết, vẫn tiếp tục ý tưởng
“giảm tải” nhưng cùng với mong muốn thay đổi phương pháp dạy và học.
¾ Chương trình THCS
- Một căn cứ để xây dựng chương trình này là “đối chiếu với xu thế của thế giới
hiện này thì chương trính và SGK môn Toán THCS của nước ta còn quá coi trọng về lý
thuyết kinh viện và chưa quan tâm đúng mức đến thực hành(…)” (tr 14).
- Một trongnhững mục tiêu của môn Toán đối với chương trính này là “hình
thành và rèn luyện các kó năng: tính toán sử dụng bảng số và máy tính bỏ túi (…)”(tr 4)
- Các kiến thức tin học đã hoàn toàn biến mất. Tin học tách khỏi môn Toán.
- Cũng không còn bài học nào về máy tính bỏ túi.
- Tuy nhiên, trong phần về phân số, các bảng phần trăm và tỷ số phần trăm đã
biến mất thay cho chúng giáo viên “chú ý thích đáng đến yêu cầu hùng dẫn HS sử
dụng máy tính bỏ túi để giảm nhẹ tính toán và để ứng dụng thiết thực trong đời
sống”.(tr18)
Trong chương trình này, các tỷ số lượng giác đã biến mất cùng với bảng lượng
giác.
Ở lớp 9, bảng khai căn bậc hai vẫn còn tồn tại trong phần đại số chương I: Bảng

căn bậc hai. Khai phương bằng máy tính bỏ túi.
Máy tính bỏ túi chỉ được hiểu như một công cụ giúp đỡ tính toán có thể thay
thế cho các bản số. Giáo viên được khuyến khích hướng dẫn học sinh sử dụng máy
tính bỏ túi. Nhưng không biết khi nào? Loại máy nào? Và hướng dẫn thế nào?
¾ Chương trình THPT
Chương trình này vẫn đang được thảo luận và sửa chữa. Dựa trên bảng đònh
hướng của chương trình, chúng tôi ghi nhận các điểm sau đây:
4

Trong những năm gần đây, Bộâ GD-ĐT và các sở GD đòa phương cùng với sự tài trợ của công ty xuất nhập khẩu
Bình Tây (một công ty phân phối các máy tính bỏ túi Casio) tổ chức thường niên cuôc thi giải toán nhanh với
máy tính bỏ túi cho học sinh. Quy mô và chất lượng cuộc thi ngày càng lớn, điều này khuyến khích việc sử dụng
máy tính bỏ túi và xuất hiện nhiều kiểu máy tính mới gồm cả kiểu máy lập trình và đồ thò.

Trang 38


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
- Các bảng số đã hoàn toàn biến mất.
- Chương trình cho phép học sinh sử dụng máy tính Casio fx-500MS (C2), hiện
đại và nhiều chức năng hơn máy Casio fx-500A (C1) 5 .
- Lần đầu tiên người ta nói đến việc sử dụng máy tính bỏ túi giải gần đúng các
phương trình và hệ phương trình trong thể chế phổ thông Việt nam.
- Tin học trở thành một môn học độc lập và tách khỏi môn Toán.
IV.5. So sánh và nhận xét
Năm

1960

1994

2000

Tính
nhẩm,
tính
nhanh
Có vò trí
rất
quan
trọng
Vò trí quan
trọng

Tương tự

Bàn tính

Các bảng số

Máy tính bỏ túi

Kiến thức tin học

Có vò trí
rất quan
trọng
Biến mất

bình phương, căn

bậc hai, lượng giác,
logarit
Tích của hai số tự
nhiên có hai chữ
số, phần trăm của
một số, tỷ số phần
trăm của hai số,
căn bậc hai, căn
bậc ba, lượng giác,
logarit
Các bảng số đã
biến mất ở THPT

Chưa xuất hiện

Chưa xuất hiện

Không
còn

THCS
Xuất hiện đầu lớp
6, không có quy
đònh gì
THPT
Cho phép, không
có quy đònh gì

THCS
Xuất hiện trong

phần số học 6.
THPT
Xuất hiện trong
phần Đại số 10.

THCS
Tương tự năm 1994
THPT
Cho phép C1

THCS
Tương tự 1994
THPT
biến mất

Tươn Có vò trí ít Tương tự Căn bậc hai (chỉ THCS
Tin học tách khỏi
g lai quan
có ở cấp II)
GV phải hướng môn Toán
trọng hơn
dẫn HS sử dụng
máy tính bỏ túi,
5

So với C1 thì C2 có đặc điểm sau :
• Trình tự soạn thảo như cách viết tự nhiên (với C1 phải thao tác với tiến trình ngược ).
• Có thêm dòng soạn thảo. Như vậy, ta có thể sửa chữa hay kiểm tra dòng lệnh đã soạn thảo (trong
khi C1 chỉ hiện thò kết quả).
• Có nhiều chức năng hơn :

- Các hệ đếm : 2, 8, 10, 16
- Nhập các công thức (ta có thể xem như một kiểu của lập trình)
- Giải gần đúng phương trình bậc ba một ẩn.
- Số phức …

Trang 39


Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi
không quy
đònh gì
THPT
Cho phép C2

có

Nhận xét
- Sự có mặt và tiến triển của máy tính bỏ túi đi cùng với sự biến mất của bàn
tính và sự giảm yêu cầu về tính nhẩm và tính nhanh.
- Ở THCS, máy tính bỏ túi chỉ đóng vai trò hổ trợ các phéo tính số và nhất là
thay thế các bảng số. Ở THPT, việc quy đònh kiểu máy tính bỏ túi sử dụng đồng nghóa
với việc được phép sử dụng máy tính bỏ túi này trong các cuôc thi Tú tài và thi Tuyển
Đại học. Nhưng máy tính bỏ túi không được tính đến trong tiến trình dạy học.
- Mặc dù máy tính bỏ túi xuất hiện và tiến triển, các bảng số vẫn tồn tại. Như
vậy, máy tính bỏ túi chỉ được kuyến khích chứ không bắt buộc.
- Các kiến thức tin học không được tính đến trong việc giảng dạy với máy tính bỏ
túi (máy đồ thò, máy lập trình …). Khi nói về Tin học, các chương trình ám chỉ sử dụng
máy tính điện tử.
Trong hoàn cảnh như vậy của thể chế, bây giờ chúng tôi sẽ xây dựng một đồ án
didactic với mục tiêu là giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan điểm

xấp xỉ và trong môi trường máy tính bỏ túi. Chúng tôi nhắc lại các giả thiết công
việc hướng dẫn việc xây dựng đồ án:
♦ Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghóa của khái niệm giới hạn trong
cách đặt vấn đề topo có mặt một cách hình thức trong đònh nghóa bằng (ε, δ): quan
điểm xấp xỉ xuất hiện từ sự thực nghiệm số.
♦ Trong một số trường hợp, các kiến thức toán học được xây dựng một cách
đồng thời với việc nảy sinh công cụ.

Trang 40