Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Vận dụng phép biện chứng duy vật nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở trường

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội
-------------------

Lê thiếu tráng

VNDNGPHẫPBINCHNGDUYVTNHMPHTTRIN
NNGLCTONHCCHOHCSINHKHVGIITON
TRONGDYHCNIDUNGVECTVTA
TRNGTRUNGHCPHTHễNG
Chuyên ngành : LL& PPDH Bộ môn toán
Mã số

: 62 .14. 01. 11

Tóm tắt Luận án tiến sĩ khoa học giáo dục

hà nội - 2015


Luận án đợc hoàn thành tại:
Trờng đại học s phạm hà nội

Ngời hớng dẫn khoa học: 1. TS. Trần Luận
2. PGS. TS. Vũ Dơng Thụy

Phản biện 1: GS.TS. Đào Tam
Trờng Đại học Vinh

Phản biện 2: PGS.TS. Đào Thái Lai
Viện Khoa học giáo dục Việt Nam

Phản biện 3: TS. Nguyễn Đức Hoàng
Trờng Đại học S phạm Hà Nội

Luận án đợc bảo vệ tại: Hội đồng chấm Luận án cấp Trờng

Họp tại: Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Vào hồi ..... giờ ..... ngày ..... tháng ..... năm 2015

Có thể tìm đọc luận án tại:
- Th viện Quốc gia


- Th viÖn Trêng §¹i häc S ph¹m Hµ Néi


DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐàCÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 
1. Lê Thiếu Tráng (2010), Áp dụng tư  duy biện chứng trong dạy học toán  

giúp học sinh chủ  động và sáng tạo trong học tập, Tạp chí Giáo dục, Bộ 
Giáo dục và Đào tạo, số 247, Kỳ 1 tháng 7 (tr.45). 
2. Lê Thiếu Tráng (2013), Sử dụng phạm trù "vận động" xây dựng nhóm bài  

tập từ một bài tập cơ bản trong hình học lớp 10  nhằm phát triển tư duy  
biện chứng cho học sinh, Tạp chí Giáo dục, Bộ  Giáo dục và Đào tạo, số 
320, Kỳ 2 tháng 10 (tr.46).
3. Lê Thiếu Tráng (2014), Sử dụng mối quan hệ nhân­quả trong giảng dạy  

để phát triển năng lực toán học cho học sinh trung học phổ thông, Tạp chí 
Giáo dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo, số 336, Kỳ 2 tháng 6 (tr.51).

4. Lê Thiếu Tráng (2014),  Phân tích cấu trúc của năng lực và  ứng dụng  

trong quá trình giảng dạy toán cho học sinh trung học phổ thông, Tạp chí 
Giáo dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Số đặc biệt tháng 6 (tr.193).
5. Lê Thiếu Tráng (2014), Phát triển năng lực toán học cho học sinh trung học  

phổ  thông dựa trên nguyên lí về  mối liên hệ  phổ  biến trong phép biện chứng  
duy vật,  Tạp chí  Khoa học, Volume 59, Number  2A, trường   ĐHSP Hà  Nội 
(tr.182).


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh là một mục tiêu đang 
hướng tới của giáo dục Việt Nam
Theo điều 28.2 Luật Giáo dục: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy 
tính tích cực, tự  giác, chủ  động, sáng tạo của học sinh;...bồi dưỡng phương pháp tự 
học, khả  năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ  năng vận dụng kiến thức vào thực  
tiễn;...
Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI chỉ rõ mục  
tiêu Giáo dục­Đào tạo cần đạt: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào 
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ  yếu trang 
bị  kiên th
́ ưc sang phát tri
́
ển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi 
với hành; lí luận gắn với thực tiễn;...Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn 

diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân;...".
Boyatzis và các đồng sự từ năm 1995 đã tổng kết các nhược điểm của giáo dục:  
Quá nặng về phân tích, không định hướng thực tiễn và hành động; Thiếu và yếu trong 
phát triển kĩ năng quan hệ qua lại giữa các cá nhân; Thiển cận, hạn hẹp, không có tiếp 
cận toàn diện tổng thể  trong những giá trị  và tư  duy của nó; Không giúp người học 
làm việc tốt trong các nhóm và đội làm việc.
Rausch,  Sherman, và Washbush năm 2001 cho rằng: “Thiết kế  một cách cẩn  
thận các chương trình giáo dục và đào tạo chú trọng vào kết quả  đầu ra và dựa trên  
năng lực có thể xem là một giải pháp tự nhiên để giải quyết hầu hết, nếu khô ng phải 
là tất cả, những nhược điểm  này”.
Nhóm tác giả: Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình nêu quan 
điểm: “Phát triển những năng lực toán học ở học sinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan  
trọng của thầy giáo vì hai lí do: thứ nhất, toán học có một vai trò to lớn trong sự phát 
triển của các ngành khoa học, kĩ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết có một đội  
ngũ những người có năng lực toán học;  thứ  hai, “Trên cơ  sở  những đòi hỏi tất yếu 
của cuộc sống cộng đồng,..."phải" bảo đảm sự  phát triển phong phú của nhân cách,  
bồi dưỡng và phát huy sở  trường và năng khiếu cá nhân”. Tuy nhiên, rất đáng tiếc,  
hiện nay chúng ta vẫn chưa có những công trình nghiên cứu tỉ mỉ về cấu trúc của năng  
lực tư  duy toán học của học sinh nước ta, để  từ  đó có nội dung, phương pháp bồi  
dưỡng năng lực sáng tạo toán học cho học sinh một cách chủ động. 
Bộ  giáo dục và Đào tạo năm 2013 đã có hướng dẫn "Thí điểm chương trình  
giáo dục định hướng phát triển năng lực học sinh".
Năm 2014, trong Dự  thảo Chương trình tổng thể  giáo dục phổ  thông  của Bộ 
Giáo dục và Đào tạo đề  ra mục tiêu: Chương trình giáo dục phổ  thông nhằm tạo ra  
những con người Việt Nam phát triển hài hòa về  thể  chất và tinh thần,...có học vấn  
phổ  thông; có năng lực chung: Tự  học và quản lí bản thân; phát hiện và giải quyết  
vấn đề; giao tiếp và hợp tác; sử  dụng ngôn ngữ, tính toán, công nghệ  thông tin và 
truyền thông làm cơ sở cho việc lựa chọn nghề nghiệp.

2

Do đó, việc nghiên cứu về  phương pháp dạy học phát triển năng lực cho  học 
sinh  là một vấn đề  cần thiết cho việc đổi mới giáo dục trong thời gian tới  ở  Việt  
Nam.
1.2. Vận dụng phép biện chứng duy vật trong dạy học Toán là một phương pháp  
phát triển năng lực hiệu quả cho học sinh ở trường trung học phổ thông
Muốn dạy tốt môn toán trong nhà trường phổ  thông, giáo viên cần có những 
hiểu biết nhất định về khoa học toán học...Tất cả các lĩnh vực ấy đều dựa trên cơ sở 
triết học nhất định. Vì vậy để  dạy tốt môn toán, trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu 
những đặc điểm của khoa học toán học theo quan điểm triết học DVBC, bao gồm  
những nội dung: Đối tượng, nguồn gốc, phương pháp của Toán học về  tiêu chuẩn 
chân lí của khoa học này.
Để nhận thức mặt nội dung của "hiện thực" cần có tư biện chứng, và để nhận  
thức mặt hình thức của "hiện thực" cần có tư  duy lôgic; nên tư  duy toán học cũng  
phải là sự thống nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng.
Từ yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người 
học, qua khảo sát thực trạng dạy và học Toán hiện nay, chúng tôi chọn đề tài:
“VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC 
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI TOÁN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG 
VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG”
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
2.1. Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Về vận dụng phép BCDV trong dạy học Toán có tác phẩm “Một số quan điểm  
Triết học trong toán học” của Rudavin, Nưxanbaep, Sliakhin;  
Về  năng lực: Công trình “Tâm lí năng lực toán học của học sinh”   năm 1973 
của Crutecxki V.A người Nga, đã xác định khái quát cấu trúc năng lực toán học của  
học sinh.
Trong công trình "Về Toán học phổ thông và những xu hướng phát triển", năm 
1980 của tác giả Maxlôva G.G đã khẳng định vấn đề  tăng cường các ứng dụng toán 

học là xu thế chung trong những thập kỉ gần đây.
Trong nghiên cứu  "Dạy học Toán"  của Xtôlia A.A, tác giả  cũng nhấn mạnh  
quan điểm dạy học phát triển năng lực toán cho học sinh chính là dạy học sinh biết 
thực hiện các hoạt động toán học...
J.Guilford đưa ra quan điểm phải đánh giá nội dung học tập theo quan điểm giá 
trị của chúng đối với hoạt động sáng tạo và đã giải quyết bằng cách xây dựng một mô  
hình tham số các năng lực trí tuệ. 
Hội đồng Quốc tế về giáo dục cho thế kỷ XXI được UNESCO năm 1996, Hội 
đồng đã xuất bản ấn phẩm “Học tập: một kho báu tiểm ẩn”, trong đó đã xác định vấn 
đề  "học tập suốt đời" dựa trên bốn trụ cột là: Học để biết, học để làm, học để chung 
sống với nhau, học để làm người. Các nghiên cứu xoay quanh vấn đề “ học để làm” liên 
hệ mật thiết với việc phát triển năng lực của học sinh.
2.2. Tình hình nghiên cứu trong nước


3

Ở  Việt Nam, đã có một số  công trình nghiên cứu về  vận dụng phép BCDV 
trong giảng dạy Toán, phát triển tư  duy biện chứng cho   học sinh: Tiêu biểu là tác 
phẩm “Tập cho học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu toán học” của Giáo 
sư  TSKH Nguyễn Cảnh Toàn, dựa trên 10 chủ  đề  tiêu biểu, tác giả  đã sử  dụng một  
số nguyên lí và các cặp phạm trù cơ  bản của phép BCDV, phân tích sâu sắc việc sử 
dụng chúng trong quá trình học toán và nghiên cứu toán học.
Tác giả  Nguyễn Thái Hòe,  “Vận dụng những hiểu biết về  triết học (các qui  
luật cơ  bản và các cặp phạm trù của phép BCDV) vào việc định hướng đường lối  
giải các bài toán”, Thông báo khoa học, ĐHSP Vinh, 1990.
"Phát triển tư  duy biện chứng của  học sinh trong dạy học hình học  ở  trường  
trung học phổ thông" luận án tiến sĩ của Nguyễn Thanh Hưng Đại học Tây Nguyên, 
2008.
Về năng lực, ở Việt Nam đã có một số tác phẩm, bài báo đề cập đến, đặc biệt  

là trong một số năm gần đây đã có nhiều cuộc Hội thảo bàn về vấn đề phát triển năng  
lực chung và năng lực Toán học cho học sinh.
Tác phẩm "Giáo dục học môn Toán" của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc,  
Trần Thúc Trình, đã phân tích và minh họa phát triển năng lực toán học trong quá trình  
dạy học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông.
Tác phẩm “Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn Toán  
ở  trường THCS” của Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân, các tác giả 
cũng đề cập sâu sắc đến việc phát triển năng lực toán học của  học sinh thông qua các 
hoạt động trí tuệ tiêu biểu.
Một số bài viết khác như: Đào Tam (2007), “Rèn luyện cho học sinh phổ thông  
một số thành tố của năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học toán ”, Tạp chí giáo dục; 
TS Trần Luận (1990), “Về cấu trúc năng lực toán học của học sinh”, Tư liệu Hội thảo 
môn toán, Viện khoa học giáo dục, Hà Nội; Kỷ  yếu hội thảo khoa học quốc gia: 
“Nghiên cứu giáo dục toán học theo hướng phát triển năng lực người học, giai đoạn  
2014­2020” ...
Qua việc tìm hiểu, nghiên cứu chúng tôi nhận thấy: Các công trình nghiên cứu  
trong nước và trên thế  giới về  sử  dụng phép BCDV trong giảng dạy và phát triển 
năng lực cho học sinh đã nghiên cứu đề cập đến các vấn đề sau:
Về phép BCDV, đã chỉ ra sự phát triển và phát minh Toán học đều dựa trên các  
nguyên lí và qui luật tất yếu của triết học DVBC; đã minh họa một số bài toán tiêu  
biểu vận dụng các cặp phạm trù trên cơ  sở  của triết học DVBC; phát triển tư  duy  
biện chứng cho học sinh thông qua dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.
Về  phát triển năng lực, các tác giả  đã phân tích theo nhiều góc độ  để  đưa ra  
những quan điểm về  năng lực chung, năng lực toán học, tuy nhiên cũng chưa có sự 
thống nhất giữa các tác giả  và các quốc gia. Hiện nay việc chốt lại khung năng lực  
chung và năng lực toán học cần phát triển cho học sinh phổ thông chưa có sự  thống 
nhất.
Chúng tôi nhận thấy, nếu kế thừa các kết quả của các tác giả đi trước, áp dụng 
vào thực tế ở Việt Nam với một khung năng lực chung và năng lực toán học phù  hợp 
đặc điểm tâm sinh lí của học sinh Việt Nam, thì việc vận dụng phép BCDV là một  

trong những biện pháp phát triển năng lực toán học cho  học sinh  đạt hiệu quả  cao. 
Phép BCDV có thể được vận dụng để phát triển năng lực được ở nhiều nội dung dạy 


4

học, nhiều môn học, chủ đề vectơ và tọa độ có nhiều ý nghĩa trong lịch sử phát triển  
Toán học và thực tiễn, có quan hệ mật thiết với các thành phần của năng lực toán học. 
Hơn nữa, qua kinh nghiệm của tác giả vận dụng trong giảng dạy đã đạt được hiệu quả 
nhất định. Do đó, chúng tôi lựa chọn đề tài này nhằm mục đích sau:
3. Mục đích nghiên cứu
Luận án đề  xuất các biện pháp vận dụng phép BCDV trong quá trình dạy học 
nội dung vectơ và tọa độ để phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán,  
góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường trung học phổ thông theo 
hướng tiếp cập năng lực người học. 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, luận án có nhiệm vụ góp phần làm sáng  
tỏ các vấn đề sau:
4.1. Lí luận về phép BCDV, các nguyên lí và phạm trù của phép BCDV, phân tích mối 
liên hệ  giữa toán học và các đặc trưng cơ  bản của phép BCDV, minh họa những tri 
thức tiêu biểu trong quá trình giảng dạy hình học.
4.2. Tìm hiểu, tổng hợp một số khái niệm, công trình về  năng lực, năng lực toán học 
và các đặc trưng của nó, đưa ra quan điểm phù hợp trong giai đoạn hiện nay  ở  Việt 
Nam.
4.3. Tìm hiểu năng lực toán học của  học sinh  trong học tập hình học  ở  trường phổ 
thông và mối quan hệ của nó với phép BCDV.
4.4. Xác định một số căn cứ, định hướng của việc đề  ra các biện pháp sư  phạm phát  
triển năng lực toán học dựa trên cơ sở phép BCDV.
4.5. Đề  xuất các biện pháp sư  phạm vận dụng phép BCDV trong dạy học nội dung 
vectơ­tọa độ   ở  trường phổ  thông nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh khá  

giỏi. 
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề  tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung chương trình hình học, chủ  yếu là 
nội dung liên quan đến vectơ và tọa độ ở trường trung học phổ thông.
6. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
6.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học hình học, nội dung vectơ  và tọa độ  theo hướng phát 
triển năng lực toán học của giáo viên và học sinh ở trường trung học phổ thông.
6.2. Đối tượng nghiên cứu 
Khái niệm, đặc trưng của năng lực toán học, lí luận của phép  BCDV, việc vận 
dụng phép BCDV của giáo viên để phát triển năng lực toán học cho  học sinh khá giỏi 
toán ở trường trung học phổ thông. 
7. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học nội dung vectơ  và tọa độ, nếu vận dụng phép BCDV  
bằng những biện pháp sư phạm phù hợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực toán học 
cho học sinh, từ  đó nâng  cao được hiệu quả  dạy học Toán  ở  trường trung học phổ 
thông.
8. Phương pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận: Các tài liệu về năng lực, năng lực toán học, tài liệu về  triết  
học DVBC, các tài liệu về  Tâm lí học, Giáo dục học, các văn bản về  giáo dục, luật  
giáo dục.


5

8.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Sử dụng phiếu hỏi, phiếu thăm dò các giáo viên dạy 
Toán về sự quan tâm việc phát triển năng lực toán học cho học sinh, việc sử dụng phép 
BCDV trong giảng dạy Toán. Dự giờ một số giờ dạy Toán của giáo viên trung học phổ 
thông để nắm được thực tế việc dạy và học nội dung vectơ và tọa độ của giáo viên và học  
sinh.

8.3. Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia trong lĩnh vực giáo dục  
toán học, triết học và tâm lí học để điều chỉnh và hoàn thành luận án.
8.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá  
tính khả thi và tính hiệu quả của luận án. Đánh giá kết quả bằng  phương pháp thống 
kê trong khoa học giáo dục.
9. Những vấn đề đưa ra bảo vệ
9.1. Kết quả  tổng hợp, phân tích và đánh giá các quan điểm về  năng lực và năng lực  
toán học của học sinh từ một số tài liệu đã có để đưa ra một khung năng lực toán học  
cần phát triển trong dạy học nội  dung vectơ và tọa độ đối với học sinh khá và giỏi toán 
ở trường trung học phổ thông của Việt Nam.
9.2. Quan điểm về cách đánh giá mối quan hệ giữa phép BCDV với các thành phần năng 
lực toán học của học sinh trong học tập hình học ở trường trung học phổ thông.
9.3. Các căn cứ và định hướng của việc đề ra các biện pháp sư phạm phát triển năng lực  
toán học cho học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông của Việt Nam .
9.4. Các biện pháp sư phạm đề xuất vận dụng phép BCDV nhằm phát triển năng lực  
toán học cho  học sinh  khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ  và tọa độ   ở 
trường trung học phổ thông.
10. Những đóng góp mới của luận án
10.1. Về mặt lí luận
­ Phân tích, minh họa được mối liên hệ  giữa các nguyên lí, qui luật và phạm trù của  
phép BCDV với các thành phần năng lực và năng lực toán học cho học sinh trong dạy 
học hình học.
­ Tổng hợp, phân tích khái niệm và đặc trưng về  năng lực, năng lực toán học, lựa 
chọn khung năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng cho học sinh Việt Nam.
­ Đề  xuất được 5 biện pháp dạy học vận dụng phép BCDV phát triển năng lực toán 
học cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ   ở  trường  
trung học phổ thông.
10.2. Về mặt thực tiễn
­ Xây dựng được một phương pháp phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và 
giỏi toán thông qua giảng dạy chủ đề phương pháp vectơ và tọa độ trong hình học.

­ Xây dựng được 5 biện pháp phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi 
toán ở trường trung học phổ thông.
­ Xây dựng được một số  chủ  đề  tiêu biểu và hệ  thống ví dụ  minh họa trong giảng  
dạy của luận án là tài liệu tham khảo cho giáo viên khi thực hiện  Kế hoạch giáo dục  
theo định hướng phát  triển năng lực người học  của Bộ  Giáo dục và Đào tạo trong 
những năm tới.
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN


6

1.1. Khái niệm, hình thức, đặc trưng và vai trò của phép biện chứng, p hép biện 
chứng duy vật
1.1.1. Một số khái niệm
a. Biện chứng: Là phương pháp triết học xem xét những sự vật hiện tượng và những 
phản ánh của chúng vào tư  duy, chủ  yếu là trong mối liên hệ  qua lại, trong sự  phát 
sinh và sự tiêu vong của chúng. 
b. Siêu hình:  Là  phương pháp  xem xét sự  vật trong trạng thái đứng im, không vận 
động, cô lập và tách biệt nhau.
1.1.2. Các hình thức cơ bản của phép biện chứng
a. ''Phép BC chất phác”;
b. ''Phép BC duy tâm”; c. ''Phép BCDV”.
1.1.3. Phép biện chứng duy vật, đặc trưng và vai trò của phép biện chứng duy 
vật về phương pháp luận
Phép BCDV là khoa học về  các qui luật chung nhất về  sự  phát triển của thế 
giới vật chất, đồng thời là lí luận nhận thức và lôgic học. Các qui luật nhận thức và  
các hình thức tư duy không tách rời lí luận về các qui luật và các hình thức vận động  
của tồn tại. Phép BCDV của chủ nghĩa Mác­Lênin có hai đặc trưng cơ bản sau:
Một là, phép BCDV của chủ nghĩa Mác­Lênin là phép biện chứng được xác lập 

trên nền tảng của thế giới quan duy vật khoa học. 
Hai là, trong phép BCDV của chủ  nghĩa Mác­Lênin có sự  thống nhất giữa nội 
dung của thế giới quan (DVBC) với phương pháp luận (BCDV).
1.1.4. Hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng
a. Nguyên lí về mối liên hệ phổ biến; 
b. Nguyên lí về sự phát triển Nguyên lí về sự phát triển 
1.1.5. Ba qui luật cơ bản của triết học duy vật biện chứng 
 Qui luật chuyển hóa từ  những sự thay đổi về  lượng thành những sự  thay đổi  
về  chất và ngược lại; Qui luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập; Qui  
luật phủ định của phủ định. 
1.2. Một số quan điểm về năng lực và năng lực toán học
1.2.1. Năng lực
­ Theo từ điển Tiếng Việt, năng lực có hai nghĩa: (1). Khả năng, điều kiện chủ  
quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; (2). Phẩm chất tâm lí  
và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất  
lượng cao.
­ Theo Tâm lí học: "Năng lực là tập hợp các tính chất hay phẩm chất của tâm lí  
cá nhân, đóng vai trò là điều kiện bên trong, tạo thuận lợi cho việc thực hiện tốt một  
dạng hoạt động nhất định”.
Luận án lấy quan điểm theo kết luận của Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục và các  
Bộ  trưởng Giáo dục­Đào tạo­Việc làm của Australia (9/1992), một kiến nghị  về  bảy  
năng lực cơ bản của người lao động cần có được đề  ra là: (1) Năng lực thu thập, phân 
tích và tổ chức thông tin, (2) Năng lực giao tiếp, truyền đạt ý tưởng thông tin, (3) Năng 
lực lập kết hoạch và tổ chức hoạt động, (4) Năng lực làm việc với đối tác theo nhóm, (5) 
Năng lực sử dụng tư duy toán học và kỹ thuật, (6) Năng lực giải quyết vấn đề, (7) Năng 
lực sử dụng công nghệ.  
1.2.2. Năng lực của học sinh phổ thông


7

Singapo đề  ra tám nhóm năng lực thiết yếu của học sinh là: (1) Năng lực phát 
triển tính cách; (2) Năng lực tự điều khiển bản thân; (3) Năng lực xã hội và hợp tác; 
(4) Năng lực đọc viết; (5) Năng lực giao tiếp; (6) Năng lực xử lí thông tin; (7)  Năng 
lực suy nghĩ và sáng tạo; (8) Năng lực ứng dụng kiến thức.
Phần Lan cũng đề  ra tám năng lực của  học sinh  gồm: (1)  Năng lực giao tiếp 
tiếng mẹ đẻ; (2) Năng lực toán học và khoa học cơ bản; (3)  Năng lực sáng tạo và lãnh 
đạo; (4) Năng lực sử dụng công nghệ; (5)  Năng lực thực hiện nghĩa vụ công dân và xã 
hội; (6) Năng lực nhận thức và thể hiện văn hóa; (7) Năng lực sử dụng công nghệ số; 
(8) Năng lực học cách học.
Đối với Việt Nam, trong Dự  thảo   chương trình tổng thể  giáo dục phổ  thông 
của Bộ  Giáo dục và Đào tạo năm 2014, phần phụ  lục 1: Chuẩn đầu ra phẩm chất  
năng lực chung của chương trình giáo dục các cấp, nêu chín phẩm chất về  năng lực 
chung cần đạt là: (1) Năng lực tự học; (2)  Năng lực giải quyết vấn đề; (3) Năng lực 
sáng tạo; (4)  Năng lực tự  quản lí; (5)  Năng lực giao tiếp; (6)  Năng lực hợp tác; (7) 
Năng lực sử  dụng công nghệ  thông tin và truyền thông; (8)  Năng lực sử  dụng ngôn 
ngữ; (9) Năng lực tính toán.
1.2.3. Năng lực toán học
a. Khái niệm năng lực toán học trong  tâm lí học
Trong tâm lý học người ta hiểu khái niệm năng lực toán học dưới hai khía 
cạnh: Đó là những năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán học với tư cách 
là khoa học; người có năng lực sáng tạo toán học cống hiến cho loài người những 
công trình toán học có ý nghĩa đối với sự phát triển của khoa học toán học nói riêng, 
có ý nghĩa đối với hoạt động thực tiễn của xã hội nói chung; Đó là những năng lực 
trong học tập, trong việc nắm vững toán học với tư cách là môn học; người  học sinh 
có năng lực toán học nắm được nhanh chóng và có kết quả những kiến thức, kĩ năng, 
kĩ xảo tương ứng. 
b. Một số quan điểm khác
Trong cuốn sách của Viện sĩ Toán học A.N. Kôlmôgôrôp "Về nghề nghiệp của 
nhà toán học". Các thành phần năng lực được minh họa trong sơ đồ 1.1. 

Những năng lực

Tính sẵn sàng bắt tay vào hoạt 
động

Những điều kiện tâm lý chung, cần thiết để đảm bảo thực hiện 
thắng lợi hoạt động
Khuynh hướng 
hứng thú

Các nét tính 
cách

Các tình trạng 
tâm lý

Kiến thức kỹ 
năng kỹ xảo

Sơ đồ 1.1
Trong Hội thảo về  năng lực toán học của  học sinh  của Viện Khoa học Giáo 
dục Việt Nam đề xuất hai nhóm: Năng lực trí tuệ chung và năng lực toán học đặc thù.


8

(1) Nhóm các năng lực trí tuệ chung bao gồm các thành phần sau
(1.1) Năng lực hệ thống hoá và trừu tượng hoá toán học;  (1.2) Năng lực sử dụng 
các sơ  đồ, hệ  thống tín hiệu và những cái trừu tượng;  (1.3) Năng lực suy luận lôgic 

được phân nhỏ hợp lý, tuần tự, có liên quan đến nhu cầu phải chứng minh, luận chứng,  
kết luận;  (1.4) Năng lực khái quát hoá toán học và tri giác khái quát tình huống;  (1.5) 
Năng lực phân tích triệt để cấu trúc toán học, tái phối hợp các yếu tố của nó;  (1.6) Tính 
linh hoạt của các quá trình tư duy; (1.7) Năng lực hệ thống hoá chặt chẽ thông tin toán  
học;  (1.8) Năng lực ghi nhớ  lôgic và sử  dụng nhanh chóng, dễ  dàng các thông tin đã 
được ghi nhớ; (1.9) Năng lực diễn đạt một cách chính xác ý nghĩa toán học.
(2) Trong nhóm các năng lực toán học đặc thù bao gồm những thành phần sau
(2.1) Năng lực tưởng tượng không gian;(2.2) Năng lực biểu diễn trực quan các  
quan hệ và phụ  thuộc trừu tượng; (2.3) Tính sâu sắc và cặn kẽ  các quá trình tư  duy  
trong hoạt động toán học;(2.4) Năng lực trực giác toán học.
c. Quan điểm của luận án về năng lực Toán học của học sinh
Luận án lấy theo quan điểm của  Kỷ  Yếu Hội thảo quốc tế  Việt Nam ­ Đan  
Mạch về  Giáo dục Toán học theo hướng tiếp cận năng lực, Viện KHGD Việt Nam, 
2014 đề xuất sáu năng lực cần đạt: (1) Năng lực tư duy; (2) Năng lực giải quyết vấn 
đề; (3) Năng lực mô hình hóa toán học; (4) Năng lực giao tiếp sử dụng ngôn ngữ toán 
học; (5) Năng lực sử  dụng các công cụ, phương tiện học toán; (6) Năng lực học tập 
độc lập.
1.2.4. Sự cần thiết của việc phát triển năng lực toán học cho học sinh:  Phát triển 
những năng lực toán học của học sinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của thầy  
giáo vì hai lí do: 
Thứ nhất, toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa 
học, kĩ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết có một đội ngũ những người có năng  
lực toán học. Thứ  hai, Văn kiện Đại hội IV của Đảng đánh giá: “Tập trung nâng cao 
chất lượng giáo dục, đào tạo, coi trọng giáo dục đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, 
kĩ năng thực hành, khả  năng lập nghiệp”; “Đổi mới nội dung, phương pháp dạy và 
học theo định hướng “coi trọng việc bồi dưỡng năng lực tự học của học sinh”.
1.3. Mục tiêu bồi dưỡng học sinh khá và giỏi toán  ở  trường trung học phổ 
thông, vai trò của của phép biện chứng duy vật đối với sự  phát triển năng lực 
toán học của học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
1.3.1. Mục tiêu bồi dưỡng học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông 

Mục tiêu chính của chương trình dành cho học sinh giỏi và học sinh tài năng ở 
các nước đều hướng đến một số điểm chính sau: Phát triển phương pháp suy nghĩ ở 
trình độ  cao phù hợp với khả năng trí tuệ  của trẻ; Bồi dưỡng sự  lao động, làm việc 
sáng tạo; Phát triển các kĩ năng, phương pháp và thái độ tự học suốt đời; Nâng cao ý  
thức và khát vọng của trẻ về sự tự chịu trách nhiệm; Khuyến khích sự  phát triển về 
lương tâm và ý thức trách nhiệm trong đóng góp cho xã hội. 
1.3.2. Vai trò của của phép bi
ện ch
ứng duy v
t đối với sự  phát triển năng lực 
Phươ
ng pháp d
ạy họậc môn Toán
toán học của học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
Mối  quan hệ  giữa phương pháp dạy học môn toán với những khoa học khác  
được thể hiToán 
ện trong sơ đ
ồ 1.2 [24, tr.22­25].
GD 
Tâm 
Lôgic 
Tin 
học
học
lí học
học
học
........
Triết học duy vật biện chứng

9

Sơ đồ 1.2
1.3.2.1. Phép biện chứng duy vật thể hiện khi định nghĩa khái niệm
Dựa trên hình ảnh minh họa thực tế (trực quan sinh động), dẫn đến khái niệm hai  
vectơ cùng phương, dẫn đến biểu thức (tư duy trừu tượng) để hai vectơ cùng phương và 
khái niệm tọa độ trên trục, hệ trục, từ không gian một chiều, hai chiều đến ba chiều.
1.3.2.2. Phép biện chứng duy vật  thể hiện trong các định lí và ví dụ
Để  học sinh thấy sự  tổng quát, sự  "vận động" của bài toán khi đưa ra định lí  
˜   không 
côsin trong tam giác. Trước hết xét trường hợp   ABC vuông tại A. Khi   A
vuông thì có kết quả mới, tổng quát hơn và không phủ định kết quả cũ: 
uuur2 uuur2 uuur2
uuur uuur
BC = AC + AB − 2 AC . AB .cos A , hay: a2=b2+c2­2bc.cosA.
1.3.2.3. Phép biện chứng duy vật thể hiện trong hệ thống bài tập: Hệ thống bài tập 
SGK được xây dựng theo qui trình: Từ khái niệm và định lí   bài tập cơ bản (gốc) 
bài tập nâng cao (tổng quát hơn, độ suy luận phức tạp hơn). Chẳng hạn hệ thống bài 
tập về trọng tâm hệ n điểm, n > 2:
Bài toán g
ểm A, B phân biệt, G là trung đi
ạn thẳng AB . Chứng 
uuurốc 1:
uuur Cho 2 đi
r
uuur uuurểm đo
uuur
minh:   GA + GB = 0 và với mọi điểm M ta có:   MA + MB = 2MG . Nếu nhìn bài toán 
dưới góc độ “vận động” theo hai hướng sau, ta sẽ phát triển được thành một hệ thống 

bài tập tổng quát (Sơ đồ 1.4): 
Hướng khai thác
Bài toán cơ bản
Sự “vận động” của bài toán
Giả  Hướng 1 Cho 2 điểm A, B phân biệt Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2
uur
uur
thiế Hướng 2 G chia 
 theo t
ỉ
 s
ố
 k=­1
G chia 
AB  theo tỉ số k 1 
AB
t
uuur uuur r
Kết 
1)  GA +uuur
GB = uuu
0 r uuur Xây dựng đẳng thức tổng quát 
luận
2)  M:  MA + MB = 2MG
Sơ đồ 1.4
Hướng 1: Điểm G thay đổi trên đouuu
ạn AB. H
ọc sinh có thể nhận thấy: 
r
Bài toán tổng quát 1: Điểm G chia  AB  theo tỉ số k≠1 thì:  và  M ta có: 

uuuur uuur
uuuur
β
MA − kMB = (1 − k)MG . Đặc biệt hóa giá trị k: Đặt k=  với  + ≠0, ta có:
α
Bài toán tổng quát 2: Cho hai điểm A, B phân biệt và hai s
 thrực r ,   sao cho  +   0: 
uuur ốuuu
a) Tồn tại duy nh
ất điểuuu
m G sao cho: 
αGA + βGB = 0 .
uuur
r
uuur
b)  M ta có:  α MA + βMB = (α + β)MG .
Hướng 2:  Xét sự "vận động" theo hướng số lượng đi
ầu thay đ
uuuể
r m ban đ
uuur uuu
r r ổi: 
Bài
c r  2:  N
ếru   G   là   trọng   tâm   ABC   thì: GA + GB + GC = 0   và   M   ta   có: 
uuur  toán
uuur  gốuuu
uuuu
MA + MB + MC = 3MG . Đối với học sinh khá giỏi, thì các em đã tự tìm được kết quả: 

10

Bài toán tổng quát 1: Cho n điểm A1uuuu
, Ar2,...,A
n, n > 2 thì:
uuuur
uuuuur r
1) Tồn tạ
i duy nh
ấ
t đi
ể
m G: 
GA
+
GA
+
...
+
GA
n = 0.
uuuuur uuuuur
uuuuur 1 uuuur 2
2)  M:  MA1 + MA 2 + ... + MA n = nMG .
Bài toán tổng quát 2: Cho  ABC, các số thực uuu, r ,  uuu
 thrỏa mãn: 
uuur r+ + 0 thì:
1) Tồn tại duy nh
ất đi

m G sao cho: 
αGA
uuur uuu
r ểuuu
r
uuur+ βGB + γ GC = 0 .
2)  M:  α MA + β MB + γ MC = ( α + β + γ ) MG .
Bài toán tổng quát 3: Cho n điểm: A1, A2,...,An, với n > 2 và n số thực  1,  2,..., n thỏa 
mãn:  α1 + α 2 + ... + α n 0 thì:
uuuur
uuuur
uuuuur r
1) Tồn tại duy nh
ấ
t đi
ể
m G: 
α
GA
+
α
GA
+
...
+
α
GA
=r0 .
1 uuuuu
1 r 2

2
n
nuuuu
uuuuur
uuuuur
2)  M:  α1 MA1 + α 2 MA 2 + ... + α n MA n = (α1 + α 2 + ... + α n )MG .
1.3.2.4. Phép biện chứng duy vật thể hiện trong mối liên hệ giữa mặt phẳng và không gian
Bài toán  1.6:  Sự tương tự giữa tam giác vuông và tứ diện vuông (Sơ đồ 1.5)
Tam giác ABC 
Tứ diện ABCD 
A
vuông tại A,
vuông tại A, 
 đường cao AH: 
đường cao AH:
2
2
B
C
H
­ AB =BC.BH; AC =BC.HC
­  S2ABC = SBCD .SBHC ;  S2ACD = SBCD .SCHD ;
A

B

D

H

C

­ BC =AB +AC
1
1
1
=
+
­ 
...
AH 2 AB2 AC 2
2

2

2

   S2ADB = SBCD .SBHD .
2
2
2
­  S2BCD = SABC
.
+ SACD
+ SABD

­ 

1
1

1
1
=
+
+
...
2
2
2
AH
AB
AC
AD 2

Sơ đồ 1.5
1.4. Các phương pháp tiếp cận hình học ở trường trung học phổ thông
1.4.1. Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh một mệnh đề hình học có thể người  
ta phải xem xét những trường hợp khác nhau của hình vẽ. 
1.4.2. Phương pháp tọa độ  (giải tích): Descartes và Fermat xây dựng phương pháp 
giải tích, thông qua trung gian là một hệ tọa độ, thay thế các đối tượng và các quan hệ 
hình học thành những đối tượng và quan hệ đại số, dẫn đến giải các phương trình, hệ 
phương trình đại số. Cách giải không phụ thuộc hình vẽ nên có tính khái quát cao.
1.4.3. Phương pháp vectơ: Leibniz là người khởi xướng đến với ý tưởng xây dựng 
một phương pháp mới để  nghiên cứu hình học sao cho có thể  sử  dụng các phương  
tiện của đại số nhưng vẫn ở phạm vi hình học. 
1.4.4. Những con đường trình bày hình học ở trường trung học phổ thông: Trình 
tự con đường có thể tiến hành dạy và học hình học ở trường trung học phổ thông (Sơ đồ 
1.7):
PP vectơ
PP tổng 

hợp

PP giải tích

PP giải tích

PP vectơ

PP vectơ

PP giải tích

Đại số hóa 
hình học


11

Sơ đồ 1.7
1.5. Sự  cần thiết của việc kết hợp các phương pháp dạy hình học  ở  trường 
trung học phổ  thông: Dựa trên ý nghĩa và vai trò của: Hình học và trí tưởng tượng  
không gian; hình học và tư  duy lôgic; Hình học và cuộc sống; Hình học và phương  
diện thẩm mỹ; Hình học và Toán học; Hình học và các môn khoa học khác.
1.6. Quan điểm dạy hình học  ở  trường trung học phổ  thông: Hiện nay SGK xây 
dựng dựa trên Quan điểm thực nghiệm và  Quan điểm tiên đề. Cần kết hợp hai quan 
điểm thực nghiệm và tiên đề thích hợp cho từng cấp học, cho từng phần kiến thức sao  
cho phù hợp tâm sinh lí của học sinh, vẫn vận dụng được kiến thức vào thực tế  đồng  
thời vẫn dần từng bước nâng cao yêu cầu suy luận, diễn dịch, phát triển tư duy lôgic có  
cơ sở thông qua các tiên đề.
1.7. Thực trạng và nguyên nhân việc phát triển năng lực toán học cho học sinh 

dựa trên phép biện chứng duy vật trong giảng dạy
1.7.1. Thực trạng: Tác giả đã khảo sát giáo viên dạy toán ở 10 trường phổ thông của 
tỉnh Tuyên Quang, 05 trường phổ thông của tỉnh Thái Nguyên và 05 trường phổ thông  
của tỉnh Yên Bái, gồm 196 giáo viên dạy toán, chúng tôi có kết quả sau:
a) Về việc phát triển năng lực toán học cho học sinh: Giáo viên đã đề cập đến nhưng 
chưa có tiêu chí rõ ràng và thường xuyên, với lượng thời gian phân phối chương trình 
mới dừng lại ở việc truyền tải kiến thức SGK và chữa các bài tập theo từng bài, từng 
chương. 
b) Về  việc sử  dụng phép BCDV trong giảng dạy: Hầu hết giáo viên không áp dụng 
hoặc cũng chưa nắm được đầy đủ về phép BCDV, cho nên khi giảng dạy cũng không  
đề cập đến, không chủ định phát triển theo khía cạnh của phép BCDV. 
Qua kết quả điều tra thực tế giảng dạy toán ở các trường phổ thông được khảo 
sát, chúng tôi thấy tình hình phát triển năng lực toán học cho học sinh, sử  dụng phép 
BCDV trong giảng dạy để  phát triển năng lực toán học cho học sinh của giáo viên  
hiện nay còn hạn chế, chưa được quan tâm đúng mức với ý nghĩa và tầm quan trọng  
của nó.
1.7.2. Nguyên nhân: Giáo viên chưa hiểu một cách đầy đủ về phát triển năng lực nói 
chung và năng lực toán học nói riêng, chưa thấy tầm quan trọng của việc phát triển  
năng lực là xu thế chung của giáo dục học hiện đại trên thế  giới hiện nay;  giáo viên 
chưa nắm được đầy đủ  về  phép BCDV, hoặc sử dụng không rõ nét  trong quá trình 
giảng dạy. Chưa thấy ý nghĩa của việc dùng phép BCDV để phát triển năng lực toán 
học cho học sinh; Một số giáo viên có chú trọng đến việc phát triển năng lực toán học 
cho học sinh, nhưng không có công cụ  để  làm hoặc chỉ  làm theo quan điểm cá nhân  
như tăng cường luyện tập hoặc sử dụng phương pháp tương tự khi luyện tập...; Hiện  
nay các tài liệu về  phát triển năng lực, năng lực toán học không nhiều và khó tìm,  
hoặc có nhưng không rõ nét, không phù hợp với dạy học toán ở trường phổ thông.
1.8. Kết luận chương 1
Phát triển năng lực nói chung, năng lực toán học nói riêng cho học sinh phổ 
thông là một trong những khâu quyết định đến chất lượng học tập và giảng dạy môn 
Toán. 

Việc dạy học theo hướng tiếp cận năng lực của học sinh là đòi hỏi cấp thiết. 
Trong thế giới bùng nổ thông tin, học sinh phải biết chọn lọc các kiến thức cần thiết  
cho môn học, bên cạnh đó vẫn phải có kiến thức tổng hợp, cập nhật trong sự tiến bộ 
của khoa học thế giới, phát triển năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng giúp  


12

các em lĩnh hội được môn học vững chắc hơn, có bản lĩnh trong học tập cũng như trong  
công việc sau này.
Trong chương 1, từ cơ sở lý luận về phép BCDV, phân tích các khái niệm, đặc  
trưng và cấu trúc năng lực, năng lực toán học của  học sinh, qua khảo sát thực tế, luận  
án đã xác lập các yêu cầu cần đạt cho việc sử dụng phép BCDV trong giảng dạy để 
phát triển năng lực toán học cho  học sinh, những yếu tố  cơ  bản tác động đến việc 
phát triển năng lực toán học cho học sinh toán học phổ thông, bằng những lí luận về 
phép BCDV trong giảng dạy, luận án xây dựng những căn cứ và định hướng để đưa ra  
các biện pháp mà luận án sẽ trình bày trong chương 2.
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT NHẰM PHÁT 
TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI TOÁN TRONG DẠY 
HỌC NỘI DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Những căn cứ  của việc xây dựng và sử  dụng các biện pháp vận dụng phép 
biện chứng duy vật nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi  
toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở trường trung học phổ thông 
2.1.1. Căn cứ vào đặc điểm môn hình học và phương pháp vectơ­tọa độ liên hệ với 
đặc trưng của phép biện chứng duy vật: Hình học có tính lôgic và tính thực nghiệm,  
phương pháp cơ  bản của hình học là suy diễn lôgic không dựa trên thực nghiệm, môn 
hình học có mối quan hệ BCDV, thể hiện giữa lí luận (tính lôgic) và thực tiễn (tính thực 
nghiệm).
2.1.2. Căn cứ vào nhu cầu thực tiễn và sự  tích hợp của phương pháp vectơ­tọa  

độ với các môn học khác
2.1.3. Căn cứ  vào mối quan hệ  giữa các thành phần của năng lực toán học thể 
hiện trong học tập hình học  ở  trường trung học phổ thông: a) Năng lực  tưởng  
tượng không gian; b) Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ  và phụ   thuộc trừu  
tượng; c) Tính sâu sắc và cặn kẽ  các quá trình tư  duy trong hoạt động toán học; d) 
Năng lực trực giác toán học.
2.1.4. Căn cứ  vào thành tựu nghiên cứu phát triển năng lực toán học và phép  
biện chứng duy vật trong nước và trên thế  giới : Việc vận dụng phép BCDV để 
phát triển năng lực toán học cho học sinh trung học phổ  thông phải kế  thừa và phát 
huy các thành quả của thế hệ đi trước. Mặt khác luận án cũng bày tỏ quan điểm riêng 
của mình trên cơ sở nghiên cứu và thực tế giảng dạy hiện nay sao cho hiệu quả đạt 
được cao nhất và phù hợp với đối tượng học sinh ở Việt Nam. 
2.2. Những định hướng của việc vận dụng phép biện chứng duy vật trong dạy  
học nội dung vectơ  và tọa độ  nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh 
khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
2.2.1. Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực toán học cho học  
sinh khá và giỏi toán phải đáp ứng mục đích dạy và học môn Toán ở trường trung 
học phổ  thông:  Giúp  học sinh  lĩnh hội và phát triển một hệ  thống kiến thức, kĩ 
năng, thói quen cần thiết cho: Cuộc s ống hàng ngày với những đòi hỏi đa dạng của  
cá nhân, của gia đình và cộng đồng; Tiếp tục học tập, tìm hiểu toán học dưới bất kì 
hình thức nào của giáo dục thường xuyên, giáo dục suốt đời; Học tập, tìm hiểu các 
bộ  môn khoa học khác hoặc lĩnh vực khác; Hình thành và phát triển các phẩm chất  
tư duy cần thiết của một người có học vấn trong xã hội hiện đại, cùng những phẩm  
chất, thói quen khác như  đầu óc duy lí, tính chính xác...; Góp phần quan trọng trong  


13

việc hiện thực hóa khả  năng hình thành thế  giới quan khoa học qua học t ập môn  
Toán...; Hiểu rõ nguồn gốc thực tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình 

phát triển cùng với những tiến bộ của khoa h ọc kĩ thuật và công nghệ.
2.2.2. Vận dụng phép biện chứng duy vật khai thác nội dung chương trình và sách  
giáo khoa để phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong giảng 
dạy
2.2.3. Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực toán học cho học  
sinh cần dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
a. Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác, tích cực, chủ  động và  
sáng tạo của hoạt động học tập thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu;
b. Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm
2.2.4. Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực toán học cho học  
sinh cần chú trọng đến năng lực tự học của học sinh
2.3. Những biện pháp vận dụng phép biện chứng duy vật nhằm phát triển năng 
lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa  
độ ở trường trung học phổ thông 
2.3.1. Biện pháp 1: Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực tư 
duy toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong quá trình học tập
2.3.3.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Trong phần cơ sở khoa học của luận án đã 
đề cập, phân tích những đặc điểm và hình thức của phép BCDV, đó là cơ  sở của suy  
luận thực tiễn và cũng là khái quát chung nhất cho quá trình tư duy.
2.3.3.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Mục đích của biện pháp nhằm: Phát triển một số 
loại hình tư duy thường gặp, cần phát triển cho học sinh trong quá trình giảng dạy hình 
học ở trường trung học phổ thông. Trên cơ sở phép BCDV, các loại hình tư duy sẽ được 
làm rõ nét hơn nhằm phát triển năng lực toán học nói riêng, năng lực tổng hợp nói chung 
của học sinh. 
2.3.3.3. Nội dung và tổ  chức thực hiện biện pháp:  Luận án sẽ  vận dụng phép 
BCDV phát triển 4 loại hình tư duy thông qua việc dạy học một số chủ đề sau:
Chủ đề 1: Phát triển năng lực tư duy lôgic 
* Tổ chức hoạt động cho học sinh theo các đặc trưng của tư duy lôgic:
a) Năng lực rút ra kết luận từ các tiền đề  đã cho; năng lực phân hoạch ra các trường  
hợp riêng để khảo sát đầy đủ một sự kiện:

Bài toán 2.1: Cho đường thẳng   và đường tròn (I;R). Xác định vị  trí tương đối của 
chúng. Dẫn đến khái niệm tiếp tuyến của đường tròn.
HĐ1: Dựa trên phạm trù “vận động”: Cho đường thẳng   thay đổi, so sánh khoảng 
cách từ I đến   với R, rút ra kết luận về tiếp tuyến của đường tròn.
HĐ2: Hãy phát biểu kết luận này dưới các dạng khác trên cơ sở trực quan hình vẽ ? 
HĐ3: Áp dụng cho ví dụ sau: 
Ví dụ 2.21: Viết phương trình tiếp tuyến   với đường tròn (C): x2+y2= 4: 
a) Tại điểm M (1; 3) ;  b) Biết   đi qua điểm N(­1;2).
b) Phát triển năng lực dự đoán các kết quả cụ thể của lí thuyết, khái quát hóa các kết luận  
nhận được. Đặc trưng của tư duy lôgic là có tính dự đoán, tính khái quát, tính lôgic và tính  
hoàn chỉnh:
uuur
Bài toán 2.2: Cho  ABC, điểm J chia  BC  theo tỉ số ­3, điểm N chia 
K
uuur
uuur
1
 theo t
ỉ
 s
ố
 ­1, đi
ể
m K chia 
 theo t
ỉ
 s
ố
 
. Ch

ứ
ng minh J, N, K
 
AC
AB
A
3
thẳng hàng (hình 2.15).                                                
N
B

J

C


14

uuur
uuur
HĐ1: Hãy nhận định kết quả khi  AB  và  AC  cùng phương.                        
HĐ2: Khái quát kết lu
ận trên thành biểu thức: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng 
uuur uuur
khi và chỉ khi  AB =k AC .
HĐ3: Áp dụng vào bài toán.                                                                             Hình 2.15
uuur uuur
HĐ4: T
ổ
ng quát k

ế
t qu
ả
: Cho 
ABC, các đi
ể
m M, N, P l
ầ
n l
ượ
t chia
 vect
ơ
 
,  CA , 
BC
uuur
AB  theo các tỉ số  ,  ,  ≠1. Tìm hệ thức giữa  ,  ,   để M, N, P thẳng hàng.
c) Vận dụng Nguyên lí về mối liên hệ phổ biến xem xét và kiến giải sự vật, hiện tượng  
trong mối liên hệ ràng buộc, tác động lẫn nhau, rèn luyện năng lực kết hợp giữa dự đoán và  
suy diễn:
Bài toán 2.3: Cho đo
ạrn th
ộ  dài 2a và một số  k 2. Hỏi rằng nếu điểm M 
uuuu
uuurẳng AB có đ
thay đổi thỏa mãn  MA.MB = k 2 thì M thuộc tập hợp nào?
HĐ1: Dự đoán.
HĐ2: Kiến giải hiện tượng: Bằng phương pháp tọa độ; Bằng phương pháp vectơ.
Chủ đề 2: Phát triển tư duy sáng tạo: Gồm các thành phần sau:  Tính mềm dẻo; Tính  

nhuần nhuyễn; Tính độc đáo; Tính hoàn thiện; Tính nhạy cảm vấn đề.
* Tổ chức HĐ cho học sinh rèn luyện năng lực theo các thành phần của TD sáng tạo:
HĐ1: Sử  dụng lí luận của cặp phạm trù “bản chất và hiện tượng”, hướng dẫn học 
sinh nhìn nhận bản chất của vấn đề  là đường thẳng   tiếp xúc với (E) qua các hiện 
tượng của quan hệ đại số, hình học, lượng giác.

x 2 y2
Bài toán 2.4: Cho elip (E):   2 + 2 = 1   và đường thẳng ( ): Ax+By+C=0. Chứng 
a
b
minh điều kiện cần và đủ để ( ) tiếp xúc (E) là: a2A2+b2B2=C2.
HĐ2: Dựa trên cơ sở của Nguyên lí về mối liên hệ phổ biến lí giải các phương pháp giải 
trên.
Bài toán 2.6: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho:
uuur uuur uuur uuur r
T= GA + GB + GC + GD = 0 .
Giải: Tổ chức hoạt động cho học sinh nhìn nhận theo các hướng khác nhau: Gọi M, P, 
N, Q, R, S lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD.
HĐ1: Ôn lại công thức trọng tâm hệ hai điểm.

uuur uuur

uuur uuur

HĐ2: Áp dụng công thức cho hệ 2 điểm: A, B và C, D: T= (GA + GB) + (GC + GD)  

uuur

uuur r

uuur

uuur

t và là trung đi
= 2GM + 2GN = 0   GM = −GN    G tồn tại duy nh
uuur ấuuu
r uuur uuurểm MN.
HĐ3: Áp dụng công thức (1) 2 điểm: A, D và B, C: T= (GA + GD) + (GB + GC) =  

uuur

uur r

= 2GQ + 2GP = 0

uur

uuur

  GP = −GQ  G tồn tại duy nhất và là trung điểm PQ.

uuur uuur

uuur uuur

HĐ4: Áp dụng công thức (1) cho: A, C và B, D: T= (GA + GC) + (GB + GD)  

uuur uuur r uuur uur
= 2GR + 2GR = 0   GR = −GS    G tồn tại duy nhất và là trung điểm RS.

HĐ5: Nhận xét các cách làm trên? Điểm G tồn tại duy nhất, đó là trọng tâm tứ  giác  
ABCD. Từ  đó ta có kết luận:  “Trong một tứ  giác, ba đoạn thẳng: Hai đường trung  
bình và đường nối trung điểm hai đường chéo đồng qui tại trung điểm mỗi đường”, 
điểm đó gọi là trọng tâm của tứ giác và điều ngược lại cũng đúng.
HĐ6: Ta tiếp tục phủ định sự đồng phẳng của 4 điểm A, B, C, D. Ta được kết luận: 
“Trong một tứ diện, ba đường trung bình đồng qui tại trung điểm mỗi đường”.
Chủ đề 3: Rèn luyện tư duy biện chứng


15

Dạng 1:  Tư  duy biện chứng được thể  hiện trong sự  mở  rộng không gian từ  một  
chiều, hai chiều đến ba chiều: Tổ  chức hoạt động
 cho h
: Gi
ải rbài t
uuu
r uuur ọc sinh
uuur uuu
r uuu
uuur ập về  hệ 
thức  Ơle: Cho 4 điểm A, B, C, D: Chứng minh:   AB.CD + AC.DB + AD.BC =0. Khi 4 
điểm trên trục số, trên mặt phẳng, trong không gian.
Dạng 2:  Tư  duy  biện chứng  thể  hiện trong sự  mâu thuẫn giữa nội dung và hình  
thức:
* Tổ chức hoạt động: Phân tích: "Sự khác nhau và giống nhau giữa trung tuyến và đường  
trung bình một tam giác". Minh họa các ý tưởng chính nhằm phát triển năng lực giải quyết  
vấn đề cho học sinh trong sự mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức và phạm trù vận động  
của bài toán.
HĐ1: Đường trung bình trong một tam giác có độ dài bằng một nửa cạnh đáy.

1
2

HĐ2: Công thức đường trung tuyến:  2m c2 + c 2 = a 2 + b 2 .                    
HĐ3: Xét tứ giác ABCD, với M, N, P, Q  lần lượt là  trung điểm của AB, CD, AC và  
BD. Tính MN, PQ.
HĐ4: Giáo viên gợi ý học sinh nhận xét:  Khi cho D tiến dần đến C rồi D C, nhận xét 
hình vẽ   ứng với công thức nhận được:  Sự  vận động dẫn đến sự  thay đổi “lượng­
chất”; Sự mâu thuẫn giữa “nội dung­hình thức”.
HĐ5: Lí giải sự mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức.
Dạng 3: Tư  duy biện chứng  trong sự  kế  thừa kết quả  hình học phẳng trong không  
gian
Bài toán 2.10: Phân tích và tổ chức cho học sinh hoạt động trả lời các câu hỏi:
HĐ1: Khái niệm, tính chất hình bình hành?
HĐ2: Khái niệm, tính chất hình hộp?
HĐ3:  Nếu coi hình hộp trong không gian là “mở  rộng” của hình bình hành trong mặt 
phẳng, thì các tính chất của hình bình hành được “mở rộng” như thế nào?
HĐ4: Hãy so sánh và nhận xét các khái niệm và tính chất đó đối với hình hộp trong 
không gian (Sơ đồ 2.1). 
 Hình bình hành
Hình hộp
B

D'

C

C'

m

Hai   đường
  chéo   cắt   nhau
  tại   trung  Bốn   đường   chéo   cắt   nhau   tại   trung 
a
n
điểm mỗi đường
điểm mỗi đường
A
D
m2+n2=2(a2+b2) b
m2+n2+p2+q2= 4(a2+b2+c2)
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
AC = AB + AD
AC ' = AB + AD + AA '
Sơ đồ 2.1
Chủ đề 4: Rèn luyện tư duy thuật giải : Thuật giải là một trong những thao thác cơ 
bản, cụ thể của tư  duy thuật giải, có các đặc trưng sau: Tính đơn trị; Đầu vào, đầu  
ra; Tính hiệu quả; Tính tổng quát. Trên cơ  sở  lí luận của phép BCDV, từ  trực quan  
sinh động (bài toán, hình vẽ...), xây dựng nên những qui trình giải toán ( tư  duy trừu 
tượng đến thực tế): Truyền thụ cho  học sinh những tri thức phương pháp về  tư  duy 
thuật giải, thông qua các thao tác sau:  a) Tìm hiểu đặc điểm riêng của bài toán; b)  
Phân tích bài toán để thấy rõ giả  thiết và kết luận; c) Phân tích bài toán đưa về  bài  
toán gốc; d) Xây dựng thuật giải cho một số dạng toán điển hình, minh họa cho các  
dạng toán sau:
r
r
Dạng toán 1: Chứng minh đẳng thức vectơ:  f (u ) = g (v) .
q

A'

B'

p

n

c

C

m

D

b

A

a

B


16

Dạng toán 2: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một tính chất ( ).
Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Chủ đề 5: Phát triển tư duy hàm: Tư duy hàm có mối liên hệ sâu sắc với lí luận của 

phép BCDV, bởi vì  tư  duy  hàm có các đặc trưng: Biểu diễn các đối tượng toán học 
trong sự vận động, biến đổi; Thể hiện cách tiếp cận thao tác ­ hành động đối với các 
sự kiện toán học và xử lí các mối liên hệ nhân ­ quả;  Khuynh hướng giải thích cặn kẽ 
nội dung các sự kiện toán học và chú ý tới khía cạnh  ứng dụng của toán học. Để  phát  
triển được năng lực tư duy hàm trên cơ sở phép BCDV, ta có thể tổ chức hoạt động cho 
học sinh theo các đặc trưng trên:
a) Biểu diễn các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi:
Ví dụ  2.34: Cho hai điểm A, B và đường thẳng d//AB. Một điểm C thay đổi trên d.  
Tìm quỹ tích trực tâm H của  ABC.
Giải: Tọa độ  hóa bài toán: A(­a;0), B(a;0), d có phương trình y=c. H(x;y) là trực tâm 
ABC. Kết quả ta được hàm: x2+cy­a2=0. Quan hệ này thể hiện H thuộc parabol qua 
A, B, có đỉnh là điểm H0 (là trực tâm  ABC0 cân tại C0).
b) Thể hiện cách tiếp cận thao tác ­ hành động đối với các sự kiện toán học và xử  lí  
các mối liên hệ nhân ­ quả:
Ví dụ 2.35: Cho tứ diện ABCD, gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD, điểm  
R BC: BR=2RC. Gọi S=AD (PQR). Xác định S và chứng minh AS=2SD.
Giải: Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ sồ ngược:
a) AS=2SD, do Q trung điểm CD nên nếu kẻ CN//AD thì CN=SD.
b) AS=2CN và AS//CN nên CN là đường trung bình của  AES   C là trung điểm AE. 
c) Kẻ CM//AB thì CM là đường trung bình  APE   AP=2CM=PB  
d)  BRP đồng dạng  CRM tỉ số 2. Đúng.                                      
Sơ đồ phân tích đi lên của bài toán: d)  c)  b)  a). Quan hệ hàm được thể hiện trong 
AS
BR
bài toán là: 
 thay đổi   
 cũng thay đổi, dẫn đến những bài toán mới.                 
RC
SD
c) Khuynh hướng giải thích cặn kẽ  nội dung các sự  kiện toán học và chú ý tới khía  

cạnh ứng dụng của toán học, là một sự kiểm nghiệm thực tiễn để  thấy sự đúng đắn  
lý luận của phép BCDV: Tổ chức hoạt động cho học sinh giải bài toán sau:
Bài toán 2.14: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
(C): x2+y2­6x+5=0 và (C'): x2+y2­12x­6y+44=0.
Phân chia cặn kẽ các trường hợp của bài toán: Tiếp tuyến chung dạng ( ): y=ax+b và 
dạng x = x0 tìm được 4 tiếp tuyến là:
y=

9 − 17

x+

−33 + 9 17

; y=

9 + 17

x+

−33 − 9 17
 ; y=2; x= 5.
8

8
8
8
2.3.3.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Cần chú ý đến những phẩm chất của tư duy là: 
Tính định hướng; Bề rộng; Độ sâu; Tính linh hoạt; Tính mềm dẻo; Tính độc lập; Tính khái  
quát.

2.3.2. Biện pháp 2: Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực giải 
quyết vấn đề cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa 
độ.


17

2.3.2.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Biện pháp đưa ra dựa trên cơ sở   phép BCDV về 
quá trình nhận thức của con người:   từ trực quan sinh động   tư duy trừu tượng thực  
tiễn. 
2.3.2.2. Mục đích sử  dụng biện pháp: Giúp học sinh phát triển các khả  năng: Phát 
hiện và trình bày vấn đề, khả  năng tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, khả  năng tổ 
chức quá trình giải quyết vấn đề, khả năng kiểm tra đánh giá kết quả. 
2.3.1.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp
* Tổ  chức hoạt động cho học sinh theo các bước sau: Bước 1: Tạo tình huống gợi 
vấn đề; Bước 2: Trình bày vấn đề  và đặt mục tiêu giải quyết; Bước 3: Giải quyết 
vấn đề; Bước 4: Rút ra kết luận: Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả và cả cách thức 
tìm kiếm lời giải. Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội; Bước 5: Vận dụng kiến thức 
mới để  giải quyết những nhiệm vụ  đặt ra tiếp theo. Tìm hiểu những khả  năng  ứng 
dụng kết quả. Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa,  
lật ngược vấn đề,... và giải quyết nếu có thể.
a) Phát triển năng lực giải quyết vấn đề  bằng việc khai thác, vận dụng “Qui luật  
chuyển hóa từ những sự thay đổi về lượng thành những sự thay đổi về chất và ngược  
lại” giúp học sinh thấy được cách thức, hình thức và cơ  chế  của sự  phát triển toán  
học trong một số chủ đề hình học
Chủ đề 1: Bài toán liên quan đến điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
Chủ  đề  2:  Khi xây dựng bằng vectơ­tọa độ  được các  x' A
B
C x
công thức lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác, có 

một   hệ   thống   các   bất   đẳng   thức   trong   tam   giác   liên 
quan.                                                                                                       Chủ đề 3: Sự thay 
đổi “ lượng­chất” của bài toán lũy thừa                       Hình 2.37a
trong đẳng thức hình học
* Tổ chức hoạt động cho học sinh giải bài toán sau:
A
Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề: 
Bài toán 2.17: Xét hệ thức Sáclơ  trên đường thẳng: Cho 3 điểm A,  
b
B, C. Đặt BC=a, CA=b, AB=c thì: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và B   c
ở giữa A và C khi nào? b=a+c, hay: b1=a1+c1 (hình 2.37a).   
C
B
a
Bước 2: Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết: 
+ Cho  "lượng" n=1 thay đổi, thì "chất" của bài toán là gì?                       Hình 2.37b
Khi n=2, ta có: b2=a2+c2; Khi n=3, ta có: b3=a3+b3; Khi n > 3, ta có: bn=an+cn. 
Mỗi trường hợp trên, về “chất” biểu thức đã thay đổi, còn về mặt hình học ta có điều gì?
Bước 3:  Giải quyết vấn đề: Khi n=2, ta có: b2=a2+c2   ABC vuông tại B (hình 
2.37b).
Như vậy, với “lượng” n=1, n=2 ta có những kết quả cụ thể, khi n  > 3, ta được 
một kết quả khái quát là  ABC có ba góc đều nhọn.
Bước 4:  Rút ra kết luận: Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả  và cả  cách thức tìm 
kiếm lời giải. Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội.
Bước 5: Vận dụng kiến thức mới để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra tiếp theo. 
Chủ đề 4: Bài toán liên quan đến tâm sai của cônic, tiếp tuyến của đường tròn


18

* Tổ chức hoạt động cho học sinh giải các bài toán sau:
Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề: 
Bài toán 2.18:  Cho cônic (C), điểm M(­1;2m) thuộc (C), tiêu điểm F(m;2m), m 0, 
đường chuẩn  : x­5= 0. Biện luận hình dạng của (C) ?
m +1
Bước 2: Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết: Tính tâm sai e =
6
Bước 3:  Giải quyết vấn đề:   Nếu e < 1     −7 < m < 5   thì (C) là elip. Nếu e=1  
m < −7
m = −7
 thì (C) là parabol. Nếu e > 1   
 thì (C) là hypebol.
m=5
m>5
Ta thấy, "lượng" là tâm sai e so sánh với số 1, dẫn đến "chất" nhận được tương 
ứng là ba đường cônic.
Bước 4:  Rút ra kết luận: Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả  và cả  cách thức tìm 
kiếm lời giải. Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội.
Bước 5: Vận dụng kiến thức mới để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra tiếp theo. 
 2.3.1.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Việc sử  dụng biện pháp nêu trên thực ra 
không đòi hỏi nhiều thời gian. giáo viên chỉ  cần nhìn nhận vấn đề  bằng phép lí luận 
của BCDV, trang bị  trong những tình huống điển hình cho   học sinh  trong quá trình 
giảng dạy. 
2.3.3. Biện pháp 3: Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực mô hình  
hóa toán học, kết hợp với năng lực sử dụng các công cụ và phương triện dạy học 
2.3.3.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Theo nhà toán học người Nga Kôlmôgôrôp, 
sự phát triển toán học gồm bốn giai đoạn: Giai đoạn toán học cổ đại;  Giai đoạn toán  
học sơ cấp; Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển; Giai đoạn toán học hiện đại.  Trên 
quan điểm triết học DVBC, qua lịch sử phát triển của toán học thì toán học phát sinh 
từ thực tiễn, sự nảy sinh, phát triển các tri thức toán học là do xuất hiện nhu cầu thực  

tiễn, thực tiễn là động lực thúc đẩy toán học phát triển.
2.3.3.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Khi dạy học toán học ứng dụng vào các môn 
khoa học khác, có hai phạm vi: Vận dụng lí thuyết để giải toán thuần túy và giải các 
bài toán thực tế bằng mô hình hóa toán học.
2.3.3.3. Nội dung và tổ  chức thực hiện biện pháp: Trong chương trình  trung  học 
phổ  thông, toán học  ứng dụng khá đa dạng, được thể  hiện  ở  nhiều môn học khác 
nhau như Vật lý, Hóa học, Tin học, Địa lý...Để phát huy và làm rõ được ứng dụng của  
mô hình hóa toán học, ứng dụng vào thực tiễn, giáo viên có thể xây dựng các chủ đề 
dạy học tích hợp hoặc liên môn.
Chủ  đề  1:  Mô hình hóa bài toán kinh tế  bằng PP tọa độ  kết hợp với hệ  bất  
phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài toán 2.20: Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg 
chất A và 9 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất  
được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có 
thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên  
liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu ít nhất, biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu  


19

chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu 
loại II ?
y
* Tổ chức hoạt động cho học sinh theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích đầu bài và đưa phương án mô hình 
hóa toán học:  Ta cần tìm x, y thỏa mãn: 

14

0 x 10

0 y 9
2x+y 14
2x+5y 30

9

D

C

6

sao cho T(x;y)= 4x+3y nhỏ nhất.
Bước   2:  Giải   quyết   bài   toán   theo   phương   thức   đã  4
A
2
B
chọn:
x
O
+ Xác định miền nghiệm của hệ  trên: Đó là đa giác  
5
15
10
7
5/2
ABCD như hình vẽ 2.38.
+ Biểu thức T(x;y) đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại                 m ột trong các đỉnh  
của tứ giác ABCD.                                                  Hình 2.38
+ Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào T(x;y) được kết quả: T(5;4)=32 là giá trị nhỏ nhất.

Bước 3: Kiểm tra và đánh giá kết quả. 
Kết luận: Để chi phí nguyên liệu ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn  
nguyên liệu loại II. Khi đó tổng chi phí tổng cộng là 32 triệu 
y
D
y4
đồng. 
C
y3
Bước 4: Khái quát loại toán và ứng dụng của nó.
Chủ đề 2: Tính diện tích một đa giác lồi bằng  phương pháp 
E
y5
tọa độ
B
y2
A
Bài   toán   2.21:  Một   thửa   ruộng   có   hình   một   đa   giác   lồi 
y1
ABCDE. Hãy đưa một phương án tính diện tích thửa ruộng đó 
I
G K
H
x
J
khi biết tọa độ các đỉnh.
O x5
x4 x1
x3
x2

* Tổ chức cho học sinh hoạt động xây dựng công thức sau đó 
kiểm nghiệm lại sự  đúng đắn của kết quả  bằng cách khác 
hoặc trong thực tế.                    
HĐ1: Xây dựng hệ trục tọa độ (hình 2.39).
HĐ2: Tìm một phương án tính diện tích S.                                                     Hình 2.39 
HĐ3: Gợi mở PP tọa độ: S=SDEGK+SCDKJ+SBCJI­(SAEGH+SABIH) =                 
1
2

1
2

1
2

1
2

1
2

= (y4+y5)(x4­x5)+  (y3+y4)(x3­x4)+  (y2+y3)(x2­x3)­  (y1­y5)(x1­x5)­  (y2+y1)(x2­x1) 
HĐ4: Kiểm chứng kết quả theo một cách khác để thấy sự đúng đắn trong lập luận.    
­ Nếu các điểm có tung độ  âm ta có thể  tịnh tiến trục hoành xuống phía dưới để  các  
điểm có tung độ không âm.
­ Có thể tổng quát bài toán cho đa giác n đỉnh.
­ Khi không biết thứ tự  sắp xếp các hình chiếu của các đỉnh trên Ox, thì chiều 
cao các hình thang là |xi­xj|.
Chủ đề 3: Ứng dụng của vectơ và tọa độ trong môn Vật lý lớp 10
+Ứng dụng vectơ và tọa độ trên trục để xác định vị trí chất điểm

20

Bước 1: Đặt vấn đềuuuuu
: Trong kho
ảng thời gian  t=t2­t1, chất điểm đã dời vị  trí từ  M1 
r
đến M2. Khi đó vetơ   M 1 M 2  gọi là vectơ độ dời của chất điểm trong khoảng thời gian  
đó. Nếu M1=(x1), M2=(x2), vectơ độ dời là:  x=x2­x1.
Bước 2: Ứng dụng
Ví dụ 2.39: Hai người đi bộ cùng chiều trên một đường thẳng. Người thứ nhất đi với 
vận 
tốc không đổi v1=0,9m/s, người thứ hai đi với vận tốc không đổi v2=1,9m/s. Biết hai 
người cùng xuất phát từ một vị trí.
a) Nếu người thứ hai đi không nghỉ thì sau bao lâu đến địa điểm cách đó 780m.
b) Nếu người thứ hai đi một đoạn rồi dừng lại, sau 5,5 phút thì người thứ  nhất đến.  
Hỏi vị trí đó cách nơi xuất phát bao xa?
Giải: Chọn chiều dương cùng chiều chuyển động của 2 người. Gốc tọa độ O là vị trí 
hai người xuất phát, gốc thời gian là lúc hai người bắt đầu xuất phát.
a) Nếu người thứ  hai đi không nghỉ  thì địa điểm cách nơi xuất phát là A=(780)  
S2=780m sau một thời gian là: t=

780
1,9

410,5(s) .

b) Gọi t là thời gian người thứ hai đi thì vị trí đó cách nơi xuất phát một đoạn đường 
s=1,9t. Đối với người thứ nhất, ta có: S=0,9t+0,9.(5,5.60)   t=297 (s); S=546,3 (m).

+ Ứng dụng vectơ phân tích và tổng hợp lực.
Bài toán 2.22: Hợp lực của hai lực đồng quy.                                     
Bước 1:
r  Bi
r ểu di
r ễn b
r ằng đ
r ường chéo của hình bình hành. Mở rộng ta được qui tắc đa 
giác:  F = F1 + F2 + F3 + F4 . 
Bước 2: Áp dụng
Ví dụ 2.41: Cho ba lực đồng qui cùng nằm trong một mặt phẳng, có độ lớn bằng  nhau  
0
và đôi một tạor với nhau góc 120
. Tìm hợp l
r
r
r ủa chúng ? 
r r r
r ực c
Giải: Ta có:  F1 + F2 = −F3  Hợp lực là:  F = F1 + F2 + F3 = 0  
+ Ứng dụng vectơ và tọa độ trong trong động học chất điểm        
Chủ đề 4: Ứng dụng vào khoa học trắc địa, đo đạc và địa lí, thiên văn
Đo chiều cao; Đo khoảng cách; Ứng dụng giải tam giác vào các kết quả khác... 
2.3.3.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp:  Trong quá trình giảng dạy, để  biện pháp 
này đạt hiệu quả  thì:  Giáo viên nên tìm thêm các ví dụ  điển hình khác ngoài SGK; 
Giáo viên xây dựng các chủ đề dạy học tích hợp và liên môn giữa toán học với các môn  
khoa học khác và với thực tế gần gũi xung quanh chúng ta; Bố trí thời gian để  học sinh 
hoạt động ngoại khóa ứng dụng toán học vào thực tiễn, tăng cường khả năng thực hành 
của học sinh.
2.3.4. Biện pháp 4: Vận dụng một số cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật  

phát triển năng lực giao tiếp toán học của học sinh thông qua cách đặt vấn đề, sử 
dụng ngôn ngữ toán học, trình bày và chứng minh các mệnh đề toán học
2.3.4.1. Cơ  sở  khoa học của biện pháp: Trong quá trình giảng dạy, việc thể  hiện  
được các cặp phạm trù đối lập, tùy theo từng dạng toán sẽ làm cho học sinh hiểu sâu 
sắc hơn, toàn diện hơn vấn đề đang học, sẽ phát triển được năng lực nói chung, năng  
lực giao tiếp toán học nói riêng cho học sinh thông qua việc họ  được phát biểu vấn 
đề, giải quyết vấn đề bằng ngôn ngữ, trình bày, đồ thị, bảng biểu, hình vẽ... 
2.3.4.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Biện pháp đưa ra với các mục đích sau:


21

Thứ nhất, biện pháp này sẽ là cơ sở để phát triển năng lực giao tiếp, lập luận, 
chứng minh sự  đúng đắn của vấn đề  toán học, góp phần để  đổi mới  phương pháp 
dạy học theo hướng tiếp cận năng lực của người học; Thứ hai, biện pháp còn còn có 
mục đích phát triển năng lực tự học, tự nghiên cứu để hình thành năng lực nhìn nhận  
vấn đề toàn diện của học sinh.
2.3.4.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp: Sử dụng bốn cặp phạm trù 
Chủ đề 1: Phát triển năng lực tiếp cận vấn đề Toán học thông qua cặp phạm trù  
“bản chất và hiện tượng”: Tổ chức hoạt động cho học sinh: Nhìn nhận những hiện 
tượng biểu hiện khác nhau để tìm bản chất của bài toán:
Bài toán 2.23:  Cho hai điểm B, C cố  định trên (O;R). Tìm tập hợp trực tâm H của 
ABC khi A thay đổi trên (O). Xem xét, thể  hiện ngôn ngữ  bài toán theo các hiện 
tượng: Ngôn ngữ của hình học tổng hợp; Ngôn ngữ phép tịnh tiến; Ngôn ngữ phép đối  
xứng trục; Ngôn ngữ bằng phép đối xứng tâm. 
Chủ đề 2: Vận dụng cặp phạm trù “Nội dung và Hình thức” phát triển năng lực thể  
hiện ngôn ngữ  toán học trong một số  vấn đề  cụ  thể  của hình học:  Tổ  chức hoạt 
động  cho  học sinh  phát biểu ngôn ngữ  toán học theo cặp phạm trù “nội dung và hình  
thức” bài toán sau:
Bài toán 2.27: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M không trùng A, B. Vẽ  các đường  

tròn (C) tâm A, bán kính AM và (C') tâm B bán kính BM. Xác định vị trí tương đối của  
hai đường tròn đó.
* Tổ chức cho học sinh hoạt động thể hiện ngôn ngữ qua việc phân tích theo hai hình  
thức của một nội dung của bài toán.
Hình thức 1: Ngôn ngữ hình học tổng hợp: Thể hiện trong Sơ đồ 2.3.
(C')

A

M ngoài đường 
thẳng AB
M

B

M nằm giữa A và B
(C)

(C')

|MA­MB|B
A
 (C) cắt (C').

(C)

M

AB=AM+MB.

 (C) và (C') tiếp xúc 
ngoài.

M

A

B

M nằm trên tia 
đối của tia AB
AB=BM­AM.
 (C) và (C') tiếp 
A

xúc trong.

M nằm trên tia 
đối của tia BA

B

AB=AM­BM.
 (C) và (C') tiếp 
xúc trong.
M

Sơ đồ 2.3
Hình thức 2: Ngôn ngữ  tọa độ: Xây dựng hệ  trục tọa độ: Giả  sử: A(­a;0), B(a;0). Nếu  
2

2
M(x0;y0), thì ta có phương trình: (C1): (x+a)2+y2=(x0+a)2+ y0 ; (C2): (x­a)2+y2=(x0­a)2+ y0 .
Hệ giao điểm có hai nghiệm: (x0;y0) và (x0;­y0). Kết luận: 
Nếu y0 ­y0   y0 0 thì (C) cắt (C') tại hai điểm phân biệt.           
Nếu y0=­y0   y0=0 thì (C) và (C') có chung một điểm: (C) tiếp xúc (C').  
Nếu y0 < ­a (M nằm trên tia đối của tia AB): (C) và (C') tiếp xúc trong.
Nếu y0 > ­ a (M nằm trên tia đối của tia BA): (C) và (C') tiếp xúc trong.
Nếu ­a < y0 < a (M nằm giữa A và B): (C) và (C') tiếp xúc ngoài.
Chủ  đề  3: Vận dụng cặp phạm trù “Cái chung ­ Cái riêng” phát triển năng lực  
ngôn ngữ toán học qua việc nhận biết các thuộc tính tương tự trong sự phát triển  
các vấn đề hình học: Tổ chức hoạt động cho học sinh thực hiện chủ đề qua các bài 
toán sau: