VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI TOÁN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội
&
Lê thiếu tráng
VN DNG PHẫP BIN CHNG DUY VT NHM PHT TRIN
NNG LC TON HC CHO HC SINH KH V GII TON
TRONG DY HC NI DUNG VECT V TA
TRNG TRUNG HC PH THễNG
Chuyên ngành : LL& PPDH Bộ môn toán
Mã số : 62 .14. 01. 11
Tóm tắt Luận án tiến sĩ khoa học giáo dục
hà nội - 2015
Luận án đợc hoàn thành tại:
Trờng đại học s phạm hà nội
Ngời hớng dẫn khoa học: 1. TS. Trần Luận
2. PGS. TS. Vũ Dơng Thụy
Phản biện 1: GS.TS. Đào Tam
Trờng Đại học Vinh
Phản biện 2: PGS.TS. Đào Thái Lai
Viện Khoa học giáo dục Việt Nam
Phản biện 3: TS. Nguyễn Đức Hoàng
Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Luận án đợc bảo vệ tại: Hội đồng chấm Luận án cấp Trờng
Họp tại: Trờng Đại học S phạm Hà Nội
Vào hồi giờ ngày tháng năm 2015
Có thể tìm đọc luận án tại:
- Th viện Quốc gia
- Th viện Trờng Đại học S phạm Hà Nội
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ
1. Lê Thiếu Tráng (2010), Áp dụng tư duy biện chứng trong dạy học toán giúp
học sinh chủ động và sáng tạo trong học tập, Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục

và Đào tạo, số 247, Kỳ 1 tháng 7 (tr.45).
2. Lê Thiếu Tráng (2013), Sử dụng phạm trù "vận động" xây dựng nhóm bài
tập từ một bài tập cơ bản trong hình học lớp 10 nhằm phát triển tư duy biện
chứng cho học sinh, Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo, số 320, Kỳ 2
tháng 10 (tr.46).
3. Lê Thiếu Tráng (2014), Sử dụng mối quan hệ nhân-quả trong giảng dạy để
phát triển năng lực toán học cho học sinh trung học phổ thông, Tạp chí Giáo
dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo, số 336, Kỳ 2 tháng 6 (tr.51).
4. Lê Thiếu Tráng (2014), Phân tích cấu trúc của năng lực và ứng dụng trong
quá trình giảng dạy toán cho học sinh trung học phổ thông, Tạp chí Giáo
dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Số đặc biệt tháng 6 (tr.193).
5. Lê Thiếu Tráng (2014), Phát triển năng lực toán học cho học sinh trung học phổ
thông dựa trên nguyên lí về mối liên hệ phổ biến trong phép biện chứng duy vật,
Tạp chí Khoa học, Volume 59, Number 2A, trường ĐHSP Hà Nội (tr.182).
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh là một mục tiêu đang
hướng tới của giáo dục Việt Nam
Theo điều 28.2 Luật Giáo dục: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả
năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;
Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI chỉ rõ mục
tiêu Giáo dục-Đào tạo cần đạt: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị
kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với
hành; lí luận gắn với thực tiễn; Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và
phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; ".
Boyatzis và các đồng sự từ năm 1995 đã tổng kết các nhược điểm của giáo dục:
Quá nặng về phân tích, không định hướng thực tiễn và hành động; Thiếu và yếu trong
phát triển kĩ năng quan hệ qua lại giữa các cá nhân; Thiển cận, hạn hẹp, không có tiếp

cận toàn diện tổng thể trong những giá trị và tư duy của nó; Không giúp người học làm
việc tốt trong các nhóm và đội làm việc.
Rausch, Sherman, và Washbush năm 2001 cho rằng: “Thiết kế một cách cẩn thận
các chương trình giáo dục và đào tạo chú trọng vào kết quả đầu ra và dựa trên năng lực
có thể xem là một giải pháp tự nhiên để giải quyết hầu hết, nếu không phải là tất cả,
những nhược điểm này”.
Nhóm tác giả: Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình nêu quan
điểm: “Phát triển những năng lực toán học ở học sinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan
trọng của thầy giáo vì hai lí do: thứ nhất, toán học có một vai trò to lớn trong sự phát
triển của các ngành khoa học, kĩ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết có một đội ngũ
những người có năng lực toán học; thứ hai, “Trên cơ sở những đòi hỏi tất yếu của cuộc
sống cộng đồng, "phải" bảo đảm sự phát triển phong phú của nhân cách, bồi dưỡng và
phát huy sở trường và năng khiếu cá nhân”. Tuy nhiên, rất đáng tiếc, hiện nay chúng ta
vẫn chưa có những công trình nghiên cứu tỉ mỉ về cấu trúc của năng lực tư duy toán học
của học sinh nước ta, để từ đó có nội dung, phương pháp bồi dưỡng năng lực sáng tạo
toán học cho học sinh một cách chủ động.
Bộ giáo dục và Đào tạo năm 2013 đã có hướng dẫn "Thí điểm chương trình giáo
dục định hướng phát triển năng lực học sinh".
Năm 2014, trong Dự thảo Chương trình tổng thể giáo dục phổ thông của Bộ Giáo
dục và Đào tạo đề ra mục tiêu: Chương trình giáo dục phổ thông nhằm tạo ra những con
người Việt Nam phát triển hài hòa về thể chất và tinh thần, có học vấn phổ thông; có
năng lực chung: Tự học và quản lí bản thân; phát hiện và giải quyết vấn đề; giao tiếp và
hợp tác; sử dụng ngôn ngữ, tính toán, công nghệ thông tin và truyền thông làm cơ sở cho
việc lựa chọn nghề nghiệp.
Do đó, việc nghiên cứu về phương pháp dạy học phát triển năng lực cho học sinh
là một vấn đề cần thiết cho việc đổi mới giáo dục trong thời gian tới ở Việt Nam.
1
1.2. Vận dụng phép biện chứng duy vật trong dạy học Toán là một phương pháp
phát triển năng lực hiệu quả cho học sinh ở trường trung học phổ thông
Muốn dạy tốt môn toán trong nhà trường phổ thông, giáo viên cần có những hiểu

biết nhất định về khoa học toán học Tất cả các lĩnh vực ấy đều dựa trên cơ sở triết học
nhất định. Vì vậy để dạy tốt môn toán, trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu những đặc điểm
của khoa học toán học theo quan điểm triết học DVBC, bao gồm những nội dung: Đối
tượng, nguồn gốc, phương pháp của Toán học về tiêu chuẩn chân lí của khoa học này.
Để nhận thức mặt nội dung của "hiện thực" cần có tư biện chứng, và để nhận thức
mặt hình thức của "hiện thực" cần có tư duy lôgic; nên tư duy toán học cũng phải là sự
thống nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng.
Từ yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người
học, qua khảo sát thực trạng dạy và học Toán hiện nay, chúng tôi chọn đề tài:
“VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI TOÁN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG
VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG”
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
2.1. Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Về vận dụng phép BCDV trong dạy học Toán có tác phẩm “Một số quan điểm
Triết học trong toán học” của Rudavin, Nưxanbaep, Sliakhin;
Về năng lực: Công trình “Tâm lí năng lực toán học của học sinh” năm 1973 của
Crutecxki V.A người Nga, đã xác định khái quát cấu trúc năng lực toán học của học sinh.
Trong công trình "Về Toán học phổ thông và những xu hướng phát triển", năm
1980 của tác giả Maxlôva G.G đã khẳng định vấn đề tăng cường các ứng dụng toán học
là xu thế chung trong những thập kỉ gần đây.
Trong nghiên cứu "Dạy học Toán" của Xtôlia A.A, tác giả cũng nhấn mạnh quan
điểm dạy học phát triển năng lực toán cho học sinh chính là dạy học sinh biết thực hiện
các hoạt động toán học
J.Guilford đưa ra quan điểm phải đánh giá nội dung học tập theo quan điểm giá trị
của chúng đối với hoạt động sáng tạo và đã giải quyết bằng cách xây dựng một mô hình
tham số các năng lực trí tuệ.
Hội đồng Quốc tế về giáo dục cho thế kỷ XXI được UNESCO năm 1996, Hội
đồng đã xuất bản ấn phẩm “Học tập: một kho báu tiểm ẩn”, trong đó đã xác định vấn đề
"học tập suốt đời" dựa trên bốn trụ cột là: Học để biết, học để làm, học để chung sống với

nhau, học để làm người. Các nghiên cứu xoay quanh vấn đề “học để làm” liên hệ mật thiết
với việc phát triển năng lực của học sinh.
2.2. Tình hình nghiên cứu trong nước
Ở Việt Nam, đã có một số công trình nghiên cứu về vận dụng phép BCDV trong
giảng dạy Toán, phát triển tư duy biện chứng cho học sinh: Tiêu biểu là tác phẩm “Tập
cho học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu toán học” của Giáo sư TSKH
Nguyễn Cảnh Toàn, dựa trên 10 chủ đề tiêu biểu, tác giả đã sử dụng một số nguyên lí và
các cặp phạm trù cơ bản của phép BCDV, phân tích sâu sắc việc sử dụng chúng trong
quá trình học toán và nghiên cứu toán học.
2
Tác giả Nguyễn Thái Hòe, “Vận dụng những hiểu biết về triết học (các qui luật
cơ bản và các cặp phạm trù của phép BCDV) vào việc định hướng đường lối giải các
bài toán”, Thông báo khoa học, ĐHSP Vinh, 1990.
"Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học hình học ở trường trung
học phổ thông" luận án tiến sĩ của Nguyễn Thanh Hưng Đại học Tây Nguyên, 2008.
Về năng lực, ở Việt Nam đã có một số tác phẩm, bài báo đề cập đến, đặc biệt là
trong một số năm gần đây đã có nhiều cuộc Hội thảo bàn về vấn đề phát triển năng lực
chung và năng lực Toán học cho học sinh.
Tác phẩm "Giáo dục học môn Toán" của Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần
Thúc Trình, đã phân tích và minh họa phát triển năng lực toán học trong quá trình dạy
học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông.
Tác phẩm “Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn Toán ở
trường THCS” của Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân, các tác giả cũng đề
cập sâu sắc đến việc phát triển năng lực toán học của học sinh thông qua các hoạt động
trí tuệ tiêu biểu.
Một số bài viết khác như: Đào Tam (2007), “Rèn luyện cho học sinh phổ thông một
số thành tố của năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học toán”, Tạp chí giáo dục; TS
Trần Luận (1990), “Về cấu trúc năng lực toán học của học sinh”, Tư liệu Hội thảo môn
toán, Viện khoa học giáo dục, Hà Nội; Kỷ yếu hội thảo khoa học quốc gia: “Nghiên cứu
giáo dục toán học theo hướng phát triển năng lực người học, giai đoạn 2014-2020”

Qua việc tìm hiểu, nghiên cứu chúng tôi nhận thấy: Các công trình nghiên cứu
trong nước và trên thế giới về sử dụng phép BCDV trong giảng dạy và phát triển năng
lực cho học sinh đã nghiên cứu đề cập đến các vấn đề sau:
Về phép BCDV, đã chỉ ra sự phát triển và phát minh Toán học đều dựa trên các
nguyên lí và qui luật tất yếu của triết học DVBC; đã minh họa một số bài toán tiêu biểu
vận dụng các cặp phạm trù trên cơ sở của triết học DVBC; phát triển tư duy biện chứng
cho học sinh thông qua dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.
Về phát triển năng lực, các tác giả đã phân tích theo nhiều góc độ để đưa ra những
quan điểm về năng lực chung, năng lực toán học, tuy nhiên cũng chưa có sự thống nhất
giữa các tác giả và các quốc gia. Hiện nay việc chốt lại khung năng lực chung và năng
lực toán học cần phát triển cho học sinh phổ thông chưa có sự thống nhất.
Chúng tôi nhận thấy, nếu kế thừa các kết quả của các tác giả đi trước, áp dụng vào
thực tế ở Việt Nam với một khung năng lực chung và năng lực toán học phù hợp đặc
điểm tâm sinh lí của học sinh Việt Nam, thì việc vận dụng phép BCDV là một trong
những biện pháp phát triển năng lực toán học cho học sinh đạt hiệu quả cao. Phép BCDV
có thể được vận dụng để phát triển năng lực được ở nhiều nội dung dạy học, nhiều môn
học, chủ đề vectơ và tọa độ có nhiều ý nghĩa trong lịch sử phát triển Toán học và thực
tiễn, có quan hệ mật thiết với các thành phần của năng lực toán học. Hơn nữa, qua kinh
nghiệm của tác giả vận dụng trong giảng dạy đã đạt được hiệu quả nhất định. Do đó,
chúng tôi lựa chọn đề tài này nhằm mục đích sau:
3. Mục đích nghiên cứu
Luận án đề xuất các biện pháp vận dụng phép BCDV trong quá trình dạy học nội
dung vectơ và tọa độ để phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán, góp
phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường trung học phổ thông theo hướng
tiếp cập năng lực người học.
3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, luận án có nhiệm vụ góp phần làm sáng tỏ
các vấn đề sau:
4.1. Lí luận về phép BCDV, các nguyên lí và phạm trù của phép BCDV, phân tích mối

liên hệ giữa toán học và các đặc trưng cơ bản của phép BCDV, minh họa những tri thức
tiêu biểu trong quá trình giảng dạy hình học.
4.2. Tìm hiểu, tổng hợp một số khái niệm, công trình về năng lực, năng lực toán học và
các đặc trưng của nó, đưa ra quan điểm phù hợp trong giai đoạn hiện nay ở Việt Nam.
4.3. Tìm hiểu năng lực toán học của học sinh trong học tập hình học ở trường phổ thông
và mối quan hệ của nó với phép BCDV.
4.4. Xác định một số căn cứ, định hướng của việc đề ra các biện pháp sư phạm phát triển
năng lực toán học dựa trên cơ sở phép BCDV.
4.5. Đề xuất các biện pháp sư phạm vận dụng phép BCDV trong dạy học nội dung vectơ-tọa
độ ở trường phổ thông nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh khá giỏi.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung chương trình hình học, chủ yếu là nội
dung liên quan đến vectơ và tọa độ ở trường trung học phổ thông.
6. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
6.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động dạy và học hình học, nội dung vectơ và tọa độ theo hướng phát triển
năng lực toán học của giáo viên và học sinh ở trường trung học phổ thông.
6.2. Đối tượng nghiên cứu
Khái niệm, đặc trưng của năng lực toán học, lí luận của phép BCDV, việc vận
dụng phép BCDV của giáo viên để phát triển năng lực toán học cho học sinh khá giỏi
toán ở trường trung học phổ thông.
7. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học nội dung vectơ và tọa độ, nếu vận dụng phép BCDV bằng
những biện pháp sư phạm phù hợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực toán học cho học
sinh, từ đó nâng cao được hiệu quả dạy học Toán ở trường trung học phổ thông.
8. Phương pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận: Các tài liệu về năng lực, năng lực toán học, tài liệu về triết học
DVBC, các tài liệu về Tâm lí học, Giáo dục học, các văn bản về giáo dục, luật giáo dục.
8.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Sử dụng phiếu hỏi, phiếu thăm dò các giáo viên dạy
Toán về sự quan tâm việc phát triển năng lực toán học cho học sinh, việc sử dụng phép

BCDV trong giảng dạy Toán. Dự giờ một số giờ dạy Toán của giáo viên trung học phổ thông
để nắm được thực tế việc dạy và học nội dung vectơ và tọa độ của giáo viên và học sinh.
8.3. Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia trong lĩnh vực giáo dục toán
học, triết học và tâm lí học để điều chỉnh và hoàn thành luận án.
8.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính
khả thi và tính hiệu quả của luận án. Đánh giá kết quả bằng phương pháp thống kê trong
khoa học giáo dục.
9. Những vấn đề đưa ra bảo vệ
9.1. Kết quả tổng hợp, phân tích và đánh giá các quan điểm về năng lực và năng lực toán
học của học sinh từ một số tài liệu đã có để đưa ra một khung năng lực toán học cần phát
triển trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ đối với học sinh khá và giỏi toán ở trường
trung học phổ thông của Việt Nam.
4
9.2. Quan điểm về cách đánh giá mối quan hệ giữa phép BCDV với các thành phần năng
lực toán học của học sinh trong học tập hình học ở trường trung học phổ thông.
9.3. Các căn cứ và định hướng của việc đề ra các biện pháp sư phạm phát triển năng lực toán
học cho học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông của Việt Nam .
9.4. Các biện pháp sư phạm đề xuất vận dụng phép BCDV nhằm phát triển năng lực toán
học cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở trường trung
học phổ thông.
10. Những đóng góp mới của luận án
10.1. Về mặt lí luận
- Phân tích, minh họa được mối liên hệ giữa các nguyên lí, qui luật và phạm trù của phép
BCDV với các thành phần năng lực và năng lực toán học cho học sinh trong dạy học
hình học.
- Tổng hợp, phân tích khái niệm và đặc trưng về năng lực, năng lực toán học, lựa chọn
khung năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng cho học sinh Việt Nam.
- Đề xuất được 5 biện pháp dạy học vận dụng phép BCDV phát triển năng lực toán học
cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở trường trung học
phổ thông.

10.2. Về mặt thực tiễn
- Xây dựng được một phương pháp phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi
toán thông qua giảng dạy chủ đề phương pháp vectơ và tọa độ trong hình học.
- Xây dựng được 5 biện pháp phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán
ở trường trung học phổ thông.
- Xây dựng được một số chủ đề tiêu biểu và hệ thống ví dụ minh họa trong giảng dạy của
luận án là tài liệu tham khảo cho giáo viên khi thực hiện Kế hoạch giáo dục theo định
hướng phát triển năng lực người học của Bộ Giáo dục và Đào tạo trong những năm tới.
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm, hình thức, đặc trưng và vai trò của phép biện chứng, phép biện
chứng duy vật
1.1.1. Một số khái niệm
a. Biện chứng: Là phương pháp triết học xem xét những sự vật hiện tượng và những
phản ánh của chúng vào tư duy, chủ yếu là trong mối liên hệ qua lại, trong sự phát sinh
và sự tiêu vong của chúng.
b. Siêu hình: Là phương pháp xem xét sự vật trong trạng thái đứng im, không vận động,
cô lập và tách biệt nhau.
1.1.2. Các hình thức cơ bản của phép biện chứng
a. ''Phép BC chất phác”; b. ''Phép BC duy tâm”; c. ''Phép BCDV”.
1.1.3. Phép biện chứng duy vật, đặc trưng và vai trò của phép biện chứng duy vật
về phương pháp luận
Phép BCDV là khoa học về các qui luật chung nhất về sự phát triển của thế giới
vật chất, đồng thời là lí luận nhận thức và lôgic học. Các qui luật nhận thức và các hình
thức tư duy không tách rời lí luận về các qui luật và các hình thức vận động của tồn tại.
Phép BCDV của chủ nghĩa Mác-Lênin có hai đặc trưng cơ bản sau:
5
Một là, phép BCDV của chủ nghĩa Mác-Lênin là phép biện chứng được xác lập trên
nền tảng của thế giới quan duy vật khoa học.
Hai là, trong phép BCDV của chủ nghĩa Mác-Lênin có sự thống nhất giữa nội dung

của thế giới quan (DVBC) với phương pháp luận (BCDV).
1.1.4. Hai nguyên lí cơ bản của triết học duy vật biện chứng
a. Nguyên lí về mối liên hệ phổ biến;
b. Nguyên lí về sự phát triển Nguyên lí về sự phát triển
1.1.5. Ba qui luật cơ bản của triết học duy vật biện chứng
Qui luật chuyển hóa từ những sự thay đổi về lượng thành những sự thay đổi về
chất và ngược lại; Qui luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập; Qui luật phủ
định của phủ định.
1.2. Một số quan điểm về năng lực và năng lực toán học
1.2.1. Năng lực
- Theo từ điển Tiếng Việt, năng lực có hai nghĩa: (1). Khả năng, điều kiện chủ quan
hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; (2). Phẩm chất tâm lí và sinh lí
tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
- Theo Tâm lí học: "Năng lực là tập hợp các tính chất hay phẩm chất của tâm lí
cá nhân, đóng vai trò là điều kiện bên trong, tạo thuận lợi cho việc thực hiện tốt một
dạng hoạt động nhất định”.
Luận án lấy quan điểm theo kết luận của Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục và các Bộ
trưởng Giáo dục-Đào tạo-Việc làm của Australia (9/1992), một kiến nghị về bảy năng lực
cơ bản của người lao động cần có được đề ra là: (1) Năng lực thu thập, phân tích và tổ chức
thông tin, (2) Năng lực giao tiếp, truyền đạt ý tưởng thông tin, (3) Năng lực lập kết hoạch và
tổ chức hoạt động, (4) Năng lực làm việc với đối tác theo nhóm, (5) Năng lực sử dụng tư
duy toán học và kỹ thuật, (6) Năng lực giải quyết vấn đề, (7) Năng lực sử dụng công nghệ.
1.2.2. Năng lực của học sinh phổ thông
Singapo đề ra tám nhóm năng lực thiết yếu của học sinh là: (1) Năng lực phát triển
tính cách; (2) Năng lực tự điều khiển bản thân; (3) Năng lực xã hội và hợp tác; (4) Năng
lực đọc viết; (5) Năng lực giao tiếp; (6) Năng lực xử lí thông tin; (7) Năng lực suy nghĩ
và sáng tạo; (8) Năng lực ứng dụng kiến thức.
Phần Lan cũng đề ra tám năng lực của học sinh gồm: (1) Năng lực giao tiếp tiếng
mẹ đẻ; (2) Năng lực toán học và khoa học cơ bản; (3) Năng lực sáng tạo và lãnh đạo; (4)
Năng lực sử dụng công nghệ; (5) Năng lực thực hiện nghĩa vụ công dân và xã hội; (6)

Năng lực nhận thức và thể hiện văn hóa; (7) Năng lực sử dụng công nghệ số; (8) Năng
lực học cách học.
Đối với Việt Nam, trong Dự thảo chương trình tổng thể giáo dục phổ thông của
Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2014, phần phụ lục 1: Chuẩn đầu ra phẩm chất năng lực
chung của chương trình giáo dục các cấp, nêu chín phẩm chất về năng lực chung cần đạt
là: (1) Năng lực tự học; (2) Năng lực giải quyết vấn đề; (3) Năng lực sáng tạo; (4) Năng
lực tự quản lí; (5) Năng lực giao tiếp; (6) Năng lực hợp tác; (7) Năng lực sử dụng công
nghệ thông tin và truyền thông; (8) Năng lực sử dụng ngôn ngữ; (9) Năng lực tính toán.
1.2.3. Năng lực toán học
a. Khái niệm năng lực toán học trong tâm lí học
Trong tâm lý học người ta hiểu khái niệm năng lực toán học dưới hai khía cạnh:
Đó là những năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán học với tư cách là khoa
6
học; người có năng lực sáng tạo toán học cống hiến cho loài người những công trình toán
học có ý nghĩa đối với sự phát triển của khoa học toán học nói riêng, có ý nghĩa đối với
hoạt động thực tiễn của xã hội nói chung; Đó là những năng lực trong học tập, trong việc
nắm vững toán học với tư cách là môn học; người học sinh có năng lực toán học nắm
được nhanh chóng và có kết quả những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
b. Một số quan điểm khác
Trong cuốn sách của Viện sĩ Toán học A.N. Kôlmôgôrôp "Về nghề nghiệp của
nhà toán học". Các thành phần năng lực được minh họa trong sơ đồ 1.1.
Khuynh hướng
hứng thú
Các nét tính
cách
Các tình trạng
tâm lý
Kiến thức kỹ
năng kỹ xảo
Sơ đồ 1.1

Trong Hội thảo về năng lực toán học của học sinh của Viện Khoa học Giáo dục
Việt Nam đề xuất hai nhóm: Năng lực trí tuệ chung và năng lực toán học đặc thù.
(1) Nhóm các năng lực trí tuệ chung bao gồm các thành phần sau
(1.1) Năng lực hệ thống hoá và trừu tượng hoá toán học; (1.2) Năng lực sử dụng các
sơ đồ, hệ thống tín hiệu và những cái trừu tượng; (1.3) Năng lực suy luận lôgic được phân
nhỏ hợp lý, tuần tự, có liên quan đến nhu cầu phải chứng minh, luận chứng, kết luận; (1.4)
Năng lực khái quát hoá toán học và tri giác khái quát tình huống; (1.5) Năng lực phân tích
triệt để cấu trúc toán học, tái phối hợp các yếu tố của nó; (1.6) Tính linh hoạt của các quá
trình tư duy; (1.7) Năng lực hệ thống hoá chặt chẽ thông tin toán học; (1.8) Năng lực ghi
nhớ lôgic và sử dụng nhanh chóng, dễ dàng các thông tin đã được ghi nhớ; (1.9) Năng lực
diễn đạt một cách chính xác ý nghĩa toán học.
(2) Trong nhóm các năng lực toán học đặc thù bao gồm những thành phần sau
(2.1) Năng lực tưởng tượng không gian;(2.2) Năng lực biểu diễn trực quan các
quan hệ và phụ thuộc trừu tượng; (2.3) Tính sâu sắc và cặn kẽ các quá trình tư duy
trong hoạt động toán học;(2.4) Năng lực trực giác toán học.
c. Quan điểm của luận án về năng lực Toán học của học sinh
Luận án lấy theo quan điểm của Kỷ Yếu Hội thảo quốc tế Việt Nam - Đan Mạch về
Giáo dục Toán học theo hướng tiếp cận năng lực, Viện KHGD Việt Nam, 2014 đề xuất
sáu năng lực cần đạt: (1) Năng lực tư duy; (2) Năng lực giải quyết vấn đề; (3) Năng lực
mô hình hóa toán học; (4) Năng lực giao tiếp sử dụng ngôn ngữ toán học; (5) Năng lực sử
dụng các công cụ, phương tiện học toán; (6) Năng lực học tập độc lập.
1.2.4. Sự cần thiết của việc phát triển năng lực toán học cho học sinh: Phát triển
những năng lực toán học của học sinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của thầy giáo
vì hai lí do:
7
Những năng lực Tính sẵn sàng bắt tay vào hoạt động
Những điều kiện tâm lý chung, cần thiết để đảm bảo thực hiện thắng
lợi hoạt động
Thứ nhất, toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa
học, kĩ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết có một đội ngũ những người có năng lực

toán học. Thứ hai, Văn kiện Đại hội IV của Đảng đánh giá: “Tập trung nâng cao chất
lượng giáo dục, đào tạo, coi trọng giáo dục đạo đức, lối sống, năng lực sáng tạo, kĩ năng
thực hành, khả năng lập nghiệp”; “Đổi mới nội dung, phương pháp dạy và học theo định
hướng “coi trọng việc bồi dưỡng năng lực tự học của học sinh”.
1.3. Mục tiêu bồi dưỡng học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông, vai
trò của của phép biện chứng duy vật đối với sự phát triển năng lực toán học của học
sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
1.3.1. Mục tiêu bồi dưỡng học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
Mục tiêu chính của chương trình dành cho học sinh giỏi và học sinh tài năng ở các
nước đều hướng đến một số điểm chính sau: Phát triển phương pháp suy nghĩ ở trình độ
cao phù hợp với khả năng trí tuệ của trẻ; Bồi dưỡng sự lao động, làm việc sáng tạo; Phát
triển các kĩ năng, phương pháp và thái độ tự học suốt đời; Nâng cao ý thức và khát vọng
của trẻ về sự tự chịu trách nhiệm; Khuyến khích sự phát triển về lương tâm và ý thức
trách nhiệm trong đóng góp cho xã hội.
1.3.2. Vai trò của của phép biện chứng duy vật đối với sự phát triển năng lực toán
học của học sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông
Mối quan hệ giữa phương pháp dạy học môn toán với những khoa học khác được
thể hiện trong sơ đồ 1.2 [24, tr.22-25].
Sơ đồ 1.2
1.3.2.1. Phép biện chứng duy vật thể hiện khi định nghĩa khái niệm
Dựa trên hình ảnh minh họa thực tế (trực quan sinh động), dẫn đến khái niệm hai vectơ
cùng phương, dẫn đến biểu thức (tư duy trừu tượng) để hai vectơ cùng phương và khái niệm
tọa độ trên trục, hệ trục, từ không gian một chiều, hai chiều đến ba chiều.
1.3.2.2. Phép biện chứng duy vật thể hiện trong các định lí và ví dụ
Để học sinh thấy sự tổng quát, sự "vận động" của bài toán khi đưa ra định lí côsin
trong tam giác. Trước hết xét trường hợp ∆ABC vuông tại A. Khi
µ
A
không vuông thì có
kết quả mới, tổng quát hơn và không phủ định kết quả cũ:

2 2 2
BC AC AB 2 AC . AB .cosA
= + −
uuur uuur uuur uuur uuur
, hay: a
2
=b
2
+c
2
-2bc.cosA.
1.3.2.3. Phép biện chứng duy vật thể hiện trong hệ thống bài tập: Hệ thống bài tập SGK
được xây dựng theo qui trình: Từ khái niệm và định lí → bài tập cơ bản (gốc) → bài tập
nâng cao (tổng quát hơn, độ suy luận phức tạp hơn). Chẳng hạn hệ thống bài tập về trọng
tâm hệ n điểm, n > 2:
8
Phương pháp dạy học môn Toán
Triết học duy vật biện chứng
Toán
học
GD
học
Tâm
lí học
Lôgic
học
Tin
học

B

C
A
H
A
B
D
C
H
Bài toán gốc 1: Cho 2 điểm A, B phân biệt, G là trung điểm đoạn thẳng AB. Chứng
minh:
GA GB 0
+ =
uuur uuur r
và với mọi điểm M ta có:
MA MB 2MG
+ =
uuur uuur uuur
. Nếu nhìn bài toán
dưới góc độ “vận động” theo hai hướng sau, ta sẽ phát triển được thành một hệ thống bài
tập tổng quát (Sơ đồ 1.4):
Hướng khai thác Bài toán cơ bản Sự “vận động” của bài toán
Giả
thiết
Hướng 1 Cho 2 điểm A, B phân biệt Cho n điểm A
1
, A
2
, ,A
n
, n > 2

Hướng 2
G chia
AB
uur
theo tỉ số k=-1 G chia
AB
uur
theo tỉ số k≠1
Kết
luận
1)
GA GB 0
+ =
uuur uuur r
2) ∀M:
MA MB 2MG
+ =
uuur uuur uuur
Xây dựng đẳng thức tổng quát
Sơ đồ 1.4
Hướng 1: Điểm G thay đổi trên đoạn AB. Học sinh có thể nhận thấy:
Bài toán tổng quát 1: Điểm G chia
AB
uuur
theo tỉ số k≠1 thì: và ∀M ta có:
MA kMB (1 k)MG
− = −
uuuur uuur uuuur
. Đặc biệt hóa giá trị k: Đặt k=
β

α
với α+β≠0, ta có:
Bài toán tổng quát 2: Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số thực α, β sao cho α+β ≠0:
a) Tồn tại duy nhất điểm G sao cho:
GA GB 0
α + β =
uuur uuur r
.
b) ∀M ta có:
MA MB ( )MGα + β = α + β
uuur uuur uuur
.
Hướng 2: Xét sự "vận động" theo hướng số lượng điểm ban đầu thay đổi:
Bài toán gốc 2: Nếu G là trọng tâm ∆ABC thì:
GA GB GC 0
+ + =
uuur uuur uuur r
và ∀M ta có:
MA MB MC
+ + =
uuur uuur uuur
3MG
uuuur
. Đối với học sinh khá giỏi, thì các em đã tự tìm được kết quả:
Bài toán tổng quát 1: Cho n điểm A
1
, A
2
, ,A
n

, n > 2 thì:
1) Tồn tại duy nhất điểm G:
1 2 n
GA GA GA 0+ + + =
uuuur uuuur uuuuur r
.
2) ∀M:
1 2 n
MA MA MA nMG+ + + =
uuuuur uuuuur uuuuur uuuur
.
Bài toán tổng quát 2: Cho ∆ABC, các số thực α, β, γ thỏa mãn: α+β+γ≠0 thì:
1) Tồn tại duy nhất điểm G sao cho:
GA GB GC 0α + β + γ =
uuur uuur uuur r
.
2) ∀M:
( )
MA MB MC MG
α + β + γ = α + β + γ
uuur uuur uuur uuur
.
Bài toán tổng quát 3: Cho n điểm: A
1
, A
2
, ,A
n
, với n > 2 và n số thực α
1

, α
2
, ,α
n
thỏa
mãn:
1 2

n
α α α
+ + +
≠0 thì:
1) Tồn tại duy nhất điểm G:
1 1 2 2 n n
GA GA GA 0α + α + + α =
uuuur uuuur uuuuur r
.
2) ∀M:
1 1 2 2 n n 1 2 n
MA MA MA ( )MG
α + α + + α = α + α + + α
uuuuur uuuuur uuuuur uuuur
.
1.3.2.4. Phép biện chứng duy vật thể hiện trong mối liên hệ giữa mặt phẳng và không gian
Bài toán 1.6: Sự tương tự giữa tam giác vuông và tứ diện vuông (Sơ đồ 1.5)
Tam giác ABC
vuông tại A,
đường cao AH:
Tứ diện ABCD
vuông tại A,

đường cao AH:
- AB
2
=BC.BH; AC
2
=BC.HC
- BC
2
=AB
2
+AC
2
-
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +

-
2
ABC BCD BHC
S S .S
=
;
2
ACD BCD CHD
S S .S
=
;

2
ADB BCD BHD
S S .S=
.
-
2 2 2 2
BCD ABC ACD ABD
S S S S= + +
.
-
2 2 2 2
1 1 1 1
AH AB AC AD
= + +

Sơ đồ 1.5
9
1.4. Các phương pháp tiếp cận hình học ở trường trung học phổ thông
1.4.1. Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh một mệnh đề hình học có thể người ta
phải xem xét những trường hợp khác nhau của hình vẽ.
1.4.2. Phương pháp tọa độ (giải tích): Descartes và Fermat xây dựng phương pháp giải
tích, thông qua trung gian là một hệ tọa độ, thay thế các đối tượng và các quan hệ hình
học thành những đối tượng và quan hệ đại số, dẫn đến giải các phương trình, hệ phương
trình đại số. Cách giải không phụ thuộc hình vẽ nên có tính khái quát cao.
1.4.3. Phương pháp vectơ: Leibniz là người khởi xướng đến với ý tưởng xây dựng một
phương pháp mới để nghiên cứu hình học sao cho có thể sử dụng các phương tiện của
đại số nhưng vẫn ở phạm vi hình học.
1.4.4. Những con đường trình bày hình học ở trường trung học phổ thông: Trình tự
con đường có thể tiến hành dạy và học hình học ở trường trung học phổ thông (Sơ đồ 1.7):
Sơ đồ 1.7

1.5. Sự cần thiết của việc kết hợp các phương pháp dạy hình học ở trường trung
học phổ thông: Dựa trên ý nghĩa và vai trò của: Hình học và trí tưởng tượng không
gian; hình học và tư duy lôgic; Hình học và cuộc sống; Hình học và phương diện thẩm
mỹ; Hình học và Toán học; Hình học và các môn khoa học khác.
1.6. Quan điểm dạy hình học ở trường trung học phổ thông: Hiện nay SGK xây dựng
dựa trên Quan điểm thực nghiệm và Quan điểm tiên đề. Cần kết hợp hai quan điểm thực
nghiệm và tiên đề thích hợp cho từng cấp học, cho từng phần kiến thức sao cho phù hợp tâm
sinh lí của học sinh, vẫn vận dụng được kiến thức vào thực tế đồng thời vẫn dần từng bước
nâng cao yêu cầu suy luận, diễn dịch, phát triển tư duy lôgic có cơ sở thông qua các tiên đề.
1.7. Thực trạng và nguyên nhân việc phát triển năng lực toán học cho học sinh dựa
trên phép biện chứng duy vật trong giảng dạy
1.7.1. Thực trạng: Tác giả đã khảo sát giáo viên dạy toán ở 10 trường phổ thông của
tỉnh Tuyên Quang, 05 trường phổ thông của tỉnh Thái Nguyên và 05 trường phổ thông
của tỉnh Yên Bái, gồm 196 giáo viên dạy toán, chúng tôi có kết quả sau:
a) Về việc phát triển năng lực toán học cho học sinh: Giáo viên đã đề cập đến nhưng chưa
có tiêu chí rõ ràng và thường xuyên, với lượng thời gian phân phối chương trình mới dừng
lại ở việc truyền tải kiến thức SGK và chữa các bài tập theo từng bài, từng chương.
b) Về việc sử dụng phép BCDV trong giảng dạy: Hầu hết giáo viên không áp dụng hoặc
cũng chưa nắm được đầy đủ về phép BCDV, cho nên khi giảng dạy cũng không đề cập
đến, không chủ định phát triển theo khía cạnh của phép BCDV.
Qua kết quả điều tra thực tế giảng dạy toán ở các trường phổ thông được khảo sát,
chúng tôi thấy tình hình phát triển năng lực toán học cho học sinh, sử dụng phép BCDV
trong giảng dạy để phát triển năng lực toán học cho học sinh của giáo viên hiện nay còn
hạn chế, chưa được quan tâm đúng mức với ý nghĩa và tầm quan trọng của nó.
10
PP tổng
hợp
PP giải tích
PP vectơ
Đại số hóa

hình học
PP vectơ
PP vectơ
PP giải tích
PP giải tích
1.7.2. Nguyên nhân: Giáo viên chưa hiểu một cách đầy đủ về phát triển năng lực nói
chung và năng lực toán học nói riêng, chưa thấy tầm quan trọng của việc phát triển năng
lực là xu thế chung của giáo dục học hiện đại trên thế giới hiện nay; giáo viên chưa nắm
được đầy đủ về phép BCDV, hoặc sử dụng không rõ nét trong quá trình giảng dạy.
Chưa thấy ý nghĩa của việc dùng phép BCDV để phát triển năng lực toán học cho học
sinh; Một số giáo viên có chú trọng đến việc phát triển năng lực toán học cho học sinh,
nhưng không có công cụ để làm hoặc chỉ làm theo quan điểm cá nhân như tăng cường
luyện tập hoặc sử dụng phương pháp tương tự khi luyện tập ; Hiện nay các tài liệu về
phát triển năng lực, năng lực toán học không nhiều và khó tìm, hoặc có nhưng không rõ
nét, không phù hợp với dạy học toán ở trường phổ thông.
1.8. Kết luận chương 1
Phát triển năng lực nói chung, năng lực toán học nói riêng cho học sinh phổ thông
là một trong những khâu quyết định đến chất lượng học tập và giảng dạy môn Toán.
Việc dạy học theo hướng tiếp cận năng lực của học sinh là đòi hỏi cấp thiết. Trong
thế giới bùng nổ thông tin, học sinh phải biết chọn lọc các kiến thức cần thiết cho môn
học, bên cạnh đó vẫn phải có kiến thức tổng hợp, cập nhật trong sự tiến bộ của khoa học
thế giới, phát triển năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng giúp các em lĩnh hội
được môn học vững chắc hơn, có bản lĩnh trong học tập cũng như trong công việc sau này.
Trong chương 1, từ cơ sở lý luận về phép BCDV, phân tích các khái niệm, đặc
trưng và cấu trúc năng lực, năng lực toán học của học sinh, qua khảo sát thực tế, luận án
đã xác lập các yêu cầu cần đạt cho việc sử dụng phép BCDV trong giảng dạy để phát
triển năng lực toán học cho học sinh, những yếu tố cơ bản tác động đến việc phát triển
năng lực toán học cho học sinh toán học phổ thông, bằng những lí luận về phép BCDV
trong giảng dạy, luận án xây dựng những căn cứ và định hướng để đưa ra các biện pháp
mà luận án sẽ trình bày trong chương 2.

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT NHẰM PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI TOÁN TRONG DẠY
HỌC NỘI DUNG VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Những căn cứ của việc xây dựng và sử dụng các biện pháp vận dụng phép biện
chứng duy vật nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong
dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở trường trung học phổ thông
2.1.1. Căn cứ vào đặc điểm môn hình học và phương pháp vectơ-tọa độ liên hệ với đặc
trưng của phép biện chứng duy vật: Hình học có tính lôgic và tính thực nghiệm, phương
pháp cơ bản của hình học là suy diễn lôgic không dựa trên thực nghiệm, môn hình học có
mối quan hệ BCDV, thể hiện giữa lí luận (tính lôgic) và thực tiễn (tính thực nghiệm).
2.1.2. Căn cứ vào nhu cầu thực tiễn và sự tích hợp của phương pháp vectơ-tọa độ
với các môn học khác
2.1.3. Căn cứ vào mối quan hệ giữa các thành phần của năng lực toán học thể hiện
trong học tập hình học ở trường trung học phổ thông: a) Năng lực tưởng tượng
không gian; b) Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc trừu tượng; c)
Tính sâu sắc và cặn kẽ các quá trình tư duy trong hoạt động toán học; d) Năng lực trực
giác toán học.
2.1.4. Căn cứ vào thành tựu nghiên cứu phát triển năng lực toán học và phép biện
chứng duy vật trong nước và trên thế giới: Việc vận dụng phép BCDV để phát triển
11
năng lực toán học cho học sinh trung học phổ thông phải kế thừa và phát huy các thành
quả của thế hệ đi trước. Mặt khác luận án cũng bày tỏ quan điểm riêng của mình trên cơ
sở nghiên cứu và thực tế giảng dạy hiện nay sao cho hiệu quả đạt được cao nhất và phù
hợp với đối tượng học sinh ở Việt Nam.
2.2. Những định hướng của việc vận dụng phép biện chứng duy vật trong dạy học
nội dung vectơ và tọa độ nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và
giỏi toán ở trường trung học phổ thông
2.2.1. Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực toán học cho học sinh
khá và giỏi toán phải đáp ứng mục đích dạy và học môn Toán ở trường trung học

phổ thông: Giúp học sinh lĩnh hội và phát triển một hệ thống kiến thức, kĩ năng, thói
quen cần thiết cho: Cuộc sống hàng ngày với những đòi hỏi đa dạng của cá nhân, của
gia đình và cộng đồng; Tiếp tục học tập, tìm hiểu toán học dưới bất kì hình thức nào
của giáo dục thường xuyên, giáo dục suốt đời; Học tập, tìm hiểu các bộ môn khoa học
khác hoặc lĩnh vực khác; Hình thành và phát triển các phẩm chất tư duy cần thiết của
một người có học vấn trong xã hội hiện đại, cùng những phẩm chất, thói quen khác như
đầu óc duy lí, tính chính xác ; Góp phần quan trọng trong việc hiện thực hóa khả năng
hình thành thế giới quan khoa học qua học tập môn Toán ; Hiểu rõ nguồn gốc thực
tiễn của toán học và vai trò của nó trong quá trình phát triển cùng với những tiến bộ của
khoa học kĩ thuật và công nghệ.
2.2.2. Vận dụng phép biện chứng duy vật khai thác nội dung chương trình và sách giáo
khoa để phát triển năng lực toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong giảng dạy
2.2.3. Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực toán học cho học sinh
cần dựa trên định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
a. Xác lập vị trí chủ thể của người học, bảo đảm tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng
tạo của hoạt động học tập thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu;
b. Tri thức được cài đặt trong những tình huống có dụng ý sư phạm
2.2.4. Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực toán học cho học sinh
cần chú trọng đến năng lực tự học của học sinh
2.3. Những biện pháp vận dụng phép biện chứng duy vật nhằm phát triển năng lực
toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ ở
trường trung học phổ thông
2.3.1. Biện pháp 1: Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực tư duy
toán học cho học sinh khá và giỏi toán trong quá trình học tập
2.3.3.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Trong phần cơ sở khoa học của luận án đã đề
cập, phân tích những đặc điểm và hình thức của phép BCDV, đó là cơ sở của suy luận
thực tiễn và cũng là khái quát chung nhất cho quá trình tư duy.
2.3.3.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Mục đích của biện pháp nhằm: Phát triển một số loại
hình tư duy thường gặp, cần phát triển cho học sinh trong quá trình giảng dạy hình học ở
trường trung học phổ thông. Trên cơ sở phép BCDV, các loại hình tư duy sẽ được làm rõ nét

hơn nhằm phát triển năng lực toán học nói riêng, năng lực tổng hợp nói chung của học sinh.
2.3.3.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp: Luận án sẽ vận dụng phép BCDV
phát triển 4 loại hình tư duy thông qua việc dạy học một số chủ đề sau:
Chủ đề 1: Phát triển năng lực tư duy lôgic
* Tổ chức hoạt động cho học sinh theo các đặc trưng của tư duy lôgic:
a) Năng lực rút ra kết luận từ các tiền đề đã cho; năng lực phân hoạch ra các trường hợp
riêng để khảo sát đầy đủ một sự kiện:
Bài toán 2.1: Cho đường thẳng ∆ và đường tròn (I;R). Xác định vị trí tương đối của
chúng. Dẫn đến khái niệm tiếp tuyến của đường tròn.
12
N
B
C
K
J
A
HĐ1: Dựa trên phạm trù “vận động”: Cho đường thẳng ∆ thay đổi, so sánh khoảng cách
từ I đến ∆ với R, rút ra kết luận về tiếp tuyến của đường tròn.
HĐ2: Hãy phát biểu kết luận này dưới các dạng khác trên cơ sở trực quan hình vẽ ?
HĐ3: Áp dụng cho ví dụ sau:
Ví dụ 2.21: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đường tròn (C): x
2
+y
2
= 4:
a) Tại điểm M
(1; 3)
; b) Biết ∆ đi qua điểm N(-1;2).
b) Phát triển năng lực dự đoán các kết quả cụ thể của lí thuyết, khái quát hóa các kết luận nhận
được. Đặc trưng của tư duy lôgic là có tính dự đoán, tính khái quát, tính lôgic và tính hoàn

chỉnh:
Bài toán 2.2: Cho ∆ABC, điểm J chia
BC
uuur
theo tỉ số -3, điểm N chia
AC
uuur
theo tỉ số -1, điểm K chia
AB
uuur
theo tỉ số
1
3
. Chứng minh J, N, K
thẳng hàng (hình 2.15).
HĐ1: Hãy nhận định kết quả khi
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương.
HĐ2: Khái quát kết luận trên thành biểu thức: Ba điểm phân biệt A, B,
C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB
uuur
=k
AC
uuur
.

HĐ3: Áp dụng vào bài toán. Hình 2.15
HĐ4: Tổng quát kết quả: Cho ∆ABC, các điểm M, N, P lần lượt chia vectơ
BC
uuur
,
CA
uuur
,
AB
uuur
theo các tỉ số α, β, γ≠1. Tìm hệ thức giữa α, β, γ để M, N, P thẳng hàng.
c) Vận dụng Nguyên lí về mối liên hệ phổ biến xem xét và kiến giải sự vật, hiện tượng trong mối
liên hệ ràng buộc, tác động lẫn nhau, rèn luyện năng lực kết hợp giữa dự đoán và suy diễn:
Bài toán 2.3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và một số k
2
. Hỏi rằng nếu điểm M thay
đổi thỏa mãn
2
MA.MB k
=
uuuur uuur
thì M thuộc tập hợp nào?
HĐ1: Dự đoán.
HĐ2: Kiến giải hiện tượng: Bằng phương pháp tọa độ; Bằng phương pháp vectơ.
Chủ đề 2: Phát triển tư duy sáng tạo: Gồm các thành phần sau: Tính mềm dẻo; Tính
nhuần nhuyễn; Tính độc đáo; Tính hoàn thiện; Tính nhạy cảm vấn đề.
* Tổ chức HĐ cho học sinh rèn luyện năng lực theo các thành phần của TD sáng tạo:
HĐ1: Sử dụng lí luận của cặp phạm trù “bản chất và hiện tượng”, hướng dẫn học sinh
nhìn nhận bản chất của vấn đề là đường thẳng ∆ tiếp xúc với (E) qua các hiện tượng của
quan hệ đại số, hình học, lượng giác.

Bài toán 2.4: Cho elip (E):
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
và đường thẳng (∆): Ax+By+C=0. Chứng minh
điều kiện cần và đủ để (∆) tiếp xúc (E) là: a
2
A
2
+b
2
B
2
=C
2
.
HĐ2: Dựa trên cơ sở của Nguyên lí về mối liên hệ phổ biến lí giải các phương pháp giải trên.
Bài toán 2.6: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho:
T=
GA GB GC GD 0
+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.
Giải: Tổ chức hoạt động cho học sinh nhìn nhận theo các hướng khác nhau: Gọi M, P, N,
Q, R, S lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD.
HĐ1: Ôn lại công thức trọng tâm hệ hai điểm.
HĐ2: Áp dụng công thức cho hệ 2 điểm: A, B và C, D: T=

GA GB (GC GD
( ) )
+ + +
uuur uuur uuur uuur

2GM 2GN 0
= + =
uuur uuur r
⇔
GM GN
= −
uuur uuur
⇒ G tồn tại duy nhất và là trung điểm MN.
HĐ3: Áp dụng công thức (1) 2 điểm: A, D và B, C: T=
GA GD (GB GC
( ) )
+ + + =
uuur uuur uuur uuur

13
b
a
m
n
B
C
D
A
c
a

b
m
q
p
n
D'
C'
B'
A'
A
B
C
D
=
2GQ 2GP 0
+ =
uuur uur r
⇔
GP GQ= −
uur uuur
⇒ G tồn tại duy nhất và là trung điểm PQ.
HĐ4: Áp dụng công thức (1) cho: A, C và B, D: T=
GA GC (GB GD
( ) )
+ + +
uuur uuur uuur uuur

2GR 2GR 0
= + =
uuur uuur r

⇔
GR GS
= −
uuur uur
⇒ G tồn tại duy nhất và là trung điểm RS.
HĐ5: Nhận xét các cách làm trên? Điểm G tồn tại duy nhất, đó là trọng tâm tứ giác
ABCD. Từ đó ta có kết luận: “Trong một tứ giác, ba đoạn thẳng: Hai đường trung bình
và đường nối trung điểm hai đường chéo đồng qui tại trung điểm mỗi đường”, điểm đó
gọi là trọng tâm của tứ giác và điều ngược lại cũng đúng.
HĐ6: Ta tiếp tục phủ định sự đồng phẳng của 4 điểm A, B, C, D. Ta được kết luận:
“Trong một tứ diện, ba đường trung bình đồng qui tại trung điểm mỗi đường”.
Chủ đề 3: Rèn luyện tư duy biện chứng
Dạng 1: Tư duy biện chứng được thể hiện trong sự mở rộng không gian từ một chiều, hai
chiều đến ba chiều: Tổ chức hoạt động cho học sinh: Giải bài tập về hệ thức Ơle: Cho 4
điểm A, B, C, D: Chứng minh:
AB.CD AC.DB AD.BC
+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=0. Khi 4 điểm trên trục số,
trên mặt phẳng, trong không gian.
Dạng 2: Tư duy biện chứng thể hiện trong sự mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức:
* Tổ chức hoạt động: Phân tích: "Sự khác nhau và giống nhau giữa trung tuyến và đường trung
bình một tam giác". Minh họa các ý tưởng chính nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho
học sinh trong sự mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức và phạm trù vận động của bài toán.
HĐ1: Đường trung bình trong một tam giác có độ dài bằng một nửa cạnh đáy.
HĐ2: Công thức đường trung tuyến:
2 2 2 2
c
1
2m c a b

2
+ = +
.
HĐ3: Xét tứ giác ABCD, với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC và
BD. Tính MN, PQ.
HĐ4: Giáo viên gợi ý học sinh nhận xét: Khi cho D tiến dần đến C rồi D≡C, nhận xét hình
vẽ ứng với công thức nhận được: Sự vận động dẫn đến sự thay đổi “lượng-chất”; Sự mâu
thuẫn giữa “nội dung-hình thức”.
HĐ5: Lí giải sự mâu thuẫn giữa nội dung và hình thức.
Dạng 3: Tư duy biện chứng trong sự kế thừa kết quả hình học phẳng trong không gian
Bài toán 2.10: Phân tích và tổ chức cho học sinh hoạt động trả lời các câu hỏi:
HĐ1: Khái niệm, tính chất hình bình hành?
HĐ2: Khái niệm, tính chất hình hộp?
HĐ3: Nếu coi hình hộp trong không gian là “mở rộng” của hình bình hành trong mặt phẳng,
thì các tính chất của hình bình hành được “mở rộng” như thế nào?
HĐ4: Hãy so sánh và nhận xét các khái niệm và tính chất đó đối với hình hộp trong
không gian (Sơ đồ 2.1).
Hình bình hành Hình hộp
Hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường
Bốn đường chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường
m
2
+n
2
=2(a
2
+b
2

) m
2
+n
2
+p
2
+q
2
= 4(a
2
+b
2
+c
2
)
14
AC AB AD
= +
uuur uuur uuur
AC' AB AD AA'
= + +
uuur uuur uuur uuur
Sơ đồ 2.1
Chủ đề 4: Rèn luyện tư duy thuật giải: Thuật giải là một trong những thao thác cơ bản,
cụ thể của tư duy thuật giải, có các đặc trưng sau: Tính đơn trị; Đầu vào, đầu ra; Tính
hiệu quả; Tính tổng quát. Trên cơ sở lí luận của phép BCDV, từ trực quan sinh động (bài
toán, hình vẽ ), xây dựng nên những qui trình giải toán (tư duy trừu tượng đến thực tế):
Truyền thụ cho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải, thông qua các
thao tác sau: a) Tìm hiểu đặc điểm riêng của bài toán; b) Phân tích bài toán để thấy rõ
giả thiết và kết luận; c) Phân tích bài toán đưa về bài toán gốc; d) Xây dựng thuật giải

cho một số dạng toán điển hình, minh họa cho các dạng toán sau:
Dạng toán 1: Chứng minh đẳng thức vectơ:
( (
) )
=
r r
f u g v
.
Dạng toán 2: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn một tính chất (
α
).
Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Chủ đề 5: Phát triển tư duy hàm: Tư duy hàm có mối liên hệ sâu sắc với lí luận của phép
BCDV, bởi vì tư duy hàm có các đặc trưng: Biểu diễn các đối tượng toán học trong sự vận
động, biến đổi; Thể hiện cách tiếp cận thao tác - hành động đối với các sự kiện toán học và
xử lí các mối liên hệ nhân - quả; Khuynh hướng giải thích cặn kẽ nội dung các sự kiện toán
học và chú ý tới khía cạnh ứng dụng của toán học. Để phát triển được năng lực tư duy hàm
trên cơ sở phép BCDV, ta có thể tổ chức hoạt động cho học sinh theo các đặc trưng trên:
a) Biểu diễn các đối tượng toán học trong sự vận động, biến đổi:
Ví dụ 2.34: Cho hai điểm A, B và đường thẳng d//AB. Một điểm C thay đổi trên d. Tìm
quỹ tích trực tâm H của ∆ABC.
Giải: Tọa độ hóa bài toán: A(-a;0), B(a;0), d có phương trình y=c. H(x;y) là trực tâm
∆ABC. Kết quả ta được hàm: x
2
+cy-a
2
=0. Quan hệ này thể hiện H thuộc parabol qua A,
B, có đỉnh là điểm H
0
(là trực tâm ∆ABC

0
cân tại C
0
).
b) Thể hiện cách tiếp cận thao tác - hành động đối với các sự kiện toán học và xử lí các
mối liên hệ nhân - quả:
Ví dụ 2.35: Cho tứ diện ABCD, gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD, điểm
R∈BC: BR=2RC. Gọi S=AD∩(PQR). Xác định S và chứng minh AS=2SD.
Giải: Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ sồ ngược:
a) AS=2SD, do Q trung điểm CD nên nếu kẻ CN//AD thì CN=SD.
b) AS=2CN và AS//CN nên CN là đường trung bình của ∆AES ⇒ C là trung điểm AE.
c) Kẻ CM//AB thì CM là đường trung bình ∆APE ⇒ AP=2CM=PB
d) ∆BRP đồng dạng ∆CRM tỉ số 2. Đúng.
Sơ đồ phân tích đi lên của bài toán: d) ⇒c) ⇒b) ⇒a). Quan hệ hàm được thể hiện trong
bài toán là:
BR
RC
thay đổi ⇒
AS
SD
cũng thay đổi, dẫn đến những bài toán mới.
c) Khuynh hướng giải thích cặn kẽ nội dung các sự kiện toán học và chú ý tới khía cạnh
ứng dụng của toán học, là một sự kiểm nghiệm thực tiễn để thấy sự đúng đắn lý luận của
phép BCDV: Tổ chức hoạt động cho học sinh giải bài toán sau:
Bài toán 2.14: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
(C): x
2
+y
2
-6x+5=0 và (C'): x

2
+y
2
-12x-6y+44=0.
Phân chia cặn kẽ các trường hợp của bài toán: Tiếp tuyến chung dạng (∆): y=ax+b và
dạng x = x
0
tìm được 4 tiếp tuyến là:
15
x'
x
A
B
C
c
b
a
A
B
C
y=
9 17
8
−
x+
33 9 17
8
− +
; y=
9 17

8
+
x+
33 9 17
8
− −
; y=2; x= 5.
2.3.3.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Cần chú ý đến những phẩm chất của tư duy là: Tính
định hướng; Bề rộng; Độ sâu; Tính linh hoạt; Tính mềm dẻo; Tính độc lập; Tính khái quát.
2.3.2. Biện pháp 2: Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực giải quyết
vấn đề cho học sinh khá và giỏi toán trong dạy học nội dung vectơ và tọa độ.
2.3.2.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Biện pháp đưa ra dựa trên cơ sở phép BCDV về quá
trình nhận thức của con người: từ trực quan sinh động
→
tư duy trừu tượng
→
thực tiễn.
2.3.2.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Giúp học sinh phát triển các khả năng: Phát hiện
và trình bày vấn đề, khả năng tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, khả năng tổ chức quá
trình giải quyết vấn đề, khả năng kiểm tra đánh giá kết quả.
2.3.1.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp
* Tổ chức hoạt động cho học sinh theo các bước sau: Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn
đề; Bước 2: Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết; Bước 3: Giải quyết vấn đề;
Bước 4: Rút ra kết luận: Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả và cả cách thức tìm kiếm lời
giải. Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội; Bước 5: Vận dụng kiến thức mới để giải quyết
những nhiệm vụ đặt ra tiếp theo. Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả. Đề xuất
những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, và giải
quyết nếu có thể.
a) Phát triển năng lực giải quyết vấn đề bằng việc khai thác, vận dụng “Qui luật chuyển
hóa từ những sự thay đổi về lượng thành những sự thay đổi về chất và ngược lại” giúp

học sinh thấy được cách thức, hình thức và cơ chế của sự phát triển toán học trong một
số chủ đề hình học
Chủ đề 1: Bài toán liên quan đến điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
Chủ đề 2: Khi xây dựng bằng vectơ-tọa độ được các công
thức lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác, có một hệ
thống các bất đẳng thức trong tam giác liên quan.
Chủ đề 3: Sự thay đổi “ lượng-chất” của bài toán lũy thừa Hình 2.37a
trong đẳng thức hình học
* Tổ chức hoạt động cho học sinh giải bài toán sau:
Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề:
Bài toán 2.17: Xét hệ thức Sáclơ trên đường thẳng: Cho 3 điểm A, B,
C. Đặt BC=a, CA=b, AB=c thì: Ba điểm A, B, C thẳng hàng và B ở
giữa A và C khi nào? b=a+c, hay: b
1
=a
1
+c
1
(hình 2.37a).
Bước 2: Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết:
+ Cho "lượng" n=1 thay đổi, thì "chất" của bài toán là gì? Hình 2.37b
Khi n=2, ta có: b
2
=a
2
+c
2
; Khi n=3, ta có: b
3
=a

3
+b
3
; Khi n > 3, ta có: b
n
=a
n
+c
n
.
Mỗi trường hợp trên, về “chất” biểu thức đã thay đổi, còn về mặt hình học ta có điều gì?
Bước 3: Giải quyết vấn đề: Khi n=2, ta có: b
2
=a
2
+c
2
⇒ ∆ABC vuông tại B (hình 2.37b).
Như vậy, với “lượng” n=1, n=2 ta có những kết quả cụ thể, khi n > 3, ta được một
kết quả khái quát là ∆ABC có ba góc đều nhọn.
16
Bước 4: Rút ra kết luận: Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả và cả cách thức tìm kiếm lời
giải. Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội.
Bước 5: Vận dụng kiến thức mới để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra tiếp theo.
Chủ đề 4: Bài toán liên quan đến tâm sai của cônic, tiếp tuyến của đường tròn
* Tổ chức hoạt động cho học sinh giải các bài toán sau:
Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề:
Bài toán 2.18: Cho cônic (C), điểm M(-1;2m) thuộc (C), tiêu điểm F(m;2m), m≠0,
đường chuẩn ∆: x-5= 0. Biện luận hình dạng của (C) ?
Bước 2: Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết: Tính tâm sai e =

m 1
6
+
Bước 3: Giải quyết vấn đề: Nếu e < 1 ⇔
7 m 5− < <
thì (C) là elip. Nếu e=1 ⇔
m 7
m 5
= −
=



thì (C) là parabol. Nếu e > 1 ⇔
m 7
m 5
< −
>



thì (C) là hypebol.
Ta thấy, "lượng" là tâm sai e so sánh với số 1, dẫn đến "chất" nhận được tương
ứng là ba đường cônic.
Bước 4: Rút ra kết luận: Kiểm tra, đánh giá lời giải, kết quả và cả cách thức tìm kiếm lời
giải. Thể chế hóa kiến thức cần lĩnh hội.
Bước 5: Vận dụng kiến thức mới để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra tiếp theo.
2.3.1.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Việc sử dụng biện pháp nêu trên thực ra không
đòi hỏi nhiều thời gian. giáo viên chỉ cần nhìn nhận vấn đề bằng phép lí luận của BCDV,
trang bị trong những tình huống điển hình cho học sinh trong quá trình giảng dạy.

2.3.3. Biện pháp 3: Vận dụng phép biện chứng duy vật phát triển năng lực mô hình
hóa toán học, kết hợp với năng lực sử dụng các công cụ và phương triện dạy học
2.3.3.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Theo nhà toán học người Nga Kôlmôgôrôp, sự
phát triển toán học gồm bốn giai đoạn: Giai đoạn toán học cổ đại; Giai đoạn toán học
sơ cấp; Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển; Giai đoạn toán học hiện đại. Trên quan
điểm triết học DVBC, qua lịch sử phát triển của toán học thì toán học phát sinh từ thực
tiễn, sự nảy sinh, phát triển các tri thức toán học là do xuất hiện nhu cầu thực tiễn, thực
tiễn là động lực thúc đẩy toán học phát triển.
2.3.3.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Khi dạy học toán học ứng dụng vào các môn
khoa học khác, có hai phạm vi: Vận dụng lí thuyết để giải toán thuần túy và giải các bài
toán thực tế bằng mô hình hóa toán học.
2.3.3.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp: Trong chương trình trung học phổ
thông, toán học ứng dụng khá đa dạng, được thể hiện ở nhiều môn học khác nhau như
Vật lý, Hóa học, Tin học, Địa lý Để phát huy và làm rõ được ứng dụng của mô hình hóa
toán học, ứng dụng vào thực tiễn, giáo viên có thể xây dựng các chủ đề dạy học tích hợp
hoặc liên môn.
Chủ đề 1: Mô hình hóa bài toán kinh tế bằng PP tọa độ kết hợp với hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn
Bài toán 2.20: Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140 kg chất
A và 9 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20
kg chất A và 0,6 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết
17
7
10
15
6
9
14
y
x

5
4
5/2
2
O
A
B
C
D
x5
y5
x1
y1
x2
y2
x4
y4
y3
x3
y
x
O
E
A
B
C
D
G
H
I

K
J
xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi
loại để chi phí mua nguyên liệu ít nhất, biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể
cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không
quá 9 tấn nguyên liệu loại II ?
* Tổ chức hoạt động cho học sinh theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích đầu bài và đưa phương án mô hình
hóa toán học: Ta cần tìm x, y thỏa mãn:
0 x 10
0 y 9
2x+y 14
2x+5y 30
≤ ≤


≤ ≤


≥


≥

sao cho T(x;y)= 4x+3y nhỏ nhất.
Bước 2: Giải quyết bài toán theo phương thức đã chọn:
+ Xác định miền nghiệm của hệ trên: Đó là đa giác
ABCD như hình vẽ 2.38.
+ Biểu thức T(x;y) đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của
tứ giác ABCD. Hình 2.38

+ Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào T(x;y) được kết quả: T(5;4)=32 là giá trị nhỏ nhất.
Bước 3: Kiểm tra và đánh giá kết quả.
Kết luận: Để chi phí nguyên liệu ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên
liệu loại II. Khi đó tổng chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng.
Bước 4: Khái quát loại toán và ứng dụng của nó.
Chủ đề 2: Tính diện tích một đa giác lồi bằng phương pháp tọa
độ
Bài toán 2.21: Một thửa ruộng có hình một đa giác lồi ABCDE.
Hãy đưa một phương án tính diện tích thửa ruộng đó khi biết tọa
độ các đỉnh.
* Tổ chức cho học sinh hoạt động xây dựng công thức sau đó
kiểm nghiệm lại sự đúng đắn của kết quả bằng cách khác hoặc
trong thực tế.
HĐ1: Xây dựng hệ trục tọa độ (hình 2.39).
HĐ2: Tìm một phương án tính diện tích S. Hình 2.39
HĐ3: Gợi mở PP tọa độ: S=S
DEGK
+S
CDKJ
+S
BCJI
-(S
AEGH
+S
ABIH
) =
=
1
2
(y

4
+y
5
)(x
4
-x
5
)+
1
2
(y
3
+y
4
)(x
3
-x
4
)+
1
2
(y
2
+y
3
)(x
2
-x
3
)-

1
2
(y
1
-y
5
)(x
1
-x
5
)-
1
2
(y
2
+y
1
)(x
2
-x
1
)
HĐ4: Kiểm chứng kết quả theo một cách khác để thấy sự đúng đắn trong lập luận.
- Nếu các điểm có tung độ âm ta có thể tịnh tiến trục hoành xuống phía dưới để các điểm
có tung độ không âm.
- Có thể tổng quát bài toán cho đa giác n đỉnh.
- Khi không biết thứ tự sắp xếp các hình chiếu của các đỉnh trên Ox, thì chiều cao
các hình thang là |x
i
-x

j
|.
Chủ đề 3: Ứng dụng của vectơ và tọa độ trong môn Vật lý lớp 10
+Ứng dụng vectơ và tọa độ trên trục để xác định vị trí chất điểm
18
Bước 1: Đặt vấn đề: Trong khoảng thời gian ∆t=t
2
-t
1
, chất điểm đã dời vị trí từ M
1
đến
M
2
. Khi đó vetơ
2
1
M M
uuuuur
gọi là vectơ độ dời của chất điểm trong khoảng thời gian đó. Nếu
M
1
=(x
1
), M
2
=(x
2
), vectơ độ dời là: ∆
x

=x
2
-x
1
.
Bước 2: Ứng dụng
Ví dụ 2.39: Hai người đi bộ cùng chiều trên một đường thẳng. Người thứ nhất đi với vận
tốc không đổi v
1
=0,9m/s, người thứ hai đi với vận tốc không đổi v
2
=1,9m/s. Biết hai
người cùng xuất phát từ một vị trí.
a) Nếu người thứ hai đi không nghỉ thì sau bao lâu đến địa điểm cách đó 780m.
b) Nếu người thứ hai đi một đoạn rồi dừng lại, sau 5,5 phút thì người thứ nhất đến. Hỏi
vị trí đó cách nơi xuất phát bao xa?
Giải: Chọn chiều dương cùng chiều chuyển động của 2 người. Gốc tọa độ O là vị trí hai
người xuất phát, gốc thời gian là lúc hai người bắt đầu xuất phát.
a) Nếu người thứ hai đi không nghỉ thì địa điểm cách nơi xuất phát là A=(780) ⇔
S
2
=780m sau một thời gian là: t=
780
410,5(s)
1,9
≈
.
b) Gọi t là thời gian người thứ hai đi thì vị trí đó cách nơi xuất phát một đoạn đường
s=1,9t. Đối với người thứ nhất, ta có: S=0,9t+0,9.(5,5.60) ⇒ t=297 (s); S=546,3 (m).
+ Ứng dụng vectơ phân tích và tổng hợp lực.

Bài toán 2.22: Hợp lực của hai lực đồng quy.
Bước 1: Biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành. Mở rộng ta được qui tắc đa
giác:
1 2 3 4
F F F F F
= + + +
r r r r r
.
Bước 2: Áp dụng
Ví dụ 2.41: Cho ba lực đồng qui cùng nằm trong một mặt phẳng, có độ lớn bằng nhau và
đôi một tạo với nhau góc 120
0
. Tìm hợp lực của chúng ?
Giải: Ta có:
1 2 3
F F F+ = −
r r r
⇒ Hợp lực là:
F
r
=
1 2 3
F F F 0
+ + =
r r r r
+ Ứng dụng vectơ và tọa độ trong trong động học chất điểm
Chủ đề 4: Ứng dụng vào khoa học trắc địa, đo đạc và địa lí, thiên văn
Đo chiều cao; Đo khoảng cách; Ứng dụng giải tam giác vào các kết quả khác
2.3.3.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Trong quá trình giảng dạy, để biện pháp này
đạt hiệu quả thì: Giáo viên nên tìm thêm các ví dụ điển hình khác ngoài SGK; Giáo viên

xây dựng các chủ đề dạy học tích hợp và liên môn giữa toán học với các môn khoa học
khác và với thực tế gần gũi xung quanh chúng ta; Bố trí thời gian để học sinh hoạt động
ngoại khóa ứng dụng toán học vào thực tiễn, tăng cường khả năng thực hành của học sinh.
2.3.4. Biện pháp 4: Vận dụng một số cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật phát
triển năng lực giao tiếp toán học của học sinh thông qua cách đặt vấn đề, sử dụng ngôn
ngữ toán học, trình bày và chứng minh các mệnh đề toán học
2.3.4.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Trong quá trình giảng dạy, việc thể hiện được
các cặp phạm trù đối lập, tùy theo từng dạng toán sẽ làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn,
toàn diện hơn vấn đề đang học, sẽ phát triển được năng lực nói chung, năng lực giao tiếp
toán học nói riêng cho học sinh thông qua việc họ được phát biểu vấn đề, giải quyết vấn
đề bằng ngôn ngữ, trình bày, đồ thị, bảng biểu, hình vẽ
2.3.4.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Biện pháp đưa ra với các mục đích sau:
Thứ nhất, biện pháp này sẽ là cơ sở để phát triển năng lực giao tiếp, lập luận,
chứng minh sự đúng đắn của vấn đề toán học, góp phần để đổi mới phương pháp dạy học
19
(C')
(C)
A
M
B
(C')
(C)
A
M
B
B
M
A
A
M

B
theo hướng tiếp cận năng lực của người học; Thứ hai, biện pháp còn còn có mục đích
phát triển năng lực tự học, tự nghiên cứu để hình thành năng lực nhìn nhận vấn đề toàn
diện của học sinh.
2.3.4.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp: Sử dụng bốn cặp phạm trù
Chủ đề 1: Phát triển năng lực tiếp cận vấn đề Toán học thông qua cặp phạm trù “bản
chất và hiện tượng”: Tổ chức hoạt động cho học sinh: Nhìn nhận những hiện tượng biểu
hiện khác nhau để tìm bản chất của bài toán:
Bài toán 2.23: Cho hai điểm B, C cố định trên (O;R). Tìm tập hợp trực tâm H của ∆ABC
khi A thay đổi trên (O). Xem xét, thể hiện ngôn ngữ bài toán theo các hiện tượng: Ngôn
ngữ của hình học tổng hợp; Ngôn ngữ phép tịnh tiến; Ngôn ngữ phép đối xứng trục;
Ngôn ngữ bằng phép đối xứng tâm.
Chủ đề 2: Vận dụng cặp phạm trù “Nội dung và Hình thức” phát triển năng lực thể hiện
ngôn ngữ toán học trong một số vấn đề cụ thể của hình học: Tổ chức hoạt động cho học
sinh phát biểu ngôn ngữ toán học theo cặp phạm trù “nội dung và hình thức” bài toán sau:
Bài toán 2.27: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M không trùng A, B. Vẽ các đường tròn
(C) tâm A, bán kính AM và (C') tâm B bán kính BM. Xác định vị trí tương đối của hai
đường tròn đó.
* Tổ chức cho học sinh hoạt động thể hiện ngôn ngữ qua việc phân tích theo hai hình
thức của một nội dung của bài toán.
Hình thức 1: Ngôn ngữ hình học tổng hợp: Thể hiện trong Sơ đồ 2.3.
M ngoài đường
thẳng AB
M nằm giữa A và B M nằm trên tia đối
của tia AB
M nằm trên tia đối
của tia BA
|MA-MB|<AB<MA+MB
⇒ (C) cắt (C').
AB=AM+MB.

⇒ (C) và (C') tiếp xúc
ngoài.
AB=BM-AM.
⇒ (C) và (C') tiếp
xúc trong.
AB=AM-BM.
⇒ (C) và (C') tiếp
xúc trong.
Sơ đồ 2.3
Hình thức 2: Ngôn ngữ tọa độ: Xây dựng hệ trục tọa độ: Giả sử: A(-a;0), B(a;0). Nếu M(x
0
;y
0
),
thì ta có phương trình: (C
1
): (x+a)
2
+y
2
=(x
0
+a)
2
+
2
0
y
; (C
2

): (x-a)
2
+y
2
=(x
0
-a)
2
+
2
0
y
.
Hệ giao điểm có hai nghiệm: (x
0
;y
0
) và (x
0
;-y
0
). Kết luận:
Nếu y
0
≠-y
0
⇔ y
0
≠0 thì (C) cắt (C') tại hai điểm phân biệt.
Nếu y

0
=-y
0
⇔ y
0
=0 thì (C) và (C') có chung một điểm: (C) tiếp xúc (C').
Nếu y
0
< -a (M nằm trên tia đối của tia AB): (C) và (C') tiếp xúc trong.
Nếu y
0
> - a (M nằm trên tia đối của tia BA): (C) và (C') tiếp xúc trong.
Nếu -a < y
0
< a (M nằm giữa A và B): (C) và (C') tiếp xúc ngoài.
Chủ đề 3: Vận dụng cặp phạm trù “Cái chung - Cái riêng” phát triển năng lực ngôn
ngữ toán học qua việc nhận biết các thuộc tính tương tự trong sự phát triển các vấn
đề hình học: Tổ chức hoạt động cho học sinh thực hiện chủ đề qua các bài toán sau:
20
Bài toán 2.29: Cho ∆ABC, điểm O trên BC. Một đường thẳng d cắt AB, AC, AO lần
lượt tại B', C', O. Cho OB=OC. Chứng minh:
AB AC AO
2
AB' AC' AO'
+ =
.
- Cho điểm O thay đổi trên BC, thể hiện các biểu thức nhận được qua ngôn ngữ hình học
tổng hợp: Xét OB=2OC; 2OB=3OC; OB=kOC; O bất kì trên đoạn BC?
- Nhận định về cái chung, cái riêng trong bài toán trên? Từ đó học sinh nhận được một hệ
thống bài toán tổng quát trong hình học.

Chủ đề 4: Vận dụng cặp phạm trù “Nguyên nhân và Kết quả” giúp học sinh phát triển
năng lực ngôn ngữ toán học qua việc phát biểu và chứng minh các mệnh đề hình học:
Tổ chức hoạt động: Tìm tập hợp điểm (kết quả) từ một giả thiết (nguyên nhân).
Phát biểu dạng mệnh đề tương ứng với kết quả nhận được. Thể hiện bằng ngôn ngữ tập
hợp và hình vẽ bài toán sau:
Bài toán 2.30: Cho ∆ABC, tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:
a)
MA 2MB 3MC 0
+ + =
uuur uuur uuur r
; b)
MA 2MB 3MC 0
+ − =
uuur uuur uuur r
.
c)
3MA 2MB MC MB MA
− + = −
uuur uuur uuur uuur uuur
; d)
2 MA MB MC 3 MB MC
+ + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
.
Tóm tắt kết quả trên trong sơ đồ 2.5.
Ngôn ngữ vectơ Ngôn ngữ tập hợp Ngôn ngữ bằng hình vẽ
Nguyên nhân
(Biểu thức của điểm M)
Kết quả
(Tập hợp M)

a)
MA 2MB 3MC 0
+ + =
uuur uuur uuur r

M là 1 điểm:

4MI AC=
uuur uuur
B
C
A
M
I
b)
MA 2MB 3MC 0
+ − =
uuur uuur uuur r
M∈∅
c)
3MA 2MB MC MB MA
− + = −
uuur uuur uuur uuur uuur

M∈
1
I; AB
2
 
 ÷

 
B
C
A
N
I
M
d)
2 MA MB MC 3 MB MC
+ + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
M∈d là trung trực
đoạn IG
d
B
C
A
I
G
Sơ đồ 2.5
2.3.4.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Với ý nghĩa của các cặp phạm trù của triết học
DVBC vận dụng trong quá trình giảng dạy hình học, cần lưu ý: Chỉ nên minh họa các
chủ đề trên qua các phần lí thuyết, ví dụ hay bài tập điển hình, không nên quá lạm dụng,
gò ép khi giảng dạy. Điều đó sẽ dẫn đến những minh họa không phù hợp, làm cho học
sinh không nhận thức đúng về các cặp phạm trù.
2.3.5. Biện pháp 5: Trang bị phép biện chứng duy vật để học sinh phát triển năng lực
tự học, năng lực học tập độc lập và hợp tác hiệu quả trong quá trình học tập toán
2.3.5.1. Cơ sở khoa học của biện pháp: Tự học là một chu trình ba giai đoạn: Giai đoạn
1- Tự nghiên cứu; Giai đoạn 2 -Tự thể hiện; Giai đoạn 3 - Tự kiểm tra, tự điều chỉnh. Chu
trình tự nghiên cứu - tự thể hiện - tự kiểm tra, tự điều chỉnh thực chất cũng là con đường

phát hiện vấn đề, định hướng cách giải quyết và tiến hành giải quyết vấn đề học tập.
21
2.3.5.2. Mục đích sử dụng biện pháp: Nếu hướng dẫn học sinh có cách tự học tốt, trang
bị cho họ lí luận của phép BCDV sẽ là một yếu tố tích cực để phát triển được năng lực tự
học, đạt được mục đích "học một biết mười".
2.3.5.3. Nội dung và tổ chức thực hiện biện pháp: Thực hiện chu trình tự nghiên cứu-tự
thể hiện- tự kiểm tra, tự điều chỉnh theo các bước: Bước 1: Giao bài tập chuyên đề cho các
nhóm; Bước 2: Học sinh tự nghiên cứu, tham khảo để giải quyết vấn đề; Bước 3: Học
sinh thể hiện bằng cách viết các lời giải đã làm. Trình bày trước lớp, các nhóm khác cùng
giáo viên nhận xét, bổ sung; Bước 4: Học sinh tự kiểm tra, điều chỉnh lại chuyên đề và
hoàn thành chuyên đề.
Sau đây là một chuyên đề học sinh đã làm: (Một số chuyên đề khác ở phần phụ lục)
Bước 1: Giao chuyên đề: Tìm một số lời giải cho các bài toán sau: Cho ∆ABC vuông
cân tại A. Biết điểm A(2;4), trọng tâm G(-1;1). Hãy xác định điểm B và C.
Bước 2: Học sinh tự nghiên cứu, tham khảo để giải quyết vấn đề: Làm theo nhóm.
Bước 3: Học sinh thể hiện bằng cách viết các lời giải đã làm. Trình bày trước lớp, các
nhóm khác cùng giáo viên nhận xét, bổ sung: Theo trình tự lôgic ta sẽ định dạng tam
giác vuông cân như sau: 1. Tính chất tam giác thường; 2. Tính chất tam giác cân; 3.
Tính chất tam giác vuông; 4. Tính chất tam giác vuông cân.
Bước 4: Học sinh tự kiểm tra, điều chỉnh lại chuyên đề và hoàn thành chuyên đề: Mỗi
cách phân tích tính chất các hình như trên đều cho một cách giải. Để đạt kết quả tốt trong
tự học, học sinh cần rèn luyện để hình thành và nắm vững những kỹ năng nhất định. Căn
cứ vào chức năng của từng loại hoạt động có thể chia kỹ năng tự học làm bốn nhóm:
Nhóm thứ nhất: Kế hoạch hóa việc tự học; Nhóm thứ hai: Nghe và ghi bài trên lớp;
Nhóm thứ ba: Ôn tập; Nhóm thứ tư: Đọc sách.
2.3.5.4. Chú ý khi thực hiện biện pháp: Qua quá trình thực nghiệm, chúng tôi thấy việc
giao nhóm BT làm thành chuyên đề là khá hiệu quả và học sinh tham gia rất tích cực.
2.4. Kết luận chương 2: Nội dung cơ bản của chương 2 là xây dựng hệ thống gồm 5
biện pháp sư phạm, trên cơ sở vận dụng lí luận của phép BCDV, nhằm phát triển năng
lực toán học cho học sinh. Trong các biện pháp trên, mỗi biện pháp đều có những ưu việt

riêng, điều này đã được phân tích về mục đích và các chú ý khi thực hiện biện pháp trong
chương 2. Các biện pháp trình bày trong luận án đã thể hiện cách thức áp dụng phép
BCDV để phát triển năng lực toán học cho học sinh trong quá trình giảng dạy. Với thời
lượng cho phép trong chương trình trung học phổ thông, giáo viên có thể hoàn thành
mục tiêu và nội dung các biện pháp đề ra trong quá trình giảng dạy, đặc biệt trong việc
hướng dẫn học sinh phương pháp tự học, làm các chuyên đề theo từng chủ đề được học.
Trong thực tế, chúng tôi đã thực nghiệm và học sinh đã làm được điều đó.
Việc thực hiện các biện pháp sư phạm đã nêu, với kế hoạch tổ chức thực nghiệm
dự kiến trong chương 3, chúng tôi tin tưởng tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp
đó trong điều kiện giảng dạy hiện nay ở các trường trung học phổ thông.
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm: Kiểm nghiệm giả thiết khoa học luận án đã đề ra; Bước đầu
đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả các biện pháp sư phạm đề xuất
3.2. Nội dung thực nghiệm: Chúng tôi đã tiến hành các công việc sau:
- Dạy thực nghiệm 5 biện pháp luận án đưa ra.
- Điều tra bước đầu về nhận thức, khả năng tiếp thu của học sinh đối với kiến thức
liên quan; đánh giá hiệu quả của giảng dạy và học tập qua việc đối chiếu kết quả giữa các
lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
3.3. Tổ chức thực nghiệm
22