Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------

Dương Minh Thành

VỀ MỘT LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ
VÀ PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ
ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC
MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2006


2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dưới
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê Anh Vũ. Những kết quả trong luận văn này mà
không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được.
Tác giả

3

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ...................................................................................................... 1
Lời cam đoan ....................................................................................................... 2
Mục lục ................................................................................................................ 3
Danh mục các ký hiệu ......................................................................................... 5
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 6
Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ
1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie..................................................... 13
1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .................................................... 14
1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie...................................................... 19
1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số .............. 22
Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO
HOÁN 3 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC KQUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN
LIÊN TƯƠNG ỨNG
2.1.

Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................... 26

2.2.

Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều................ 29

2.3.

Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn
liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét .............................................. 37

Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO
CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT
3.1.

Phân lá – Phân lá đo được........................................................................ 48

3.2.

Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét............................. 53


4

KẾT LUẬN ....................................................................................................... 57
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ................................................. 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 60
PHỤ LỤC .......................................................................................................... 63


5

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V
AutG : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G
B: tập hoành Borel
C : trường số phức
C ∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V

End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V
exp : ánh xạ mũ exp

G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G
GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực

J ( F ) : ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F
Lie(G) : đại số Lie của nhóm Lie G
Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực
R : trường số thực

TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e
V / F : không gian lá của phân lá

Ω F : quỹ đạo Kirillov qua F
∧ : độ đo hoành (đối với phân lá)


6

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biểu diễn là một trong những lĩnh vực quan trọng, đóng vai trò cốt
yếu trong nhiều hướng nghiên cứu của toán học và vật lý học hiện đại: giải tích
điều hòa trừu tượng, lý thuyết số, nhóm đại số, cơ học lượng tử, vật lý hạt cơ
bản, lý thuyết trường lượng tử, hình học đại số, nhóm lượng tử, … Một cách tự
nhiên, bài toán quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn chính là bài toán phân
loại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu unita. Tức là cho trước một
nhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một
đẳng cấu).
Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số
Lie. Nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie cho ta những
thông tin về chính nhóm đó và của các đại số nhóm tương ứng. Để giải quyết bài

toán này, A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo và
nhanh chóng trở thành một công cụ đắc lực của lý thuyết biểu diễn. Phương pháp
này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm
Lie liên thông, đơn liên, giải được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó. Trong
khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được
nhiều nhà toán học trên thế giới như L.Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp, …
nghiên cứu, cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov chính là các Kquỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó, việc mô
tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được,
có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.


7

Nhờ phương pháp quỹ đạo của Kirillov, năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem
[Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được đơn
giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo (tức là quỹ đạo Kirillov). Đó là
lớp các MD-nhóm và MD-đại số. Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ
đạo của nó hoặc là 0-chiều hoặc là có chiều cực đại được gọi là MD-nhóm. Khi
số chiều cực đại bằng số chiều của nhóm thì nhóm đó được gọi là MD -nhóm.
Đại số Lie của một MD-nhóm (tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số
(tương ứng, MD -đại số).
Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp
các MD -đại số. Lớp này chỉ bao gồm các đại số Lie giao hoán n-chiều
đại số Lie 2-chiều aff

n

( n ≥ 1 ),

và đại số Lie 4-chiều aff .

Việc phân loại các MD-đại số đến nay vẫn là một bài toán mở. Để đơn giản,
ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều. Khi đó ta có thể kí
hiệu MDn-nhóm và MDn-đại số là các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều là n.
Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê, nhưng chưa phân loại, toàn
bộ lớp các MD4-đại số. Phải đến năm 1990, trong các bài báo và luận án tiến sĩ
của mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) đã phân loại triệt để (chính
xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số này. Chú ý rằng, trong các công
trình đó, Lê Anh Vũ còn chứng minh được rằng họ các K-quỹ đạo chiều cực đại
của tất cả các MD4-nhóm liên thông bất khả phân đều tạo thành phân lá đo được
theo nghĩa của Connes. Và tác giả gọi các phân lá này là MD4-phân lá. Thêm
vào đó, Lê Anh Vũ còn phân loại tôpô triệt để, cho thêm một phép mô tả chúng
bởi tác động của nhóm Lie giao hoán R2, đồng thời đặc trưng các C*- đại số
tương ứng với các MD4-phân lá đó bằng phương pháp KK-song hàm tử. Với


8

những kết quả sâu sắc như vậy, ta có thể coi lớp các MDn-nhóm và MDn-đại số
đã được giải quyết triệt để trong trường hợp n ≤ 4 . Do đó ta chỉ xét bài toán này
trong trường hợp n ≥ 5 . Cụ thể là hiện nay với n = 5 thì bài toán vẫn chưa được
giải quyết trọn vẹn.
Về phương diện hình học, không gian các K-quỹ đạo của mỗi MD-nhóm
khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi MD-nhóm chỉ gồm 2 tầng các K-quỹ đạo: tầng
các quỹ đạo 0-chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng các quỹ
đạo chiều cực đại của một MD-nhóm liên thông thì ta thu được các quỹ đạo là
các đa tạp liên thông đôi một rời nhau cùng số chiều, điều này cho ta một liên
tưởng đến một phân lá.
Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của hệ khả tích các

phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, phải đến khi các công trình của Reeb
(xem [Re]) ra đời năm 1952 thì các phân lá mới thực sự trở thành đối tượng
nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành một ngành
mạnh của hình học vi phân, đó là lý thuyết tôpô phân lá.
Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa ra khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích
hợp với việc nghiên cứu các phân lá, nhất là các phân lá định hướng được. Khi
trang bị một độ đo hoành, phân lá được gọi là phân lá đo được.
Trong những năm gần đây, Lê Anh Vũ tiếp tục nghiên cứu bài toán với n=5.
Mặc dù phương pháp và công cụ nghiên cứu cho trường hợp MD5 về cơ bản vẫn
như trường hợp MD4 nhưng vì số chiều tăng lên 1 đơn vị nên mọi tính toán đều
trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Do đó, trong một khoảng thời gian khá dài từ
năm 1990 đến năm 2003, không một MD5-đại số bất khả phân nào được biết
đến.


9

Thật ra có rất nhiều các MD5-nhóm và MD5-đại số khả phân, nhưng việc
xét chúng được quy về xét các MDn-nhóm và MDn-đại số với n ≤ 4 . Điều này
được khẳng định và minh họa trong [Vu7]. Do đó ta chỉ xét các MD5-đại số bất
khả phân. Nếu không sợ lầm lẫn thì ta dùng thuật ngữ MD-đại số thay cho MDđại số bất khả phân.
Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn
xuất giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Trong
các năm 2003 và 2004, Lê Anh Vũ cùng học trò của mình là Nguyễn Công Trí
(xem [Vu8] và [Vu-Tri]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp con các MD5-đại số
có ideal dẫn xuất giao hoán không quá 2 chiều. Đồng thời các tác giả cũng chứng
minh được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông
tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của
Connes và gọi đó là các MD5-phân lá, tôpô của các MD5-phân lá này cũng đã
được mô tả chi tiết. Những kết quả này ngay lập tức đã được mời báo cáo tại các

hội nghị quốc tế về toán học như Hội nghị quốc tế về Đại số - Tôpô - Hình học ở
Bangkok, Thái Lan tháng 12/2003, Hội nghị Toán học quốc tế ở Trùng Khánh,
Trung Quốc tháng 10/2004, Hội nghị Toán học toàn Châu Á lần thứ 4 ở
Singapore tháng 7/2005.
Cuối năm 2005, Lê Anh Vũ (xem [Vu9] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân
loại lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều.
Lớp này bao gồm 2 đại số Lie và 6 họ vô hạn các đại số Lie không đẳng cấu với
nhau. Dựa trên kết quả này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và đạt được những kết
quả sau đây:


10

1) Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên
thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã liệt kê.
2) Chứng minh họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm đó tạo
thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes.
Các kết quả thu được là nội dung chính của bản luận văn. Bởi thế, luận văn
này được mang tên “Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các
K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông tương ứng”

Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết
luận và phần phụ lục. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về nhóm Lie, đại số Lie, K-biểu
diễn của nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số. Phần này
chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán
đang xét.
Chương 2 và Chương 3: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy
đủ những chứng minh chặt chẽ. Bao gồm việc mô tả chi tiết bức

tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-đại số có ideal
dẫn xuất giao hoán 3 chiều đã được Lê Anh Vũ liệt kê, đồng thời
chứng minh họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm
liên thông đơn liên tương ứng lập thành phân lá đo được theo
nghĩa của Connes.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục
nghiên cứu.


11

Phần phụ lục: Trích dẫn bài báo “On a Subclass of 5-dimensional
Solvable

Lie

Algebras

Which

Have

3-dimensional

Commutative Derived Ideal” của Lê Anh Vũ đăng trên tạp chí
East – West Journal of Mathematics, Vol. 7 (1), pp. 13 – 22,
Bangkok, Thailand liên quan trực tiếp đến kết quả của luận văn

và bài báo “The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”

của tác giả chung với Lê Anh Vũ đăng trên tạp chí Contributions
in

Mathematics

and

Applications

(Proceedings

of

the

International Conference in Mathematics and Applications,
December 2005, Bangkok, Thailand), pp. 1-16, bài báo thứ 2

chính là các kết quả được trình bày trong luận văn này. Cả hai
bài báo đều được đăng vào năm 2006.
Các nghiên cứu đạt được dựa trên các tính toán thuần túy đại số và giải tích
với sự trợ giúp của máy tính. Nhiều kết quả nêu ra nhưng không chứng minh vì
phương pháp chứng minh đã được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Nội dung
chính của luận văn này cũng đã được mời báo cáo tại Hội nghị Đại số - Hình học
- Tôpô, Tp.HCM tháng 11/2005 và Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng
tại Bangkok, Thái Lan tháng 12/2005.
Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông
dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để
trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem
[So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi].

12

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Lê Anh
Vũ, người thầy vô cùng tận tâm và nghiêm khắc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới người thầy kính yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với lý
thuyết biểu diễn nhóm Lie, lý thuyết tôpô phân lá để tiến tới nắm vững các lý
thuyết đó và tự giải quyết bài toán của mình. Xin gửi lời cảm ơn đến Tiến sĩ
Nguyễn Văn Sanh, Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan đã có những lời động
viên và góp ý quý báu cho tác giả. Xin chân thành cám ơn các thầy trong Tổ
Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp
đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả
trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức
Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài
chính Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều
kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.


13

Chương 1. LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ
Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên
cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MDnhóm và lớp các MD-đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các
khái niệm và những tính chất cơ bản nhất về nhóm Lie và đại số Lie (thực).
Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả nào
quan tâm đến các chứng mình hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem
các tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch].
1.1.

Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie

1.1.1. Định nghĩa

Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i)

G là một nhóm.

(ii)

G là đa tạp thực khả vi.

(iii)

Phép toán nhóm G x G → G , (x,y)

xy −1 khả vi.

Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý
Gleason-Montgomery-Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp C 0 (tức là đa tạp tôpô) có
thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C ∞ tương thích với cấu trúc nhóm.
Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán.
Chiều của nhóm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G.

Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể đưa
nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân, ... để nghiên cứu cấu
trúc của nhóm Lie.
1.1.2. Các ví dụ

14

a. Đường thẳng thực

với phép toán (+) thông thường là một đại số Lie

giao hoán.
b. Đường tròn đơn vị S 1 với phép toán (.) (có thể xem S 1 là tập hợp các số

phức có mođun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán.
c. Tập hợp GL(n, ) các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép toán

nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi n ≥ 2 ). Đặc biệt,
khi n = 1 thì GL(1, ) = * .
d. Nếu G1 , G2 là các nhóm Lie thì tích G1 × G2 cũng là một nhóm Lie. Tương tự

cho tích của nhiều nhóm Lie. Những trường hợp đặc biệt thường gặp là
× × ... ×

, xuyến n-chiều

e. Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực

với tôpô tự nhiên

các nhóm Lie với phép cộng

n

=

T n = S 1 × S 1 × ... × S 1 .

chính là một nhóm Lie. Nhóm này được ký hiệu là aff . Cụ thể nhóm
aff = {(a, b) / a ∈ *, b ∈

1.2.

}.

Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie

1.2.1. Định nghĩa

Giả sử K là một trường đặc số khác 2. Một đại số Lie G trên trường K hay
K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một phép

toán, kí hiệu là [. , .] (được gọi là móc Lie hay hoán tử) có tính chất song tuyến
tính, phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi:
[[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 , ∀x,y,z ∈ G
Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.


15

Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của
G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp

vectơ thuộc cơ sở {e1 , e2 ,..., en } đã chọn trước trên

G như sau:

n

⎡⎣ ei , e j ⎤⎦ = ∑ cijk , 1 ≤ ik =1

Các hệ số cijk , 1 ≤ iKhi trường K là trường số thực

thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội

dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không
sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực.
1.2.2. Các ví dụ

a. Không gian

n

với móc Lie [ x, y ] ≡ 0 (tầm thường) hiển nhiên là một đại

số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie giao
hoán.
b. Không gian

3

với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3-

chiều.
c. Cho A là một đại số kết hợp trên trường K. Với mọi cặp ( x, y ) ∈ A , ta
định nghĩa [ x, y ] = xy − yx , khi đó A trở thành một đại số Lie. Nói riêng ta
có đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie
với móc Lie [ A, B ] = AB − BA ;∀A, B ∈ Mat (n, K )
d. Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian vectơ
V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như
sau: [ A, B ] = A B − B A


16

e. Cho A là một đại số (không nhất thiết kết hợp) trên trường K. Toán tử
tuyến tính D : A → A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu:
D ( x, y ) = D ( x) y − xD ( y )

Kí hiệu Der (A ) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A . Khi đó
Der (A ) trở thành 1 đại số kết hợp trên K. Der (A ) sẽ trở thành một đại số

Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là: [D 1 , D 2 ] = D 1 D 2 − D 2 D 1
1.2.3. Đồng cấu đại số Lie

Cho G1 và G2 là hai K-đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ K-tuyến
tính ϕ : G1 ⎯⎯
→ G2 sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là :

ϕ ([ x, y ]) = [ϕ ( x),ϕ ( y )]

(∀x, y ∈ G1 )

Nếu ϕ là đẳng cấu tuyến tính thì ϕ được gọi là đẳng cấu đại số Lie.
Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính
là các đồng cấu đại số Lie.
→ G2 còn được gọi là biểu diễn của G1
Mỗi đồng cấu đại số Lie ϕ : G1 ⎯⎯

trong G2. Nói riêng, nếu G2 = End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên
không gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie ϕ : G1 ⎯⎯
→ End(V) được gọi là biểu
diễn tuyến tính của G1 trong không gian vectơ V. Để đơn giản thì đôi khi người ta

dùng thuật ngữ "biểu diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính".
Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp.
Định lý 1.1 (định lý Ado)
Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp
hữu hạn chiều.


17

Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng
minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận,
1.2.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie

Cho G là đại số Lie. Với mỗi x ∈ G , kí hiệu ad x là toán tử trong L được
xác định bởi:
ad x ( y ) = [ x, y ] ; ∀y ∈ G

Khi đó ad x là một ánh xạ tuyến tính từ G → G và ta thu được biểu diễn

tuyến tính của G trong chính G như sau:
ad : G → End ( G )
x

ad x

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G . Hạt nhân của biểu
diễn này là Ker (ad ) = { x ∈ G / ad x ≡ 0} chính là tâm của G .
Ví dụ: Xét đại số Lie G =

3

với móc Lie là tích có hướng thông thường.

Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau:
c −b ⎞
⎛0
ad = ⎜⎜ −c 0
a ⎟⎟
⎜ b −a 0 ⎟
⎝
⎠

Dể thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp.
Nói cách khác, đại số Lie G =

3

với móc Lie là tích có hướng thông thường

đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3.
1.2.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh


18

Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G . Ta bảo
M là đại số con của G nếu [ M , M ] ⊂ M .

Ta bảo M là ideal của G nếu [ G , M ] ⊂ M .
Trong đó ký hiệu:

[ M , M ] = {[ x, y ] / x, y ∈ M } ,[ G, M ] = {[ x, y ] / x ∈ G, y ∈ M }
Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số Lie
với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên.
Cho G là K-đại số Lie. Đặt :
G1 = [ G ,G ] , G2 = [ G1, G1] , …, Gn = [ Gn-1, Gn-1]
G1 = [ G , G ] = G1, G2 = [ G1 , G ], ..., Gn = [ Gn-1 , G ]

(n≥2)

Mệnh đề 1.2:
(i)

Gk, Gk là các ideal của G

(ii)

G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ …… ⊃ Gn ⊃ ……

⎢⎢

∩

( k = 1,2,3,………)

∩

G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ …… ⊃ Gn ⊃ ……

(iii)

Nếu dim G < +∞ thì ∃ n∈ Ν sao cho:
k.h

Gn = Gn+1 = …… = G∞
k.h

Gn = Gn+1 = …… = G∞

Đại số Lie G được gọi là giải được nếu G∞ = {0}, G được gọi là lũy linh nếu
G∞ = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số

Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G.


19

Ví dụ:

{

}

T (n, K ) = A = ( aij ) ∈ Mat (n, K ) / aij = 0,1 ≤ j < i ≤ n (đại số các ma trận tam
giác trên) là một đại số Lie giải được.

{

}

T0 (n, K ) = A = ( aij ) ∈ Mat (n, K ) / aij = 0,1 ≤ j ≤ i ≤ n

(đại số các ma trận

tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy
linh.
Định lý 1.3 (Định lý Lie)
Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G
trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó ϕ tương đương với
biểu diễn tam giác trên, tức là ϕ ( x) = T (n, K ), ∀x ∈ G
Hệ quả 1.4
Nếu G là đại số Lie giải được thì G1=[ G, G] là đại số Lie lũy linh.
Định lý 1.5 (Định lý Engel)
Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi x ∈ G , ad x là toán tử lũy

linh (tức là tồn tại n ∈ * sao cho ( ad x ) = 0 .
n

Đại số Lie giải được mặc dù có cấu trúc không quá phức tạp nhưng cho

đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài toán mở.
1.3.

Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie

1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho


20

Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu TeG là không gian tiếp xúc của G tạo
điểm đơn vị e ∈ G . Không gian này thường được ký hiệu là G. Khi đó G trở
thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

[ X ,Y ] = XY − YX , ∀X ,Y ∈ G
Tức là: [ X , Y ] f = X (Yf ) − Y ( Xf ) , ∀X , Y ∈ G , ∀f ∈ C ∞ ( G )
Trong đó C ∞ ( G ) là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực.
Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được
gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G.
Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số Lie
con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như sau
Gọi X(G) : đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó :
(X + Y)g = Xg + Yg , ∀g ∈ G
(λX)g = λXg

, λ ∈ R , ∀g ∈ G

[X,Y](f) = X(Yf) - Y(Xf)

∀f ∈ C ∞ (G ) , ∀X,Y ∈ X(G)

Với mọi g ∈ G . Đặt Lg : G → G, x
G → G, x

gx là phép tịnh tiến trái theo g, Rg :

xg tịnh tiến phải theo g, thì Lg và Rg là các vi phôi trên G, đồng thời

cảm sinh thành các ánh xạ: Lg* : T(G) → T(G), Rg* : T(G) → T(G) trên không
gian tiếp xúc T(G) của G.
Trường vectơ X được gọi bất biến trái nếu Lg* (X) = X , ∀g ∈ G. Điều này
đồng nghĩa với biểu thức : Lg* (X)x = Xgx
Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu Rg* (X) = X , ∀g
∈ G, tức là : Rg* (X)x = Xxg


21

Gọi G = { X ∈ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái }, thì G là đại số Lie
con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G, G ≅ Te(G) (như không gian
vectơ) (lẫn đại số Lie ).
1.3.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie

Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại
số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có định lý sau:
Định lý 1.6:
Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie

(i)

~

~

liên thông đơn liên G sao cho đại số Lie của G chính là G .
(ii)

Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại
~

~
nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G sao cho G = G D .

Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie G
của nó là giải được (tương ứng, lũy linh).
1.3.3. Ánh xạ mũ exponent

Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G .
Mệnh đề 1.7 :
Với mỗi X ∈ G , tồn tại duy nhất nhóm con {x(t) / t∈R} ⊂ G sao cho :
(i)

x(0) = eG .

(ii)

x(t+s) = x(t).x(s) ; ∀t,s∈ R.

(iii)

x/(0) = X (= Xe)

và được gọi là nhóm con 1-tham số xác định trên G.
d.n

d.n

• exp (X) = x(1)∈ G, exp (tX) = x(t)∈ G
• exp : G → G, X

exp(X)


22

Định lý 1.8: (về tính chất của ánh xạ exp)
(i)

Ánh xạ exp là vi phôi địa phương

(ii)

Ánh xạ exp có tính tự nhiên :
Lie)
G1 ⎯f⎯(dong
⎯cau
⎯nhom
⎯⎯
⎯→ G2

exp

exp

f exp = exp f*

G 1 ⎯⎯ ⎯ ⎯
⎯ ⎯⎯→ G 2
f
*

Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential.
Hệ quả 1.9:
Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các
các đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên.
1.4.

Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số

1.4.1. K-biểu diễn của một nhóm Lie

G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên
G bởi Ad : G ⎯⎯
→ Aut G được định nghĩa như sau:
Ad ( g ) = ( Lg .Rg −1 )* : G ⎯⎯
→ G, ∀g ∈ G

Trong đó Lg (tương ứng Rg ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của G
−1

theo phần tử g ∈ G (tương ứng, g −1 ∈ G ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ
hợp của G trong G.
Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn Ad
cảm sinh ra tác động K : G ⎯⎯
→ Aut G* của G lên G* theo cách sau đây:
< K ( g ) F , X >=< F , Ad ( g −1 ) X >, ∀X ∈ G, ∀F ∈ G*, ∀g ∈ G


23

Ở đây ta ký hiệu < F , X > , F ∈ G* , X ∈ G là chỉ giá trị của dạng tuyến
tính F ∈ G* tại trường vectơ (bất biến trái) X ∈ G . Tác động K được gọi là Kbiểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G* . Mỗi quỹ đạo ứng với Kbiểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G* ).
Mỗi K-quỹ đạo của G luôn là một G-đa tạp vi phân thuần nhất với số
chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương
thích với tác động của G.
Ký hiệu O(G) là tập hợp các K-quỹ đạo của G và trang bị trên đó tôpô
thương của tôpô tự nhiên trong G* . Nói chung thì tôpô thu được khá “xấu”: nó
có thể không tách, thậm chí không nửa tách.
1.4.2. Các MD-nhóm và MD-đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được. G là đại số Lie của G và G* là
không gian đối ngẫu của G .
Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các K-quỹ đạo
của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại. Trường hợp số chiều cực
đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay
còn gọi là MD -nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MD-nhóm (tương
ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số).
Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD -nhóm, MD -đại số được dùng đầu
tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó lớp các MD-đại số và MD -đại số
đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ Hữu Việt đã

phân loại triệt để lớp MD -đại số: các MD -đại số không giao hoán là và chỉ là các
đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng thực hoặc phức (xem


24

[So-Vi, Théorème 1]). Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại
số Lie thực giải được là MD-đại số.
Mệnh đề 1.10 (xem [So-Vi, Théorème 4]):
Giả sử G là một MD-đại số. Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một
đại số con giao hoán trong G .
Như đã nói ở phần mở đầu, toàn bộ lớp các MD4-đại số đã được liệt kê đầy
đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà (xem[Tra]), tuy nhiên tác giả mới chỉ dừng
lại ở liệt kê thô mà không xét đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie. Phải đến
năm 1990, Lê Anh Vũ mới phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie)
các MD4-đại số đó (xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]). Nói một cách vắn tắt là bài toán
liệt kê và phân loại các MD4-đại số coi như đã giải quyết trọn vẹn.
Tuy nhiên khi n = 5 thì mọi tính toán đều trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Để
đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao
hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Năm 2003, Lê
Anh Vũ và học trò của mình là Nguyễn Công Trí (xem [Vu8] và [Vu-Tri]) đã liệt
kê và sau đó năm 2005, Lê Anh Vũ [xem Vu9] cũng đã phân loại triệt để lớp con
các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán không quá 2 chiều. Đồng thời các
tác giả cũng chứng minh được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các
MD5-nhóm liên thông tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá
đo được theo nghĩa của Connes và gọi đó là các MD5-phân lá, tôpô của các
MD5-phân lá này cũng đã được mô tả chi tiết.
Cuối năm 2005, Lê Anh Vũ (xem [Vu9] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân
loại lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều.
Trong các chương sau, chúng ta sẽ giới thiệu kết quả này đồng thời mô tả bức

25

tranh các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng và xem
xét không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm
này.