Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán tấm Composite trên nền đàn hồi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (681.6 KB, 60 trang )
MỞ ĐẦU
Vật liệu composite ngày nay được sử dụng rộng rãi khi thiết kế chế tạo
những kết cấu hàng không, tên lửa, vũ trụ, tàu thuyền. Composite được ứng
dụng ngày càng nhiều trong những lĩnh vực khác nhau của ngành chế tạo máy
và nền kinh tế quốc dân.
Composite được ứng dụng và phát triển như vậy vì chúng rất nhẹ và
bền. Để có thể thiết kế tối ưu vật liệu và các kết cấu composite, cần thiết
phải hiểu rõ bản chất và những quy luật ứng xử cơ học khá phức tạp của loại
vật liệu này.
Trong thực tế thường gặp các kết cấu đặt tiếp xúc trên bề mặt một môi
trường hoặc vật thể đàn hồi khác, ví dụ dầm móng đặt trên nền đất, cầu phao
phà đặt trên mặt nước. Bài toán xác định nội lực và chuyển vị của kết cấu
trên nền đàn hồi là dạng bài toán siêu tĩnh, trong đó phản lực nền là một hệ
lực phân bố liên tục trên bề mặt tiếp xúc, phụ thuộc vào biến dạng của kết
cấu cũng như quan niệm về mô hình nền. Trong luận văn này ta sử dụng mô
hình đơn giản, thường dùng trong kỹ thuật là mô hình Vinkler. Theo đó, cường
độ phản lực của nền tại một điểm tỷ lệ thuận với độ lún của nền tại điểm
đó. Nếu kí hiệu p là áp suất phản lực, y là độ lún, K là hệ số nền thì p = Ky.
Thứ nguyên của hệ số nền là [Lực/(chiều dài)3].
Dao động là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật.
Các máy, các phương tiện giao thông vận tải, các tòa nhà cao tầng, các cầu,
các mạch điện là các hệ dao động trong kỹ thuật. Nghiên cứu về dao động
ngày nay trở thành bộ phận không thể thiếu được cho tất cả các kết cấu, công
trình.
Trong [1], [6] đã nghiên cứu bài toán dao động của vỏ trụ và vỏ thoải
composite có gân gia cường. Dao động phi tuyến của tấm composite lớp có
1
gân gia cường được tính toán trong [2]. Trong [5] đã nghiên cứu bài toán phi
tuyến, đưa ra các hệ thức tính toán tĩnh và động cho vỏ thoải composite hai độ
cong bất kỳ. Trong [7] đã tính toán dao động vỏ thoải composite.
Mục đích của luận văn là tìm nghiệm giải tích gần đúng của bài toán tĩnh
và động lực tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo mô hình Vinkler. Từ hệ
phương trình cân bằng đã sử dụng hàm ứng suất và phương pháp Bubnov
Galerkin để nhận được phương trình dao động phi tuyến của tấm. Lời giải số
tìm được theo phương pháp bước lặp và sơ đồ tính toán Newmark, đã xem xét
quan hệ tần số biên độ dao động phi tuyến, ảnh hưởng của hệ số nền và tần
số dao động ngoại lực đến lời giải bài toán động lực của tấm. Báo cáo đã sử
dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính toán độ võng tấm composite lớp trên
nền đàn hồi. Đã so sánh kết quả thu được theo hai phương pháp giải tích và phần
tử hữu hạn.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Các hệ thức cơ sở của tấm composite lớp trên nền đàn hồi.
Chương 2. Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm composite lớp trên nền đàn
hồi.
Chương 3. Tính toán số cho tấm composite lớp trên nền đàn hồi.
Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Vũ Đỗ Long
người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Em cũng
xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong bộ môn Cơ học và các thầy cô
trong khoa Toán – Cơ – Tin học đã trang bị kiến thức giúp em hoàn thành luận
văn này.
Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận tại Hội nghị
khoa học toàn quốc “Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10”. Tác giả đã nhận
được những góp ý bổ ích từ các thành viên của Hội nghị. Tuy nhiên do bước đầu
2
tiếp cận nghiên cứu khoa học về lĩnh vực vật liệu composite, chắc chắn luận
văn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong tiếp tục nhận
được những đánh giá và góp ý của các thầy cô giáo và các bạn để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2010
Học viên
Nguyễn Thị Huệ
CHƯƠNG 1
CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ CỦA TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN
NỀN ĐÀN HỒI
1.1. Phương trình tổng quát của tấm composite lớp trên nền đàn hồi
1.1.1. Mối liên hệ chuyển dịch – biến dạng của tấm composite lớp
Xét một tấm composite lớp có x1 , x2 là các trục tọa độ nằm trong mặt
phẳng giữa theo các cạnh, còn x3
giữa (Hình 1).
z hướng theo phương pháp tuyến với mặt
x1
x3
x2
0
Hình 1
3
Theo lý thuyết của Kirchhoff – Love mối liên hệ phi tuyến dịch chuyển –
biến dạng của tấm:
ε11 = ε10 + zφ1
ε 22 = ε 20 + zφ2
γ 12 = ε 60 + zφ6
Trong đó:
2
ε10
u 1 �w �
=
+ � �
x1 2 � x1 �
2
v 1 �w �
=
+ � �
x2 2 � x2 �
u
v
w w
ε 60 =
+
+
x2
x1
x1 x2 (1.1)
2
w
φ1 = − 2
x1
2
w
φ2 = − 2
x2
2
w
φ6 = −
x1 x2
ε 20
Còn u , v, w là chuyển vị của phương ngang, phương dọc và độ võng của
các điểm giữa thuộc mặt phẳng của tấm; ε10 , ε 20 , ε 60 là các biến dạng tại mặt
giữa; φ1,φ2 ,φ6 là các biến thiên độ cong của tấm. Chúng thỏa mãn phương
trình tương thích biến dạng:
4
2 0
ε1
x22
+
2 0
ε2
x12
2
2 0
ε6
� 2w � 2w 2w
(1.2)
−
=�
�−
x1 x2 � x1 x2 � x12 x22
1.1.2. Quan hệ ứng suất biến dạng của tấm composite lớp
Sử dụng giả thiết Kirchhoff có thể bỏ qua thành phần ứng suất vuông
góc với mặt giữa: σ 13 = σ 23 = σ 33 = 0
Liên hệ ứng suất biến dạng của lớp composite thứ k của tấm là [5]:
(k )
σ 11 �
�
� �
�
σ 22 �
�
σ 12 �
�
(k )
(k )
�Q11 Q12 Q16 � �ε �
1
�
� � �
�
�
= �Q12 Q22 Q26 � �
ε 2 � (1.3)
�
� �
ε6 �
Q 16 Q26 Q66 � �
�
Trong đó ký hiệu các thành phần biến dạng trong mặt phẳng lớp thứ k:
ε11 ε1 , ε 22 ε 2 , ε 6 ε12
Trường hợp phương của sợi lệch một góc θ với trục x1 của tấm, thay
ma trận Qijk bằng ma trận Qijk . Trong đó Qijk tính qua Qijk theo công thức [4]:
Q11 = Q11 cos 4 θ + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q22 sin 4 θ
(
Q12 = ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q12 sin 4 θ + cos 4 θ
)
Q16 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ cos3 θ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin 3 θ cosθ
Q22 = Q11 sin 4 θ + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q22 cos 4 θ
(1.4)
Q26 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin 3 θ cosθ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ cos3 θ
(
Q66 = ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q66 sin 4 θ + cos 4 θ
)
Biểu thức các hằng số độ cứng qua các mô đun đàn hồi trong hệ trục
chính như sau:
5
Q11 =
E1
E2
E2
Q12 =
ν 12
Q22 =
E 2 ,
E 2
E 2
,
(1.5)
1 − 2 ν12
1 − 2 ν 12
1 − 2 ν12
E1
E1
E1
Q16 = 0 Q26 = 0 Q66 = G12
trong đó: E1 , E2 là các môđun đàn hồi của tấm theo phương trục chính của
lớp vật liệu composite; ν 12 là hệ số Poisson của vật liệu, G12 là môđun trượt
trong hệ trục chính của lớp vật liệu.
Lực pháp, lực tiếp, mômen uốn, mômen xoắn được xác định theo công thức:
h
N1 =
−h
h
N 2 =
σ 11dz M1 =
h
σ 22dz M 2 =
2
2
−h
2
2
−h
h
2
2
−h
h
σ 11zdz N 6 =
2
−h
h
σ 22 zdz M 6 =
2
2
2
2
−h
σ 12dz
(1.6)
σ 12 zdz
2
Ở đây: N12 = N 21 = N 6 , M12 = M 21 = M 6
Thay (1.3) vào (1.6) ta được:
N1 =
=
h
4
2
k =1 − h
h
4
2
k =1 − h
h
=
h
2
4
2
(
( k)
Q11 ε1 + Q12
( k)
(
2
)
( k)
ε 2 + Q16 ε 6 dz
)
(
)
(
(
)
(
)
(
( 1)
( 1)
( 1)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε 20 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6
�
�
+
+
h
4
0
0
−h
)
( k)
( k) 0
( k)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12
ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 �
dz
�
�
�
�
(
)
(
)
(
dz +
)�
�
�
( 2)
( 2) 0
( 2)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12
ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6
�
�
(
4
)
(
)
(
dz +
)�
�
�
( 3)
( 3)
( 3)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε 20 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6
�
6
dz +
)�
�
−h
4
+
=
N2 =
=
N6 =
−h
2
A11ε10 +
h
4
2
k =1 − h
h
2
2
(
)
(
)
(
(
zdz
)�
�
�
A12ε 20 + A16ε 60 + B11φ1 + B12φ2 + B16φ6
( k)
( k)
)
( k)
A22ε 20 + A26ε 60 + B12φ1 + B22φ2 + B26φ6
(Q
16
k =1 − h
)
Q12 ε1 + Q22 ε 2 + Q26 ε 6 dz
2
0
A12ε1 +
4
(
( 4)
( 4) 0
( 4)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12
ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 �
dz
�
�
( k)
( k)
)
( k)
ε1 + Q26 ε 2 + Q66 ε 6 dz
= A16ε10 + A26ε 20 + A66ε 60 + B16φ1 + B26φ2 + B66φ6
M1 =
=
h
4
2
k =1 − h
h
4
h
=
h
2
4
h
+
2
2
( k)
( k)
)
( k)
ε1 + Q12 ε 2 + Q16 ε 6 zdz
(
)
(
)
( k)
( k) 0
( k)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12
ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6
�
�
(
)
(
)
(
)
( 1)
( 1)
( 1)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε 20 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 �
zdz +
�
�
�
�
4
0
+
11
2
k =1 − h
(Q
(
0
−h
)
(
)
(
)
( 2)
( 2) 0
( 2)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12
ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 �
zdz +
�
�
�
�
(
4
)
(
)
(
( 3)
( 3)
( 3)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε 20 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6
�
�
7
zdz +
)�
�
�
−h
4
−h
2
+
(
)
(
)
(
)
( 4)
( 4) 0
( 4)
�
Q11 ε10 + zφ1 + Q12
ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 �
zdz
�
�
�
�
= B11ε10 + B12ε 20 + B16ε 60 + D11φ1 + D12φ1 + D16φ6
M2 =
4
h
2
k =1 − h
(
2
)
(
)
(
zdz
)�
�
�
(
)
( k) 0
( k)
( k)
�
Q12
ε1 + zφ1 + Q22 ε 20 + zφ2 + Q26 ε 60 + zφ6
�
�
= B12ε10 + B22ε 20 + B26ε 60 + D12φ1 + D22φ1 + D26φ6
M6 =
4
h
2
k =1 − h
(
2
)
(
)
( k) 0
( k)
( k)
�
Q16
ε1 + zφ1 + Q26 ε 20 + zφ2 + Q66 ε 60 + zφ6 �
zdz
�
�
�
�
= B16ε10 + B26ε 20 + B66ε 60 + D16φ1 + D26φ1 + D66φ6
(
)
Với: Aij , Bij , Dij =
N zk +1
k =1 zk
Qij
( k)
( 1, z, z ) dz (i, j = 1, 2, 6) (1.7)
2
Mối quan hệ giữa lực pháp, lực tiếp, momen uốn, momen xoắn và biến
dạng, biến thiên độ cong được viết dưới dạng ma trận như sau:
�N1 � �A11
�N � �A
� 2 � � 12
�N 6 �
� �A16
�
� �= �
�M1 � �B11
�M 2 � �B12
� � �
�M 6 � �
�B16
A12
A22
A26
B12
B22
A16 B11 B12
A26 B12 B22
A66 B16 B26
B16 D11 D12
B26 D12 D22
B26
B66
D16
D26
�
ε10 �
B16 �
�0 �
�
B26 �
ε2 �
�
�0 �
B66 �
�
ε �
�
�6 � (1.8)
D16 �
�φ1 �
�
D26 �
φ2 �
�
�
�
D66 �
�
�
φ6 �
�
Aij ��
, Bij ��
, Dij �
với: N = 4 là số lớp của tấm; �
�
��
��
� lần lượt là ma trận độ cứng
dãn nén, độ cứng tương tác dãn – uốn – xoắn và độ cứng uốn của tấm
composite lớp.
8
Bij �
Giả thiết tấm xếp lớp đối xứng qua mặt giữa ta có �
�
�= 0 và xem các
đại lượng A16 , A26 , D16 , D26 là nhỏ có thể bỏ qua.
Khai triển (1.8) ta được biểu thức lực màng của tấm composite lớp:
N1 = A11ε10 + A12ε 20
N 2 = A12ε10 + A22ε 20 (1.9)
N 6 = A66ε 60
Giải ngược lại suy ra:
ε10 =
� 0 1 �
1 �
A12
A12 � 0 1
N
−
N
ε
=
N
−
N1 �, ε 6 = * N 6
,
�
�
�
1
2
2
2
*
A 22
A
E1* �
E
G
�
11
�
2�
Trong đó: E1*
2
2
A11 A22 − A12
A11 A22 − A12
*
=
, E2 =
, G* = A66
A22
A11
Và mômen trong của tấm composite lớp được tính theo công thức:
2 �
� 2w
w
M1 = D11φ1 + D12φ2 = − D1 � 2 + µ2 2 �
x2 �
� x1
2 �
� 2w
w
M 2 = D12φ1 + D22φ2 = − D2 � 2 + µ1 2 �
(1.10)
x
x
1 �
� 2
2
w
M 6 = D66φ6 = −2 Dk
x1 x2
Trong đó:
D1 = D11 , D2 = D22 , Dk = D66
µ 2 =
D12
D12
µ1 µ2
=
, µ1 =
,
D11
D22
D1 D2
D3 = 2 Dk + D1µ 2 = 2 Dk + D2 µ1
9
1.1.3. Phương trình chuyển động của tấm composite lớp trên nền đàn
hồi
Phương trình chuyển động của tấm composite lớp trên nền đàn hồi với
hệ số nền K theo mô hình Vinkler được viết như sau [5]:
N1
+
x1
N6
+
x1
2
3
N6
u
w
= J O 2 − J1
x2
t
x1 t 2
2
3
N2
v
w
= J O 2 − J1
x2
t
x2 t 2
(1.11)
w�
�
x2 �
2
2
2
� w
� w
M6
M1
M2
w�
+
2
+
+
N
+
N
+
+ N2
�
�
�N 6
1
6
x1 x2
x1 � x1
x2 � x2 � x1
x12
x22
2
3
4
� 3u
w
v � � 4w
w �
= J O 2 + J1 �
+
−
J
+
− q (t ) + Kw
�
�
2
2
2
2 2
2 2�
t
x
t
x
t
x
t
x
t
2
2
�1
� �1
�
Trong đó J i được xác định theo công thức: J i =
N zk +1
ρ ( k ) z i dz
k =1 zk
ρ ( k ) là mật độ khối lượng của lớp thứ k, q(t ) là lực phân bố
1.2. Nghiệm của bài toán
Giả thiết lực ngang q(t ) phân bố đều và mật độ khối lượng của lớp thứ
k là hằng số. Khi đó ta có:
J1 =
N zk +1
ρ ( k ) zdz = 0
k =1 zk
Theo Volmir [8] thì các số hạng quán tính trong hai phương trình đầu của
(1.11) có thể bỏ qua. Do vậy phương trình chuyển động có dạng:
N
N1
+ 6 =0
x1
x2
10
(1.12)
2
2
M1
M6
+2
+
2
x1 x2
x1
� w
+
+ N2
�N 6
x2 � x1
N6
N
+ 2 =0
x1
x2
(1.13)
2
� w
M2
w�
+
+ N6
�N1
�+
2
x1 � x1
x2 �
x2
(1.14)
2
4
� 4w
w�
w
w �
�= J O 2 − J 2 � 2 2 + 2 2 �− q (t ) + Kw
x2 �
t
x2 t �
� x1 t
Phương trình (1.12), (1.13) thỏa mãn khi đưa vào hàm ứng suất φ dạng:
2
ϕ
x22
2
ϕ
N 2 = hσ 22 = 2
x1
N1 = hσ11 =
N 6 = hσ 12 = −
(1.15)
2
ϕ
x1 x2
Thay (1.9) và (1.15) vào phương trình tương thích biến dạng ta được:
2 0
ε1
x22
4
1 � 4ϕ
ϕ �
*
= * � 4 − ν1 2 2 �
E1 � x2
x1 x2 �
2 0
ε2
x12
4
1 � 4ϕ
ϕ �
*
= * � 4 −ν 2 2 2 �
E2 � x1
x1 x2 �
3
ε 60
1
ϕ
=− * 2
x1
G x1 x2
2 0
ε6
4
1
ϕ
=− * 2 2
x1 x2
G x1 x2
11
Suy ra:
2 0
ε1
x22
+
2 0
ε2
x12
−
2 0
ε6
x1 x2
=
1 4ϕ 1 4ϕ �1 ν 1* ν 2* � 4ϕ
+
+� −
−
�
E1* x24 E2* x14 �G E1* E2* �x12 x22
ν1* ν*2
1 ν 1* ν 2* 1
ν1*
=
−
−
=
−
2
Vì *
nên
G E1* E2* G
E1 E2*
E1*
Do đó phương trình tương thích biến dạng trở thành:
2
1 4ϕ �1
ν1* � 4ϕ
1 4ϕ � 2 w � 2 w 2 w
(1.16)
+� −2 * � 2 2 + * 4 =�
�−
E2* x14 �G*
E1 �x1 x2 E1 x2 � x1 x2 � x12 x22
Thay (1.10) và (1.15) vào (1.14) ta được:
2
4
� 4w
M1
w �
=
−
D
+
µ
�
�
1
2
4
x12
x12 x22 �
� x1
2
4
� 4w
M2
w �
=
−
D
+
µ
�
2
1
4
2 2�
x22
x
x
1 x2 �
� 2
2
4
M6
w
2
= −4 Dk 2 2
x1 x2
x1 x2
2
� 2ϕ w
� w
w�
ϕ w�
+ N6
+
� 2
�=
�N1
�=
x1 � x1
x2 � x1 � x2 x1
x1 x2 x2 �
3
2
3
2
2
ϕ w
ϕ 2w
ϕ w
ϕ
w
=
+ 2
− 2
−
2
2
x1 x2 x1 x2
x1 x2 x1
x2 x1
x1 x2 x2
2
� 2ϕ w
� w
w�
ϕ w�
N
+
N
=
−
+
�
�=
�6
�
2
x2 � x1
x2 � x2 � x1 x2 x1
x12 x2 �
3
2
2
3
2
ϕ w
ϕ
w
ϕ w
ϕ 2w
=−
−
+ 2
+ 2
x1 x2 x1 x2
x1 x22 x1
x1 x2 x2
x1 x22
Phương trình (1.14) trở thành:
12
4
4
4
4
4
2
w
w
w
w
w
ϕ 2w
− D1µ2 2 2 − D2 4 − D2 µ1 2 2 − 4D k 2 2 + 2
+
x14
x1 x2
x2
x1 x2
x1 x2
x1 x22
− D1
2
2
2
2
4
� 4w
ϕ 2w
ϕ
w
w
w �
+ 2
−
2
=
J
−
J
+
− q (t ) + Kw
�
O
2
2 2
2 2�
x1 x2 x1 x2
x2 x12
t2
x
t
x
t
2
�1
�
hay
4
4
2
2
2
2
w
w � 2ϕ 2 w
ϕ 2w
ϕ
w �
w
D1 4 + D2 4 − � 2
+
−
2
+
J
�
O
x1 x2 x1 x2 �
x1
x2 � x1 x22
x22 x12
t2
4
4
� 4w
w �
w
− J 2 � 2 2 + 2 2 �− q (t ) + Kw + ( D1µ2 + D2 µ1 + 4D k ) 2 2 = 0
x2 t �
x1 x2
� x1 t
Do đó (1.14) được viết dưới dạng
4
2
2
2
2
w
w � 2ϕ 2 w
ϕ 2w
ϕ
w �
w
+
D
−
+
−
2
+
J
�
�
2
O
x1 x2 x1 x2 �
x14
x24 � x12 x22
x22 x12
t2
(1.17)
4
4
� 4w
w �
w
− J 2 � 2 2 + 2 2 �− q (t ) + Kw + 2D3 2 2 = 0
x2 t �
x1 x2
� x1 t
D1
4
Cuối cùng bài toán bao gồm hai phương trình đạo hàm riêng phi tuyến (1.16),
(1.17).
Điều kiện biên tựa bản lề thỏa mãn nếu chọn hàm độ võng dạng:
w = f ( t ) sin
π x1 π x2
sin
(1.18)
a
b
trong đó a và b là độ dài các cạnh của tấm, f ( t ) là độ võng cực đại.
Thế (1.18) vào vế phải của phương trình (1.16) ta có
2
4
� 2w �
πx
2 π
2 π x1
cos 2 2
�
� = f 2 2 cos
a
b
ab
� x1 x2 �
2
4
w 2w
πx
πx
2 π
= f 2 2 sin 2 1 sin 2 2
2
2
a
b
x1 x2
ab
13
Suy ra
2
� 2w � 2w 2w
=
�
�− 2
2
x
x
x
x
1
2
1
2
�
�
4
�
2π x1 �
2π x2 � �
2π x1 �
2π x2 �
�
�
�
�
21 π
= f
1 + cos
1 + cos
1 − cos
1 − cos
�
�
�
�− �
�
�
�
�
2 2 �
2a b �
a �
b ��
a �
b �
�
�
�
�
4
1 π � 2π x1
2π x2 �
= f2
cos
+ cos
�
2 2�
2a b �
a
b �
Vậy (1.16) trở thành:
4
1 4ϕ �1
ν1* � 4ϕ
1 4ϕ
2π x2 �
� 2π x1
21 π
+� * −2 * � 2 2 + * 4 = f
cos
+ cos
�
*
4
2 2�
2a b �
a
b �
E2 x1 �G
E1 �x1 x2 E1 x2
Khi đó nghiệm của phương trình sẽ là:
ϕ = Acos
2π x1
2π x2
2π x1
2π x2
+ Bcos
+ C sin
sin
(1.19)
a
b
a
b
Thế (1.19) vào (1.16) ta được:
4
4
4
4
4
4
w
π x2
�2π � 2π x1
�π � π x1
=
A
c
os
+
C
sin
sin
� �
��
a
a
b
x14
�a �
�a �
w
π x2
�2π � 2π x2
�π � π x1
=
B
c
os
+
C
sin
sin
�
�
�
�
b
a
b
x24
�b �
�b �
4
ϕ
π4
π x1 π x2
=
C
sin
sin
a
b
x12 x22
a 2b 2
Suy ra
14
1
E2*
4
4
�2π � 2π x1 1 �2π � 2π x2
A � �cos
+ * B � �cos
+
a
b
E1 �b �
�a �
4
4
�1 �π �
�1
ν1* �π 4
1 �π �� π x1
πx
+C � * � �+ � * − 2 * � 2 2 + * � ��
sin
sin 2
b
E1 �a b
E1 �b �� a
�E2 �a � �G
1 π 4 � 2π x1
2π x2 �
= f
c
os
+
c
os
�
�
2 a 2b 2 �
a
b �
2
Do đó
E2* f 2a 2
E1* f 2b 2
A =
B =
C = 0 (1.20)
32b 2
32a 2
Thế (1.18), (1.19) vào (1.17) ta được:
D � π x1
πx
πx
πx
�D 2D
W = π 4 f � 41 + 2 32 + 42 �
sin
sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 +
b
a
b
a b
b � a
�a
π4 �
2π x1
2π x2 � π x1
πx
− f (t ) 2 2 �
4 Acos
+ 4 Bcos
sin
sin 2 +
(1.21)
�
a
b � a
b
ab �
�
1 �
�d 2 f
π x1 π x2
2 �1
+�
J O + J 2π � 2 + 2 �
sin
sin
− q(t ) = 0
�
2
a
b
a
b
dt
�
�
�
�
Đây là phương trình cân bằng của tấm composite lớp trên nền đàn hồi.
1.2.1. Bài toán tĩnh
d2 f
Ta có 2 = 0 , lực phân bố đều q(t ) = q0 = const
dt
Khi đó phương trình cân bằng của tấm trên nền đàn hồi có dạng:
D � π x1
πx
πx
πx
�D 2D
W = π 4 f � 41 + 2 32 + 42 �
sin
sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 +
b
a
b
a b
b � a
�a
4
4π �
2π x1
2π x2 � π x1
πx
− f (t ) 2 2 �Acos
+ Bcos
sin
sin 2 − q0 = 0
�
a
b � a
b
ab �
15
Áp dụng phương pháp Bubnov – Galerkin:
ab
W sin
�
�
00
π x1 π x2
sin
dx1dx2 = 0
a
b
ta được
ab
ab
� 4 �D1 2D3 D2 �
� 2 π x1 2 π x2
πx
πx
π f � 4 + 2 2 + 4 �+ Kf �
sin
sin
dx1dx2 − �
q0 sin 1 sin 2 dx1dx2
�
�
�
�
a
b
a
b
a b
b �
�a
�
00�
00
ab
π4 �
2π x1
2π x2 � 2 π x1 2 π x2
−�
4 f 2 2 �Acos
+ Bcos
sin
sin
dx1dx2 = 0
�
�
a
b
a
b
a
b
�
�
00
(1.22)
Sau một số phép biến đổi và sử dụng (1.20) khi đó phương trình (1.22) trở
thành:
( K + m1 ) f + m3 f 3 −
16q0
= 0 (1.23)
π2
trong đó
2D3 D2 �
π 4 �E2* E1* �
+ 2 2 + 4 �, m3 =
� +
�
16 �b 4 a 4 �
a b
b �
�a
�D
m1 = π 4 � 41
Đây là phương trình cân bằng xác định độ võng cực đại theo phương pháp
lý thuyết bản vỏ mỏng trong trường hợp không có dao động.
1.2.2. Bài toán động
d2 f
Ta có 2 0 , lực phân bố đều q(t ) = q0 sin ( ωt )
dt
Khi đó phương trình cân bằng của tấm trên nền đàn hồi có dạng:
D � π x1
πx
πx
πx
�D 2D
W = π 4 f � 41 + 2 32 + 42 �
sin
sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 +
b
a
b
a b
b � a
�a
4
π �
2π x1
2π x2 � π x1
πx
− f (t ) 2 2 �
4 Acos
+ 4 Bcos
sin
sin 2 +
�
a
b � a
b
ab �
2
�
1 �
�d f
π x1 π x2
�1
+�
J O + J 2π 2 � 2 + 2 �
sin
sin
− q(t ) = 0
�dt 2
a
b
b �
�a
�
�
Áp dụng phương pháp Bubnov – Galerkin:
16
ab
W sin
�
�
00
π x1 π x2
sin
dx1dx2 = 0
a
b
ta được
ab
�4
π f
�
�
�
00�
� 2 π x1 2 π x2
�D1 2D3 D2 �
sin
sin
dx1dx2 +
� 4 + 2 2 + 4 �+ Kf �
a
b
a
a
b
b
�
�
�
ab
�
1 �
�d 2 f
2 �1
2 π x1
2 π x2
+�
J
+
J
π
+
sin
sin
dx1dx2 +
O
2
�
�
�
�
�
2
2
2
a
b
a
b
dt
�
�
�
0 0�
ab
πx
πx
−�
q(t )sin 1 sin 2 dx1dx2 +
�
a
b
00
(1.24)
ab
π4 �
2π x1
2π x2 � 2 π x1 2 π x2
−�
4 f 2 2 �Acos
+ Bcos
sin
sin
dx1dx2 = 0
�
�
a
b
a
b
a
b
�
�
00
Sau một số phép biến đổi và sử dụng (1.20) khi đó phương trình (1.24) trở
thành:
m
d2 f
3 16q (t )
+
K
+
m
f
+
m
f
−
= 0 (1.25)
(
)
1
3
dt 2
π2
trong đó:
1 �
D1 2D3 D2 �
π 4 �E2* E1* �
�1
4�
m = J O + J 2π 2 � 2 + 2 �
m
=
π
+
+
m
=
, 1
� +
�
�4
�, 3
16 �b 4 a 4 �
b �
a 2b 2 b 4 �
�a
�a
Đây là phương trình dao động của tấm composite trên nền đàn hồi xác định
độ võng cực đại theo phương pháp lý thuyết bản vỏ mỏng.
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO TẤM
COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
2.1. Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số đặc
biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác
17
định V của nó. Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm
trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con V e (phần tử) thuộc miền xác
định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và
kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm
nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau chịu những điều kiện
biên khác nhau.
Trong PP PTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con,
gọi là phần tử. Các phần tử này được nối kết với nhau tại các điểm định
trước trên biên phần tử, gọi là nút. Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần
tìm được lấy xấp xỉ trong một hàm đơn giản gọi là các hàm xấp xỉ. Và các
hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (và có khi cả các giá trị
của đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là
các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.
2.2. Tính toán tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo phương pháp
phần tử hữu hạn
Bài toán: Xét tấm composite chữ nhật N lớp trên nền đàn hồi có kích
thước (a x b), độ dày h, chịu lực phân bố đều q(x,y) = q = const.
Bước 1: Rời rạc hóa miền vật thể.
Chia tấm thành Ne phần tử hình chữ nhật Ve (e = 1…Ne) có kích thước
bằng nhau. Chọn hệ tọa độ Đềcác có x, y là các trục tọa độ nằm trong mặt
phẳng giữa theo các cạnh, trục z hướng theo phương pháp tuyến với mặt
giữa.
18
Giả thiết tấm có các lớp được xếp đối xứng qua mặt trung bình. Khi đó
xét điểm M(x,y) nằm cách mặt trung hòa khoảng z. Khi đó chuyển vị tại M
theo phương Ox, Oy tương ứng là: u = − z
w
w
, v = − z
y
x
Tại mỗi điểm M(x,y) trong phần tử e giả sử có các thành phần chuyển vị
là {w(x, y), θx(x, y), θy(x, y)}.
Mỗi phần tử hình chữ nhật có bốn nút, mỗi nút có ba bậc tự do. Do đó
phần tử có mười hai bậc tự do nên việc chọn hàm xấp xỉ phải đảm bảo có
mười hai tham số.
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ
Chọn hàm độ võng dưới dạng đa thức gồm mười hai số hạng [3]:
w( M ) = w( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 xy + a6 y 2 + a7 x 3 + a8 x 2 y + a9 xy 2
+ a10 y 3 + a11x 3 y + a12 xy 3
Góc xoay của tấm tại M trên mặt giữa theo các phương Ox, Oy tương
ứng:
w
= a2 + 2a 4 x + a5 y + 3a 7 x 2 + 2a 8 xy + a9 y 2 + 3a11x 2 y + a12 y 3
x
w
θy =
= a3 + a 5 x + 2a6 y + a 8 x 2 + 2a 9 xy + 3a10 y 2 + a11x 3 + 3a12 xy 2
y
θx =
Chuyển dịch của phần tử
{ u} e
1 x
�w � �
�
��
=�
θ x �= �
0 1
�
�
θy �
0 0
�
��
�
=�
F ( x, y ) �
{ a} e
�
�
y
�a1 �
xy 3 �
�a �
�
�2 �
2
2
2
3
0 2 y 0 3x 2xy y 0 3x y y �
� �
�
�... �
1 0 x 2 y 0 x 2 2xy 3 y 2 x 3 3xy 2 �
�
�
a12 �
�
( 2.1)
x2
xy
y2
x3
19
x2 y
xy 2
y3
x3 y
Thay tọa độ các nút i, j, k, l đã biết vào phương trình (2.1) ta được véctơ
chuyển vị nút :
{ q} e
�F ( xi , yi ) �
�F ( xi , yi ) �
�
�
F (x j , y j )�
F (x j , y j )�
�
�
�
�
=
{ a} e = [ A] { a} e với [ A] = �
�
�
F ( xk , yk )
F ( xk , yk ) �
�
�
�
�
�F ( xl , yl ) �
�F ( xl , yl ) �
Suy ra : { a} e = [ A]
−1
{ q} e (2.2)
Từ (2.1) và (2.2) có :
{ u} e = [ F ] [ A] { q} e
−1
�N1 �
�q = �
=�
N
{ } e �N ( x, y ) �
{ q} e
2
�
� �
�
N3 �
�
�
trong đó: [A] là ma trận tọa độ nút phần tử, [N(x,y)] là ma trận hàm dạng
Bước 3 : Biểu diễn biến dạng và ứng suất qua chuyển vị nút
Trạng thái biến dạng phần tử tính theo hệ thức Cauchy:
u
= −z
x
v
= −z
ε y =
y
u
v
γ xy =
+
y
x
εx =
2
w
= zφ x
x2
2
w
= zφ y
(2.3)
y2
2
w
= −2z
= zφxy
x y
Liên hệ ma trận biến dạng và ma trận độ cong như sau:
�ε � �φ �
�x � �x �
{ ε } = �ε y �= z �φ y �= z [ φ ]
� � � �
γ xy
φxy
��
20
� 2 w � � 2 N1 �
� 2 � � 2 �
� x � � x �
�
� 2w �
� �
� 2 N1 �
�
với [ φ ] = − � 2 �= − � 2 �
{ q} e = − [ B ] { q} e (2.4)
y
y
�
� �
�
�2 2 w � �2 2 N �
1�
�
� �
x y� �x y �
�
��
Liên hệ ứng suất biến dạng được biểu diễn theo định luật Hooke:
�σ �
�ε �
�x�
�x �
Qij �
Qij �
{ σ } = �σ y �= �
{ ε}
�ε y �= �
�
�
�
�
� �
� �
τ xy
γ xy
��
Công thức xác định mômen uốn, mômen xoắn là:
h
M x =
2
−h
h
zσ x dz , M y =
2
2
−h
h
zσ y dz , M xy = M yx =
2
2
−h
zτ xy dz (2.5)
2
( k)
�M � h �
h
σ �
2
� x � 2 �x�
( k)
2
�
�
Suy ra �M y �= �
z�
σ y � dz = �
Q
φ
z
dz = [ D ] { φ } (2.6)
{
}
ij
� �
� � −h 2 � �
−h
2
M xy
τ xy
���
(do { φ} = { φ ( x, y ) } )
trong đó [ D ] là ma trận độ cứng uốn của tấm composite lớp:
D11
�
D12
[ D] = �
�
�
D16
�
D12
D22
D26
h
D16 �
2
N = 4 zk +1
( k) 2
( k) 2
�
�
�
�
�
�
D26 �= �
D
=
Q
z
dz
=
Q
ij
ij
ij
�
� � �
� �
� � z dz
k =1 zk
−h
D66 �
2
�
21
Các phần tử Dij được tính như sau:
h
D11 =
h
h
h
0
h
4
( 1)
( 2)
2
( 1)
4
2
( 1)
2
z dz +
( 1)
h
4
h /4
Q16
�
2
( 1)
0
h
4
Q66 z 2dz + �
Q66
�
h
4
0
2
4
0
z 2dz +
�Q12
( 3)
( 2)
4
0
z 2dz +
−
( 2)
Q16
�
h
4
0
z 2dz +
−
( 2)
z 2dz +
Q22
�
h
z 2dz +
−h
2
−h
4
z 2dz +
−
( 3)
0
�Q26
z 2 dz +
0
�Q66
−h
z 2dz +
−
4
( 3)
4
( 4)
z 2dz
Q22
�
h
4
( 4)
z 2dz
( 4)
z 2dz
( 4)
z 2dz
2
4
�Q66
−h
2
Q26
�
h
−h
z 2dz +
z 2dz
2
−h
4
−h
z 2dz
( 4)
Q16
�
h
−
( 3)
( 4)
�Q12
4
−h
( 2)
�Q11
z 2 dz +
( 3)
4
−h
2
−h
4
−h
0
h
4
0
h
4
−h
( 3)
�Q11 z dz +
z dz +
( 2)
Q22 z 2 dz + �
Q22
4
2
2
0
4
0
−h
Q26 z 2 dz + �
Q26
�
h
D66 =
2
Q16
�
h
h
D26 =
2
4
Q12 z 2dz + �
Q12
�
h
D22 =
h
4
h
D16 =
( 1)
Q11 z dz + �
Q11
�
h
D12 =
2
2
Công thức tính Qij tại từng lớp được tính như sau:
Lớp 1 và lớp 4 đối xứng nhau (góc xoay θ1 =
22
π
( 1)
( 4)
) nên Qij = Qij . Cụ thể:
4
Q11
( 1)
= Q11cos 4θ1 + Q22 sin 4 θ1 + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ1cos 2θ1
( 1)
= ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin 2 θ1cos 2θ1 + Q12 sin 4 θ1 + cos 4θ1
( 1)
= ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ1cos3θ1 + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin 3 θ1cosθ1
( 1)
= Q11 sin 4 θ1 + Q22cos 4θ1 + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ1cos 2θ1
( 1)
= ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin 3 θ1cosθ1 + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ1cos3θ1
( 1)
= ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin 2 θ1cos 2θ1 + Q66 sin 4 θ1 + cos 4θ1
Q12
Q16
Q22
Q26
Q66
(
)
(
Lớp 2 và lớp 3 đối xứng nhau (góc xoay θ 2 = −
)
π
( 2)
( 3)
) nên Qij = Qij . Cụ
4
thể:
Q11
( 2)
= Q11cos 4θ 2 + Q22 sin 4 θ 2 + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ 2cos 2θ 2
( 2)
= ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin 2 θ 2cos 2θ 2 + Q12 sin 4 θ 2 + cos 4θ 2
( 2)
= ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ 2cos3θ 2 + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin 3 θ 2cosθ 2
( 2)
= Q11 sin 4 θ 2 + Q22cos 4θ 2 + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ 2cos 2θ 2
( 2)
= ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin 3 θ 2cosθ 2 + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ 2cos3θ 2
( 2)
= ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin 2 θ 2cos 2θ 2 + Q66 sin 4 θ 2 + cos 4θ 2
Q12
Q16
Q22
Q26
Q66
(
(
)
)
trong đó Qij được xác định theo công thức (1.5).
�M �
� x�
Ký hiệu : { Σ} = �M y �. Từ (2.6) ta được: { Σ} = [ D ] { φ }
� �
M xy �
�
(2.7)
23
Bước 4: Thiết lập thế năng toàn phần, ma trận độ cứng, véctơ tải của
phần tử.
Thế năng biến dạng của phần tử tấm:
U etam =
1
�
�ε xσ x + ε yσ y + γ xyτ xy dV
2�
V
(
)
e
Thay (2.3) vào hệ thức trên ta được :
U etam =
1
�
�zφxσ x + zφ yσ y + φxyτ xy dxdydz
2�
V
(
)
e
h
h
h
�
�
2
2
2
1�
= �
φx dxdy �
σ x zdz + �
φ y dxdy �
σ y zdz + �
φxy dxdy �
τ xy zdz �
�
�
�
�
�
2 �F
�
F
F
−h
−h
−h
�
2
2
2
�
Theo (2.5) ta được :
U etam =
T
1
1
M
φ
+
M
φ
+
M
φ
d
xd
y
=
φ
{
}
x
x
y
y
xy
xy
�
�
� { Σ} dxdy
2�
2
F
F
(
)
Từ (2.4) và (2.7) suy ra
U etam =
T
�
�
1
T
{ φ} [ D ] { φ} dxdy = 1 { q} Te �
B
D
B
d
xd
y
�
{ q} e
[
]
[
]
[
]
�
�
�
��
�
2F
2
�F
�
U etam =
1
{ q} Te [ K ] tam
{ q} e
e
2
trong đó [ K ] e
tam
�
�
T
= ��
B
D
B
d
xd
y
�
được gọi là ma trận độ cứng phần tử
[
]
[
]
[
]
��
�
�F
�
Thế năng của nền đàn hồi với hệ số nền K là :
24
1
Kw2 ( x, y ) dxdy
�
�
2F
T
1
= K�
�
w
x
,
y
��
w ( x, y ) �
dxdy
(
)
�
��
�
2 F�
1
T
T
= K�
q
N
{
}
[
]
[ N1 ] { q} e dxdy
1
2 F� e
�
1
T
T�
= K { q} e ��
N
N
d
xd
y
�
{ q} e
[
]
[
]
1
��1
�
2
�F
�
�
1 T�
T
= { q} e �K �
N
N
d
xd
y
�
{ q} e
[
]
[
]
1
� �1
�
2
� F
�
1 T
nen
= { q} e [ K ] e { q} e
2
U enen =
U enen
U enen
U enen
U enen
U enen
với [ K ] e
nen
= K�
[ N1 ]
�
T
[ N1 ] dxdy
F
Vậy thế năng của tấm composite lớp trên nền đàn hồi sẽ là:
U e = U etam + U enen =
với [ K ] e = [ K ] e
tam
1 T
{ q} e [ K ] e { q} e
2
+ [ K ] e được gọi là ma trận độ cứng phần tử tấm
nen
composite lớp trên nền đàn hồi.
Công của ngoại lực do q gây ra trên độ võng của phần tử e là:
Ae = �
( q ( x, y ) dF ) w ( x, y )
�
F
Ae = �
q ( x, y ) �
N1 ( x, y ) �
{ q} edxdy
�
�
�
F
T
Ae = { q} e
q ( x, y ) �
N1 ( x, y ) �
�
�dxdy
�
�
Ae = { q}
{ P} e
T
T
e
F
25
