Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Suy luận tương tự trong dạy học môn Toán trung học phổ thông: Nghiên cứu trường hợp Phương pháp tọa độ trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

––––––––––

BÙI PHƯƠNG UYÊN

SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC 
MÔN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: 
NGHIÊN CỨU TRƯỜNG HỢP 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


TP HỒ CHÍ MINH ­  2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

––––––––––

BÙI PHƯƠNG UYÊN

SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC 
MÔN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG: 
NGHIÊN CỨU TRƯỜNG HỢP 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số chuyên ngành: 62 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. NGUYỄN PHÚ LỘC


2. TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

TP HỒ CHÍ MINH ­  2016


ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số  liệu, kết 
quả  nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố  trong bất kỳ 
công trình nào khác. Các số  liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu điều được  
ghi rõ nguồn gốc.
Tác giả luận án

       

BÙI PHƯƠNG UYÊN 


iii

MỤC LỤC
Trang
TRANG BÌA PHỤ ...................................................................................................i

iv

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

VIẾT TẮT
DH
SLTT
PPTĐ
GV
HS 
SV
THPT
SGK
PT
PTTQ
PTTS
VTPT
VTCP
GMAT
TWA
FAR

VIẾT ĐẦY ĐỦ
Dạy học
Suy luận tương tự
Phương pháp tọa độ
Giáo viên
Học sinh

Sinh viên
Trung học phổ thông
Sách giáo khoa
Phương trình
Phương trình tổng quát
Phương trình tham số
Vectơ pháp tuyến
Vectơ chỉ phương
The General Model of Analogy Teaching
Teaching­With­Analogies
Focus­Action­Reflection


v

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng
Bảng 1.1
Bảng 1.2

Tên bảng
Phân loại SLTT trong nghiên cứu SGK
Ví dụ về SLTT có ít thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa nguồn 

Trang
18
19

Bảng 1.3

và đích
Ví dụ về SLTT có nhiều thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa 

19

Bảng 1.4

nguồn và đích
Dùng SLTT đưa ra giả thuyết trong công thức tính khoảng cách 

21

Bảng 1.5
Bảng 1.6
Bảng 2.1
Bảng 2.2
Bảng 2.3
Bảng 2.4
Bảng 3.1

từ 1 điểm đến mặt phẳng
Mô hình FAR
Phân tích khái niệm PT mặt cầu theo mô hình FAR
Thống kê các bài dạy của GV ở các trường THPT
Thang bậc đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong dạy học 
Các nội dung tương tự trong bài Hệ tọa độ trong không gian
Thống kê nội dung bài soạn của SV theo nhóm
Các nội dung tương tự giữa PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ 

24

25
33
34
35
37
42

Bảng 3.2
Bảng 3.3
Bảng 3.4
Bảng 3.5

trong không gian
SLTT trong các SGK Hình học cơ bản
SLTT trong các SGK Hình học nâng cao
Phân loại SLTT trong các SGK Hình học cơ bản và nâng cao
Các tổ chức toán học trong PPTĐ trong mặt phẳng và trong 

45
45
46
51

không gian
Bảng 4.1 Thống kê số tiết sử dụng SLTT theo bài dạy của GV
Bảng 4.2 Các bài dạy có sử dụng SLTT của GV
Bảng 4.3 Thống kê kết quả sử dụng SLTT ở bước 1
Bảng 4.4 Thống kê kết quả sử dụng SLTT ở bước 2
Bảng 4.5 So sánh mức độ sử dụng SLTT theo điểm trung bình
Bảng 4.6 Kết quả soạn giáo án của SV trong khảo sát 2

Bảng 4.7 Thống kê kết quả câu hỏi 1
Bảng 4.8 Thống kê kết quả câu hỏi 2
Bảng 4.9 Thống kê sự lựa chọn bước khó nhất
Bảng 4.10 Thống kê kết quả câu hỏi 3
Bảng 5.1 Các giá trị biến trong bài toán viết PTTQ của mặt phẳng qua 3 

62
63
68
69
71
71
73
74
75
76
81

Bảng 5.2

điểm phân biệt
Các chiến lược giải bài toán tìm PTTQ của mặt phẳng đi qua 3 

82

Bảng 5.3

điểm phân biệt
Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán viết PTTQ của mặt 

83

Bảng 5.4

phẳng đi qua 3 điểm phân biệt
Các giá trị biến trong bài toán viết PTTQ của mặt phẳng đi qua 

87

Bảng 5.5

một điểm và song song với hai đường thẳng
Các chiến lược của HS khi giải bài toán viết PTTQ của mặt 

88

Bảng 5.6

phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng
Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán viết PTTQ của mặt 

89


vi

Bảng 5.7

phẳng qua 1 điểm và song song với 2 đường thẳng
Các giá trị biến trong bài toán viết PTTS của đường thẳng trong 

93

Bảng 5.8

không gian đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng d
Các chiến lược tìm PTTS của đường thẳng trong không gian đi 

94

Bảng 5.9

qua một điểm và vuông góc với đường thẳng d
Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán tìm PTTS của đường 

95

thẳng trong không gian đi qua một điểm và vuông góc với 
đường thẳng d
Bảng 5.10 Các giá trị biến trong bài toán tính góc giữa đường thẳng và 

99

Bảng 

mặt phẳng
Các chiến lược trong bài toán tính góc giữa đường thẳng và 

99

5.11
Bảng 

mặt phẳng
Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán tính góc giữa đường 

100

5.12
Bảng 

thẳng và mặt phẳng
Một số tương tự giữa các dạng cụ thể trong kiểu nhiệm vụ 

103

5.13
Bảng 

nhận dạng PT đường tròn và mặt cầu
Các giá trị của biến trong bài toán nhận dạng PT đường tròn và 

105

5.14
Bảng 

PT mặt cầu
Dự đoán một số sai lầm của HS khi sử dụng SLTT nhận dạng 

106

5.15
Bảng 

PT đường tròn và PT mặt cầu
Kết quả làm bài của HS khi giải bài toán nhận dạng PT đường 

108

5.16
Bảng 

tròn và PT mặt cầu
Các sai lầm của HS khi giải bài toán nhận dạng PT đường tròn 

108

5.17
Bảng 6.1

và PT mặt cầu
Quy trình DH khám phá khái niệm với SLTT (được cải tiến từ 

113

Bảng 6.2
Bảng 6.3
Bảng 6.4

mô hình TWA)
Dùng SLTT để khám phá khái niệm PT mặt cầu
Dùng SLTT để khám phá khái niệm PTTQ của mặt phẳng
Dùng SLTT để khám phá khái niệm PTTS của  đường thẳng 

114
116
118

Bảng 6.5

trong không gian
Quy trình DH khám phá định lý với SLTT (cải tiến từ mô hình 

119

Bảng 6.6

TWA)
Quy trình DH giải bài tập toán với SLTT (cải tiến từ mô hình 

123

Bảng 6.7

TWA)
Quy trình dự đoán sai lầm của HS do các nguồn tương tự trước 

129

Bảng 6.8
Bảng 6.9
Bảng 

khi giảng dạy
Quy trình phân tích phát hiện sai lầm
Quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT
Hệ thống hóa kiến thức trong PPTĐ trong mặt phẳng và trong 

132
136
140

6.10
Bảng 

không gian
Hệ thống hóa cách giải các bài tập viết PTTS của đường thẳng 

141

6.11

trong mặt phẳng và trong không gian


vii
Bảng 

Kết quả SLTT bài toán 1b và 2b theo chiến lược S1

147

6.12
Bảng 

Kết quả SLTT bài toán 1b và 2b theo chiến lược S2

148

6.13
Bảng 

Kết quả SLTT bài toán 1b và 2b theo chiến lược S3

148

6.14
Bảng 

Thống kê kết quả pha 1 trong tình huống thực nghiệm 1

149

6.15
Bảng 

Thống kê kết quả pha 2 trong tình huống thực nghiệm 1

150

6.16
Bảng 

Kết quả pha 1 trong tình huống thực nghiệm 2

155

6.17
Bảng 

Cách giải bài toán D1, D2, D3 theo chiến lược B1

162

6.18
Bảng 

Cách giải bài toán D1, D2, D3 theo chiến lược B2 

163

6.19
Bảng 

Cách giải bài toán D1, D2, D3 theo chiến lược B3

164

6.20

Bảng 

Kết quả thực nghiệm pha 1 và pha 2 của tình huống 3

165

6.21
Bảng 

Các chiến lược của các bài toán – tình huống thực nghiệm 4

169

6.22
Bảng 

Thống kê các chiến lược của HS đối với bài toán 1

172

6.23
Bảng 

Thống kê các chiến lược của HS đối với bài toán 2

172

6.24
Bảng 

Thống kê các chiến lược của các nhóm đối với bài toán 3

173

6.25


viii

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình
Hình 1
Hình 1.1
Hình 1.2
Hình 1.3
Hình 1.4
Hình 1.5

Tên hình
Sơ đồ quá trình nghiên cứu của luận án
Sơ đồ cấu trúc của SLTT
Mô hình học tập bằng SLTT của Holyoak 
SLTT trong quá trình nhận thức
Mô hình của SLTT (theo Nguyễn Phú Lộc, 2010)
Sơ đồ diễn giải “tổ chức toán học” (praxéologie) theo cách tiếp cận 

Trang
8
13
13

14
17
28

Hình 3.2
Hình 3.3
Hình 3.4

của thuyết nhân học trong didactic toán
Mẫu biên bản dự giờ GV
r
Dùng SLTT chứng minh  b .nr = 0
Lời giải bài tập SGK có sử dụng SLTT của HS
PTTS của đường thẳng trong không gian 
Tình huống có vấn đề cho việc giảng dạy PTTS của đường thẳng 

Hình 3.5

trong không gian 
Cách giới thiệu chương Phương pháp tọa độ trong không gian bằng 

49

Hình 3.6
Hình 3.7

tương tự 
Cách trình bày khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian 
Cách trình bày công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt 

49
50

Hình 5.1

phẳng
Các chiến lược tìm PTTQ của đường thẳng qua 2 điểm phân biệt A, 

79

Hình 5.2

B.
Các chiến lược tìm PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm phân biệt A, B, 

80

Hình 5.3
Hình 5.4

C
Các chiến lược tìm PPTQ của đường thẳng qua A và song song d
Các chiến lược tìm PTTQ của mặt phẳng đi qua điểm A và song 

86
86

Hình 5.5

song với hai đường thẳng d và d’

Các chiến lược tìm PTTS đường thẳng  ∆  qua A và vuông góc d 

92

Hình 5.6

trong mặt phẳng
Các chiến lược tìm PTTS của đường thẳng  ∆  đi qua A và vuông góc 

92

Hình 5.7
Hình 5.8

đường thẳng d trong không gian
Các chiến lược tìm góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng
Các chiến lược tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không 

97
97

Hình 5.9
Hình 5.10
Hình 6.1
Hình 6.2

gian
Các chiến lược nhận dạng PT đường tròn
Các chiến lược nhận dạng PT mặt cầu
Bài làm của HS L.H.T. (lớp 12 trường PT Thái Bình Dương)

Bài làm của HS B.V.N.M. (lớp 12 trường PT Thái Bình Dương)

104
104
133
135

Hình 2.1
Hình 3.1

33
47
48
48
48


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Việc sử dụng suy luận tương tự  vào dạy học được nhiều nhà giáo dục  
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu 
Khi gặp một tình huống mới, học sinh (HS) có xu hướng so sánh, đối  
chiếu nó với các vấn đề tương tự trước đó, từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề. 
Việc sử dụng suy luận tương tự (SLTT) trong quá trình dạy học (DH) đòi hỏi HS 
phải hoạt động dựa trên kiến thức cũ để tự mình khám phá ra các kiến thức mới.  
Vì vậy, HS là người chủ  động, tích cực để  hình thành các giả  thuyết mới. Quá 
trình này thúc đẩy phát triển tư  duy vì nó đòi hỏi người học phải biết suy xét, 
phân tích, so sánh, đối chiếu, khái quát hóa các kiến thức; từ  đó, khuyến khích  

lòng ham mê học tập và là động lực để  phát huy tư duy độc lập, tư duy phê phán 
và tư duy sáng tạo của HS.
SLTT có vai trò quan trọng trong DH khoa học nói chung và DH toán nói 
riêng. SLTT có thể  được dùng để  xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả 
thuyết trong DH khám phá, dự  đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS, dùng trong 
giải bài tập toán,…. Vì vậy, việc nghiên cứu về  tương tự, SLTT và sử  dụng 
SLTT vào DH đã được nhiều tác giả quan tâm. 
Ở  thời kì cổ  đại, theo [66], Aristote đã xem xét SLTT là cách suy luận 
dựa trên những điểm giống nhau hay tương tự giữa hai vật. Ông đã đưa ra tương 
tự dựa trên nguyên nhân, dấu hiệu, các đại diện và tương tự dựa trên tính tỷ lệ. 
Ở thời kì trung đại, theo [67], khi các trường Đại học đầu tiên (Bologna, 
Paris, Oxford) được thành lập, các nghiên cứu về  SLTT cũng tăng lên và được 
xem xét thành ba loại chính: 
Thứ nhất, theo ý nghĩa gốc Hy Lạp, SLTT liên quan đến so sánh hai tỷ lệ 
hoặc một mối quan hệ giữa hai điều. 
Thứ hai, SLTT theo thuộc tính.
Thứ ba, SLTT được sử dụng bởi các nhà thần học, là mối quan hệ giống  
nhau giữa Thiên Chúa và các sinh vật.


2

Ở  thời kì hiện đại, những nghiên cứu về  tương tự  và SLTT 
được phát triển mạnh mẽ. SLTT không chỉ  là suy luận giữa các tỷ  số  hay mối  
quan hệ  giữa hai điều có đặc điểm tương tự  mà nó là một tương  ứng giữa hai 
cấu trúc được ràng buộc bởi nhiều yếu tố. 
G. Polya (1977) đã nghiên cứu việc sử  dụng SLTT trong toán học và cho 
rằng SLTT có thể cung cấp nguồn cho các vấn đề  mới và có thể  nâng cao hiệu  
suất, ý tưởng giải quyết vấn đề. Theo [23, tr. 24­50], ông đã giới thiệu SLTT 
cùng mối liên hệ của nó với khái quát hóa, đặc biệt hóa trong giải quyết các vấn 

đề toán học. 
Dedre Gentner (1983) đã đưa ra lý thuyết cấu trúc tương  ứng (Structure ­ 
Mapping) nhằm mục đích nắm bắt các quy trình tâm lý thực hiện SLTT. Lý 
thuyết này cho rằng “SLTT là một tương  ứng từ một cấu trúc (nguồn) đến một  
cấu trúc khác (đích)” [43]. 
Hassan Hussein Zeitoun (1984) đã đưa ra mô hình  GMAT  (The General  
Model of Analogy Teaching). Theo [52], mô hình GMAT nhấn mạnh sự cần thiết 
lên kế hoạch trước khi sử dụng SLTT để giúp HS học tập kiến thức mới và đánh  
giá những tác động của SLTT để đáp ứng nhu cầu của HS.
Theo   [59],   Tom   Murray,   Klaus   Schultz,   David   Brown   và   Jonh   Clement 
(1990) đã thiết kế một chiến lược giảng dạy sử dụng SLTT để  khắc phục quan 
niệm sai lầm bằng cách khơi gợi trực giác chính xác hiện có và mở  rộng những 
trực giác bằng cách khuyến khích những suy nghĩ tương tự.
Shawn M. Glynn (1994) đề xuất mô hình TWA (Teaching With Analogies). 
Theo [58], mô hình này đã nêu ra một quy trình DH với SLTT một cách rõ ràng 
bao gồm 6 bước. 
Holyoak (1997) phát triển nghiên cứu việc sử dụng SLTT trong giải quyết  
vấn đề  và cho rằng quá trình lập tương  ứng cần hướng đích: sự   gắn kết  của 
SLTT phụ  thuộc vào cấu trúc thống nhất, ngữ  nghĩa và mục đích. Vì vậy, giữa 
nguồn và đích cần có càng nhiều mối quan hệ, thuộc tính giống nhau càng tốt và  
nó giúp giải quyết vấn đề gần.[70]
Lindsey E. Richland, Keith J. Holyoak và James W. Stigler (2004) đã nghiên 
cứu xem xét các vấn đề: HS ­ GV tham gia, nguồn tương tự, xây dựng mục tiêu 


3

và bối cảnh xuất hiện tương tự. Những dữ liệu từ 103 tương tự xuất hiện trong  
25 lớp 8 học toán được chọn ngẫu nhiên  ở  Mỹ  cho  thấy  rằng các GV  thường 
xuyên sử dụng tương tự như các cơ chế hướng dẫn để dạy các khái niệm. Xây 

dựng nguồn và mục tiêu cũng liên quan đến tương tự đáp  ứng nhu cầu học tập 
của HS dưới sự kiểm soát và giúp đỡ của GV. [49]
Leslie Jill Atkins (2004) đã tập trung vào việc  HS  tạo  ra  tương tự  trong 
khoa học và cung cấp một mô hình cho sự hiểu biết này. Tác giả cung cấp bằng 
chứng về phân loại tương tự và các cơ sở của tương tự, từ đó cho rằng tương tự 
được tạo ra dựa vào lược đồ và các mô hình nhận thức. [48]
Theo [40], Harrison và Coll (2007) đưa ra một hướng dẫn GV cách phân  
tích một tương tự  trước và sau khi DH với SLTT: mô hình FAR (Focus­Action­
Reflection).
Nghiên cứu của Kyung Hwa Lee, Min Jung Kim, Gwi Soo Na, Dae Hee  
Han và Sang Hun Song (2007) tập trung thảo luận hai vấn đề: làm thế nào để  các 
HS lớp 6 và lớp 8 có năng khiếu toán học sử dụng quy nạp, tương tự và hình ảnh 
trong quá trình giải quyết công việc của các em và vai trò của quy nạp, tương tự 
và hình ảnh trong việc khám phá toán học. [47]
Alison Pease, Markus Guhe và Alan Smaill (2009),  khám phá nguồn gốc và 
sự  phát triển các giả  thuyết của Descartes – Euler và những thảo luận hình học  
(sự  giống nhau giữa hai chiều và ba chiều, SLTT trong toán học của G. Polya)  
thông qua các SLTT đã được sử  dụng để  phát minh ra và phân tích phỏng đoán.  
[41]
Ở Việt Nam, có nhiều nghiên cứu về SLTT và ứng dụng của nó trong DH  
được giới thiệu bởi các tác giả  như  Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Đào Tam, 
Nguyễn Phú Lộc, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải,…
Tác giả  Hoàng Chúng (1994) đã định nghĩa SLTT “là suy luận căn cứ  vào  
một số  thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để  rút ra kết luận về  những  
thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó” [5, tr. 87­88], cùng sơ đồ, ví dụ 
minh họa và các điều kiện đảm bảo độ tin cậy của SLTT.
Tác giả Đoàn Hữu Hải (2001) đã chỉ ra “những qui tắc đặt tương ứng về  
sự tương tự dựa trên các phương diện cấu trúc; sự tương tự giữa các khái niệm,  

4

định nghĩa, định lý liên quan đến các đối tượng cơ bản và những quan hệ cơ bản  
và sự tương tự giữa các tính chất của những hình dạng thông thường”[8].
Tác giả Nguyễn Bá Kim (2004) xem xét SLTT là một cách thông dụng để 
tạo tình huống gợi vấn đề trong DH phát hiện và giải quyết vấn đề [13, tr.209]. 
Tác giả  Lê Thị  Hoài Châu (2004) đã giới thiệu việc khai thác phép SLTT 
vào DH hình học không gian: thứ  nhất là sự  tương tự  tính chất của hình học  
phẳng và hình học không gian; thứ hai là dùng tương tự trong cách giải quyết hai 
bài toán khi có sự tương tự về các yếu tố cho trong giả thiết và kết luận (theo [4, 
tr. 212­216]). 
Tác giả Lê Văn Tiến (2005) đã đưa ra một ví dụ  sử  dụng SLTT giữa tam 
giác vuông và tứ diện vuông [34]. 
Tác giả Đào Tam (2007) đã nhấn mạnh cần “ chú trọng cho HS thao tác tư  
duy tương tự  hóa giữa việc DH hình học phẳng và hình học không gian” [29, 
tr.63] và chỉ ra các sai lầm khi sử dụng SLTT. Đối với nội dung PPTĐ, tác giả đã  
phân tích đặc điểm và chỉ ra sự tương tự giữa các kiến thức trong mặt phẳng và 
trong không gian. 
Tác giả  Nguyễn Phú Lộc (2010) đã đề  cập cơ sở  lý thuyết về  SLTT, hai  
loại SLTT theo quan hệ  và theo thuộc tính. Bên cạnh đó, theo [18, tr. 64­69] và 
[20, tr. 81­82], tác giả  Nguyễn Phú Lộc đã đề  cập hai mô hình TWA và FAR sử 
dụng SLTT vào DH khám phá các khái niệm cấp số nhân, đạo hàm và giới hạn  
dãy số.
Tác giả  Từ  Đức Thảo (2011) đề  cập việc tìm ra các quy luật, tính chất  
liên quan đến elip, hyperbol, parabol bằng cách sử  dụng SLTTvới các quy luật 
liên quan đến đường tròn [33]. 
Tác giả  Bùi Phương Uyên (2012) đã vận dụng mô hình TWA vào DH các  
khái niệm trong chương PPTĐ trong không gian và thực nghiệm kiểm chứng  
[38].
Tác giả  Dương Hữu Tòng (2013) nghiên cứu cách sử  dụng SLTT để  xây 

dựng nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dùng trong giải các bài tập liên quan  
đến chủ đề phân số [37].


5

1.2. Mối quan hệ  tương tự  giữa phương pháp tọa độ  trong không gian và  
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Phương pháp tọa độ  (PPTĐ) là “một phương pháp tư duy mới, tư duy hình  
học bằng những con số, tìm hiểu các hình hình học qua phương trình của chúng.  
Việc đưa kiến thức vectơ PPTĐ vào chương trình hình học... đã giúp HS tiếp cận  
với một phương pháp tư duy hiện đại... có thêm những phương tiện mới để  suy  
luận một cách có cơ  sở  khoa học mà hoàn toàn không dựa vào trực giác” (dẫn 
theo [4, tr.120]). PPTĐ là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ 
thông hiện nay. PPTĐ chiếm một phần ba nội dung hình học trong chương trình  
sách giáo khoa (SGK) toán lớp 10 và lớp 12 hiện nay. Đây cũng là một nội dung  
quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi đại học, cao đẳng  
(chiếm 1/5 khối lượng trong các đề thi). Vì vậy, cần giúp cho HS nắm vững các 
khái niệm, định lý và vận dụng tốt vào giải các bài tập PPTĐ là một yêu cầu cần 
thiết hiện nay.
Các SGK hiện nay trình bày chủ yếu một hệ tọa độ là hệ tọa độ Descartes  
vuông góc trong cả mặt phẳng lẫn không gian vì nó là hệ tọa độ thông dụng nhất  
và cho phép giải quyết cả những bài toán aphin lẫn những bài toán mêtric. SGK  
Hình học 10 đề  cập đến một số  nội dung quan trọng: Phương trình tham số 
(PTTS), phương trình (PT) chính tắc, phương trình tổng quát (PTTQ) của đường  
thẳng, PT theo đoạn chắn, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ  một điểm  
đến đường thẳng, PT đường tròn, các đường conic,... Trong không gian, nội dung 
của PPTĐ bao gồm: PTTQ của mặt phẳng, vectơ pháp tuyến (VTPT), cặp vectơ 
chỉ  phương (VPCP), vị  trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ  một  
điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, PTTS của đường thẳng, PT mặt  

cầu,... Điều này cho thấy rằng có nhiều khái niệm  ở chương PPTĐ trong không 
gian là những vấn đề tương tự như đã xét đối với các khái niệm ở chương PPTĐ  
trong mặt phẳng. Hơn thế  nữa,  ở  hai chương PPTĐ trong mặt phẳng và trong 
không gian, rất nhiều dạng bài tập có nội dung và cách giải hoàn toàn tương tự 
nhau. Vì thế, giáo viên (GV) cần giúp cho HS thấy được sự  tương tự  giữa các 
nội dung trong PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian. Điều này được 
tác giả Lê Thị Hoài Châu chỉ rõ :


6
“Khi dạy PPTĐ trong không gian cần phải liên hệ với PPTĐ trong mặt phẳng, chỉ cho  
HS thấy  sự  tương tự, sự  khái quát hóa từ  mặt phẳng lên không gian: PTTQ, VTPT,  
cặp VTCP, vị  trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ  một điểm đến mặt  
phẳng, góc giữa hai mặt phẳng là  những vấn đề  tương tự  như  đã xét  với đường  
thẳng trong mặt phẳng”. [4, tr. 142]

Như  đã phân tích, DH với SLTT có vai trò quan trọng trong quá trình DH 
toán bởi nó không chỉ  giúp HS có cơ  hội ôn tập kiến thức cũ mà còn giúp phát  
huy tính tích cực của HS trong việc khám phá kiến thức mới. Bên cạnh đó, các  
nội dung trong chương PPTĐ trong gian có nhiều điểm tương tự  với các nội 
dung trong chương PPTĐ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, hiện nay chưa có nhiều 
công trình nghiên cứu về vấn đề này. Vì vậy, DH các nội dung cụ thể ở chương  
PPTĐ trong không gian bằng việc sử  dụng SLTT với các nội dung  ở  chương 
PPTĐ trong mặt phẳng là một vấn đề mới. Từ đây đặt ra cho chúng tôi bốn nghi  
vấn sau:
­ Thứ nhất, các tác giả SGK Hình học hiện hành có sử dụng SLTT để trình 
bày các nội dung cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian hay không?
­ Thứ hai, từ việc sử dụng SLTT trong các SGK, GV toán THPT và SV sư 
phạm toán có lựa chọn sử dụng SLTT trong DH chương PPTĐ trong không gian 
như là một chiến lược nhằm phát huy tính tích cực của HS hay không?

­  Thứ  ba,  HS mắc phải những loại sai lầm nào khi sử  dụng SLTT trong 
quá trình học tập ở chương PPTĐ trong không gian? 
­  Thứ  tư,  làm thế  nào để  phát huy tính hiệu quả  khi DH với SLTT  ở 
chương PPTĐ trong không gian?
Từ những nghi vấn trên đây, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận 
án:
“Suy luận tương tự trong dạy học môn Toán trung học phổ thông: 
Nghiên cứu trường hợp Phương pháp tọa độ trong không gian”.
2. Phạm vi lý thuyết và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi về  tương tự, SLTT và  
DH với SLTT. Bên cạnh đó, một số công cụ lý thuyết của didactic toán được vận  
dụng trong luận án là: 


7

­ Thuyết nhân học trong didactic toán: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân 
đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học.
­ Hợp đồng DH trong nghiên cứu sai lầm của HS.
­ Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các  
tình huống DH.
Mục đích của đề tài là tìm hiểu về khái niệm tương tự, SLTT, vai trò, vị trí  
của nó và các  ứng dụng của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian. Từ  những 
nghi vấn ban đầu, chúng tôi đã cụ thể thành các câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi nghiên cứu 1:  Mối tương quan tương tự  giữa PPTĐ trong mặt 
phẳng và PPTĐ trong không gian ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ  nào trong  
chương PPTĐ trong không gian tương tự  các kiểu nhiệm vụ  trong PPTĐ trong  
mặt phẳng? Có những kết luận gì về thực trạng sử dụng SLTT trong SGK Hình 
học hiện nay?
Câu   hỏi   nghiên   cứu   2:  Sự   ảnh   hưởng   của   việc   sử   dụng   SLTT   trong  

chương PPTĐ trong không gian ở các SGK đối với việc thực hành giảng dạy của 
GV toán THPT và SV năm cuối ngành sư phạm toán ra sao? 
Câu hỏi nghiên cứu 3: HS gặp phải những sai lầm nào khi sử dụng SLTT 
vào giải bài tập chương PPTĐ trong không gian?
Câu hỏi nghiên cứu 4: Những biện pháp nào để phát huy tác dụng tích cực 
của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian? Làm thế  nào để  kiểm chứng tính 
hiệu quả của các biện pháp này?
3. Phương pháp nghiên cứu
Để  tìm ra câu trả  lời cho các câu hỏi được nêu  ở  trên, chúng tôi sử  dụng 
các phương pháp nghiên cứu sau:
­   Nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp, hệ  thống hóa các quan niệm về 
tương tự, SLTT và các mô hình DH sử dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết 
cho đề tài.
­ Phương pháp phân tích nội dung: phân tích các SGK Hình học hiện hành 
được thực hiện nhằm tìm hiểu các SLTT được sử  dụng như  thế  nào trong SGK 
và đặc biệt ở chương PPTĐ trong không gian.
­ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: 


8

Tìm hiểu thực tiễn DH sử  dụng SLTT trong chương PPTĐ trong không 
gian của GV và SV sư phạm Toán.
Tìm hiểu những sai lầm của HS liên quan đến SLTT khi học tập các kiến  
thức trong chương PPTĐ trong không gian.
­ Nghiên cứu và phát triển: đề  xuất những giải pháp tổ chức DH sử dụng 
SLTT vào DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian.
­  Phương   pháp  nghiên   cứu  thực   nghiệm:  triển   khai   thực   nghiệm   kiểm 
chứng tính hiệu quả của các tình huống DH sử dụng SLTT đã đề xuất.
­ Phương pháp thống kê toán học: phân tích các dữ liệu nghiên cứu.

Quá trình nghiên cứu của chúng tôi được mô tả ở hình 1.


9
NGHIÊN CỨU  TỔNG QUAN 

NGHIÊN CỨU CƠ SỞ LÝ THUYẾT

NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu các SLTT 
trong SGK Hình học 
(câu hỏi nghiên cứu 1)
Nghiên cứu thực tiễn DH sử 
dụng dụng SLTT của GV và 
SV (câu hỏi nghiên cứu 2)

Nghiên cứu sai lầm của HS 
khi sử dụng SLTT 
(câu hỏi nghiên cứu 3)

Nghiên cứu giải pháp sử dụng SLTT 
vào DH và thực nghiệm
 kiểm chứng (câu hỏi nghiên cứu 4)

THU THẬP DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU

PHÂN TÍCH DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU

TỔNG HỢP VÀ TƯỜNG THUẬT
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Hình 1. Sơ đồ quá trình nghiên cứu của luận án
4. Giới hạn của đề tài


10

Ở đây, chúng tôi lựa chọn một phép suy luận được sử dụng nhiều trong quá  
trình học tập, khám phá kiến thức mới của HS: SLTT. Phép suy luận này được  
nghiên cứu trong quá trình DH toán  ở  trường THPT và được vận dụng vào DH 
các nội dung cụ  thể   ở  chương PPTĐ trong không gian. Hơn nữa, trong luận án 
chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu những SLTT chuyển từ mặt phẳng sang không 
gian. 
Để nghiên cứu sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT  ở SGK đối với việc 
thực hành giảng dạy của GV và SV, chúng tôi dựa trên cơ  sở  so sánh các SLTT  
được trình bày trong các SGK Hình học 12 hiện hành (cơ  bản và nâng cao) với 
cách sử dụng SLTT trong các tiết dạy của GV toán THPT và giáo án của SV sư 
phạm toán.
 Về đối tượng khảo sát, chúng tôi chỉ tiến hành khảo sát đối với GV và HS 
các trường THPT ở các tỉnh đồng bằng sông Cửu Long, SV ngành Sư phạm toán  
trường Đại học Cần Thơ.
5. Giả thuyết khoa học
Các giả  thuyết sau đây có được từ  việc nghiên cứu cơ  sở  lý luận, nghiên 
cứu nội dung SGK và thực trạng DH với SLTT. Việc kiểm chứng tính đúng đắn 
của chúng được thực hiện trong chương 5 và chương 6 của luận án. 
H1: Bằng cách sử  dụng SLTT, GV có thể  tổ  chức DH giúp HS khám phá tri  
thức toán học ở chương PPTĐ trong không gian.
H2: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể giúp HS tìm tòi lời giải cho các bài  
toán ở chương PPTĐ trong không gian . 
H3: Trong học tập chương PPTĐ trong không gian, HS sẽ  gặp phải những  

sai lầm khi giải bài tập toán do sử dụng SLTT.
6. Đóng góp chính của luận án
6.1. Về mặt lý luận
­ Tổng hợp quan điểm của nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục về  tương tự,  
SLTT, vai trò và ứng dụng của nó trong quá trình DH, cách phân loại về SLTT và  
các mô hình DH sử  dụng SLTT như: mô hình GMAT, mô hình TWA, mô hình 
FAR,… 
­ Đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH.


11

­ Đề xuất sáu giải pháp nhằm phát huy tác dụng tích cực của SLTT vào DH.
­ Đề  xuất cách vận dụng SLTT vào sáu quy trình DH cơ  bản: quy trình DH 
khám phá khái niệm; quy trình DH khám phá định lý, quy trình DH giải bài toán; 
quy trình dự  đoán sai lầm của HS do các nguồn tương tự  trước khi giảng dạy;  
quy trình phân tích và phát hiện sai lầm; quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng  
SLTT.
6.2. Về mặt thực tiễn
 ­ Phân tích các tương tự  và SLTT được sử  dụng trong các SGK Hình học  
hiện hành ở chương PPTĐ trong không gian.
­ Làm rõ những  ảnh hưởng của cách trình bày các SLTT  ở  SGK đến việc  
DH sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian của GV ở trường phổ thông  
hiện nay và SV năm cuối ngành sư phạm toán. 
­ Chỉ ra một số sai lầm của HS do sử dụng SLTT khi gi ải bài tập ở chương  
PPTĐ trong không gian.
­  Các giải pháp và các quy trình DH với SLTT góp phần nâng cao hiệu quả 
quả  DH các nội dung cụ  thể   ở  chương PPTĐ trong không gian nói riêng và DH 
môn toán nói chung.
7. Những điểm cần bảo vệ

­ Những quan niệm về tương tự, SLTT và vai trò của nó trong DH.
­ Những SLTT được sử dụng trong các SGK hiện hành và thực trạng DH với 
SLTT của GV, SV sư phạm toán trong chương PPTĐ trong không gian.
­ Một số kết quả về nghiên cứu sai lầm của HS khi sử dụng SLTT ở chương  
PPTĐ trong không gian.
­ Các giải pháp sư phạm và các quy trình DH phát huy tác dụng tích cực của  
SLTT trong DH chương PPTĐ trong không gian và kết quả  thực nghiệm kiểm  
chứng.
8. Cấu trúc của luận án
Tương  ứng với mục đích và nhiệm vụ  đặt ra, ngoài phần mở  đầu và kết  
luận, nội dung chính của luận án được trình bày theo 6 chương như sau:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương 2. Phương pháp và thiết kế nghiên cứu


12

Chương 3. Nghiên cứu SLTT trong chương PPTĐ trong không gian
Chương 4. Nghiên cứu thực tiễn DH sử dụng SLTT
Chương 5. Nghiên cứu thực tiễn về sai lầm của HS khi sử dụng SLTT
Chương 6. Giải pháp phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH toán và  
thực nghiệm sư phạm


13

Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này, chúng tôi phân tích, tổng hợp, hệ  thống hóa các quan 
niệm của các nhà giáo dục về tương tự, SLTT, vai trò của SLTT trong DH toán 

và các mô hình DH sử dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết cho đề tài.
1.1. Khái niệm tương tự và suy luận tương tự
1.1.1. Tương tự là gì?
Từ  tương tự có nguồn gốc từ  “αναλογια”, một từ  toán học của Hy Lạp.  
Từ này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số [20, tr. 81­ 82].
Theo G. Polya (1997), tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối 
tượng phù hợp với nhau trong những mối quan hệ  được quy định là những đối 
tượng tương tự. Hai hệ  là tương tự  nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối 
quan hệ  xác định rõ ràng giữa những bộ  phận tương  ứng. Theo [23, tr.24 ­26], 
tam giác trong mặt phẳng tương ứng tứ diện trong không gian. Trong mặt phẳng, 
hai đường thẳng không tạo nên một hình giới hạn, còn ba đường thẳng tạo nên 
một tam giác. Trong không gian, ba mặt phẳng không tạo nên một vật giới hạn,  
còn bốn mặt phẳng thì có thể  tạo nên một tứ  diện. Quan hệ  của tam giác với 
mặt phẳng cũng như  quan hệ  của tứ  diện với không gian bởi chúng đều được  
giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản.
Trong một định nghĩa của Hassan Hussein Zeitoun [50, tr.164­177], tương tự 
được dựa trên bốn thành phần cụ  thể  là “nguồn”, “đích”, “tương đồng” và “dị 
biệt”. “Đích” là các vật không quen thuộc, các vật trừu tượng để  được học. Nó 
có thể  là một khái niệm, nguyên tắc, quy luật, lý thuyết hay vấn đề  công việc  
cần được giải quyết. Khái niệm “nguồn” là các vật cụ thể, quen thuộc, thu được  
từ  xung quanh hoặc từ  một tình huống trong môi trường. Nó được sử  dụng để 
tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của khái niệm đích. Khái niệm “nguồn” 
cũng đại diện cho tương tự và ngược lại. Thuật ngữ  “tương đồng” đề  cập đến 
những điểm tương đồng chia sẻ  giữa các tính năng tương  ứng của khái niệm  
nguồn và khái niệm đích. Thuật ngữ “dị biệt” được sử  dụng để  chỉ  bất kỳ  hình  
thức khác biệt hoặc không tương đồng giữa các tính năng của khái niệm nguồn 
và đích. 


14

Theo định nghĩa của Duit và Glynn, một tương tự  biểu thị  sự  tương đồng  
giữa hai lĩnh vực có liên quan đến đặc tính cụ thể [63]. 
Theo Gentner (1983), T và S tương tự  với nhau hay ta nói “T giống S” xác 
định một tương ứng từ S đến T [43]. S được gọi là nguồn và là một kiến thức đã 
biết, T được gọi là đích và là đề tài được học. Như vậy, Gentner xem tương tự là 
một tương  ứng từ  nguồn đến đích (một dấu hiệu giống nhau giữa nguồn và  
đích). Thông thường, nguồn là một phần đã được biết đến, trong khi đích là một  
phần có thể  suy ra hoặc phát hiện. Sự  tương tác của nguồn và đích tạo ra một  
cấu trúc mới mở rộng vượt ra ngoài trước kinh nghiệm đã có. 
Trong luận án này, chúng tôi lấy quan niệm về tương tự của G. Polya làm 
cơ sở lý thuyết.
1.1.2. Suy luận tương tự là gì?
Theo từ điển Bách khoa toàn thư [62], SLTT là phương pháp luận xác định 
sự  giống nhau trong một số  mặt, tính chất và quan hệ  giữa những đối tượng 
không đồng nhất với nhau.
Trong logic học, tác giả Hoàng Chúng (1994) định nghĩa SLTT là suy luận 
căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về 
những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó [5, tr. 87­ 88].
Sơ đồ:  ­ Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e.
­ Đối tượng A có thuộc tính f.
Có thể: B cũng có thuộc tính f.
Ví dụ : ­ Trái đất và sao Hỏa có một số  thuộc tính chung: là hành tinh của mặt 
trời, đều có không khí, đều có nước, đều có khí hậu tương đối ôn hòa.
­ Trên trái đất có sự sống.
Có thể, trên sao Hỏa cũng có sự sống.
SLTT, theo Hativah (2000) [53, tr. 163­165], được định nghĩa như là “sự so  
sánh giữa những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống nhau ở  
vài khía cạnh thích hợp”. Vật làm cơ  sở  cho tương tự, là phần tử  để  so sánh, 
được gọi là nguồn; trong khi đó, những vật được giải thích hoặc được học nhờ 

sử dụng SLTT được gọi là đích. Sử dụng SLTT là một quá trình liên quan đến sự 
trao đổi giữa nguồn và đích.


15

Theo   quan   điểm   tương   ứng   ­   cấu   trúc   (structure   –   mapping),   Gentner  
(1983) cho rằng SLTT là một tương  ứng từ  một cấu trúc (nguồn) đến một cấu  
trúc khác (đích) và đưa ra mô hình của SLTT như sau (xem hình 1.1):
Nguồn                                                               Đích

Cấu trúc                                                           Cấu trúc
   đã biết                                                           được suy ra

Hình 1.1. Sơ đồ cấu trúc tương ứng của SLTT [43]

 Năm 1983, Holyoak và các cộng sự đã nghiên cứu vai trò của SLTT trong  
giải  quyết vấn  đề.  Holyoak xác  định  SLTT  là  quá  trình lập tương  ứng  giữa 
nguồn và đích theo hướng đạt được mục tiêu (xem hình 1.2).
lập tương ứng

­­­­­­­­­­­­­­­
Suy luận
Đích

 thiết lập lại

Nguồn

   đánh giá

học tập

học tập
Giải quyết 
vấn đề

Hình 1.2.  Mô hình học tập bằng SLTT của Holyoak [51]

SLTT là một loại hình của phép suy luận quy nạp, không phải là một suy  
luận chứng minh, nên những kết luận dự kiến chỉ là giả thuyết, thực tế đúng đắn 
của chúng không được bảo đảm mà phải được kiểm tra một cách riêng biệt. Vì 
vậy, khi đánh giá một SLTT cần chú ý: cho dù những kết luận dự  kiến có cấu 
trúc nhất quán đi nữa, tính đúng đắn�� hình DH giải bài tập toán với SLTT. 
Pha 2: Trong pha này, HS cần phải thảo luận để  thống nhất với nhau về 
bài toán nguồn. Sau đó các em sẽ thực hiện bước 4, 5 để suy ra cách giải và trình 
bày lời giải cho các bài toán đã cho.
Pha 3: HS thực hiện bước 6 kiểm tra lại lời giải.
Hình thức thực nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành đối với HS lớp 12 học xong các khái niệm 
PT mặt cầu,  PTTQ của mặt phẳng và PTTS của đường thẳng trong không gian.
Trong pha 1, mỗi HS được phát một phiếu học tập 1.  Ở  pha 2, HS hoạt  
động theo nhóm, mỗi nhóm 4 HS và được phát một phiếu học tập 2.
Phân tích tiên nghiệm
Các chiến lược
Ở  câu hỏi 1, HS có thể  sử  dụng các chiến lược sau để  tìm các bài toán  
tương tự với bài toán đã cho:
S1: Phát biểu bài toán tương tự trong hình học không gian