Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lí thuyết Nevanlinna P-adic và các ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (902.31 KB, 77 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
______________________
Lục Văn Hào
LÍ THUYẾT NEVANLINNA pADIC
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
______________________
Lục Văn Hào
LÍ THUYẾT NEVANLINNA pADIC
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Chuyên ngành
Mã số
: Đại số và Lí thuyết số
: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. MỴ VINH QUANG
Thnh phố Hồ Chí Minh – 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
----------------------------------------------------------------------------
LỤC VĂN HÀO
LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC
VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Chuyên ngành : ĐẠI SỐ và LÍ THUYẾT SO
Mã số : 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. MỴ VINH QUANG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin gửi đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận
tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết
ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi
Xuân Hải, thầy Lê Hoàn Hoá, thầy Đậu Thế Cấp và tất cả các thầy cô khác đã
trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học
tập.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau
Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này.
TP. Hồ Chí Minh, 08/2009
Lục Văn Hào
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC ............................ 4
1.1.
Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean ........................................... 4
1.2.
Trường các số p-adic
1.3.
Trường các số phức p-adic
p
và vành
p
p
......................................................... 7
...................................................................... 9
Chương 2. HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC .... 10
2.1.
Các hàm đặc trưng ........................................................................................ 10
2.2.
Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic ...................................... 15
2.3.
Nhận xét và một số định lí mở rộng ............................................................. 23
Chương 3. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC ....... 29
3.1.
Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết giả thuyết abc cho trường
hàm p-adic .................................................................................................... 29
3.2.
Ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết bài toán Waring cho
trường hàm p-adic ......................................................................................... 50
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 61
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 62
PHỤ LỤC
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích p-adic là một chuyên ngành toán học mới đang được phát triển và ứng
dụng trong lĩnh vực lí thuyết số hiện đại, góp công lớn vào hai thành tựu nổi bật
trong thế kỉ 20 của lí thuyết số hiện đại là chứng minh được định lí lớn Fermat
(Andrews Wiles, 1994) và chứng minh được giả thuyết Taniyama – Shimura (1999).
Là một nội dung thuộc chuyên ngành giải tích p-adic, lí thuyết Nevanlinna p-adic
đã được xây dựng, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong việc khảo sát tính chất
của các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic.
Vì lí do đó, chúng tôi chọn đề tài : “Lí thuyết Nevanlinna p-adic và các ứng
dụng” nhằm mục đích tiếp cận một lí thuyết toán học mới đang phát triển.
2. Lịch sử vấn đề
Lí thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ
Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỉ cuối của thế kỉ trước (xem [2], [5]) và
ngay sau đó lí thuyết Nevanlinna p-adic đã được mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác
giả khác cho trường hợp nhiều chiều và cho siêu mặt.
Giả thuyết abc và bài toán Waring là hai vấn đề rất mới của Lí thuyết số hiện đại
và hiện vẫn đang được các nhà toán học trên thế giới tìm tòi hướng giải quyết trong
tập hợp các số nguyên. Một thành tựu nổi bật trong việc nghiên cứu hai vấn đề trên
trong tập hợp các số nguyên là đã góp phần giúp chứng minh được định lí cuối cùng
của Fermat một cách đầy đủ và toàn diện.
Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lí thuyết
Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn đề liên quan đến giả thuyết abc và bài toán
Waring cho các hàm nguyên và hàm phân hình p-adic.
3. Mục đích nghiên cứu
2
Ứng dụng hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả
thuyết abc trong trường các hàm p-adic và tìm lời giải cho bài toán Waring trong
trường các hàm p-adic.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp cơ bản của Đại số và Lí thuyết số hiện đại, đặc biệt là
căn cứ vào hai định lí cơ bản trong lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải quyết các vấn
đề được đặt ra.
5. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài
Luận văn đã trình bày được nội dung của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chứng
minh được các định lí để giải quyết được giả thuyết abc cho trường các hàm p-adic
và tìm lời giải cho bài toán Waring trong trường các hàm p-adic.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn được phân bố trong ba chương với nội dung cụ thể như sau :
Chương 1. Một số vấn đề cơ bản của giải tích p-adic
Chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm
: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic
p
và vành các số nguyên p-adic
p , xây dựng trường các số phức p-adic p . Hầu hết nội dung các phần chứng
minh định lí trong chương này được bỏ qua. Các nội dung chứng minh chi tiết đều
được trình bày trong các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối sách.
3
Chương 2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic
Chương này trình bày các hàm đặc trưng và hai định lí cơ bản của lí thuyết
Nevanlinna p-adic. Ngoài ra chúng tôi còn cung cấp các định lí mở rộng trong lí
thuyết Nevanlinna p-adic để vận dụng trong chương cuối cùng của luận văn.
Chương 3. Những ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna p-adic
Đây là chương chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lịch
sử phát triển cũng như các kết quả nghiên cứu đã đạt được đối với giả thuyết abc và
bài toán Waring trong tập hợp các số nguyên, bên cạnh đó ứng dụng lí thuyết
Nevanlinna p-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trong trường các hàm p-adic và bài
toán Waring trong trường các hàm p-adic.
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các
chương sau bao gồm : chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic
số nguyên p-adic
p,
xây dựng trường các số phức p-adic
p.
p
, vành các
Hầu hết các chứng
minh trong chương này được bỏ qua và có thể tìm thấy trong những tài liệu tham
khảo.
1.1. Chuẩn Archimedean và chuẩn phi Archimedean
1.1.1. Chuẩn trên trường
Định nghĩa 1.1. Cho F là một trường, ánh xạ
:F
được gọi là
chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên trường F nếu thoả các điều kiện sau :
i) x F , x 0 và x 0 x 0 ;
ii) x, y F , xy x . y ;
iii) x, y F , x y x y .
Nếu trường F là một trong các trường
,
,
thì hàm giá trị tuyệt đối
thông thường là chuẩn trên F .
Định nghĩa 1.2. Với trường F bất kì, hàm
được định nghĩa như sau :
: F
1 neáu x 0
x x
0 neáu x 0
là một chuẩn trên trường F và được gọi là chuẩn tầm thường.
Chuẩn
trên F có các tính chất cơ bản như sau :
i) x F , x x ;
ii) 1 1 với 1 là đơn vị của F ;
1
.
x
iii) x F , x 0, x 1
Định lí 1.3. Nếu F là trường hữu hạn thì F có chuẩn duy nhất là chuẩn tầm
thường.
Định nghĩa 1.4. Cho F là trường và
là chuẩn trên F . Khi đó
d :FF
x, y d x, y
yx
là một mêtric trên F và được gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn
.
1.1.2. Chuẩn tương đương
Định nghĩa 1.5. Cho F là một trường và
Chuẩn
bởi
1
1
tương đương với chuẩn
và
2
2
(kí hiệu
1
,
2
1
là hai chuẩn trên F.
2
) nếu tôpô cảm sinh
trùng nhau.
Định lí 1.6. (Các điều kiện tương đương của chuẩn) Cho F là một trường và
1
,
2
i)
là hai chuẩn trên F. Các phát biểu dưới đây là tương đương.
1
~
2
;
ii) x F , x 1 1 x
2
1 ;
iii) x F , x 1 1 x
2
1 ;
iv) Tồn tại c
sao cho x
c
2
v) xn là dãy Cauchy đối với
x 1 , x F ;
1
xn là dãy Cauchy đối với
2
.
1.1.3. Chuẩn phi Archimedean
Định nghĩa 1.7. Chuẩn
trên trường F được gọi là chuẩn phi
Archimedean nếu thoả điều kiện sau :
iii’) x, y F , x y max x , y .
Một chuẩn không phải phi Archimedean được gọi là chuẩn Archimedean.
Ví dụ 1.8. Xây dựng một chuẩn phi Archimedean trên trường
.
Với mọi m và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới dạng
m p m1 với m1 , p 1 ,
. Khi đó được gọi là số mũ của p trong m,
kí hiệu ord p (m) .
Với r
*
,r
m
, ta định nghĩa ord p (r ) = ord p (m) – ord p (n) .
n
Nếu biểu diễn r p .
m1
với , (n1 , p ) 1, (m1 , p ) 1 thì ord p (r ) .
n1
Quy ước : ord p (0) .
Ta có các tính chất sau :
i) ord p ( rs) ord p (r ) ord p ( s ) ;
r , s .
ii) ord p ( r s) min ord p r , ord p s
Với 0 1 cố định, ta xây dựng chuẩn
p
:
p
trên
như sau :
0 khi x 0
x x p ord x
p khi x 0.
Chuẩn
p
như trên là một chuẩn phi Archimedean trên
.
Định lí 1.9. (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimedean)
Cho F là một trường và
đương :
là chuẩn trên F. Các khẳng định sau là tương
i)
là chuẩn phi-Archimedean ;
ii) 2 1 ;
iii) n 1, n
;
bị chặn ( A 0 : n , n A ) .
iv) Tập các số tự nhiên
Nhận xét 1.10. Một vài tính chất đặc biệt của chuẩn phi Archimedean
.
i) x y max x , y nếu x y .
ii) Mọi tam giác đều là tam giác cân.
iii) Mọi điểm thuộc hình tròn đều là tâm của hình tròn.
v) B (a, r ) x F / x a
r - vừa đóng vừa mở.
iv) B(a, r ) x F / x a p r - vừa đóng vừa mở.
p
Định lí 1.11. (Định lí Ostrowsky) Mọi chuẩn không tầm thường trên trường
số hữu tỉ
hoặc tương đương với chuẩn
với giá trị tuyệt đối thông thường
1.2. Trường các số p-adic
p
trên
và vành
1.2.1. Xây dựng trường các số p-adic
Theo định lí Ostrowsky, trên
p
p
( p nguyên tố) hoặc tương đương
.
p
và vành
chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường
và giá trị tuyệt đối phi Archimedean
p
. Mặt khác, làm đầy đủ
đối thông thường, ta nhận được trường các số thực
được trường các số p-adic
chi tiết hơn về cách xây dựng
p
p
, làm đầy đủ
(tương tự p-adic của trường số thực
p
theo giá trị tuyệt
theo
p
ta
). Ta sẽ mô tả
trong mục này.
Kí hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỉ theo
tương đương như sau :
xn yn p 0 .
xn yn nlim
p
. Trên S ta xác định một quan hệ
Ta gọi
p là
tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên :
S
p
Trang bị cho
p
x x S .
n
n
hai phép toán cộng và nhân như sau :
xn yn xn yn ; xn . yn xn . yn .
p , ,.)
Rõ ràng (
Chuẩn
trong
p
Với xn
Rõ ràng
là một trường, trường này gọi là trường các số p-adic
p
được mở rộng trong
p
.
như sau :
( xn là dãy Cauchy trong
p
), x = xn thì x p lim xn p .
n
là chuẩn phi-Archimedean.
p
Một phần tử x trong
p
với x p p m có biểu diễn p-adic là :
x b m p m b m1 p m1 ... b0 b1 p ... bn p n ...
với m , b m 0, bi 0, p 1 .
Tập hợp
trong
p
p
x
p
x p 1 cùng với phép toán cộng và phép toán nhân
lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic.
1.2.2. Một số tính chất cơ bản của vành
p,
p
Định lí 1.12. (Các tính chất cơ bản của vành
i)
ii)
iii)
p
là vành chính, mọi ideal của
p
là tập compact đối với chuẩn
p
p
p,
p
)
có dạng là p m
p
p
(m ) .
.
là tập compact địa phương.
1.3. Trường các số phức p-adic
p
Ta đã biết, theo định lí Ostrowsky, trên
chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối
thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimedean
thông thường, ta được trường
. Trường số thực
p
. Làm đầy đủ
theo chuẩn
không đóng đại số, bao đóng
đại số của
p-adic
p
là trường số phức
. Trường
số của trường
Với
p
p
. Chuẩn trên
p
p
p
, ta được trường các số
được xây dựng như sau :
p
thì là phần tử đại số trên
Irr( ,
theo
đầy đủ nhưng không đóng đại số. Ta kí hiệu bao đóng đại
p
là
. Làm đầy đủ
p
. Do đó tồn tại một đa thức
, x) = x n an1x n1 ... a1 x a0 (ai
p)
bất khả quy nhận làm nghiệm.
Ta định nghĩa
p
p
trên
là một chuẩn trên
Trường
p
p
p
như sau : x
và
p
p
p
trên
: x
p
p
n a0 p .
.
đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo chuẩn
Nếu ta tiếp tục làm đầy đủ
adic, được kí hiệu là
p
Trường số phức p-adic
p
p
p
theo
.
p
vừa xây dựng.
thì sẽ nhận được trường các số phức p-
có các tính chất cơ bản sau :
và có vai trò tương tự như trường số phức
p
p
đóng đại số, đầy đủ
trong giải tích phức.
Chương 2
HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p-ADIC
Trong chương này chúng tôi trình bày một số hàm đặc trưng, hai định lí cơ
bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic và một số hệ quả, nhận xét kèm theo nhằm phục
vụ cho chương 3.
2.1. Các hàm đặc trưng
2.1.1. Chuẩn trên trường
Kí hiệu
z
f ( z)
p
p là vành các chuỗi luỹ thừa
an z n an
n 0
hình thức.
p
Với r 0 , đặt Ar
Nhận xét 2.1. Ar (
Với
f ( z)
a z
n
p)
n
f ( z)
a z
n
n
an
n 0
là vành con của vành
Ar (
thì
p)
p,
f
p
n
an p r n
0 .
z .
hội tụ và
f
là hàm giải tích
n 0
p-adic trên Dr
Với f Ar (
p
p)
0, r z
p
zp r .
và f 0 , ta đặt
( r , f ) max an p r n .
n
Định lí 2.2. r ,. là chuẩn phi Archimedean trên vành A r (
i) r , f 0 khi và chỉ khi f 0 ;
ii) r , f .g r , f . r , g ;
iii) (r, f + g) max r , f , r , g .
p) ,
nghĩa là
Cho D là tập mở trong
p,
kí hiệu H D là tập các hàm giải tích trên D,
M D là trường các thương của H D .
Định nghĩa 2.3. Hàm f thuộc M D được gọi là hàm phân hình trên D .
Kí hiệu M (
p)
Với f M (
p)
g
g , h A
h
p , h 0 .
( 0 ), tồn tại g , h A (
p)
sao cho f
g
.
h
Ta đặt
r, f
(r , g )
( 0 r ).
( r , h)
1
1
Nhận xét 2.4. r ,
.
f
r
f
(
,
)
Ta cũng có một định lí tương tự như định lí 2.2. như sau :
Định lí 2.5. Với r 0 , hàm (r,.) là chuẩn phi Archimedean trên
M
p , nghĩa là
i) r , f 0 khi và chỉ khi f 0 ;
ii) r , f1 f 2 r , f1 r , f 2 ;
iii) r , f1 f 2 max r , f1 , r , f 2 .
Định lí 2.6. (Định lí Weierstrass) Cho f Ar
đa thức g z b0 b1z ... bv z v
thừa h 1
c z
n
n
với hệ số trong
n 1
i) f z g z h z ;
ii) r , g bv r v ;
iii) h Ar
p ;
p
z
p,
p 0 với r 0 . Tồn tại
cấp v v r , f và một chuỗi luỹ
thoả mãn :
iv) r , h 1 1 ;
v) r , f g r , f .
Đặc biệt, h không có nghiệm trong
p
p
0, r
và f chỉ có v nghiệm trong
0, r .
2.1.2. Các hàm đặc trưng
Cho f ( z )
a z
n
n
A (
p)
(0 , am 0, m 0) và a
p.
Ta
nm
định nghĩa các đại lượng sau
1
n r,
là số các nghiệm (tính cả nghiệm bội) của f a trên
f
a
p
0, r ;
1
n r,
là số các nghiệm phân biệt của f a trên
f
a
p
0, r .
Với 0 0 r , ta định nghĩa các đại lượng sau
1
n t,
r
f a
1
N r,
dt ;
t
f a 0
1
n t,
r
f a
1
N r,
dt .
t
f a 0
Cho f M (
p)
và a
p
, 0 r , tồn tại f 0 , f1 Ar (
không có nhân tử chung trong vành Ar (
trên, ta định nghĩa các đại lượng sau
p)
sao cho f
p) ,
f1
. Với hàm f như
f0
1
n r , f n r , khi a
1
f0
n r,
;
1
f a
khi a
n r , f af
1
0
1
N r , f N r , khi a
1
f0
N r,
;
1
f a
khi a
N r , f af
0
1
m r , f log r , f max 0,log r , f ;
T r, f m r, f N r, f .
Các hàm n và N cũng được định nghĩa tương tự như trường hợp trên.
Định lí 2.7. Cho fi M (
k
fi
i) N r ,
i 1
ii) m r ,
k
i 1
iii) T r ,
k
i 1
i 1, 2,..., k , với 0 r , ta có
N r , fi , N r ,
k
i 1
fi max m r , fi , m r ,
1ik
i 1
k
p)
fi
T r , fi , T r ,
i 1
k
fi
k
i 1
k
i 1
k
N r, f ;
i
i 1
fi
fi
k
m r, f ;
i
i 1
k
T r, f
i
và T r , f là
i 1
một hàm tăng theo r .
Ví dụ 2.8. Cho đa thức A z
k
a z
j
j
j 0
1
1
1 k a j k j
, .
Đặt r A max
0 j k ak
a
p k
Nếu r r A , ta được
ak 0 . Ta sẽ tìm T r , A .
ak
p
rk a j r j 0 j k
p
và do đó
r , A ak p r k 1 .
Suy ra : T r , A m r , A log r , A k log r log ak .
Cho f , a j M
p , j 1, 2,..., k vaø ak 0 .
Với đa thức A z được xác
định như trong ví dụ 2.8., ta định nghĩa :
A f z A z, f z
Định lí 2.9. Nếu f M
k
a z f
j
j
.
j 0
p khác hàm hằng thì ta có :
i) N r , A f kN r , f O
1
N r, a j N r,
aj
j 0
k
ii) m r , A f km r , f O
iii) T r , A f kT r , f O
k
1
m r, a j m r,
ak
j 0
;
;
T r, a j .
j 0
k
2.1.3. Công thức Jensen
Cho f A (
p)
và 0 0 r , ta có công thức Jensen như sau :
1
N r , log r , f log 0 , f .
f
Cho f M (
p)
và 0 0 r , áp dụng công thức Jensen trong
trường hợp này, ta có :
1
N r , N r , f log r , f log 0 , f
f
và có thể biểu diễn lại như sau :
1
T r , T r , f log 0 , f
f
với lưu ý rằng :
log r , f log r , f log
1
1
m r, f m r, .
r, f
f
2.2. Hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic
2.2.1. Định lí cơ bản thứ nhất
Định lí 2.10. Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên
0 . Khi đó, với mọi a
p,
p
0,
với
ta có :
1
1
m r,
N r,
T r , f O 1 khi r .
f a
f a
Chứng minh
Áp dụng công thức Jensen, ta có :
1
1
1
m r,
N r,
T r,
f a
f a
f a
T r , f a log 0 , f a
1
Mặt khác :
T (r , f a)
T (r , f ) T (r , a)
T r, f m r, a N r, a
T r , f log r , a
T r , f log a p
2
Chứng minh tương tự, ta cũng có :
T (r , f )
T (r , f a ) log a p
Từ (1), (2) và (3), ta có được điều phải chứng minh.
3
2.2.2. Định lí cơ bản thứ hai
Trước khi vào nội dung chính của định lí cơ bản thứ hai của lí thuyết
Nevanlinna p-adic, ta xét bổ đề sau :
Bổ đề 2.11. Cho chuỗi luỹ thừa f z
a z
n
n
p
n 0
tụ 0 và phần tử z
z có bán kính hội
p.
Nếu f z hội tụ thì f z tồn tại và f z
na z
n
n 1
(*).
n 1
Mặt khác bán kính hội tụ của f z bằng với bán kính hội tụ của f và thoả
1
r
r , f r , f với mọi 0 r .
Chứng minh
Đặt g z
na z
n
n 1
. Theo định lí Ostrowsky, định lí về các điều kiện
n 1
tương đương của chuẩn và định lí về các điều kiện tương đương của chuẩn phiArchimedean, ta có :
, n
:
1
1
n
n
1
n
p
n p 1
lim n p 1 lim sup an
n
n
p
1
n
lim sup nan
n
p
1
n 1 .
Do đó, g có cùng bán kính hội tụ với f .
n
0 .
Vì f z hội tụ nên an z n
Nếu z 0 thì hiển nhiên g z hội tụ.
Nếu z 0 , lưu ý rằng
nan z n1 an z n1
p
p
1
an z n
zp
n
0 .
p
Qua đó cũng suy ra được g z hội tụ.
Trong trường hợp f z hội tụ trên
p
0, , ta chọn
R.
Trong trường hợp f z hội tụ trên
p
0, ,
ta chọn R sao cho
zp R.
Nếu z 0 , ta có thể giả sử h p z p R .
Nếu z 0 , ta có thể giả sử h p R .
Như vậy, ta luôn có z h p max z p , h p R và f z h hội tụ thoả :
f ( z h) f ( z )
h
n
n
j a z
n
n j
h j 1 .
n 1 j 1
n
Vì R nên ta có an z n j h j 1 an p R n1 0
j
p
Điều này chỉ ra rằng chuỗi trên hội tụ đều theo h .
Qua đó, ta có thể lấy giới hạn theo từng hạng tử và thu được
f z lim
h0
f z h f z
h
na z
n
n 1
.
n 1
Cuối cùng, nếu 0 r thì
1
r
1
r
r , f max nan p r n1 max an p r n r , f .
n
Với f M
p , tồn tại
n
f 0 , f1 A
p,
f 0 0 sao cho f
f được xác định theo công thức sau :
f
f1 f 0 f 0 f1
.
f 02
Với 0 r , ta xây dựng đại lượng N Ram r , f như sau :
1
N Ram r , f 2 N r , f N r , f N r , .
f
Định lí 2.12. (Định lí cơ bản thứ hai)
f1
. Khi đó
f0
Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trên
các số khác nhau trong
p
0,
và đặt a1 , …, aq là
p.
Đặt
min 1, ai a j
i j
p
và A max 1, a .
i
i p
Khi đó, với 0 r , ta có :
q 1 T r , f N r , f
q
1
N r, f a
j 1
N r, f
1
N r,
log r S f
f a j
j 1
q
q
trong đó S f
j
N Ram r , f log r S f
A
log , f a log , f q 1 log .
0
j 1
j
0
Chứng minh
Lấy r '
p p
với 0 r ' .
Vì f là một hàm phân hình khác hàm hằng trên
f 0 , f1 Ar ' (
p)
p
0,
nên tồn tại
f1
.
f0
không có nhân tử chung sao cho f
Đặt F0 f 0 , Fi f1 ai f 0 i 1, 2,..., q . Khi đó ta được :
f 0 ( z ) p F0 ( z ) p và
f1 ( z ) p Fi ( z ) ai F0 ( z ) p max Fi ( z ) p , ai
p
F0 ( z ) p
A.max Fi ( z ) p , F0 ( z ) p .
Suy ra f k z p A max F0 z p , Fi z p
i
k 0,1 .
Kí hiệu
W W f 0 , f1
f0
f1
f 0
f1
f 0 f1 f1 f 0
là định thức Wronskian của f 0 và f1 .
Khi đó ta có :
Wi W F0 , Fi ( f1 ai f 0 ). f 0 ( f1 ai f 0 ). f 0 W .
Chọn z
p
0, r '
p
0, 0 thích hợp sao cho
W z , f1 z và Fi ( z ) 0 với i 0,1,..., q .
Khi đó tồn tại j 1, 2,..., q sao cho F j ( z ) min Fi ( z ) p .
p
1i q
Mặt khác, ta có :
ai a j
p
f 0 z p ai f 0 z a j f 0 z
p
f1 ( z ) Fi ( z ) f1 ( z ) F j ( z ) Fi ( z ) F j ( z )
p
p
1
Fi z F j z
f0 z p
a j ai
p
p
1
Fi z p i j .
Do đó ta có thể lấy các chỉ số 1 , …, q 1 với l j l 1, 2,..., q 1 phân
biệt sao cho :
0 max f 0 z p , F j z
p
F
1
z p ...
F q 1 z .
p
2
Từ (1) và (2), ta có :
fk z p
A
max f 0 z p , F j z
p
A F
l
z p
với k 0,1 và l 1, 2,..., q 1 .
Suy ra
f z max f k z p
p
với f f 0 , f1 :
p
k
A
Fl z , l 0,..., q 1
p
2
p.
Do W j W nên :
F0 ( z )....Fq ( z )
log
p
W ( z) p
log F1 z ...F q 1 z log F0 z p log F j z log W z p
p
p
= log F1 ( z )...F q 1 ( z ) log
p
W ( z) p
F0 ( z ).F j ( z )
= log F1 z ...F q 1 z log D j ( z )
p
với D j
Suy ra :
Wj
p
F0 F j
p
F j
Fj
F0
.
F0
p
p
