Luận án Tiến sĩ Giáo dục học: Khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường Hình học động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HUỲNH THỊ ÁI HẰNG

KHẢO SÁT CÁC BÀI TOÁN
QUỸ TÍCH CÓ ĐIỀU KIỆN
TRONG MÔI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG
Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC

Huế, năm 2015
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực,
được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Huỳnh Thị Ái Hằng

ii

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy
Nguyễn Đăng Minh Phúc, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo và giúp
đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Huế, Phòng Đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy
cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình
giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai
năm học vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, giáo viên chủ nhiệm cùng
tập thể học sinh lớp 9/1, trường THCS Nguyễn Văn Linh, thành phố Huế đã tạo
điều kiện cho tôi thực nghiệm sư phạm.
Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ,
quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng
dẫn và góp ý.
Chân thành cám ơn!
Huế, tháng 5 năm 2015
Huỳnh Thị Ái Hằng

iii


MỤC LỤC
Trang
TRANG PHỤ BÌA ...................................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................... ii
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... iii

MỤC LỤC ...................................................................................................................1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT..............................................4
DANH MỤC CÁC HÌNH ...........................................................................................5
Chương 1 GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ....................................................6
1.1. Giới thiệu ..........................................................................................................6
1.1.1. Nhu cầu nghiên cứu ...................................................................................6
1.1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu ......................................................................9
1.2. Mục tiêu nghiên cứu .........................................................................................9
1.3. Câu hỏi nghiên cứu ...........................................................................................9
1.4. Các thuật ngữ dùng trong luận văn ................................................................10
1.5. Ý nghĩa nghiên cứu ........................................................................................11
1.6. Cấu trúc luận văn ............................................................................................11
Tóm tắt chương 1 ..................................................................................................12
Chương 2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ................................................13
2.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu..............................................................................13
2.1.1. Nguồn gốc và cơ sở lý thuyết của các bài toán quỹ tích có điều kiện .....13
2.1.2. Bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động ...........14
2.2. Khung lý thuyết ..............................................................................................16
2.2.1. Lý thuyết kiến tạo ....................................................................................16
2.2.2. Sự hình thành phỏng đoán trong Môi trường Hình học động .................19
1


2.2.2.1. Làm việc trong một Hệ thống Hình học động ..................................19
2.2.2.2. Kéo rê trong DGS .............................................................................20
2.2.2.3. Phương thức Kéo rê ..........................................................................21
2.2.2.4. Bất biến trong môi trường Hình học động ........................................25
2.2.2.5. Lý luận thông qua ngoại suy .............................................................28
2.2.3. Nhận thức bất biến trong Môi trường Hình học động .............................29
2.2.3.1. Phương thức kéo rê theo mô tả của Hölzl .........................................29

2.2.3.2. Phương thức kéo rê theo mô tả của Marton ......................................31
2.2.3.3. Nhận thức thông qua Chương trình Kéo rê Duy trì ..........................34
Tóm tắt chương 2 ..................................................................................................41
Chương 3 THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ......................................................................42
3.1. Thiết kế nghiên cứu ........................................................................................42
3.2. Đối tượng tham gia .........................................................................................43
3.3. Chủ đề của các bài toán khảo sát ....................................................................43
3.4. Công cụ nghiên cứu ........................................................................................44
3.4.1. Phiếu học tập số 1 ....................................................................................44
3.4.2. Phiếu học tập số 2 ....................................................................................46
3.4.3. Bảng hỏi (Xem phụ lục) ..........................................................................48
3.5. Quá trình thu thập và phân tích dữ liệu ..........................................................48
3.5.1. Thu thập dữ liệu .......................................................................................48
3.5.2. Phân tích dữ liệu ......................................................................................49
3.6. Hạn chế ...........................................................................................................49
Tóm tắt chương 3 ..................................................................................................50
Chương 4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ......................................................................51
4.1. Kết quả từ phiếu học tập .................................................................................51
2


4.1.1. Phiếu học tập số 1 ....................................................................................51
4.1.2. Phiếu học tập số 2 ....................................................................................55
4.2. Kết quả thu được từ bảng hỏi .........................................................................60
Tóm tắt chương 4 ..................................................................................................66
Chương 5 KẾT LUẬN ..............................................................................................67
5.1. Kết luận ..........................................................................................................67
5.1.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ...............................................67
5.1.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai .................................................68
5.1.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba ..................................................69

5.2. Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài.....................................70
Tóm tắt chương 5 ..................................................................................................71
KẾT LUẬN ...............................................................................................................72
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................73
PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1: Các phiếu học tập ............................................................................... P1
PHỤ LỤC 2: Bảng hỏi ............................................................................................. P5
PHỤ LỤC 3: Các bài làm của học sinh ................................................................. P10

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS

Học sinh

SGK

Sách giáo khoa

THCS

Trung học cơ sở

GSP

Geometer’s Sketchpad

DGS

Dynamic Geometry System
(Hệ thống hình học động)

DGE

Dynamic Geometry Environment
(Môi trường hình học động)

nnk.

những người khác

4


DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 2.1. Kéo rê duy trì điểm A để ABDC là hình chữ nhật ...................................15
Hình 2.2. Kéo rê duy trì điểm C để B nằm trên đường tròn (C; CA) .....................16
Hình 2.3. Vết của C khi kéo rê C để B nằm trên đường tròn (C; CA) ....................16
Hình 2.4. Tứ giác ABCD được dựng theo giả thiết .................................................23
Hình 2.5. ABCD trông “giống như” là một hình chữ nhật ......................................23
Hình 2.6. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD vẫn là hình chữ nhật ...........................23
Hình 2.7. Dấu vết điểm M trông “giống như” một đường tròn ..............................24
Hình 2.8.Kéo rê thử nghiệm M trên đường tròn đường kính AK ............................24
Hình 2.9. Tam giác ABC được dựng theo giả thiết................................ .................27
Hình 2.10. Tứ giác ABDC được dựng theo giả thiết............................. ..................30
Hình 2.11. Kéo rê điểm B để r và s trùng nhau.................................... ..................31

Hình 2.12. Một quá trình nhận thức cho thăm dò (E)................................. ............33
Hình 4.1. Dấu vết kéo rê điểm B sao cho r và s trùng nhau.................. ........... .....50
Hình 4.2. Dấu vết của B “giống như” một đường tròn.............................................51
Hình 4.3. Quỹ tích điểm B là đường tròn (O; OA)...................................................51
Hình 4.4. Học sinh kéo rê điểm A để dự đoán hình dạng của ABDC.......................54
Hình 4.5. Dấu vết điểm A khi học sinh kéo rê duy trì ABDC là hình chữ nhật.......56
Hình 4.6. Dấu vết điểm A “giống như” là một đường tròn.......................................56

5


Chương 1
GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.1. Giới thiệu
1.1.1. Nhu cầu nghiên cứu
Trong những thập kỉ gần đây, việc cho học sinh tương tác trực tiếp trên Môi
trường Hình học động (DGE) nhằm kiến tạo tri thức đang được nhiều nhà toán học
trên thế giới quan tâm. Sự hỗ trợ của các phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP),
Cabri,… đã thay đổi tình huống có thể xảy ra, dựa trên những kinh nghiệm của học
sinh khi giải quyết các bài toán hình học ở trường. Việc chuyển đổi từ môi trường
đồ họa truyền thống dựa trên giấy – bút đến môi trường đồ họa “ảo” dựa trên các số
liệu trên màn hình, thực hiện bởi công cụ đồ họa và biến đổi bởi tác động thông qua
rê chuột, có tiềm năng ảnh hưởng sâu sắc đến cách học sinh nhận thức và lý luận
trong hình học. Từ những lợi ích mà môi trường hình học động mang lại, nhiều nhà
giáo dục toán đã chú ý đến việc đưa các bài toán quỹ tích vào môi trường hình học
động, từ đó tạo ra các bài toán quỹ tích có điều kiện – một loại bài toán được thiết
kế trên DGE giúp học sinh khám phá, giải quyết các bài toán khảo sát một cách trực
quan và sâu sắc hơn.
Thông qua việc nghiên cứu các mô hình kéo rê duy trì, các bài toán quỹ tích
có điều kiện được khai thác bởi nhiều nhà giáo dục toán như Arzarello, Anna

Baccaglini – Frank, Mariotti, Allen Leung… Theo Allen Leung, môi trường hình
học động làm phát sinh một hiện tượng, nơi các đối tượng hình học chuyển động và
thay đổi cùng với các phản hồi trực quan và cảm giác vận động, dẫn đến việc học
sinh có thể nhận thức các đặc tính hình học của hình vẽ. DGE được các nhà nghiên
cứu mô hình hóa sau hệ thống lý thuyết như Euclid, và tính “động” là đặc điểm đặc
trưng của nó, đưa ra một góc nhìn mới cho hình học và giáo dục hình học (Laborde,
2000; Strässer, 2001). Đặc biệt, các phương thức kéo rê trong DGE đã được nghiên
cứu trong môi trường sư phạm và dần dần hiểu như là một công cụ sư phạm có lợi
cho lập luận toán học, đặc biệt là trong quá trình hình thành giả thuyết trong hình
học (Arzarello và nnk., 2002; Baccaglini – Frank, 2010; Baccagalini – Frank và
Mariotti, 2010).
6


Hệ thống hình học động (DGS) cho máy vi tính và máy tính, chẳng hạn như
GSP và Cabri, đã từng là cốt lõi của một số nghiên cứu, và chúng đã khẳng định
được khả năng ảnh hưởng đến việc dạy và học của hình học (Healy và Hoyles, 2001;
Hölzl, 2001; Laborde, 2000; Mariotti, 2000; Strässer, 2001). Kể từ khi các nhà toán
học bắt đầu nghiên cứu, sự xuất hiện của chúng đã nêu bật những tiềm năng được
cung cấp bởi DGS trong việc hỗ trợ giải toán của học sinh về các vấn đề hình học.
Việc sử dụng một DGS, như GSP, trong việc tạo ra phỏng đoán được dựa trên việc
giải thích các thao tác điều khiển kéo rê một cách logic, liên quan đến việc chuyển
đổi tri giác của học sinh vào một bài toán có điều kiện. Trong quá trình suy đoán,
cách thức chuyển đổi và quan sát hình ảnh trên màn hình được học sinh tiến hành
với mục đích tìm kiếm một mối quan hệ giữa các tính chất hình học, một mối quan
hệ có thể được xây dựng trong việc đưa ra một phỏng đoán. Bất kỳ phương thức
kéo rê nào cũng có thể được coi như là một thao tác cụ thể được sử dụng để giải
quyết một bài toán kết thúc mở, những ý nghĩa xuất phát từ việc sử dụng này có thể
được gọi là ý nghĩa toán học phỏng đoán, có nghĩa là, trong một bài toán có sử dụng
các phương thức kéo rê luôn thể hiện sự phụ thuộc logic giữa các giả thuyết và kết

luận.
Song song với sự phát triển của DGE, khảo sát các vấn đề toán học cũng là
một chiến lược quan trọng đối với sự phát triển tư duy cũng như hiểu biết của học
sinh về toán học, chúng đã thu hút sự chú ý của các nhà giáo dục và các nhà nghiên
cứu toán học. Khảo sát toán cung cấp cho học sinh kinh nghiệm và giúp các em trải
nghiệm được thế giới toán học, từ đó, các em có động lực và tự tin khi làm toán.
Mục đích của giáo dục là trang bị cho học sinh khả năng giải quyết vấn đề, không
chỉ trong toán học mà còn trong các lĩnh vực khác của khoa học và đời sống. Các
hoạt động khảo sát các bài toán kết thúc mở trong chương trình có thể thúc đẩy suy
nghĩ linh hoạt và đa dạng hơn, nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh, mở
rộng nhận thức của học sinh về toán, làm giàu và củng cố các khái niệm cơ bản.
Đặc biệt, khi học sinh tiến hành khảo sát toán, các em có thể lắng nghe vấn đề của
người khác, từ đó các em có thể làm sáng tỏ và sàng lọc ý tưởng cho mình, thúc đẩy
khả năng của mình để đi từ giải pháp của các vấn đề cụ thể đến việc tạo ra các
7


phương án giải quyết vấn đề tổng quát. Từ đó, các em được khuyến khích phát triển
khả năng của mình cũng như nâng cao các kĩ năng giải quyết vấn đề. Điều quan
trọng là học sinh có thể tự mình khảo sát, khám phá và hình thành tri thức cho mình
thông qua các bài toán này, từ đó kích thích tính chủ động và sáng tạo và hứng thú
cho học sinh khi tìm ra đáp án.
Có nhiều cách khác nhau để giúp học sinh tiếp cận với những kiến thức mới.
Với những tương tác giữa học sinh và những bài toán quỹ tích có điều kiện trên mô
hình hình học động, học sinh có thể phát hiện, khám phá những kiến thức mới cho
chính mình. Không những vậy, dựa trên những công cụ và tính năng có sẵn của các
phần mềm hình học động, học sinh có thể tìm ra được quy luật cho các đối tượng
này, từ đó có thể khám phá tri thức toán cho bản thân. Ý nghĩa sư phạm của các bài
toán kết thúc mở có thể được tìm thấy, chẳng hạn, trong tiềm thức của học sinh để
thúc đẩy quá trình chứng minh, bằng cách tạo ra sự tò mò trong giải toán và đưa ra

một ý thức rõ ràng cho quá trình tranh luận của các em. Đặc biệt, việc thăm dò
những tình huống bài toán khảo sát có thể thúc đẩy việc đưa ra các bài toán quỹ tích
có điều kiện, và xây dựng các mối quan hệ vững chắc với việc chứng minh giữa các
quá trình này (Mariotti và nnk., 1997). Việc xây dựng tri thức của một bài toán quỹ
tích có điều kiện là một vấn đề quan tâm lớn đối với các mục đích sư phạm trong
việc xây dựng ý nghĩa của “một định lý toán học”, đó là một hệ thống bao gồm một
phát biểu, một chứng minh và tham chiếu với lý thuyết (Mariotti, 2000, tr. 29).
Ở cấp THCS, các em học sinh đã bước đầu làm quen với các bài toán quỹ
tích. Có thể nói rằng, các bài toán quỹ tích rất thuận lợi để rèn luyện trí tuệ cho học
sinh như phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, nhìn nhận vấn đề
theo nhiều phương diện khác nhau. Tuy nhiên, phải thấy rằng, học sinh rất khó khăn
trong việc tiếp nhận các kiến thức và phương pháp. Đồng thời, đối với các thầy, cô
giáo dạy toán, việc truyền đạt, hướng dẫn, diễn giải giúp học sinh hiểu được một
cách rõ ràng các bài toán quỹ tích chỉ trên môi trường giấy và bút cũng không phải
đơn giản. Xuất phát từ vấn đề trên, việc thiết kế những bài toán quỹ tích có điều
kiện trong môi trường hình học động sẽ có thể giúp thầy và trò dễ dàng trao đổi
thông tin, kiến thức cho nhau một cách thuận lợi hơn. Những bài toán được thiết kế
8


trên mô hình thao tác động có thể hỗ trợ học sinh học sinh phát triển tốt nhiều kỹ
năng. Tuy nhiên, việc ứng dụng các mô hình thao tác động vào dạy học quỹ tích có
điều kiện cần có những nghiên cứu xác đáng. Từ đó việc xây dựng và ứng dụng các
bài toán quỹ tích có điều kiện với mục đích để học sinh khảo sát, nhằm hỗ trợ khả
năng khám phá kiến thức mới trở nên cần thiết.
1.1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu
Như đã nói ở trên, các bài toán quỹ tích có điều kiện trên mô hình toán thao
tác động đã chứng tỏ vai trò của mình trong việc hỗ trợ học sinh khám phá kiến
thức mới. Đồng thời, xuất phát từ thực tế việc dạy học một chiều ở các trường trung
học ở nước ta, áp đặt kiến thức cho học sinh, đôi khi các em không cần hiểu được

bản chất mà chỉ cần thực hiện theo đúng quy trình, quy tắc để giải các bài tập. Do
đó, chúng ta cần một phương pháp tiếp cận mới có thể phát huy được tính tích cực,
sáng tạo của học sinh trong quá trình khảo sát toán. Vấn đề là những bài toán quỹ
tích có điều kiện trong môi trường hình học động được học sinh khảo sát như thế
nào, chúng nâng cao khả năng khám phá kiến thức mới của học sinh đến đâu.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: “Khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện
trong môi trường hình học động”.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của nghiên cứu là:


Hỗ trợ khả năng hình thành giả thiết cho học sinh.



Thiết kế các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học

động nhằm hỗ trợ học sinh thao tác lên đối tượng để quan sát các bất biến toán học,
từ đó kiến tạo kiến thức toán.


Phân tích quá trình hình thành giả thiết của học sinh khi tiến hành

khảo sát các bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động và các
khó khăn mà học sinh gặp phải khi khảo sát các bài toán này.
1.3. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, nghiên cứu này nhằm trả lời những câu hỏi sau:

9

 Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Mô hình hình học động hỗ trợ việc khảo
sát bài toán quỹ tích có điều kiện để xây dựng kiến thức mới như thế
nào?
 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Xây dựng các bài toán quỹ tích có điều
kiện trong môi trường hình học động như thế nào để có thể hỗ trợ hiệu
quả học sinh nâng cao khả năng khám phá kiến thức toán mới?
 Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Học sinh thể hiện việc giải các bài toán
quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động như thế nào sau
chuỗi bài thực nghiệm?
1.4. Các thuật ngữ dùng trong luận văn
Khảo sát toán: Khảo sát toán là một tình huống hoặc vấn đề có kết thúc mở
mà bản thân nó có khả năng bao gồm nhiều hướng đi toán học có thể được khám
phá, dẫn đến các lời giải hay các ý tưởng toán học khác nhau (Baley, 2007).
Hình học động: Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới
liên quan đến các phần mềm như Sketchpad và Cabri. Các phần mềm này thực thi
với công cụ cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử (Minh Phúc, 2010).
Kéo rê duy trì: Kéo rê một điểm đến những vị trí nào đó để hình vẽ vẫn duy
trì tính chất vừa được khám phá (Arzarello, 2002).
Tương tác: Những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa các chủ
thể và khách thể. Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao đổi thông tin, kiến
thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa giáo viên – học sinh, học sinh – học sinh.
Trực quan hóa: Trực quan hoá là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự
sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ
đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công
nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng
chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003).
Biểu diễn trực quan: Biểu diễn trực quan được xem là công cụ để trực quan
hoá nhằm hiểu được các đối tượng toán học trừu tượng.
Biểu diễn trực quan động: Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu

diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong
10


biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động GSP, có
thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán
(Minh Phúc, 2010).
Hình vẽ: đề cập đến những gì thực sự được vẽ và nhìn thấy (Laborde &
Laborde, 1995).
Hình: là một vật ám chỉ lý thuyết được gắn vào các hình vẽ không chỉ là
những gì được nhìn thấy, mà còn trong một cách thức biện luận, bởi các tính chất
hình học dự kiến được thể hiện một cách rõ ràng (Laborde & Laborde, 1995).
1.5. Ý nghĩa nghiên cứu
Kết quả nghiên cứu của luận văn được mong đợi sẽ góp phần:


Cung cấp một kiểu bài toán mới giúp cho học sinh phát triển khả năng

khám phá, suy luận của mình và tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến suy luận đó.


Cho thấy vai trò của giáo viên khi thiết kế các bài toán quỹ tích có

điều kiện nhằm hỗ trợ học sinh khảo sát để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.


Tạo cơ sở cho việc áp dụng các bài toán quỹ tích có điều kiện trong

môi trường hình học động vào các trường phổ thông nhằm giúp học sinh kiến tạo tri
thức toán, từ đó học sinh sẽ nâng cao hiệu quả học tập của mình, phát huy được tính

tích cực, chủ động.
1.6. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm 5 chương, phần tài liệu tham khảo và phụ lục.
Chương 1: Giới thiệu
Trong chương 1, chúng tôi đưa ra nhu cầu nghiên cứu, đề tài nghiên cứu,
mục đích nghiên cứu, các câu hỏi nghiên cứu, các thuật ngữ dùng trong luận văn và
ý nghĩa của việc nghiên cứu này.
Chương 2: Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Trong chương 2, tôi sẽ trình bày nền tảng lịch sử của vấn đề nghiên cứu, giới
thiệu sơ lược về bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động,
nền tảng lý thuyết bao gồm lý thuyết kiến tạo, các kết quả nghiên cứu liên quan đến
các bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động.
11


Chương 3: Thiết kế nghiên cứu
Trong chương 3, tôi thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên
cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập dữ liệu, quy trình phân tích dữ liệu và
các hạn chế.
Chương 4: Kết quả nghiên cứu
Trong chương 4, chúng tôi trình bày những kết quả nghiên cứu của mình
nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu ra ở chương 1.
Chương 5: Kết luận
Trong chương này, tôi trình bày kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu, từ đó lý
giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng và hướng phát triển
của nghiên cứu.
Tóm tắt chương 1
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày mục đích và ý nghĩa của nghiên
cứu. Đồng thời, chúng tôi phát biểu ba câu hỏi nghiên cứu, đưa ra một số thuật ngữ
được sử dụng trong luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày nền tảng lý thuyết làm cơ sở và

định hướng cho nghiên cứu ở chương tiếp theo.

12


Chương 2
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Mục đích của chương này là xác định và làm rõ nền tảng lý thuyết, tóm tắt sơ
lược các nghiên cứu liên quan đến đề tài.
2.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
2.1.1. Nguồn gốc và cơ sở lý thuyết của các bài toán quỹ tích có điều kiện
Các bài toán quỹ tích có điều kiện được phát triển từ sau nghiên cứu của nhà
giáo dục toán Arzarello. Vào những năm cuối thập niên 90, Arzarello cùng với các
cộng sự đã tiến hành nghiên cứu và phân loại các phương thức kéo rê khác nhau
được học sinh sử dụng trong suốt quá trình giải quyết các vấn đề hình học trên
Cabri (Arzarello và nnk., 2002). Nghiên cứu được thực hiện bởi Arzarello cùng các
cộng sự (2002) và Olivero (2002) đã dẫn đến sự mô tả của một hệ thống các
phương thức kéo rê, được sắp xếp thông qua một quá trình quy nạp khi phân tích về
việc người giải quyết (solver) đang tạo ra phỏng đoán trong một DGS.
Trong những năm gần đây, những nhà giáo dục Toán đã và đang khuyến
khích việc sử dụng công nghệ trong lớp học nhằm bồi dưỡng năng lực toán học của
mỗi học sinh (Mariotti, 2006; Cuoco, 2008). Một số nghiên cứu trong việc giảng
dạy và học tập về hình học (ví dụ, Noss & Hoyles, 1996; Mariotti, 2006) cho thấy,
một Hệ thống Hình học động có thể thúc đẩy cách suy nghĩ, cách xây dựng của
người học để làm thế nào nhờ các công cụ kéo rê, một DGS có thể đủ mạnh để
khám phá một tình huống vấn đề kết thúc mở (Arzarello và nnk., 2002; Lopez –
Real & Leung, 2006).
Liên quan đến việc thiết kế mô hình các bài toán kết thúc mở nhằm tạo ra các
bài toán quỹ tích có điều kiện, chúng tôi tập trung chủ yếu vào đóng góp của các
nhà giáo dục toán như Allen Leung, Baccaglini – Frank và Mariotti. Dựa vào việc

nghiên cứu các tài liệu trước đó, đặc biệt là của Arzarello 2002, họ đã phát triển các
khái niệm và đặc biệt là xây dựng cơ sở cho một phương pháp thực hành sư phạm
mới mà họ đã cố gắng thực hiện thực nghiệm trường học trong các dự án của mình.
Từ các nghiên cứu thực nghiệm đó, họ đã xây dựng được mô hình nhận thức, và rút

13


ra những khái niệm mới đã phát sinh từ sự phản ánh và phân tích của học sinh trên
mô hình này.
Các nghiên cứu trước đã chỉ ra rằng, công cụ được cung cấp bởi Hệ thống
Hình học động ảnh hưởng đến phương pháp tiếp cận học sinh để khảo sát các bài
toán kết thúc mở trong hình học Euclide. Theo sau việc xây dựng trong nghiên cứu
của Arzarello, Olivero và các nhà nghiên cứu khác, Anna Baccaglini – Frank và các
cộng sự đã hình thành một mô hình mô tả một số quá trình nhận thức có thể xảy ra
trong quá trình hình thành phỏng đoán của học sinh trong hình học động, liên quan
đến việc sử dụng các phương thức kéo rê cụ thể (chúng tôi sẽ trình bày ở phần sau).
Theo Allen Leung, nguyên tắc khám phá kéo rê trong DGE đó là quá trình
định hướng (process – oriented) và đặt người sử dụng làm trung tâm (user –
centered). Quá trình này mở ra cho việc giảng dạy và học tập hình học một khả
năng khám phá và trải nghiệm, bổ sung cho các phương pháp tiếp cận và suy luận
quy nạp. Với việc được trang bị với các nguyên tắc khám phá kéo rê, người học có
thể tìm kiếm thông qua việc kéo rê, giải thích một cách hợp lí hiện tượng kéo rê xảy
ra trong DGE sao cho phù hợp với thế giới tiên đề của hình học Euclide.
2.1.2. Bài toán quỹ tích có điều kiện trong Môi trường Hình học động
Cũng như các bài toán quỹ tích thông thường trên môi trường giấy – bút mà
học sinh đã được làm quen ở bậc THCS, bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi
trường hình học động cũng là bài toán đi tìm tập hợp những điểm thỏa mãn một
điều kiện đã cho. Trong hình học, tìm tập hợp điểm tức là mô tả tập hợp đó: Ví dụ
quỹ tích là một đường tròn, một đường thẳng, một đoạn thẳng …

Tuy nhiên, điều khác biệt giữa bài toán quỹ tích trên môi trường giấy – bút
và bài toán quỹ tích có điều kiện trên môi trường hình học động, đó là, bài toán quỹ
tích trong môi trường giấy – bút thường được phát biểu dưới dạng: Cho một cấu
hình có một số yếu tố cố định và một (hoặc vài) yếu tố thay đổi theo một yêu cầu
nào đó (điểm di chuyển trên một đường tròn, đường thẳng quay quanh một
điểm …), yếu tố thay đổi này sẽ dẫn đến sự di động của một số yếu tố điểm khác,
yêu cầu tìm quỹ tích các yếu tố điểm liên quan; trong khi đó, trong môi trường hình
học động, không nhất thiết là các yếu tố luôn cố định, mà khi di chuyển một yếu tố,
14


học sinh phải xét xem yếu tố đó làm cho yếu tố nào thay đổi, yếu tố nào không thay
đổi, yêu cầu tìm quỹ tích yếu tố cần di chuyển sao cho vẫn giữ được tính chất nào
đó. Để hiểu rõ hơn về bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học
động, ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1
Dựng ba điểm A, B, và C trên màn hình GSP, kẻ đường thẳng qua A và B, và
đường thẳng qua A và C. Sau đó, dựng đường thẳng l song song với AC qua B, và
đường vuông góc với l qua C. Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên là D, xét tứ
giác ABDC. Phỏng đoán về các loại tứ giác đặc biệt mà ABDC có thể trở thành và
tìm quỹ tích điểm A sao cho ABDC trở thành tứ giác đặc biệt đó (Hình 2.1.).

Hình 2.1. Kéo rê duy trì điểm A để ABDC là hình chữ nhật.

Ngay từ giả thuyết của bài toán, cách dựng A, B, C cũng cho ta thấy 3 điểm
này đều có thể di chuyển khỏi vị trí của nó chứ không nhất thiết là luôn cố định. Cụ
thể, khi di chuyển điểm A, học sinh mới tự khám phá xem yếu tố nào sẽ thay đổi và
yếu tố nào không thay đổi (hay còn gọi là bất biến), từ đó, kéo rê A sao cho vẫn giữ
tính chất “ABDC là một hình chữ nhật”, kích hoạt dấu vết, và dự đoán hình dạng cụ
thể dấu vết của A. Từ đó, người học không những hình dung một cách trực quan về

những bài toán quỹ tích mà còn hiểu một cách sâu sắc về chúng.
Ví dụ 2
Cho ba điểm A, B, C trên màn hình GSP, vẽ đường tròn tâm C bán kính CA.
Hãy kéo rê điểm C sao cho B nằm trên đường tròn (C; CA). Tìm quỹ tích điểm C
trong trường hợp đó.
15


Hình 2.2. Kéo rê duy trì điểm C để B nằm trên đường tròn (C; CA).

Tương tự như ví dụ 1, A, B, C cũng là những điểm tự do trên mặt phẳng, khi
kéo rê tự do điểm C trên màn hình thì điểm A và B vẫn cố định nhưng bán kính
đường tròn thay đổi. Khi học sinh tạo vết và kéo rê C để giữ B nằm trên đường tròn
thì các em sẽ dự đoán được quỹ tích điểm C chính là đường trung trực của đoạn
thẳng AB.

Hình 2.3. Vết của C khi kéo rê C để B nằm trên đường tròn (C; CA).

2.2. Khung lý thuyết
Phần này trình bày khung lý thuyết cho nghiên cứu của chúng tôi. Chúng tôi
căn cứ vào các nghiên cứu trước đó của các nhà giáo dục toán học về hình học
động, các mô hình kéo rê, sự nhận thức bất biến... Các khái niệm mới được tìm ra,
phát triển trong những năm qua được chúng tôi tham khảo và bổ sung theo nhu cầu
nghiên cứu của mình.
2.2.1. Lý thuyết kiến tạo
Lý thuyết kiến tạo (Constructivism Theory) đang là một trong những lý
thuyết về dạy học vượt trội được sử dụng trong giáo dục. Lý thuyết này khuyến
16

khích học sinh tự xây dựng kiến thức cho mình dựa trên những thực nghiệm cá
nhân và áp dụng trực tiếp vào môi trường học tập của các em. Mỗi cá nhân học sinh
là trung tâm của tiến trình dạy học, còn giáo viên đóng vai trò tổ chức điều khiển và
là người đại diện cho tri thức khoa học chính thống, đóng vai trò trọng tài để thể chế
hóa tri thức mới của bài học.
Theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo thì tri thức được tạo nên một cách tích
cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài.
Trong quá trình chiếm lĩnh tri thức bằng kinh nghiệm, kiến thức đã có từ trước
thông qua quá trình đồng hóa (Assimilation) và điều ứng (Accomodation), học sinh
sẽ tự xây dựng cho mình một hệ thống tri thức có sắc thái riêng và có khả năng vận
dụng hệ thống tri thức này vào giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra.
Theo Piaget, đồng hóa là quá trình học sinh vận dụng kiến thức cũ để giải
quyết tình huống mới và sắp xếp kiến thức mới thu nhận được vào cấu trúc kiến
thức hiện có. Muốn thế, khi tổ chức quá trình dạy học, giáo viên cần phải làm cho
học sinh bộc lộ quan niệm của mình về vấn đề học tập, cần tổ chức cho học sinh hệ
thống hóa và khai thác kinh nghiệm cũ nhằm phát triển nhận thức cho bản thân học
sinh và phổ biến cho cả lớp. Để đồng hóa được kiến thức mới và cũ cần phải tiến
hành quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh,… nhằm đánh giá lại kiến thức cũ từ đó
sắp xếp lại hệ thống kiến thức sao cho hoàn thiện, chính xác hơn. Điều ứng là sự
thay đổi, điều chỉnh, bổ sung, vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề lý thuyết
và thực tiễn. Đây là quá trình mà học sinh phải thực hiện các thao tác tư duy, làm
kiến thức bộc lộ các thuộc tính, bản chất, các mặt mạnh yếu, tìm ra mối liên hệ giữa
các yếu tố kiến thức, tính hệ thống của chúng và khả năng vô tận của kiến thức.
Dựa vào bản chất của lý thuyết kiến tạo có thể phân kiến tạo trong dạy học ra
thành hai loại:
 Kiến tạo cơ bản (Radial constructivism) đề cao vai trò của mỗi cá
nhân trong quá trình nhận thức và cách thức xây dựng tri thức cho bản
thân. Mặt mạnh của loại kiến tạo này là khẳng định vai trò chủ đạo
của học sinh trong quá trình dạy học. Tuy nhiên, do coi trọng quá mức

17


vai trò của cá nhân nên học sinh bị đặt trong tình trạng cô lập và kiến
thức mà họ xây dựng được sẽ thiếu tính xã hội.
 Kiến tạo xã hội (Social constructivism) nhấn mạnh đến vai trò của
các yếu tố văn hóa, các điều kiện xã hội và sự tác động của các yếu tố
đó đến sự hình thành kiến thức. Kiến tạo xã hội xem xét các nhân
thông qua các mối quan hệ chặt chẽ với các lĩnh vực xã hội. Nhân
cách của học sinh được hình thành thông qua sự tương tác của họ với
những người khác.
Lý thuyết kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, đề cao tính tích cực, chủ
động, sáng tạo của học sinh trong nhận thức, nó cho phép các em tích hợp các khái
niệm theo nhiều cách khác nhau và giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc
giúp đỡ học sinh xây dựng kiến thức chính xác. Với việc cho học sinh khảo sát các
bài toán quỹ tích có điều kiện trong môi trường hình học động, giáo viên có thể
quan sát cách thức học sinh tự khám phá, trải nghiệm như thế nào để tự xây dựng
kiến thức cho các em. Cũng có những trường hợp, học sinh kiến tạo tri thức cho
mình nhưng chỉ đúng trong trường hợp cụ thể, khi đó giáo viên cần phải đưa ra
thêm những tình huống cho phép học sinh thử nghiệm kiến thức của mình. Một khi
học sinh nhận ra rằng tri thức kiến tạo không đúng với tình huống mới, các em có
thể điều chỉnh và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp.
Lý thuyết kiến tạo hướng chúng ta quan tâm đến con người học như thế nào.
Nó cho rằng kiến thức toán học có được khi con người lập các mô hình toán để trả
lời các câu hỏi khi tham gia giải các bài toán, chứ không phải chỉ đơn giản nhận lấy
các thông tin và cũng không phải là sự bộc lộ bẩm sinh. Chẳng hạn như là, khi các
em khảo sát một bài toán quỹ tích có điều kiện, các em phải kéo rê một điểm cơ bản
để xác định xem yếu tố nào thay đổi, yếu tố nào không thay đổi, từ đó mới có thể
tìm ra được quỹ tích của điểm khi nó duy trì một tính chất nhất định nào đó.
Lý thuyết kiến tạo cho rằng, học sinh học tốt nhất khi các em được đặt trong

một môi trường xã hội tích cực ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về
toán theo cách riêng của chính mình. Học hợp tác được tổ chức nhằm tạo cơ hội cho
học sinh thảo luận cách hiểu và tiếp cận của mình. Khi khám phá kéo rê trong môi
18


trường hình học động, các em được bộc lộ tư duy của mình, có em thể hiện cách
hiểu của mình thế này, em khác lại thể hiện thế kia, đơn giản là dựa vào kiến thức
mà các em đã có từ trước để giải quyết tình huống mới nảy sinh và sắp xếp kiến
thức mới vào hệ thống kiến thức đã có.
Như vậy, dạy học kiến tạo đòi hỏi giáo viên phải có vốn sống, kinh nghiệm
nghề nghiệp nhất định, khả năng ứng dụng linh hoạt công nghệ thông tin vào các
bước trong tiến trình dạy học, phải là người chuyển hóa các tri thức khoa học thành
các tri thức dạy học với việc xây dựng các tình huống dạy học chứa đựng những tri
thức cần lĩnh hội, tạo dựng nên môi trường mang tính xã hội để học sinh kiến tạo
nên kiến thức của mình, có thế thì dạy học kiến tạo mới phát huy được ưu thế vượt
trội của nó, mới có thể tạo ra những con người lao động sáng tạo, góp phần nâng
cao chất lượng dạy học nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
2.2.2. Sự hình thành phỏng đoán trong Môi trường Hình học động
2.2.2.1. Làm việc trong một Hệ thống Hình học động
Môi trường Hình học động là nơi chủ yếu để diễn ra nghiên cứu của chúng
tôi mà cụ thể là phần mềm GSP. Việc thiết kế các bài toán trên GSP không những
làm cho học sinh nhận biết kiến thức toán một cách trực quan, mà còn giúp các em
hiểu biết chúng một cách sâu sắc hơn ý nghĩa của chúng. Môi trường hình học động
có khả năng tương tác, qua đó, nó nuôi dưỡng và thúc đẩy học sinh tham gia vào
làm chủ các ý tưởng toán học trừu tượng.
Theo Baccaglini – Frank và Mariotti: “nhìn chung, chúng ta có thể xem xét
hai thế giới khác nhau: thế giới toán học của hình học Euclide, và thế giới mang
tính kinh nghiệm, trong đó bao gồm kinh nghiệm trong một DGS... Tuy nhiên, một
DGS có thể trở thành cầu nối tiềm năng giữa hai thế giới, cung cấp giáo viên với

những hiểu biết và công cụ mới để khắc phục khó khăn của học sinh”. Sở dĩ như
vậy là vì, DGS không chỉ thúc đẩy học sinh phát triển khả năng của mình mà chúng
còn tạo cho giáo viên những cơ hội để điều chỉnh việc dạy phù hợp với nhu cầu đặc
biệt của các em. Những học sinh hay thờ ơ với việc học toán có thể tập trung hơn
với những vấn đề trên máy tính. Những học sinh hay gặp khó khăn trong việc học

19


toán, các em có thể thu được các kết quả từ những sai lầm của mình gây nên trên
môi trường máy tính...
Hiện nay, mối liên hệ giữa môi trường hình học động và việc dạy – học toán
đã và đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu. Nếu việc dạy học
toán xem như là một quá trình kiến tạo, thì môi trường hình học động được sử dụng
gắn liền với người học và nó khuyến khích tính độc lập suy nghĩ của học sinh. Như
vậy, những điều đó đang thay đổi môi trường sư phạm, nó cho phép giáo viên sử
dụng một cách phù hợp và có ý thức trong dạy học toán nhằm giúp các em tự kiến
tạo tri thức cho bản thân.
2.2.2.2. Kéo rê trong DGS
Việc sử dụng các phương thức kéo rê đã được nghiên cứu rộng rãi trong các
tài liệu trước đó, các nhà nghiên cứu Toán học đều thông qua việc quan sát các hành
vi tự nhiên của học sinh (ví dụ, Olivero, 2002; Arzarello, và nnk., 2002) và giảng
dạy thử nghiệm để giới thiệu các cách thức kéo rê (Gousseau – Coutat, 2006;
Restrepo, 2008; Baccaglini – Frank và nnk., 2009).
Kéo rê trở nên đặc biệt hữu ích trong việc giải quyết các bài toán khảo sát,
bởi vì nó cho phép người giải quyết được hướng dẫn và hỗ trợ bằng cách tương tác
với các phần mềm, theo mô tả của Laborde,
... Những thay đổi trong quá trình giải toán được đưa ra bởi các khả năng
động của Cabri đến từ một hoạt động và lý luận trực quan, từ những gì chúng
ta gọi là quá trình tương tác giữa các lập luận quy nạp và suy diễn. (Laborde,

1991, tr. 185)
Hơn nữa, kéo rê có thể giúp người dùng giải thích các cách thăm dò về sự
phụ thuộc một cách logic chặt chẽ. Kéo rê trong DGS có thể được thực hiện bởi
người dùng, thông qua chuột, họ có thể xác định chuyển động của các đối tượng
khác nhau bằng hai cách:
 Chuyển động trực tiếp: của một yếu tố cơ bản (ví dụ một điểm) đại
diện cho sự thay đổi của các yếu tố này trên mặt phẳng. Người dùng
có thể chọn các yếu tố cơ bản và kéo rê nó trên màn hình.

20


 Chuyển động gián tiếp: của một yếu tố xảy ra khi yếu tố này xuất hiện
để di chuyển trên màn hình phụ thuộc vào sự chuyển động của một
điểm cơ bản (hoặc đối tượng) được lựa chọn đang được kéo rê.
Vì vậy, việc sử dụng kéo rê làm cho người dùng cảm giác “phụ thuộc vào
chuyển động”, điều này có thể được giải thích dựa trên sự phụ thuộc logic trong
khuôn khổ toán học (Mariotti, 2006). Trong thực tế, sử dụng Hình học động để hình
thành giả thuyết dựa vào việc giải thích sự phụ thuộc logic của chuyển động thông
qua kéo rê. Arzarello và các cộng sự của ông là những người đầu tiên đã đưa ra một
mô tả và phân loại về những công dụng của phương thức kéo rê (Arzarello và nnk.,
2002), sử dụng các thuật ngữ của “chương trình kéo rê”. Thuật ngữ đó đã không
được hình thành trong các cách tiếp cận, và vì lý do này nó phải được giải thích một
cách chung chung như “phương thức kéo rê” được mô tả dưới đây.
2.2.2.3. Phương thức Kéo rê
Với việc nghiên cứu Mô hình kéo rê duy trì, Baccaglini – Frank và Mariotti
đã đưa ra bốn phương thức xây dựng được mô tả dưới đây:


Kéo rê tự do/ngẫu nhiên (tiếng Ý: “trascinamento libero”): kéo rê

một cách ngẫu nhiên các điểm trên màn hình, tìm kiếm những hình dạng thú vị hoặc
qui luật của hình;


Kéo rê duy trì (tiếng Ý: “trascinamento di mantenimento”): kéo rê

một điểm cơ bản để các hình duy trì một tính chất nhất định;


Kéo rê với dấu vết kích hoạt (tiếng Ý: “trascinamento con traccia”):

kéo rê một điểm cơ bản với các dấu vết;


Kéo rê thử nghiệm (tiếng Ý: “test di trascinamento”): kéo rê điểm cơ

bản để xem liệu hình được dựng có duy trì các tính chất mong muốn không. Trong
cách thức này, nó có thể thực hiện một xây dựng mới hoặc xác định lại một điểm
trên một đối tượng để thử nghiệm một giả thuyết mới.
Kéo rê tự do bao gồm kéo rê ngẫu nhiên một điểm cơ bản trên màn hình. Nó
có thể được sử dụng để tìm kiếm hình dạng thú vị hoặc qui luật của hình. Với ý
nghĩa trên, phương thức này là một loại kết hợp giữa kéo rê tự do và kéo rê theo
hướng dẫn, mô tả bởi Arzarello và các cộng sự (2002). Kéo rê duy trì bao gồm các
21


cố gắng để kéo rê một điểm cơ bản và duy trì một số tính chất thú vị quan sát được.
Ví dụ, người giải quyết có thể nhận thấy rằng một tứ giác nào đó là một phần của
hình, có thể ‘trở thành’ một hình vuông, và do đó cố gắng kéo rê một điểm cơ bản,

cố gắng để giữ cho tứ giác đó là một hình vuông. Nói cách khác, việc duy trì kéo rê
liên quan đến việc công nhận một hình dạng cụ thể cũng khá thú vị, và nỗ lực của
người dùng để tạo ra các tính chất đặc biệt trở thành một bất biến trong quá trình
kéo rê.
Với kéo rê với dấu vết được kích hoạt, chúng ta có thể dự kiến bất kỳ hình
thức kéo rê nào sau khi chức năng dấu vết đã được kích hoạt trên một hoặc nhiều
điểm của hình vẽ. Công cụ này bắt nguồn từ sự kết hợp của hai chức năng, “kéo rê”
cộng với “tạo vết”, chúng cùng nhau tạo thành một công cụ mới có thể được sử
dụng trong quá trình xây dựng giả thuyết. Đặc biệt, kết hợp với việc duy trì kéo rê
dấu vết kích hoạt trên các điểm cơ bản được lựa chọn có thể đặc biệt hữu ích trong
quá trình xây dựng giả thuyết.
Kéo rê thử nghiệm là một thử nghiệm trên một hình mà có thể được đưa đến
để xác minh xem nó đã được dựng đúng hay không (Olivero, 2002; Laborde, 2005).
Sau khi hình thành một tính chất mới để thêm vào các hình nghiên cứu, kéo rê thử
nghiệm có thể hữu ích để kiểm tra xem tính chất ban đầu thực sự mong muốn duy
trì trong trường hợp này. Trong các tài liệu hiện tại, các thử nghiệm kéo rê được
hình thành như một công cụ để kiểm tra giá trị của phép dựng vững chắc. Điều này
sẽ có thể hữu ích trong bối cảnh xây dựng giả thuyết, bởi vì với thử nghiệm kéo rê,
như chúng ta tưởng tượng nó có thể trở thành cách thử nghiệm một giả thuyết (có
thể vẫn còn tiềm ẩn).
Để hiểu rõ hơn về các phương thức vừa nêu, chúng ta cùng xem xét ví dụ sau:
Ví dụ: Cho 3 điểm A, M, K trên màn hình GSP. Dựng điểm B đối xứng với A
qua M và C đối xứng với A qua K. Dựng D là điểm đối xứng của B qua K. Kéo rê
điểm M và dự đoán về tứ giác ABCD và tìm quỹ tích điểm M để ABCD là dạng tứ
giác đặc biệt đó (Hình 2.4.)

22