Định lí điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G Metric (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------

ĐINH NHƯ QUỲNH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN
G - METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-2019

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------

ĐINH NHƯ QUỲNH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ GIÃN TRONG KHÔNG GIAN
G - METRIC
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả

Đinh Như Quỳnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Phạm Hiến Bằng
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2019
Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




MỤC LỤC

TRANG BÌA PHỤ

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

LỜI CẢM ƠN

iii

MỤC LỤC

iv

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC

3

1.1. Không gian G - Metric

3

1.2. Một số tính chất cơ sở của không gian G - metric

4

1.3. Sự hội tụ và ánh xạ liên tục trong không gian G - metric

7

Chương 2. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN
10

TRONG KHÔNG GIAN G - METRIC
2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric

10

2.2. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian
G-metric
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

19
34
35




MỞ ĐẦU
Nguyên lí điểm bất động (hay nguyên lí ánh xạ co) đã được Banach
chứng minh vào năm 1922. Từ đó đã có nhiều tác giả mở rộng kết quả này cho
nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian khác nhau. Hướng thứ nhất là
mở rộng khái niệm không gian metric. Đầu tiên phải kể đến khái niệm không
gian b - metric được đưa ra bởi Bakhtin [2]. Tác giả đã chứng minh Định lí
điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian b - metric, là tổng quát hóa
của nguyên lí co Banach trong không gian metric. Tiếp đến là khái niệm không
gian 2-metric được đưa ra bởi Gahler [4] và khái niệm không gian D-metric
được đưa ra bởi Dhage [3]. Năm 2004, Mustafa và Sims [7] đã đưa ra khái niệm
không gian G-metric. Gần đây, Một số tác giả như Mustafa, Chugh, Shatanawi,

Mohanta,...đã quan tâm nghiên cứu và đạt được một số kết quả về điểm bất
động đối với các ánh xạ co trong không gian G-metric đầy đủ. Hướng thứ hai
phải kể đến là nghiên cứu điểm bất động trong các không gian nói trên nhưng
đối với ánh xạ giãn. Theo hướng này, một số tác giả đã đạt được các kết quả
đẹp đẽ như Maheshwari, Mustafa, Awawdeh, Shatanawi, Sahu, Sanodia,
Gupta,...
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: “Định lí điểm bất
động đối với ánh xạ giãn trong không gian G- metric“.
Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Nội dung đề tài được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [9] và [10],
gồm 35trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian G - metric.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về điểm
bất động và điểm bất động chung đối với ánh xạ giãn trong không gian G metric.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ KHÔNG GIAN G - METRIC
1.1. Không gian G - Metric
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian G - metric là cặp (E ,G ) , trong đó E là
một tập khác rỗng và G : E ´ E ´ E ® [0, ¥ ) là một hàm sao cho với mọi

u, v, w, a Î E , các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(G1)

G (u, v, w) = 0 nếu u = v = w ;

(G2 )

G (u, u, v ) > 0 với mọi u, v Î E , với u ¹ v ;

(G 3 )

G (u, u, v ) £ G (u, v, w) với mọi u, v, w Î E , với w ¹ v ;

(G 4 )

G (u, v, w) = G (u, w, v ) = G (v, w, u ) = ... (đối xứng với cả 3 biến);

(G 5 )

G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) (bất đẳng thức hình chữ nhật).

Hàm G như trên được gọi là một G - metric trên E .
Các tính chất trên có thể giải thích theo nghĩa của không gian metric.
Cho (E , r ) là một không gian metric và G : E ´ E ´ E ® [0, ¥ ) là hàm số
được xác định bởi

G (u, v, w) = r (u, v ) + r (u, w) + r (v, w) với mọi u, u, w Î E .

Khi đó (E ,G ) là một không gian G - metric. Trong trường hợp này, G (u, v, w)
có thể hiểu là chu vi của tam giác với các đỉnh u, v và w . Điều kiện (G 1 ) có
nghĩa là với một điểm ta không thể có chu vi dương, và điều kiện (G 2 ) tương
đương với khoảng cách giữa hai điểm khác nhau không thể bằng 0. Hơn nữa,
vì chu vi của một tam giác không phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh của nó, nên ta
có (G 4 ) . Cuối cùng, (G 5 ) là mở rộng của bất đẳng thức tam giác sử dụng một
đỉnh thứ tư.
Ví dụ 1.1.2. Nếu E Ì ¡ , E ¹ Æ, thì hàm G : E ´ E ´ E ® [0, ¥ ) được xác
định bởi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




G (u, v, w) = | u - v | + | u - w | + | v - w | với mọi u, u, w Î E ,
là một G - metric trên E .
Định nghĩa 1.1.3.Không gian G - metric (E ,G ) gọi là đối xứng nếu
G (u, v, v ) = G (v, u, u ) với mọi u, v Î E .

1.2. Một số tính chất cơ bản của G - Metric
Mệnh đề 1.2.1.Nếu (E ,G ) là không gian G - metric thì
G (u, v, v ) £ 2G (v, u, u ) với mọi u, v Î E .

Chứng minh. Theo bất đẳng thức hình chữ nhật (G5) cùng với tính đối xứng
(G4), ta có

G (u, v, v ) = G (v, v, u ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, u ) = 2G (v, u, u ). 
Hệ quả 1.2.2.Cho {u n } và {vn } là hai dãy trong không gian G - metric (E ,G )

. Khi đó lim G (un , un , vn ) = 0 Û lim G (un , vn , vn ) = 0 .
n® ¥

n® ¥

Mệnh đề 1.2.3.Cho (E ,G ) là không gian G - metric. Khi đó, với mọi

u, v, w, a Î E , ta có
(a ) G (u, v, w) £ G (u, u, v ) + G (u, u, w).

(b) G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (v, a, a ) + G (w, a, a ).
(c ) G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)} .

(d ) Nếu n ³ 2 và u 1, u 2,..., u n Î E thì

G (u1, un , u n ) £

å

n- 1

G (u1, u1, u n ) £

å

n- 1

G (u i , u i + 1,u i + 1) và

i= 1

i= 1

G (u i , u i , u i + 1) .

(1.1)

(e ) Nếu G (u, v, w) = 0 thì u = v = w .

( f ) G (u, v, w) £ G (u, a, w) + G (a, v, w).
(g) G (u, v, w) £

2
[G (u, v, a ) + G (u, a, w) + G (a, v, w)].
3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




(h ) Nếu u Î E \ {w, a} thì G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ G (a, u, w).
(i ) G (u, v, v ) £ 2G (u, v, w) .

Chứng minh. (a ) Áp dụng (G 4 ) và (G 5 ) với a = u , ta có

G (u, v, w) = G (v, u, w) £ G (v, u, u ) + G (u, u, w)


= G (u, u, v ) + G (u, u, w).

(b) Áp dụng (G 5 ) hai lần và sử dụng (G 4 ) , ta có

G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) = G (u, a, a ) + G (v, a, w)
£ G (u, a, a ) + G (v, a, a ) + G (a, a, w).



(c ) Theo (G 4 ) và (G 5 ) , ta có

G (u, v, w) = G (w, v, u ) £ G (w, a, a ) + G (a, v, w),
G (a, v, u ) £ G (a, w, w) + G (w, v, u ).
Suy ra,

G (u, v, w) - G (a, v, u ) £ G (w, a, a ) và
G (a, v, u ) - G (u, v, w) £ G (a, w, w).
Do đó,
G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)}. 
(d ) Nếu n = 2 , điều đó là hiển nhiên, và nếu n = 3 thì (1.1) là tính chất (G 5 )

khi cho u = u1 , a = u 2 và v = w = u 3 . Bằng cách quy nạp, nếu (1.1) xảy ra
với n ³ 3 thì nó cũng xảy ra với n + 1 bởi vì, cũng theo (G 5 ) và giả thiết quy
nạp, ta có

G (u1, un + 1, un + 1) £ G (u1, un , un ) + G (un , un + 1, un + 1)
£

å

n- 1

=

å

n

G (u i , u i + 1, u i + 1 ) + G (u n , u n + 1, u n + 1)

i= 1

G (u i , u i + 1, u i + 1 ). 

i= 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




(e ) Giả sử G (u, v, w) = 0 . Ta chỉ ra nếu v ¹ w thì u = v . Thật vậy, theo (G 5 )

, Ta có

0 £ G (u, u, v ) £ G (u, v, w) = 0 Þ G (x , x , y ) = 0 .
Theo (G 2 ) nếu u ¹ v thì G (u, u, v ) > 0 , do đó G (u, u, v ) = 0 kéo theo u = v .
Vì G là đối xứng theo các biến của nó nên nếu w ¹ v thì u = w . Do đó,

v = u = w , mâu thuẫn với giả thiết v ¹ w . Khi đó v = u = w .



( f ) Nếu a = v hoặc a = u thì kết quả là hiển nhiên. Giả sử rằng a ¹ u và

a ¹ v . Nếu a = w thì theo (G 5 ) , ta có
G (u, v, w) = G (u, v, a ) £ G (u, a, a ) + G (a, v, a )
£ G (u, a, w) + G (a, v, w).

Tiếp theo, giả sử a ¹ w . Khi đó, theo (G 5 ) và (G 3 ) , ta có
G (u, v, w) £ G (u, a, a ) + G (a, v, w) £ G (u, a, w) + G (a, y , z ). 
(g) Theo ( f ) và (G 4 ) , ta có

G (u, v, w) £ G (u, a, w) + G (a, v, w),
G (u, v, w) = G (v, w, u ) £ G (v, a, u ) + G (a, w, u ),
G (u, v, w) = G (w, u, v ) £ G (w, a, v ) + G (a, u, v ).

Cộng các bất đẳng thức trên và áp dụng (G 4 ) , ta được điều phải chứng minh.

(h ) Theo (c ) , ta có

G (u, v, w) - G (u, v, a ) £ max{G (a, w, w),G (w, a, a)}.

Khi đó, theo (G 3 ) , ta có
u ¹ a Þ G (w, a, a ) £ G (w, a, u );
u ¹ w Þ G (a, w, w) £ G (a, w, u ).

Theo (G 4 ) , ta kết luận max{G (a, w, w),G (w, a, a )} £ G (u, a, w). 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

(i ) Xét hai trường hợp. Nếu v = w thì
G (u, v, v ) = G (u, v, w) £ 2G (u, v, w).

Nếu v ¹ w thì sử dụng Mệnh đề 1.2.1 và tiên đề (G 3 ) , ta có
G (u, v, v ) £ 2G (u, u, v ) £ 2G (u, v, w). 

Định nghĩa 1.2.4. Hình cầu mở tâm u Î E , bán kính r > 0 trong không gian

G - metric (E ,G ) là tập hợp B (u, r ) = {v Î E : G (u, v, v ) < r } .
Hình cầu đóng tâm u Î E , bán kính r > 0 là tập hợp
B (u, r ) = {v Î E : G (u, v, v ) £ r } .

Mệnh đề 1.2.5.Cho (E ,G ) là một không gian G - metric, với bất kỳ u o Î E
và r > 0 , ta có
(1) Nếu G (u 0, u , v ) < r thì u , v Î B (u 0, r ) ,
(2) Nếu v Î B (u 0, r ) thì tồn tại d > 0 sao cho B (v, d) Í B (u 0, r )
1.3. Sự hội tụ và ánh xạ liên tục trong không gian G - metric
Định nghĩa 1.3.1. Cho (E ,G ) là không gian G - metric, cho điểm u Î E và
cho dãy {u n } Í E . Dãy {u n } được gọi là G - hội tụ đến u , và ta viết u n ® u
G
hay {un } ¾ ¾
® u , nếu lim G (un , u m , u ) = 0 , tức là với " e > 0 , $ n 0 Î N
n ,m ® ¥

sao cho G (u n , u m , u ) < e , với mọi n , m Î Nn: n , m ³ n 0 .
Định nghĩa 1.3.2. Cho (E ,G ) là không gian G - metric, dãy {u n } Í E được
gọi là G - Cauchy nếu với mỗi e > 0 , tồn tại N Î ¥ sao cho G (u n , u m , ul ) < e
với mọi n , m , l ³ N .
Mệnh đề 1.3.3.Giới hạn của dãy G - hội tụ trong không gian G - metric là

duy nhất.
Mệnh đề 1.3.4.Mỗi dãy hội tụ trong không gian G - metric là một dãy Cauchy.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Mệnh đề 1.3.5.Cho (E ,G ) là không gian G -metric. Khi đó các khẳng định
sau là tương đương
(1) {u n } là G - hội tụ tới u .
(3) G (u n , u n , u ) ® 0 khi n ® ¥ .
(4) G (u n , u , u ) ® 0 khi n ® ¥ .
(5) G (u m , u n , u ) ® 0 khi m, n ® ¥ .
Mệnh đề 1.3.6.Cho (E ,G ) là không gian G - metric và {u n } Í E . Khi đó các
điều kiện sau là tương đương
(a ) {un } là G - Cauchy.

(b)
(c )
(d )

(e)
(f )
(g)

lim G (u n , u m , u m ) = 0.

n ,m ® ¥

n ,m ® ¥ , m ³ n

lim

G (u n , u m , u m ) = 0.

lim

G (u n , u m , u m ) = 0.

n ,m ® ¥ , m > n

lim G (un , un , um ) = 0.

n ,m ® ¥

n ,m ® ¥ , m ³ n

lim

G (u n , u n , u m ) = 0.

lim

G (u n , u n , u m ) = 0.

n ,m ® ¥ , m > n

(h ) lim G (un , un + 1, un + 1) = 0 và
n® ¥

lim

n ,m ® ¥ , m > n

G (u n , u n + 1, u m ) = 0 .

Định nghĩa 1.3.7. Một không gian G - metric (E ,G ) được gọi là G - đầy đủ
(hay không gian G - metric đầy đủ) nếu mỗi dãy G - Cauchy trong (E ,G ) đều
G - hội tụ trong (E ,G ) .

Định nghĩa 1.3.8. Cho (E ,G ) và (E ¢,G ¢) là các không gian G - metric và ánh
xạ f : E ® E ¢. Khi đó f được gọi là G - liên tục tại một điểm a Î E
nếu với e > 0 tùy ý, tồn tại d > 0 sao cho u, v Î E ; G (a, u, v ) < d kéo theo

G ¢( f (a ), f (u ), f (v )) < e. Hàm f là G - liên tục trên E khi và chỉ khi nó là
G - liên tục tại mọi a Î E .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Mệnh đề 1.3.9. Cho (E ,G ) và (E ¢,G ¢) là các không gian G - metric. Ánh xạ
f : E ® E ¢được gọi là G - liên tục tại một điểm u Î E khi và chỉ khi nó là
G - liên tục theo dãy tại u ; nghĩa là, khi {u n } là G - hội tụ đến u thì ( f (u n ))

là G - hội tụ đến f (u ) .
Định lý 1.3.10. Nếu (E ,G ) là không gian G - metric thì hàm G (u, v, w) liên
tục theo cả ba biến của nó, nghĩa là, nếu u, v, w Î E và {u n }, {vn }, {wn } Í E

sao cho u m ® u , vm ® v và wm ® w thì {G (u m , vm , wm )} ® G (u, v, w) .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC

2.1. Điểm bất động đối với ánh xạ giãn trong không gian G-metric
Định nghĩa 2.1.1. Cho (E ,G ) là không gian G - metric và S : E ® E . S gọi
là ánh xạ giãn nếu $a > 1 sao cho với mọi u, v, w Î E , ta có
G (Su, Sv, S w) ³ aG (u, v, w) .

Ví dụ 2.1.2. Cho S : ( ¡ ,G ) ® ( ¡ ,G ) là ánh xạ được xác định bởi
ìï 5u
khi u £ 3
S (u ) = ïí
ïï 5u + 2 khi u > 3
î

vàG (u, v, w) = max{| u - v |,| v - w |,| u - w |} . Khi đó ( ¡ ,G ) là không
gian G - metric và S là ánh xạ giãn.
Định lí 2.1.3.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ. Giả sử tồn tại một
hằng số a > 1 và S : E ® E là toàn ánh, sao cho với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, S w) ³ aG (u, v, w) (2.1).

Khi đó S có điểm bất động duy nhất.

Chứng minh.Theo giả thiết, nếu Su = Sv , thì 0 = G (Su, Sv, Sv ) ³ aG (u, v, v )
,suy raG (u, v, v ) = 0 , do đó u = v . Vì vậy, S là đơn ánh và khả nghịch.
Giả sử h là ánh xạ nghịch đảo của S . Khi đó
G (u, v, w) = G (S (hu ), S (hv ), S (hw)) ³ aG (hu, hv, hw) .

Do đó, với " u, v, w Î E , ta có G (hu, hv, hw) £ kG (u, v, w) , ở đó k = 1 / a .
Áp dụng Định lí 1.1[6], $ !u Î E ; h(u ) = u . Nhưng, u = S (h(u )) = S (u ) . Do
đó u là điểm bất động của S .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Giả sử, tồn tại v ¹ u sao cho Sv = v , khi đó ta có
Sv = v = S (h(v )) = h(Sv ) ,

vì vậy Sv là điểm bất động của h . Do tính duy nhất nên u = Sv = v . Vậy u là
điểm bất động duy nhất của S .
Định lí 2.1.4.Giả sử (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và $a > 1 và

S : E ® E là toàn ánh, sao cho với mọi u, v Î E
G (Su, Sv, Sv ) ³ aG (u, v, v ) .

(2.2)

Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Theo giả thiết,nếu Su = Sv , thì 0 = G (Su, Sv, Sv ) ³ aG (u, v, v ) ,
suy raG (u, v, v ) = 0 , do đó u = v , suy ra S là đơn ánh, nên là song ánh, do đó

S là khả nghịch. Giả sử h là ánh xạ nghịch đảo của S . Khi đó

G (u, v, v ) = G (S (hu ), S (hv ), S (hv )) ³ aG (hu, hv, hv ) .

Như vậy với mỗi u, v Î E ta có G (hu, hv, hv ) £ kG (u, v, v ) , ở đó k = 1 / a .
Áp dụng Định lí 1.2[6] đối với ánh xạ nghịch đảo h , và dùng phương pháp
tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.3, ta kết luận S có điểm bất động
duy nhất.
Hệ quả 2.1.5.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ. Nếu tồn tại a > 1
và S : E ® E là toàn ánh, sao cho với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, S w) ³ a {G (u, w, w) + G (v, w, w)} ,

(2.3)

thì S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Kết quả suy ra từ Định lí 2.1.4, bằng cách lấy w = v trong (2.3).
Định lí 2.1.6.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ, và S : E ® E toàn
ánh thỏa mãn điều kiện sau đây với mọi u, v, w Î E
ìï G (u, w, w ) + G (v, w, w )ü
ïï
ïï
ï
G (Su, Sv, S w) ³ a max ïí G (w, v, v ) + G (u, v, v ) ïý (2.4)
ïï
ï
ïï G (w, u, u ) + G (v, u, u ) ïïï
î
þ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

trong đó a > 1 . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Từ điều kiện (2.4) suy ra S là đơn ánh và khả nghịch. Giả sử h là
ánh xạ nghịch đảo của S . Theo điều kiện (2.4) " u, v, w Î E , ta có
G (u, v, w) = G (S (hu ), S (hv ), S (hw))

ìï G (hu, hw, hw) + G (hv, hw, hw)ü
ïï
ïï
ï
³ a max ïí G (hw, hv, hv ) + G (hu, hv, hv ) ïý
ïï
ï
ïï G (hw, hu, hu ) + G (hv, hu, hu ) ïïï
î
þ

(2.5)

Nhưng, theo (G5) ta có

ìï G (hu, hw, hw) + G (hv, hw, hw)ü
ïï
ïï
ï
max ïí G (hw, hv, hv ) + G (hu, hv, hv ) ïý ³ G (hu , hv, hw) .
ïï
ï
ïï G (hw, hu, hv ) + G (hv, hu , hu ) ïïï
î

þ

(2.6)

Do đó, (2.5) kéo theo
G (hu, hv, hw) £ aG (u, v, w) , trong đó a = 1 / a .

(2.7)

Áp dụng Định lí 1.1[6] đối với điều kiện (2.7), $ !u Î E sao cho h(u ) = u .
Nhưng u = S (h(u )) = S (u ) , điều này chứng tỏ u là điểm bất động của S .
Để chứng minh u duy nhất, ta sử dụng chứng minh tương tự trong Định lí 2.1.3.
Định lí 2.1.7.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ không đối xứng và
S : E ® E là toàn ánh thỏa mãnđiều kiện sau với mọi u, v, w Î E
ïìï G (u, v, v ) + G (v, u, u ) ïü
ïï
ïï
G (Su, Sv, S w) ³ a max í G (u, w, w) + G (w, u, u )ïý , (2.8)
ïï
ï
ïï G (w, v, v ) + G (v, w, w) ïïï
î
þ
trong đó a > 23 . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Giả sử S thỏa mãn điều kiện (2.8).Khi đó S là đơn ánh và khả
nghịch. Trong điều kiện (2.8), lấy w = v . Khi đó với mọi u, v, w Î E , ta có
G (Su, Sv, Sv ) ³ a {G (u, v, v ) + G (v, u, u )} ,(2.9)

từ (G5) suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

G (u, v, v ) = G (v, v, u ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, u ) = 2G (v, u, u ) .

Do đó
1
G (u, v, v ) + G (u, v, v ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, v ) ,
2

suy ra
3
G (u, v, v ) £ G (v, u, u ) + G (u, v, v ) .
2
Kết hợp (2.9) và (2.10) ta nhận được

(2.10)

3a
G (u, v, v ) .(2.11)
2
Gọi h là ánh xạ nghịch đảo của S .Khi đó áp dụng (2.11) ta được
G (Su, Sv, Sv ) ³

G (u, v, v ) = G (S (hu ), S (hv ), S (hv )) ³

với mọi u, v Î E . Vì a >

3a

G (hu, hv, hv )
2

(2.12)

2
nên ta có G (hu, hv, hv ) £ bG (u, v, v )
3

(2.13)

2
và b < 1 .Khi đó, theo Định lí 1.2[6], $ !u Î E sao cho h(u ) = u
3a
, nhưng u = S (h(u )) = S (u ) , chứng tỏ rằng u là điểm bất động của S .

với b =

Để chứng minh tính duy nhất, giả sử v ¹ u sao cho S (v ) = v , từ (2.8) ta có
G (u, v, v ) = G (Su, Sv, Sv ) ³ a {G (u, v, v ) + G (v, u, u )} ³

3a
G (u, v, v ) .
2

3a
> 1 , nên G (u, v, v ) > G (u, v, v ) . Mâu thuẫn này suy ra u = v .
2
Định lí 2.1.8.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ không đối xứng và

Nhưng

S : E ® E là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, Sv ) ³ a max {G (u, v, v ),G (v, u, u )} với k > 1 . (2.14)

Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.Vì max {G (u, v, v ),G (v, u, u )} ³ G (u, v, v ) , nên theo (2.14), ta có
G (Su, Sv, Sv ) ³ aG (u, v, v ) ,với mọi u, v, w Î E .(2.15)

Theo Định lí 2.1.4, S có điểm bất động duy nhất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Hệ quả 2.1.9.Cho (E ,G ) là không gianG - metricđầy đủ không đối xứng và

S : E ® E là toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
ìï G (u, v, v ),G (v, u, u ) ü
ïï
ïï
ï
G (Su, Sv, S w) ³ a max ïí G (u, w, w),G (w, u, u )ïý (2.16)
ïï
ï
ïï G (w, v, v ),G (v, w, w) ïïï
î
þ
với a > 1 . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.

Chứng minh.Suy ra từ Định lí 2.1.8 bằng cách lấy w = v .
Hệ quả 2.1.10.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và S : E ® E là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, Sv ) ³ a {G (u, Su, Su ) + G (Su, v, w)} với a > 1 . (2.17)

Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Theo (G5), ta có
G (u, Su, Su ) + G (Su, v, w) ³ G (u, v, w) .

Khi đó điều kiện (2.17) trở thành
G (Su, Sv, S w) ³ aG (u, v, w) , với mọi u, v, w Î E

và kết luận được suy ra từ Định lí 2.1.3.
Định lí 2.1.11.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và S : E ® E là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, S w) ³ aG (u, v, w) + bG (u, u, Su ) + cG (v, v, Sv ) + dG (w, w,Sw) ,

trong đó a + b + c + d > 1 vàb + c < 1.(2.18)
Khi đó S có một điểm bất động.
Chứng minh .Lấy u 0 Î E , vì S là toàn ánh nên tồn tại u1 sao cho u1 Î S - 1(u 0 )
. Lập luận tương tự ta có thể lấy un Î S - 1(un - 1), (n = 2, 3, 4,...) . Nếu
u m = u m - 1 với m nào đó, thì u m là điểm bất động của S . Giả sử u n ¹ u n - 1 với

mỗi n , khi đó từ (2.18) ta có

G (u n - 1, u n - 1, u n ) = G (Su n , Su n , Su n + 1 )
³ aG (u n , u n , u n + 1 ) + (b + c )G (u n , u n - 1, u n - 1 ) + dG (u n + 1, u n , u n ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

Do đó

(1 - (b + c))G (un - 1, un - 1, un ) ³ (a + d )G(un + 1, un , un ) ,
suy ra

G (u n + 1, u n , u n ) £
Đặt q =

1 - (b + c)
G (u n - 1, u n - 1, u n ) . (2.19)
a+d

1 - (b + c )
. Khi đó q < 1 và bằng cách lặp lại áp dụng của (2.19), ta
a+d

có

G (un + 1, un , un ) £ qnG (u1, u 0, u 0 ) .(2.20)
Khi đó với mọi n , m Î ¥ , n < m , bằng cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức
(G5) và (2.20) ta được
G (u m , u n , u n ) £ G(u m , u m - 1, u m - 1 ) + G(u m - 1, u m - 2, u m - 2 ) +

G (um - 2, um - 3, um - 3 ) + ... + G (un + 1, un , un )
£ (q

m- 1

+q

m- 2

qn
+ ... + q )G (u 0, u1, u1) £
G (u 0, u1, u1) .
1- q
n

Do đó lim G (um , un , un ) = 0 và {u n } là dãy G - Cauchy. Vì (E ,G ) là không
n ,m ® ¥

gian đầy đủ, nên tồn tại u Î E sao cho {u n } làG - hội tụ tới u .
Lấy v Î S - 1(u ) ,ta có

G (un , u, u ) = G (Sun + 1, Sv, Sv)
³ aG (un , v, v) + bG (un + 1, un + 1, un ) + (c + d )G (v, v, u ) .
Vì G (u n , u , u ) ® 0 khi n ® ¥ , nên ta có
(c + d )G (v, v, u ) = 0 và aG (u n , v, v ) ® 0 khi n ® ¥ .

Điều này là không thể xảy ra cho cả hai c + d = 0 và a = 0 . Do đó
1. Nếu c + d ¹ 0 thì G (v, v, u ) = 0 , suy ra u = v
2. Nếu a ¹ 0 thì aG (u n , v, v ) ® 0 khi n ® ¥ , suy ra u n ® v .
Do đó trong cả hai trường hợp ta đều có u = v , nhưng Sv = u , nên
Sv = u = v . Vậy v là điểm bất động của S .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

Nếu a < 1 thì điểm bất động của S là không duy nhất, vì ánh xạ đồng nhất
thỏa mãn điều kiện (2.18). Tuy nhiên nếu a > 1 thì điểm bất động là duy nhất.
Hệ quả 2.1.12.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và S : E ® E là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, S w) ³ aG (u, v, w) + b {G (u, u, Su )
+ G (v, v, Sv ) + G (w, w, S w)} (2.21)

với a + 3b > 1, b <

1
2

. Khi đó S có điểm bất động.

Chứng minh. Trong Định lí 2.1.11, nếu a = a và b = c = d = b , thì điều kiện
(2.18) trở thành điều kiện (2.21), do đó theo Định lí 2.1.11, S có điểm bất động.
Định lí 2.1.13.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và S : E ® E là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
ïì G (u , w, w),G (v, w, w),G (w, v, v )ïü
ï (2.22)
G (Su , Sv, S w) ³ a min ïí
ý
ïï G (u , v, v ),G (w, u, u ),G (v, u, u ) ïï
î
þ

với a > 2 . Khi đó S có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy {u n } với u n - 1 ¹ u n và
Su n = x n - 1 . Khi đó theo (2.22) ta có

G (un , un - 1, un - 1) = G (Sun + 1, Sun , Sun )
ìï G (u , u , u ), G (u , u , u ) ü
ïï
ïï
n+1
n
n
n
n
n
ï
³ a min ïí
G (u n , u n , u n ), G (u n + 1, u n , u n ) ïý (2.23)
ïï
ï
ïï G (u n , u n + 1, u n + 1 ), G (u n , u n + 1, u n + 1 )ïïï
î
þ
Từ tính chất G - metric ta có G (un + 1, un , un ) £ 2G (un + 1, un + 1, un ) , do đó (2.23)
trở thành

G (u n , u n - 1, u n - 1 ) ³ a min {G (u n + 1, u n , u n ),G (u n , u n + 1, u n + 1 )}
a
³
G (u n + 1, u n , u n ).
2
Suy ra
G (u n + 1, u n , u n ) £

2
G (u n , u n - 1, u n - 1 ) .
a

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




2
, khi đó q < 1. Bằng cách tương tự trong chứng minh Định lí 2.1.11,
a
ta thấy rằng dãy {u n } là G - Cauchy và do tính đầy đủ của (E ,G ) , dãy {u n } là
Đặt q =

G - hội tụ tới u Î E . Vì S là G - liên tục, nên
Su n = u n - 1 ® Su khi n ® ¥ .

Do đó Su = u . Vậy u là điểm bất động của S .
Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử có v ¹ u sao cho Sv = v , khi đó (2.22)
kéo theo
G (u, v, v ) ³ a min {G (u, v, v ),G (v, u, u )},

do đó
G (u, v, v ) ³ aG (v, u, u )

bằng cách tương tự ta được
G (v, u, u ) ³ aG (u, v, v ),

suy ra

G (u , v, v ) ³ a 2G (u , v, v ) .

Từ đó u = v vì a > 2 . W
Định lí 2.1.14. Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủ và S : E ® E là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u Î E
G (Su , S 2u , S 3u ) ³ aG (u , Su , S 2u ) với a > 1 . (2.24)

Khi đó S có một điểm bất động.
Chứng minh. Tương tự như trongĐịnh lí 2.1.11, tồn tại một dãy {u n } với
u n - 1 ¹ u n và Su n = u n - 1 . Khi đó (2.24) trở thành

G (u n - 1, u n - 2, u n - 3 ) = G (Su n , S 2u n , S 3u n )
³ aG (u n , Su n , S 2u n ) = aG (u n , u n - 1, u n - 2 ) ,(2.25)
do đó
G (u n , u n - 1, u n - 2 ) £

1
G (u n - 1, u n - 2, u n - 3 )
a

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Đặt q =

1
, thì q < 1. Bằng cách tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.11,
a

suy ra {u n } là dãy G - Cauchy và do tính đầy đủcủa (E ,G ) , suy ra dãy {u n } là

G - hội tụ tới u Î E .
Vì S là G - liên tục, nên Su n = u n - 1 ® Su khi n ® ¥ . Do đó Su = u .Vậy
u là điểm bất động của S .

Định lí 2.1.15.Cho (E ,G ) là không gian G - metric đầy đủvà S : E ® E là
toàn ánh thỏa mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E
G (Su, Sv, S w) ³ a max {G (u, Su, Su ),G (v, Sv, Sv ),G (w, S w, S w)}

với a > 1 . (2.26)
Khi đó S có một điểm bất động.
Chứng minh. Như trong Định lí 2.1.11, tồn tại một dãy {u n } với u n - 1 ¹ u n và
Su n = u n - 1 . Khi đó (2.26) trở thành

G (un , un - 1, un - 1) = G (Sun + 1, Sun , Sun )
³ a max {G(un + 1, un , un ),G(un , un - 1, un - 1),G(un , un - 1, un - 1)}
= aG (un + 1, un , un ) ,

(2.27)

suy ra
G (u n + 1, u n , u n ) £

Đặt q =

1
G (u n , u n - 1, u n - 1 )
a

1
, thì q < 1. Tương tự trong chứng minh của Định lí 2.1.11, ta thấy
a

rằng dãy {u n } là G - Cauchy và do tính đầy đủ của (E ,G ) , dãy {u n } là G hội tụ tới u Î E . Đặt v Î S - 1(u ) , từ (2.26) ta có,

G (un , u, u ) = G (Sun + 1, Sv, Sv) ³ a max {G (un + 1, un , un ),G (v, Sv, Sv)}
= a max {G (un + 1, un , un ),G (v, u, u )} .
VìG (u n , u , u ) ® 0 khi n ® ¥ , nên ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




aG (y , u, u ) = 0 và aG (un + 1, un , un ) ® 0 khi n ® ¥ .

Do đó, G (v, u, u ) = 0 , suy ra u = v .
Nhưng Sv = u , nên Sv = u = v . Vậy v là điểm bất động của S .
2.2.Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian Gmetric
Định nghĩa 2.2.1. Cặp (R , S ) các tự ánh xạ trên không gian G - metric (E , G )
gọi là nửa tương thích nếu lim G (RSun , Su, a ) = 0 với mọi a Î E và {u n } Ì E
n® ¥

sao cho lim Run = lim Sun = u .
n® ¥

n® ¥

Điều này nghĩa là nếu lim Run = lim Sun = u thì lim R Sun = Su .

n® ¥

n® ¥

n® ¥

Định lý 2.2.2.Cho (E ,G ) không gian G - metric đầy đủ, R , S : E ® E là
các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
(a ) R (E ) Ì S (E )
(b) G (R u, R v, R v ) ³ aG (Sv, Sv, Su ) + b min {G (Su, Rv, Rv ),G (Su, Rv, Rv )}

với mọi u, v Î E vàa > 1, b > 2, a + b > 1
(c ) R hoặc S liên tục.

(d ) Cặp (R , S ) là nửa tương thích.

Khi đó R và S có điểm bất động chung duy nhất trong E .
Chứng minh. Lấy u 0 Î E tùy ý. Vì R (E ) Ì S (E ) nên tồn tại u 1 sao cho

Ru1 = Su0 = v0 . Bằng quy nạp, ta có thể xác định dãy Run + 1 = Sun = vn .
Sử dụng (b) với u = un , v = un + 1 , ta có đánh giá sau

G (Run , Run + 1, Run + 1) ³ a(Sun + 1, Sun + 1, Sun ) +
+ b min {G (Sun , Run + 1, Run + 1),G (Sun , Run + 1, Sun + 1)},

suy ra

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

G (vn - 1, vn , vn ) ³ aG (vn + 1, vn + 1, vn ) +
+ b min {G (vn , vn , vn ),G (vn , vn , vn + 1)}.

Do đó

G (vn - 1, vn , vn ) ³ aG (vn + 1, vn + 1, vn ) .
Suy ra
G (vn + 1, vn , vn ) £

Đặt p =

1
G (vn - 1, vn , vn )
a

1
,ta có
a

G (vn + 1, vn , vn ) £ pG (vn - 1, vn , vn )

(2.28)

Tương tự ta nhận được

G (vn - 1, vn , vn ) £ pG (vn - 2, vn - 1, vn - 1) .
Kết hợp với (2.28) ta được
G (vn + 1, vn + 1, vn ) £ p2G (vn - 2, vn - 1, vn - 1) .

Bằng quy nạp ta có
G (vn + 1, vn + 1, vn ) £ pnG (v0, v1, v1) .

Ta sẽ chứng minh dãy {vn } là dãy Cauchy
Sử dụng (G5), với n > m ta có

G (vm , vn , vn ) £ G (vm , vm + 1, vm + 1) + G (vm + 1, vn , vn )
£ G (vm , vm + 1, vm + 1) + G (vm + 1, vm + 2, vm + 2 ) + G (vm + 2, vn , vn )
………….
£ G (vm , vm + 1, vm + 1) + G (vm + 1, vm + 2, vm + 2 ) +
... + G (vn - 1, vn , vn ) + G (vn , vn , vn )

£ pmG (v0, v1, v1) + pm + 1G (v0, v1, v1) + ... + pn - 1G (v0, v1, v1) .

Vì m < n , nên đặt n = m + k thì ta có
G (vm , vn , vn ) £ pmG (v0, v1, v1) + pm + 1G (v0, v1, v1) + ... + pm + k - 1G (v0, v1, v1)

£ pm (1 + p + p2 + ... + pk - 1)G (v0, v1, v1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN