Luận văn Thạc sỹ Khoa học: Nghiên cứu didactic toán về mối liên hệ giữa phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
—oOo—
VÕ HOÀNG
NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA "PHƢƠNG PHÁP VECTƠ"
VÀ "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ" TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở LỚP 12

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
Mã số :60.14.10
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

TP. HỒ CHÍ MINH - 2002


Lời Cảm Ơn
Trước hết, cho tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô LÊ THỊ HOÀI CHÂU, khoa
Toán - Tin học Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh. Cô là người đã bỏ nhiều công
sức và thời gian để dìu dắt, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn Phòng KHCN.SĐH và Trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã
tạo điều kiện cho tôi hoàn thành chương trình và các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cho tôi gửi lời cảm ơn đến các Bà : CLAUDE COMITI, ANNIE BESSOT, Thầy LÊ
VĂN TIẾN, Thầy ĐOÀN HỮU HẢI đã nhiệt tình giảng dạy và góp ý giúp tôi hoàn thành luận
văn.
Tôi xin cảm ơn các anh, chị, em và các bạn trong lớp Didactic khóa 11 đã động viên
giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn. Đặc biệt, cho tôi gửi lời cảm ơn đến anh HOÀNG
HỮU VINH, em TÔ THỊ THANH HÀ, những người thân yêu đã luôn động viên, giúp đỡ tôi đi
đến kết quả cuối cùng.


MỤC LỤC

Chƣơng I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA ................................................................................. 1
I. Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát ........................................................................................... 1
II. Khung lý thuyết tham chiếu : ............................................................................................ 4
1. Quan hệ thể chế:............................................................................................................. 4
2. Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique) .......................................................... 6
III. Phƣơng pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn ................................................................ 8
1. Nghiên cứu quan hệ thể chế ........................................................................................... 8
2. Nghiên cứu thực nghiệm ................................................................................................ 8
CHƢƠNG II - NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TỪ QUAN
ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC ................................................................. 10
Mở đầu ................................................................................................................................. 10
I. Phân tích chƣơng trình học ở PTTH ................................................................................. 11
I.1 Chƣơng trình hình học PTTH năm 1989 .................................................................... 11
I.2 Chƣơng trình hình học PTTH chỉnh lí hợp nhất năm 1999 ........................................ 13
II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong SGK hình học 10..................................................... 15
II.1. Công cụ vectơ với việc trình bày các nội dung Hình học giảng dạy ở lớp 10. ........ 16
II.2. Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ
trong Hình học 10 : .......................................................................................................... 19
III. Phƣơng pháp Vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12..................................... 24
III.1.Phân tích lý thuyết: Mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. 24
III.1.1.Chƣơng I: Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng. ............................................. 25
III.1.2 Chƣơng II: Phƣơng pháp tọa độ trong không gian. .......................................... 29
III.2. Phân tích phần bài tập trong hình học lớp 12 ......................................................... 32
III.2.1 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa : ........ 34
III.2.2. Các kiểu nhiệm vụ sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để giải
toán............................................................................................................................... 38


CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................................. 49
Mở đầu ................................................................................................................................. 49

I. Hai bài toán thực nghiệm : ............................................................................................... 50
1. Đề bài: .......................................................................................................................... 50
2. Các kiến thức liên quan : ............................................................................................. 50
3. Các biến Didactic ; ....................................................................................................... 51
II. / Phân tích A PRIORI bài toán ........................................................................................ 52
A. Bài toán 1 .................................................................................................................... 52
B. Bài toán 2 : .................................................................................................................. 56
III./ Phân tích A POSTERIORI .......................................................................................... 60
A. Bài toán 1 : .................................................................................................................. 60
B. Bài toán 2 : .................................................................................................................. 61
KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 65


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Chƣơng I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA
I. Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát
Hình học sơ cấp có đối tƣợng nghiên cứu là các hình hình học. Ngƣời ta có thể tiếp
cận Hình học sơ cấp ít nhất bằng ba phƣơng pháp khác nhau : phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng
pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ.
Phƣơng pháp tổng hợp là phƣơng pháp nghiên cứu hình học trên cơ sở một hệ tiên đề.
Ở đây các hình hình học đƣợc mô tả, biểu diễn bằng các hình vẽ. Hình vẽ có một vai trò quan
trọng vì nó là điểm tựa trực giác cho quá trình tìm tòi và thực hiện lời giải bài toán. Thế
nhƣng, trong nhiều tình huống, một hình vẽ không thể biểu diễn tất cả các trƣờng hợp của
một hình hình học và vì thế lời giải bài toán có thể rất cồng kềnh, ngƣời ta phải xét nhiều
hình vẽ khác nhau.
Phƣơng pháp giải tích : "Với phương pháp này, thông qua trung gian là một hệ tọa

độ, người ta thay thế các đối tượng hình học và quan hệ hình học bằng các đối tượng đại số
và quan hệ đại số. Nói cách khác, người ta dịch các tính chất hình học thành những biểu thức
và phương trình đại số, chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số và làm việc thuần túy
trong lĩnh vực đại số. Ở đây, tính toán đại số là hạt nhân của lời giải bài toán ". (Lê Thị Hoài
Châu, 1997). Nhƣ thế phƣơng pháp tọa độ cho phép đại số hóa hình học để tận dụng các kỹ
thuật của đại số vào nghiên cứu Hình học.
Phƣơng pháp vectơ là phƣơng pháp giải toán hình học bằng cách sử dụng vectơ. ở
đây, với việc định hƣớng các thực thể hình học, ngƣời ta đã xây dựng đƣợc các phép toán đại
số trên chúng và từ đó cũng đại số hóa hình học. Nhƣng, không nhƣ phƣơng pháp giải tích,
với phƣơng pháp vectơ ngƣời ta vẫn ở lại trong phạm vi

1


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

hình học, và do đó có thể khai thác phƣơng diện trực giác trong khi vẫn tận dụng đƣợc những
phƣơng tiện của đại số.
Ngoài ra, nhƣ tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) đã nói : "Vì vectơ có thể được biểu
diễn qua tọa độ, nên tồn tại một phương pháp thứ tư (lưỡng tính), mà chúng tôi gọi là
phương pháp vectơ - tọa độ. Ở đây, người ta đặt vectơ vào một hệ tọa độ, và thực hiện các
phép toán vectơ qua tọa độ của chúng ".
Chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ "Phƣơng pháp tọa độ" để chỉ cách nghiên cứu hình học
bằng phƣơng pháp giải tích hoặc phƣơng pháp vectơ - tọa độ.
'Trong lịch sử toán, Hình học giải tích ra đời trƣớc khi xuất hiện ý tƣởng xây dựng
một hệ thống tính toán đại số trong nội tại hình học, ý tƣởng dẫn đến sự hình thành nên lý
thuyết vectơ vào nửa sau thế kỷ 19 [...]. Thế nhƣng, xét về mặt toán học thuần túy thì bƣớc
chuyển từ hình học tổng hợp sang hình học vectơ không dựa vào hình học giải tích. Ngƣời ta

có thể xây dựng Hình học giải tích và Hình học vectơ theo những cách thức hoàn toàn độc
lập với nhau.
Nhƣ vậy, không có gì bắt buộc phải tôn trọng trật tự niên đại trong dạy học : Phƣơng
pháp giải tích không phải một cái cầu buộc phải qua để chuyển từ phƣơng pháp tổng hợp
sang phƣơng pháp vectơ và ngƣợc lại".
(Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr. 113 - 116).
Từ những phân tích trên, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã chỉ ra ba con đƣờng có thể đi
theo để đƣa vào các phƣơng pháp tiếp cận hình học sơ cấp. Đó là :
* Phƣơng pháp tổng hợp → phƣơng pháp giải tích→ phƣơng pháp vectơ.
* Phƣơng pháp tổng hợp → phƣơng pháp vectơ → phƣơng pháp giải tích

2


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

* Ngoài ra, nhƣ đã nói ở trên, phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ liên thông
với nhau qua trung gian là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Vì thế, việc dạy học hình học còn có
thể đƣợc tiến hành theo con đƣờng thứ ba là : phƣơng pháp tổng hợp sau đó phƣơng pháp
vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc tiến hành song song.
"Mặc dù cả ba con đƣờng trên đều dẫn đến một hình học đƣợc đại số hóa, nhƣng bản
chất của chúng khác nhau. Xét về phƣơng diện sƣ phạm, thì bắt đầu bằng phƣơng pháp vectơ
hay phƣơng pháp tọa độ sẽ tạo ra những điều kiện khác nhau cho việc học tập" (Lê Thị Hoài
Châu, 1997).
Ở Việt Nam con đƣờng đƣợc lựa chọn là :
Phƣơng pháp tổng hợp → Phƣơng pháp vectơ → Phƣơng pháp tọa độ
Vấn đề đặt ra là sự lựa chọn đó có ảnh hƣởng gì đến việc học tập phƣơng pháp vectơ
và phƣơng pháp tọa độ. Nói cách khác, sự lựa chọn của thể chế dạy học ở Việt Nam sẽ tạo ra

những thuận lợi hay khó khăn nào cho việc học tập hình học của học sinh.
Để trả lời cho các câu hỏi trên, trƣớc hết ta phải vạch rõ mối liên hệ giữa hai phƣơng
pháp này trong dạy học Hình học 12 sau đó tìm hiểu khả năng của học sinh trong việc sử
dụng phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ để giải toán.
Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi muốn tìm các yếu tố cho phép trả lời là:
H1: Trong thể chế dạy học hình học ở bậc PTTH của Việt Nam, phương pháp tọa độ
được đưa vào như thế nào ? Vectơ đóng vai trò gì đối với việc xây dựng các kiến thức cơ sở
cho phương pháp tọa độ ?
H2: Liệu học sinh có khả năng huy động các kiến thức về phương pháp vec tơ và
phương pháp tọa độ để giải toán hình học hay không ?

3


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Trả lời đƣợc các câu hỏi này, chúng tôi sẽ hiểu đầy đủ hơn ảnh hƣởng của sự lựa chọn
thể chế đối với việc học tập hình học, từ đó tìm cách cải tiến hoạt động dạy và học tạo điều
kiện thuận lợi cho việc chiếm lĩnh phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ của học sinh.
Công cụ lý thuyết của Didactic giúp chúng tôi thực hiện các công việc của đề tài là
một số yếu tố của lý thuyết nhân chủng học, trong đó "quan hệ của thể chế đối với một tri
thức" và "tổ chức toán học" là hai khái niệm quan trọng đối với nghiên cứu của chúng tôi.
Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày sơ lƣợc các khái niệm của lý thuyết
Didactic mà chúng tôi dựa vào để phân tích quan hệ của thể chế (dạy học hình học ở lớp 12)
đối với phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ.

II. Khung lý thuyết tham chiếu :
1. Quan hệ thể chế:

Theo Chevallard (1989):
"Một tri thức không tồn tại "lơ lửng" trong một xã hội rỗng : Mọi tri thức đều xuất
hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, nhƣ là đƣợc cắm sâu vào một
hoặc nhiều thể chế".
Cụ thể hơn, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế và một tri thức có thể sống
trong nhiều thể chế khác nhau. Để có thể sống trong một thể chế nào đó thì tri thức đƣợc nói
đến phải tuân thủ theo một số ràng buộc của thể chế này. Điều đó kéo theo việc là một tri
thức có thể bị biến đổi theo thể chế, nếu không, nó không tồn tại trong thể chế đó.

4


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức chủ yếu dựa trên ba thuật ngữ: các đối tƣợng
O; các cá nhân X và các thể chế I. Trong phạm vi của lý thuyết này, một đối tƣợng tri thức O
đƣợc coi là tồn tại ngay khi một cá nhân hay một thế chế nhận biết nó nhƣ đã tồn tại. Chính
xác hơn, ngƣời ta nói rằng đối tƣợng O tồn tại đối với một thể chế I nếu nhƣ tồn tại một quan
hệ thể chế R(I, O) từ I đến O và đối tƣợng O tồn tại đối với một cá thể X nếu tồn tại một quan
hệ cá nhân R(X, O) từ X đến O.
Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một tri thức gắn liền với vị trí
của các thành tố trong thể chế. Nếu là thể chế dạy học, ngƣời ta phải xem xét đến ít nhất là :
quan hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh. Quan hệ thể chế đối
với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi hỏi ngƣời thầy giáo phải thực hiện. Cũng thế quan
hệ thể chế đối với học sinh xác định mà thể chế đòi hỏi ngƣời học sinh thực hiện.
Trong một thể chế dạy học, cái đƣợc thua của việc dạy học là một tri thức. Ý định của
thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức này để nó trở nên phù hợp
với quan hệ thể chế. Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong bất kì một

thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tƣợng thật sự là cái đƣợc thua
của việc dạy học với những đối tƣợng khác (đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa,
hay những đối tƣợng không hề là cái đƣợc thua của việc dạy học nhƣng nó hiện diện ở đó).
Theo quan điểm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế chiếm giữ một vai trò rất quan
trọng trong các thể chế dạy học. Điều này Chevallard cũng đã chỉ rõ :
"Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện
và những hiệu quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt
thực tiễn, và là thứ yếu về mặt khoa học luận của việc dạy học. " (Chevallard 1989 b, 93).

5


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Quan hệ thể chế I đối với tri thức O cho biết O xuất hiện ở đâu và nhƣ thế nào trong I,
O hoạt động nhƣ thế nào và giữ vai trò gì trong I...
Đến đây, một vấn đề mới đƣợc đặt ra, đó là cần phải xây dựng một phƣơng pháp phân
tích các thực tiễn của thể chế. Những phát triển mới đây của quá trình lý thuyết hóa nhằm giải
quyết vấn đề này, trong đó khái niệm chìa khóa đƣợc đƣa vào bởi Chevallard là khái niệm
'Tổ chức toán học" (Praxéologie mathématique) và tổ chức didactic (Praxéologie didactique).
Ở đây, để phân tích sách giáo khoa, chúng tôi sẽ phải sử dụng khái niệm "tổ chức toán học".
2. Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique)
Các hoạt động toán học là trƣờng hợp đặc biệt của hoạt động xã hội, chúng đƣợc các
nhà nghiên cứu mô hình hóa. Ta hiểu : Mô hình là một giả thuyết của nhà nghiên cứu cho
phép mô tả và giải thích thực tế. Cơ sở của mô hình hóa dựa vào hai định đề cơ bản sau :
Đinh đề 1 : Mọi thực tế thể chế đều có thể phân tích được, theo những quan điểm
khác nhau và bằng những cách khác nhau, thành hệ thống các nhiệm vụ xác định.
Định đề 2 : Việc thực hiện mỗi kiểu nhiệm vụ là kết quả của việc áp dụng một kỹ

thuật.
Theo Chevallard một "tổ chức toán học" là một bộ tứ đƣợc hình thành từ:
1) Các kiểu nhiệm vụ T - hiện diện trong một thể chế nào đó.
2) Kỹ thuật τ cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T.
3) Công nghệ θ : văn bản lý giải cho kỹ thuật τ
4) Lý thuyết

: công nghệ của công nghệ θ

6


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Sự xuất hiện một praxéologie liên quan đến tri thức O cho phép thiết lập mối quan hệ
mà thể chế duy trì đối với O : "Quan hệ thể chế với một đối tƣợng, đối với một vị trí nhất
định của thể chế, đƣợc định hình và đào luyện bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà các cá thể
giữ vị trí này phải thực hiện bằng những kỹ thuật đã đƣợc xác định. Nhƣ vậy, việc thực hiện
những nhiệm vụ khác nhau mà một cá thể thƣờng xuyên gặp dẫn đến thực hiện suốt đời trong
những thể chế khác nhau mà nó là chủ thể lần lƣợt hoặc đồng thời. Điều này sẽ làm hé lộ ra
mối quan hệ cá nhân của nó với đối tƣợng đƣợc xét (Bosch et Chevallard, 1999, 85).
Cách tiếp cận chƣơng tình và sách giáo khoa (SGK) theo quan điểm của lý thuyết
nhân chủng học sẽ cho phép ta thấy đƣợc quan hệ của thể chế I đối với tri thức O : O xuất
hiện ở đâu, nhƣ thế nào ? O có vai trò gì và O hoạt động nhƣ thế nào trong I ? v.v. Nó cũng
giúp chúng ta hiểu đƣợc cái mà thể chế đòi hỏi ở mỗi cá nhân (giáo viên và học sinh),hình
dung đƣợc quan hệ của học sinh đối với tri thức O.
Cụ thể hơn, cách tiếp cận này sẽ giúp ta vạch rõ sự lựa chọn thể chế và những điều
kiện, những ràng buộc, những ảnh hƣởng của sự lựa chọn đó đối với việc xây dựng hoặc làm

thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức O.
Đặt trong khuôn khổ của lý thuyết nhân chủng học, những câu hỏi nghiên cứu của
chúng tôi có thể diễn đạt nhƣ sau :
- Trong chương trình và SGK hình học lớp 10 và lớp 12 phương pháp tọa độ được
xây dựng như thế nào? Phương pháp tọa độ có quan hệ gì với phương pháp vectơ ?.
- Liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ học sinh được yêu cầu
thực hiện những kiểu nhiệm vụ nào ? Kiểu nhiệm vụ nào được gặp thường xuyên ?

7


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

- Sự lựa chọn của thể chế dạy học hình học ở Việt Nam sẽ có ảnh hưởng như thế
nào đến khả năng sử dụng phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ của học sinh.

III. Phƣơng pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn
1. Nghiên cứu quan hệ thể chế
Để trả lời cho những câu hỏi trên, trƣớc hết chúng tôi phải nghiên cứu quan hệ thể chế
đối với phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Nghiên cứu thể chế sẽ đƣợc tiến hành qua
việc phân tích chƣơng trình và SGK hình học lớp 10 và 12. Nghiên cứu này cần phải chỉ rõ
phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc đƣa vào chƣơng trình và SGK nhƣ thế nào.
Trong sự lựa chọn của các tác giả chƣơng trình và SGK chúng có mối quan hệ gì ? Ngƣời ta
yêu cầu học sinh sử dụng chúng ở mức độ nào ?
Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra sự nối khớp của các kiến thức về phƣơng pháp vectơ và
phƣơng pháp tọa độ ở lớp 10 và lớp 12, xem xét ảnh hƣởng của các phần đã có ở lớp 10 đối
với việc học tập hình học ở lớp 12. Chúng tôi cũng sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ toán học liên
quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp l0 và lớp

12.
Nghiên cứu quan hệ thể chế này sẽ là nội dung của chƣơng II.
2. Nghiên cứu thực nghiệm
Trên cơ sở nghiên cứu quan hệ thể chế chúng tôi sẽ có thể đƣa ra những giả thuyết về
việc học tập phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ của học sinh lớp 12. Để kiểm chứng
tính thỏa đáng của giả thuyết này chúng tôi cần phải trở về với thực tế dạy học. Nghiên cứu
thực nghiệm sẽ cho phép hợp thức (hay loại bỏ) các giả thuyết đƣa ra sẽ là nội dung của
chƣơng III.

8


Chƣơng I : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi vạch rõ quan hệ cá nhân của học sinh đối với
phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi sẽ cố gắng tìm trong quan hệ thể chế
những yếu tố cho phép giải thích quan hệ cá nhân này, vì hiển nhiên là quan hệ cá nhân, đối
với một tri thức, không thể hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế.

9


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

CHƢƠNG II - NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA
TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC

Mở đầu
Trong phạm vi lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi tiến hành phân tích chƣơng trình
và SGK hình học đƣợc dùng trong các trƣờng PTTH Việt Nam. về SGK, chúng tôi phân tích
sách hình học 10 và hình học 12. Chúng tôi chọn bộ sách giáo khoa đã đƣợc thống nhất dùng
trên toàn quốc kể từ năm học 2000-2001. Sách hình học 10 của tác giả Văn Nhƣ Cƣơng và
Phan Văn Viện, còn sách hình học 12 là của Văn Nhƣ Cƣơng và Tạ Mân.
Mục đích của chƣơng này là chỉ rõ vai trò của vecơ đối với việc xây dựng các kiến
thức cơ sở của phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12. Để thực hiện công việc này, trƣớc hết
chúng tôi tiến hành phân tích nội dung và cấu trúc của chƣơng trình hình học quy định cho
bậc PTTH. Phân tích này sẽ chỉ rõ phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ xuất hiện ở đâu
trong chƣơng trình, chúng có vai trò gì và hoạt động nhƣ thế nào.
Sau đó chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa, cụ thể là chỉ ra sách giáo khoa thể hiện
các nội dung quy định trong chƣơng trình nhƣ thế nào ? Các nội dung liên quan đến phƣơng
pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc đƣa vào bằng cách nào ? Mức độ yêu cầu khi sử
dụng chúng là gì. Chúng tôi phân tích lý thuyết và bài tập. Phân tích lý thuyết cần vạch rõ vai
trò của vectơ trong việc xây dựng các kiến thức của phƣơng pháp tọa độ. Phân tích phần bài
tập sẽ chỉ ra các tổ chức toán học liên quan đến việc sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng
pháp tọa độ để giải toán. Công việc này nhằm làm sáng tỏ quan hệ thể chế. Cụ thể là chỉ ra
đƣợc sự lựa chọn ở lớp 12. Hơn nữa, việc chỉ ra các mục đích yêu cầu, các tổ chức toán học
giúp chúng tôi cách thức lựa chọn và xây dựng các bài toán thực nghiệm cũng nhƣ cho phép
chúng tôi giải thích các kết quả của thực nghiệm.

10


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

I. Phân tích chƣơng trình học ở PTTH

I.1 Chƣơng trình hình học PTTH năm 1989
Cuộc cải cách giáo dục bắt đầu thực hiện vào năm 1990 đã làm biến đổi sâu sắc
chƣơng trình hình học PTTH với việc đƣa vào phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Để
chuẩn bị cho cuộc cải cách đó, năm 1989 chƣơng trình mới đƣợc ban hành. Sau mƣời năm
thực hiện, từ những ghi nhận về thực tế giảng dạy và học tập ngƣời ta đã chỉnh lý chƣơng
trình 1989. Về cơ bản, chƣơng trình chỉnh lý năm 1999 không có gì thay đổi lớn so với
chƣơng trình cũ. Vì thế, trong phần này, trƣớc hết chúng tôi sẽ phân tích chƣơng trình 1989,
sau đó xem xét chƣơng trình mới để chỉ rõ những thay đổi đã đƣợc đƣa ra.
Theo chƣơng trình 1989 việc học hình học ở bậc PTTH đƣợc chia làm 3 giai đoạn :
Giai đoan 1 : (Hình học 10)
Ở giai đoạn này, học sinh đƣợc một khái niệm mới, vectơ, sau đó là các phép toán
vectơ. Hiển nhiên, trƣớc hết vectơ đƣợc nghiên cứu với tƣ cách là đối tƣợng toán học. Tiếp
đến, vectơ đƣợc sử dụng làm công cụ để nghiên cứu các hệ thức lƣợng, các phép dời hình và
phép đồng dạng. Nhờ sử dụng vectơ mà các định lý, các công thức ở những chƣơng này đƣợc
chứng minh một cách gọn gàng hơn nhiều so với phép chứng minh bằng phƣơng pháp tổng
hợp. Chẳng hạn vectơ đƣợc dùng để chứng minh định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin
trong tam giác; các công thức về diện tích, độ dài trung tuyến của tam giác,v.v. Vectơ còn
đƣợc dùng để xây dựng khái niệm phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn và
chứng minh một số tính chất của phép dời hình, phép vị tự.
Nhƣ vậy, ở giai đoạn này bƣớc đầu học sinh đƣợc làm quen với một phƣơng pháp
mới để nghiên cứu hình học : phƣơng pháp vectơ. Mục đích đƣa vectơ vào

11


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

giảng dạy nhằm cung cấp một công cụ mới để nghiên cứu hình học đã đƣợc nói rõ : Việc đƣa

vectơ vào giảng dạy là "một thay đổi cơ bản của chương trình. Một công cụ mới - công cụ
vectơ- được đề cập đến ở đây. Đó là công cụ để xây dựng một phương pháp toán học mới,
phương pháp vectơ, một trong những phương pháp cơ bản của toán học " (Văn Nhƣ Cƣơng,
1990, tr.4)
Mục đích của việc dạy học vectơ đã đƣợc các tác giả chƣơng trình chỉ rõ là "đưa vào
một phương pháp mới [...]. Phương pháp này là mới vì ở THCS học sinh chỉ có phương pháp
tổng hợp để nghiên cứu các hình hình học " (Nguyễn Gia cốc -1990,tr. 1)
Giai đoạn 2 (Hình học 11)
Giai đoạn này dành cho việc nghiên cứu hình học không gian. Ở đây, ngƣời ta giới
thiệu hình học không gian trên cơ sở một hệ tiêu đề. Cùng với việc nghiên cứu quan hệ song
song, quan hệ vuông góc của đƣờng thẳng, mặt phẳng, ngƣời ta xem xét một số hình hình học
nhƣ hình đa diện, hình tròn xoay, các công thức về diện tích, thể tích các vật thể.
Tóm lại, ở giai đoạn này ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp tổng hợp để nghiên cứu hình
học không gian.
Giai đoạn 3 (Hình học 12)
Ở giai đoan này, ngƣời ta đƣa vào phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng; phƣơng pháp
vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong không gian.
Phần phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng đƣợc dành cho việc nghiên cứu các nội
dung liên quan đến đƣờng thẳng, đƣờng tròn, elip, hypebol, parabol.
Các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng đƣợc mở rộng vào không gian. Cụ thể, ngƣời
ta đƣa vào khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, rồi hệ tọa độ Đêcac vuông góc và tọa độ của
vectơ.

12


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Nhƣ chúng tôi đã nói trong phần mở đầu, sự lựa chọn của các tác giả chƣơng trình là
lấy phƣơng pháp vectơ - tọa độ làm cái cầu để đƣa vào phƣơng pháp giải tích trên cơ sở các
kiến thức về vectơ.
Nhƣ thế, với khái niệm tọa độ của vectơ, ngƣời ta chuyển các phép toán vectơ đƣợc
định nghĩa bằng những phép dựng hình học trƣớc đây thành phép toán trên các tọa độ (các
số) của chúng, để rồi xây dựng phƣơng pháp tọa độ. Chẳng hạn, thông qua các khái niệm
vectơ chỉ phƣơng, vectơ pháp tuyến,... ngƣời ta lập đƣợc phƣơng tình tổng quát cũng nhƣ
phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng và mặt phẳng. Điều này chứng tỏ vectơ và công cụ
vectơ đóng một vai trò quan trọng trong chƣơng trình.
I.2 Chƣơng trình hình học PTTH chỉnh lí hợp nhất năm 1999
Về cơ bản, so với chƣơng trình 1989 thì chƣơng trình năm 1999 không có gì thay đổi.
Tuy nhiên, chƣơng trình lần này, nhƣ quan điểm của Bộ Giáo Dục và Đào tạo, có giảm tải.
Cụ thể là :
"Không thay đổi chƣơng trình cải cách giáo dục năm 1989. Giảm tải, nghĩa là giảm
nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lƣợc những nội dung quá phức tạp hoặc xét thấy không
cần thiết"
(Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 10 - tr.5)
Đối với lớp 10, chƣơng trình 1989 yêu cầu học sinh phải "nắm vững các phép toán
vectơ và vận dụng vào việc chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn "
(SGV - Trần Văn Hạo, 1990, tr.54). Trong chƣơng trình 1999 cũng giống nhƣ chƣơng trình
1989, ở đây, Hình học 12 cũng gồm có 3 phần cơ bản là phƣơng pháp tọa độ trong mặt
phẳng; vectơ trong không gian và phƣơng pháp tọa độ trong không gian.

13


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Chƣơng I, đƣợc dành cho việc nghiên cứu các nội dung liên quan đến đƣờng thẳng,
đƣờng tròn, elip, hypebol, parabol bằng phƣơng pháp tọa độ. Nhƣ thế, ở đây học sinh đƣợc
tiếp cận một phƣơng pháp mới: phƣơng pháp tọa độ. Sau đó, vectơ và các phép toán vectơ
đƣợc mở rộng vào không gian Euclide 3 chiều, làm cơ sở cho việc trình bày phƣơng pháp tọa
độ trong không gian. Hình học không gian đã đƣợc nghiên cứu ở lớp 11 bằng phƣơng pháp
tổng hợp, đến lớp 12 đƣợc nghiên cứu bằng phƣơng pháp mới là phƣơng pháp tọa độ. Các
nội dung chính của phần này liên quan đến đƣờng thẳng trong không gian, mặt phẳng và mặt
cầu.
Cụ thể, ngƣời ta đƣa vào phƣơng trình đƣờng thẳng, phƣơng trình mặt phẳng, phƣơng
trình mặt cầu, vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng, các mặt phẳng, một số công thức tính
khoảng cách và góc.
Theo chúng tôi, ngƣời ta đã cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản làm cơ sở
cho phƣơng pháp tọa độ. Thế nhƣng, sử dụng phƣơng pháp này để nghiên cứu hình học nhƣ
thế nào (cụ thể hơn là để giải những dạng toán nào) thì chƣơng trình chƣa xác định một cách
rõ ràng.
Nhƣ vậy, về cơ cấu, ta thấy các chƣơng trình 1989 và 1999 hầu nhƣ giống nhau. Cùng
nội dung, cùng thứ tự trình bày các vấn đề. Cụ thể, hình học lớp 10 nghiên cứu vectơ, các
phép toán vectơ, rồi hệ thức lƣợng trong tam giác, đƣờng tròn và cuối cùng là phép biến hình.
Lớp 11 hoàn toàn dành cho nghiên cứu Hình học không gian bằng phƣơng pháp tổng hợp. Ở
Hình học lớp 12, ngƣời ta đƣa vào phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian.
Giống nhƣ ở chƣơng trình 1989, trong chƣơng trình năm 1999, ngƣời ta cũng lấy các
kiến thức về vectơ làm cơ sở để đƣa vào phƣơng pháp tọa độ. Hơn thế, phƣơng pháp vectơ
đƣợc sử dụng khá hiệu quả trong việc xây dựng các khái niệm, chứng minh các hệ thức lƣợng
cũng nhƣ một số tính chất của các phép biến hình.
14


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Tuy nhiên, yêu cầu sử dụng vectơ để giải toán đã đƣợc giảm nhẹ trong chƣơng trình
mới. Vấn đề này đã đƣợc giải thích trong tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy nhƣ sau : Trong
chƣơng trình cũ có đặt vấn đề dùng "phƣơng pháp vectơ" để nghiên cứu hình học bên cạnh
phƣơng pháp tiên đề và phƣơng pháp tọa độ. "Phương pháp vectơ, như chúng ta đã biết, tỏ ra
khá hiệu lực trong khá nhiều bài toán, liên quan đến các vấn đề như: ba điểm thẳng hàng,
bốn điểm đồng phẳng, hai đường thẳng song song hoặc vuông góc, trọng tâm tam giác, tâm
tỉ cự của hệ điểm ... Tuy nhiên để có thể áp dụng phương pháp đó một cách thành thạo là
chuyện không đơn giản, và kinh nghiệm 10 năm vừa qua cho thấy đa số học sinh rất khó
khăn trong việc tiếp thu và sử dụng phương pháp đó " (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12
- Tr. 73).
Vấn đề đặt ra là chƣơng trình 1999 đƣợc thể hiện trong SGK nhƣ thế nào ? Trong
phần tiếp theo chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên.

II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong SGK hình học 10
Chúng tôi sẽ xem xét ở đây cuốn SGK Hình học 10 của tác giả Văn Nhƣ Cƣơng Phan Văn Viện. Đây là cuốn SGK đƣợc viết theo chƣơng trình 1999 và kể từ năm 2000 đã
đƣợc dùng trong tất cả các trƣờng PTTH Việt Nam (không giống giai đoạn 1990 - 2000, tồn
tại ba bộ SGK toán PTTH, kể từ năm 2000, cả nƣớc dùng chung một bộ sách).
Với SGK này chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu vai trò của vectơ trong việc xây dựng
các nội dung hình học đƣợc đƣa vào chƣơng trình, tức là xét vectơ với tƣ cách là công cụ để
xây dựng, chứng minh các công thức, định lí đƣợc đề cập đến trong Hình học 10. Mặt khác,
chúng tôi cũng sẽ chỉ ra các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng
pháp tọa độ có mặt trong SGK.

15


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

II.1. Công cụ vectơ với việc trình bày các nội dung Hình học giảng dạy ở lớp 10.
Về vấn đề này, tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 10 có ghi : "Phƣơng pháp véctơ
đƣợc dùng để [...] chứng minh các hệ thức lƣợng cũng nhƣ tính chất của các phép dời hình và
phép đồng dạng. Có thể nói rằng công cụ vectơ đƣợc áp dụng khá triệt để trong chƣơng trình
lớp 10" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 10, Tr. 12, 13).
Nhằm mục đích này, ngay trong chƣơng I, ngƣời ta đã đƣa vào một số kiến thức cơ sở
của phƣơng pháp tọa độ. Các nội dung đƣợc đề cập gồm : khái niệm trục, hệ trục tọa độ
Đềcác vuông góc. Tọa độ của điểm, của vectơ đối với trục và hệ trục. Ở đây, vectơ đƣợc biểu
diễn thông qua tọa độ của nó, các phép toán vectơ đƣợc thực hiện trên tọa độ các vectơ.
Ví dụ :

Cho ⃗ = (a1; a2 ), ⃗ = (b1 ; b2) thì:
⃗⃗ + ⃗ = (a1 + b1 ; a1 + b2);
k⃗⃗ = (ka1 ; ka2);
độ dài vectơ ⃗⃗ là |⃗⃗ | = √ +

....

Trong chƣơng II, SGK đƣa vào khái niệm tích vô hƣớng của hai vectơ. Với khái niệm
này, ngƣời ta có công thức tính độ dài một đoạn thẳng qua bình phƣơng vô hƣớng của vectơ;
các tính chất của tích vô hƣớng, các hằng đẳng thức về tích vô hƣớng; công thức về hình
chiếu; biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng và điều kiện để hai vectơ vuông góc. Các kiến thức
này, đến lƣợt chúng sẽ là công cụ để xây dựng và chứng minh các công thức, định lý của
phần còn lại trong chƣơng II và chƣơng III. Chẳng hạn, để chứng minh hai đƣờng thẳng
vuông góc ngƣời ta dùng tích vô hƣớng. AB

CD

⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ (ví dụ 2 - SGK Hình học 10 -

trang 43).

16


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Việc chứng minh định lý cosin trong tam giác dựa vào kiến thức về bình phƣơng vô
hƣớng, tích vô hƣớng, quy tắc ba điểm của vectơ, tức là : ⃗⃗⃗ = |⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗ mọi điểm A, B, O. Cụ thể SGK trang 45, chứng minh định lý cosin:
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗ nên
⃗⃗⃗⃗⃗

= (⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗

+ ⃗⃗⃗⃗⃗

- 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗

= AC2 + AB2 - 2AC.AB.cosA.
Vậy a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA.
Hoặc để xây dựng công thức tính độ dài trung tuyến khi biết độ dài ba cạnh của tam
giác, ngƣời ta cũng sử dụng vectơ là công cụ để thực hiện :
Ta có : b2 + c2 = ⃗⃗⃗⃗⃗
= (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) + (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=2

+ ⃗⃗⃗⃗⃗

+

+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗

Trong phần hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn, việc đƣa vào khái niệm phƣơng tích của
một điểm đối với một đƣờng tròn đƣợc xây dựng dựa vào tích vô hƣớng của hai vectơ.

Trong chƣơng III, để xây dựng và chứng minh tính chất của một số phép dời hình,
công cụ vectơ tỏ ra hiệu quả hơn nhiều so với phƣơng pháp tổng hợp. Sách

17

Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

giáo khoa triệt để lợi dụng lợi thế này của vectơ. Chẳng hạn để chứng minh tính bảo toàn
khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ qua phép đối xứng trục, nếu dùng phƣơng pháp tổng hợp ta
phải chỉ ra rất nhiều trƣờng hợp khác nhau. Nhƣng việc sử dụng vectơ mang tính chất khái
quát và gọn gàng hơn nhiều (không cần phân chia trƣờng hợp). Rõ ràng công cụ vectơ ở đây
tỏ ra rất hiệu quả.
Ví dụ : Tính chất bảo toàn khoảng cách của phép đối xứng trục đƣợc trình bày nhƣ
sau (Hình học 10 - trang 67)
Đinh lý : Nếu phép đối xứng trục d biến hai điểm bất kỳ M, N thành hai điểm M',N'
thì MN = M'N'.
Chứng minh:
Giả sử d là trục đối xứng
I, J là trung điểm MM' và NN'
Khi đó I, J nằm trên d. Ta có :
 MN2= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗ + ⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2

= (⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ )2 + ⃗ ( vì MI
 M’N’2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗⃗

IJ và NJ

IJ)

+ ⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ )2

= (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 +⃗⃗⃗
Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = - ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ = - ⃗⃗⃗⃗ nên (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 = (⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗ )2
từ đó suy ra MN2 = hay MN = M’N’
Ngoài ra, vectơ còn đƣờng dùng để định nghĩa phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến,
phép vị tự.

18


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Nhƣ vậy, trong SGK Hình học 10, tính công cụ của vectơ thể hiện khá rõ qua việc xây
dựng các phần của lý thuyết. Phần tiếp theo chúng tôi sẽ chỉ ra vai trò của vectơ trong các tổ
chức toán học ở Hình học 10.
II.2. Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ
trong Hình học 10 :
Ở đây chúng tôi sử dụng khái niệm tổ chức toán học để xem xét khía cạnh công cụ
của vectơ đƣợc khai thác nhƣ thế nào trong SGK Hình học 10. Chúng tôi sẽ vạch rõ các tổ
chức toán học liên quan đến việc sử dụng vectơ đƣợc đƣa vào SGK. Các bài tập chúng tôi sử
dụng ở đây là các bài tập nằm trong chƣơng I (HH10) và các bài tập trong §3 chƣơng II.
Ngoài ra còn có các bài tập làm thêm ở chƣơng I và chƣơng II có mặt trong sách bài tập Hình
học 10. Chúng tôi tách các bài tập thành hai loại. Loại thứ nhất là những tổ chức toán học
nhằm củng cố các công thức, định nghĩa đã học liên quan đến phƣơng diện đối tƣợng của
vectơ. Nói một cách cụ thể, những kiểu nhiệm vụ thuộc các tổ chức toán học này đƣợc đƣa ra
nhằm giúp học sinh hiểu khái niệm vectơ, phƣơng, hƣớng của vectơ, cách dựng một vectơ
bằng một vectơ cho trƣớc, và rèn luyện kỹ năng biến đổi các biểu thức vectơ, xét sự bằng
nhau giữa các vectơ... Loại thứ hai liến quan đến phƣơng diện công cụ của vectơ, tức là sử
dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để giải toán. Nói chính xác thì đó là phƣơng

pháp vectơ - tọa độ, nhƣng vì theo cách dùng từ của chúng tôi, phƣơng pháp tọa độ gồm cả
phƣơng pháp vectơ - tọa độ và phƣơng pháp giải tích nên ở đây chúng tôi có thể nói là
phƣơng pháp tọa độ.
Các kiểu nhiệm vụ thuộc loại thứ nhất:
T1 : Chứng minh một đẳng thức vectơ (9 bài). Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này ta sử
dụng các phép biến đổi vectơ, kết hợp các tính chất của phép toán liên quan vectơ, qui tắc 3
điểm, qui tắc hình bình hành.

19


Chƣơng II : Những vấn đề đặt ra

Võ Hoàng

Ví dụ : Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng :
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
T2 : Xác định một điểm thỏa mãn một điều kiện cho trƣớc (6 bài). Để giải quyết các
bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ này ta vận dụng các phép toán cộng, trừ vectơ, phép nhân vectơ
với một số và các tính chất của chúng.
Ví dụ : Cho ∆ABC. Xác định điểm M sao cho: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗
T3 :Tính tích vô hƣớng. Kiểu này chỉ có 1 bài trong SGK Hình học 10 và chỉ cần
dùng định nghĩa tích vô hƣớng để tính.
Ví dụ : Cho ∆ABC vuông tại A, AB = a; BC = 2a. Tính ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗
Các kiểu nhiệm vụ sử dụng vectơ để giải toán :
T4 : Chứng minh hai điểm trùng nhau (3 bài). Phƣơng pháp giải : Để chứng minh
A≡B ta chỉ ra ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗
Ví dụ : Chứng minh ∆ABC và ∆A'B'C có cùng trọng tâm khi và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗
T5 : Chứng minh ba đƣờng thẳng đồng qui; đƣờng thẳng đi qua điểm cố định (1 bài).

Kiến thức cần thiết để giải là hai vectơ cùng phƣơng.
Ví dụ : Cho ∆ABC và điểm M tùy ý. Gọi A', B,' C' lần lƣợt đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh rằng AA', BB', CC' đồng qui tại một điểm N.
b) Chứng minh rằng khi M di động, MN luôn đi qua trọng tâm G của ∆ABC.
T6 : Chứng minh sự vuông góc (2 bài) : Sử dụng phép biến đổi vectơ và tích vô
hƣớng của hai vectơ để chứng minh 2 đƣờng thẳng vuông góc.

20