Tải bản đầy đủ (.doc) (41 trang)

BÀi tập ôn thi vào lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (395.68 KB, 41 trang )

BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN
Bài 1 :
1) §¬n gi¶n biĨu thøc : P =
14 6 5 14 6 5+ + −
.
2) Cho biĨu thøc : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
 
+ − +

 ÷
 ÷

+ +
 

a) Rút gọn biểu thức Q.
b) T×m x ®Ĩ
Q
> - Q.
c) T×m sè nguyªn x ®Ĩ Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
H íng dÉn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x

1. BiĨu thøc rót gän : Q =
1
2



x
.
b)
Q
> - Q

x > 1.
c) x =
{ }
3;2
th× Q

Z
Bài 2 : Cho biĨu thøc P =
1 x
x 1 x x
+
+ −
a) Rót gän biĨu thøc sau P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P khi x =
1
2
.
H íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x

1. BiĨu thøc rót gän : P =
x
x


+
1
1
.
b) Víi x =
1
2
th× P = - 3 – 2
2
.
Bài 3 : Cho biĨu thøc : A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx
a) Rót gän biĨu thøc sau A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A khi x =
4
1
c) T×m x ®Ĩ A < 0.

d) T×m x ®Ĩ
A
= A.
H íng dÉn :
a) §KX§ : x

0, x

1. BiĨu thøc rót gän : A =
1

x
x
.
b) Víi x =
4
1
th× A = - 1.
c) Víi 0

x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th×
A
= A.

1
Baứi 4 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a


+
ữ ữ
+


a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+
a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
Baứi 5 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x


+ +
+

+

.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x

Z ? để A

Z ?
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x

1.
b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x 2003
+
với x 0 ; x

1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A

Z .
Baứi 6 : Cho biểu thức: A =
( )

2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+

+




+

.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1

+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
{ }

9;4
thì A

Z.
Baứi 7 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x

+
+ +


+ +

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
2
++
xx
b) Ta xét hai trờng hợp :
+) A > 0


1
2

++
xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2


1
2
++
xx
< 2

2(
1
++
xx
) > 2


xx
+
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
2
Baứi 8 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+


+
(a

0; a

4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

4. Biểu thức rút gọn : P =
2
4

a
b) Ta thấy a = 9

ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Baứi 9 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1

+
+
ữ ữ

ữ ữ
+


1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a

1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004

ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Baứi 10 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+


+
+
=
a. Rút gọn P.

b. Tính giá trị của P khi
347x
=

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
H ớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x 0, x

1. Biểu thức rút gọn :
3x
16x
P
+
+
=

b) Ta thấy
347x
=


ĐKXĐ . Suy ra
22
33103
P
+
=

c) P
min

=4 khi x=4.
Baứi 11 : Cho biểu thức




















+

+
+
+
=
1
3

22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rút gọn P. b. Tìm x để
2
1
P
<
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
H ớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x 0, x

9. Biểu thức rút gọn :
3x
3
P
+


=

b. Với
9x0
<
thì
2
1
P
<

c. P
min
= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

+

+ +



+



với x>0 ,x

1
a. Rút gọn A
3
b. TÝnh A víi a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
( KQ : A= 4a )
Bµi 13: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − − −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

+ − − +
   
víi x


0 , x

9, x

4 .
a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m
x Z

®Ó
A Z∈
(KQ : A=
3
2x −
)
Bµi 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
víi x≥ 0 , x

1.
a. Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A.
c. T×m x ®Ó A =

1
2
d. CMR : A
2
3

. (KQ: A =
2 5
3
x
x

+
)
Bµi 15: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
víi x≥ 0 , x

1.
a . Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +

)
Bµi 16: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
víi x

0 , x

1.
a . Rót gän A.
b. CMR : 0 1A≤ ≤ ( KQ : A =
1
x
x x− +
)
Bµi 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − + −
− − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷


+ − + −
   
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z

®Ó
A Z∈
( KQ : A =
5
3x +
)
Bµi 18: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
víi a

0 , a

9 , a

4.
a. Rót gän A.
b. T×m a ®Ó A < 1

4
c. T×m
a Z

®Ó
A Z∈
( KQ : A =
1
3
a
a
+

)
Bµi 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   

víi x > 0 , x

4.
a. Rót gän A.
b. So s¸nh A víi
1
A
( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bµi20: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
 
− +


 ÷
+

 ÷

− +
 
víi x≥ 0 , y≥ 0,
x y

a. Rót gän A.
b. CMR : A ≥ 0 ( KQ : A =
xy
x xy y− +
)
Bµi 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Víi x > 0 , x


1.
a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bµi 22 : Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x
 
 
− +
 ÷
+ −
 ÷
 ÷
 ÷
− −

 
 

víi x > 0 , x

4.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
1 x−
)
Bµi 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +
   
víi x > 0 , x

1.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
3
2 x
)
Bµi 24 : Cho A=
3

2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x
 
+ +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− + +
 

 
víi x≥ 0 , x

1.
a. Rót gän A.
b. T×m x Z∈ ®Ó
A Z∈
(KQ: A =
3
x
x −
)
Bµi 25: Cho A=

1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
 

 
− −
 ÷
 ÷
 ÷

+ − + − −
 
 
víi x

0 , x

1.
a. Rót gän A.
b. T×m x Z∈ ®Ó
A Z∈

5
c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A =
1

1
x
x

+
)
Bµi 26 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x
   
+ −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

+ − −
   
víi x≥ 0 , x

9
. a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A < -
1
2
( KQ : A =

3
3a

+
)
Bµi 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
víi x

0 , x

1.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =

4
4
x
x +
)
c . CMR : A
1≤
Bµi 28 : Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+
 
+
 ÷
− − − +
 
víi x > 0 , x

1.
a. Rót gän A (KQ: A =
1x
x

)
b.So s¸nh A víi 1
Bµi 29 : Cho A =
1 1 8 3 2

: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

− + +
   
Víi
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A =
6
5
c. T×m x ®Ó A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x
x
+


)
Bµi30 : Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
 
− + − +

 ÷
 ÷

+ +
 
víi x≥ 0 , x

1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2
2
d. T×m GTLN cña A (KQ: A =
(1 )x x−
)
Bµi 31 : Cho A =
2 1 1

:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
víi x≥ 0 , x

1.

a. Rót gän A.
6
b. CMR nếu x 0 , x

1 thì A > 0 , (KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bài 32 : Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x

x x
x


+


+

với x > 0 , x

1, x

4.
a. Rút gọn
b. Tìm x để A =
1
2
Bài 33 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x

+ +

+





+


với x 0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm x Z để
A Z

Bài 34 : Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x

+ + +
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

với x


0 , x

9 , x

4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x Z để
A Z

c. Tìm x để A < 0 (KQ: A =
2
1
x
x

+
BAỉI TAP PHAN HAỉM SO BAC N
Baứi 1 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba

4
2



=
=

1
3
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng
3
1
.
Baứi 2 : Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy.
H ớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3

m 2 < 0

m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =

4
3
.
7
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :



=
+=
12
2
xy
xy

(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1)

m =
2
1

Baứi 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H ớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2


m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
y
0
= (m 1)x
0
+ m + 3

(x
0
1)m - x
0
- y
0
+ 3 = 0





=

=
2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng
AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba
21
1




=
=

3
2
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua
điểm C(0 ; 2) ta cần :





=+
=
222
23
2
2
mm
mm

m = 2.

Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng
thời đi qua điểm C(0 ; 2)
8
Baứi 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
H ớng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
y
0
= (2m 1)x
0
+ m - 3

(2x
0

+ 1)m - x
0
- y
0
- 3 = 0










=

=
2
5
2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (
2
5
;

2
1

).
Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
y =
6 x
4

; y =
4x 5
3

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1;
3) và B(-3; -1).
Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Chủ đề : Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =
b
a

.

+ Nếu a = 0 và b 0

phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0

phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :



=+
=+
c'y b' x a'
c by ax
Ph ơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
9
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình
thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối
nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
a)
2
2 x
x


1 -x
x
=
+
+
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S =
{ }
4
.
b)
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
0. (*)
Khi đó :
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2


2x = - 3

x =
2
3

Với

x =
2
3

thay vào (* ) ta có (
2
3

)
3
+
2
3

+ 1 0
Vậy x =
2
3

là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m

2
4 = 0 (1)
+ Nếu m

2 thì (1)

x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m

Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m

Z thì 2m 3

0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
để pt có nghiệm nguyên thì 4

2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23


y =
4
7x - 23
= 6 2x +
4
1 x

Vì y

Z

x 1

4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4.
BAỉI TAP PHAN HE PHệễNG TRèNH
Baứi 1 : Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
=


+ =

b)
x 4y 6
4x 3y 5
+ =



=

c)
2x y 3
5 y 4x
=


+ =

d)
x y 1
x y 5
=


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =


+ =

f)
2 5

2
x x y
3 1
1,7
x x y

+ =

+



+ =

+


Baứi 2 : Cho hệ phơng trình :
10
mx y 2
x my 1
=


+ =

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
H ớng dẫn :

Baứi 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
=


+ = +

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Baứi 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
+ =


+ =

có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x
2
17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
2x 5y
x y


+
nhận giá trị nguyên.
Baứi 5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =


+ =

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
Baứi 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
mx y n
nx my 1
=


+ =


có nghiệm là
( )
1; 3
.
Baứi 7 : Cho hệ phơng trình
( )
a 1 x y 4

ax y 2a

+ + =


+ =


(a là tham số).
1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y 2.
Baứi 8 (trang 22): Cho hệ phơng trình :



=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Giải và biện luận pt theo m.
11
Bài 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



+=−
=
1 m 4y mx

0 y m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ
thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km.
Tính vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc
35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ
trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau
5
4
4
giờ thì đầy bể.
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
5
6
giờ nữa mới nay bể . Nếu
một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t
0
C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi
phải dùng bao nhiêu lít 100
0
C và bao nhiêu lít 20

0
C để được hỗn hợp 10 lít 40
0
C.
Hường dãn :
Ta có hệ pt :



=+
=+
400 20y 100x
10 y x






=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm
300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung
dòch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.

Theo bài ra ta có hệ pt :







=
+
+
=
+
+
%40%100.
500 y
200) (
%50%100.
200 y
200) (
x
x






=
=

1000 y
400x

Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
Ph¬ng tr×nh bËc hai
®Þnh lý viet vµ øng dơng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
12
1. bin lun s cú nghim ca phng trỡnh : ax
2
+ bx + c = 0 (1) trong ú a,b ,c ph
thuc tham s m,ta xột 2 trng hp
a) Nu a= 0 khi ú ta tỡm c mt vi giỏ tr no ú ca m ,thay giỏ tr ú vo
(1).Phng trỡnh (1) tr thnh phng trỡnh bc nht nờn cú th : - Cú mt nghim duy
nht
- hoc vụ nghim
- hoc vụ s nghim
b)Nu a

0
Lp bit s

= b
2
4ac hoc

/
= b
/2
ac

*

< 0 (

/
< 0 ) thỡ phng trỡnh (1) vụ nghim
*

= 0 (

/
= 0 ) : phng trỡnh (1) cú nghim kộp x
1,2
= -
a
b
2
(hoc x
1,2
= -
a
b
/
)
*

> 0 (

/
> 0 ) : phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit:

x
1
=
a
b
2

; x
2
=
a
b
2
+
(hoc x
1
=
a
b
//

; x
2
=
a
b
//
+
)
2. nh lý Viột.

Nu x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thỡ
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c
o lại: Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x

2
= S v x
1
x
2
= p thỡ hai s ú l nghim (nu có )
của phơng trình bậc 2:
x
2
S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng
trình .Ta có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu ( x
1
< 0 < x
2
)


p = x
1
x
2
< 0
Hai nghiệm cùng dơng( x
1
> 0 và x
2
> 0 )






>
>

0
0
0
S
p
Hai nghiệm cùng âm (x
1
< 0 và x
2
< 0)








<
>

0
0
0
S
p
13
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x
2
> x
1
= 0)






>
=
>

0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x
1
< x
2
= 0)






<
=
>
0
0
0
S
p
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a


0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a
c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0

thì phơng trình có nghiệm
x
1
= m , x

2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x
1
+ x
2

- Lập tích p = x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là : x
2
S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện cho
trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x

1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2

4x
1
x
2
= S
2
4p
*) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3
3Sp

*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+

=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x
+
=+
=
p
pS 2
2

*) (x
1
a)( x
2

a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=


+
=

+

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện
0

)
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho trớc .Tìm
nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x
1
cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

0

(hoặc
0
/

) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
14
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0

(hoặc
0
/

) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này


< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2
trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm
thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc
nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/

= (m + 1)
2
2m + 10 = m
2
9
+ Nếu
/

> 0

m
2
9 > 0

m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt:
x
1

= m + 1 -
9
2


m
x
2
= m + 1 +
9
2

m
+ Nếu
/

= 0

m =

3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
/

< 0

-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4

Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x
1

= m + 1 -
9
2

m
x
2
= m + 1 +
9
2

m
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x
2
2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0

m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x 3 = 0

x = -
2

1
* Nếu m 3

0

m

3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số
/

= m
2

(m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu
/

= 0

9m 18 = 0

m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
32
2
/


=
a
b
= - 2
- Nếu
/

> 0

m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
3
23


m
mm
15
- Nếu
/

< 0

m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
2

1
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= -2
Với m > 2 và m

3 phơng trình có nghiệm x
1,2
=
3
23


m
mm
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
c) x
2
+ (
53


)x -
15
= 0
d) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0
Giải
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1 , x
2
=
2
2009

=
a
c
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1

= -1 ,
x
2

= -
17
204
=
a
c
= - 12
c) x
2
+ (
53

)x -
15
= 0 có: ac = -
15
< 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2

= -(
53

) = -
3
+
5
x
1
x
2
= -
15
= (-
3
)
5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x
1
= -
3
, x
2
=
5

(hoặc x
1
=
5

, x
2
= -
3
)
d ) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0 có : ac = - 6
7
< 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viét ,ta có






==
=+
)73(-2 76 - xx
72 - 3 xx
2 1

2 1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2
7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0
Hớng dẫn :
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra : x
1
= 2
Hoặc x
2
=
3
1
+
m
b) (m 3)x

2
(m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0

m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0

x = - 1
16

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×