chuyen de giai phuong trinh bang cach lap phuong trinh

Chuyªn ®Ị gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh
Chuyªn §Ị
Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp hƯ ph¬ng tr×nh:
A. Tãm t¾t lÝ thut;
B íc 1
- Chän Èn sè vµ ®Ỉt ®iỊu kiƯn thÝch hỵp cho Èn sè;
- BiĨu diƠn c¸c ®¹i lỵng cha biÕt theo Èn vµ c¸c ®¹i lỵng ®· biÕt.
- Tõ ®ã lËp hƯ ph¬ng tr×nh biĨu thÞ sù t¬ng quan gi÷a c¸c ®¹i lỵng.
B íc 2 Gi¶Ø hƯ ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh thu ®ỵc.
B íc 3 (Tr¶ lêi). KiĨm tra xem trong c¸c nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh nghiƯm nµo
tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cđa Èn, nghiƯm nµo kh«ng råi tr¶ lêi.
C¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh ngßai c¸c bíc c¬ b¶n ®· häc
trong ch¬ng tr×nh cÇn nhí thªm:
- Khi ®Ỉt Èn cÇn cã ®¬n vÞ vµ ®iỊu kiƯn cđa Èn.
- §¹i lỵng nµo ®Ỉt Èn th× coi nh ®· biÕt.
D¹ng 1: C¸c bµi to¸n chun ®éng.
- Víi bµi to¸n chun ®éng cÇn nhí chØ cã mèi quan hƯ 3 ®¹i lỵng S, v, t víi c«ng thøc S =
v.t
- Bµi to¸n chun ®éng th«ng thêng gåm cã hai chun ®éng hc hai giai ®äan cđa cïng
mét chun ®éng.
- Khi gi¶i bµi to¸n nµy cÇn ®iỊn ®Çy ®đ c¸c ®¹i lỵng ( kĨ c¶ ®¹i lỵng cha biÕt ®· ®Ỉt lµ Èn )
trong quan hƯ S =v.t vµ tõ mèi quan hƯ ®· cho sÏ cã ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh.
• Chó ý: Xu«i dßng níc hc xu«i giã th× céng vËn tèc cßn ngỵc th× trõ vËn tèc:
VD:
Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê
ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe
« t« .
Hướng dẫn : Gọi vận tốc của ôtô thứ nhất là x (km/h. ĐK x > 0). Ta có :
Vận tốc của ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h).
Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình :
1

x
300
-
10-x
300
=
Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60.
Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h
Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h
Bài 1 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®ỵc 2/3 qu·ng
®êng víi vËn tèc ®ã, v× ®êng khã ®i nªn ngêi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km
trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®-
êng AB.
Gi¸o viªn so¹n: Vò Thµnh Trung
1
Chuyªn ®Ị gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hƯ ph¬ng tr×nh
Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0).
Theo giả thiết của bài toán ta có phương trình :
2
1
5040 3.
x

50 . 3
2
+=+
xx
.
Giải ra ta được: x = 300 (tmđk).
Vậy quảng đường AB là : 300km.

Bài 2 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ịn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y
víi vËn tèc 35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn
sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu .
H íng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự đònh là y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0.
Theo bài ra ta có hệ pt :



=
=+
x 1) -50(y
x 2)y (35
suy ra : 35y + 70 = 50y -50
⇔
y = 8 (TMĐK)
Thay vào hệ ta được x = 350 (TMĐK).
Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km).
Thời gian dự đònh đi : 8 (giờ).
• C¸c ®Ị thi vµo 10 THPT ( TØnh B¾c Giang )

Bµi 1 : ( N¨m häc 2001-2002)
Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A vµ dù ®Þnh ®Õn B vµo mét giê ®· ®Þnh. Khi cßn c¸ch
B 30 km, ngêi ®ã nhËn thÊy r»ng ®Õn B mn nưa giê nÕu gi÷ nguyªn vËn tèc ®ang
®i. Do ®ã ngêi ®ã t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h vµ ®Õn B sím h¬n nưa giê so víi giê ®·
®Þnh. TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cđa ngêi ®i xe ®¹p.
HD: Gäi vËn tèc dù ®Þnh cđa ngêi ®i xe ®¹p lµ x ( km/h) ( §K x >0 )
Theo bµi ra ta cã PT:
30 1 30 1
2 5 2x x
− = +

+
Bµi tËp 2 ( N¨m häc 2002-2003)
Mét ¤t« ®i qu·ng ®êng dµi 150 km víi vËn tèc dù ®Þnh. Nhng khi ®i ®ỵc
2
3
qu·ng ®êng xe bÞ háng ph¶i dõng l¹i sưa 15 phót. §Ĩ ®óng giê dù ®Þnh xe ph¶i t¨ng
vËn tèc thªm 10 km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh ®i.
HD: Gäi vËn tèc dù ®Þnh ®i cđa ¤t« lµ x ( km/h) ( §K x > 0 )
§ỉi 15 phót = 1/4 h
Theo bµi ra ta cã PT:
150 2 150 1 1 150
. .
3 4 3 10x x x
= + +
+
150 100 1 50
4 10x x x
= + +
+
Gi¸o viªn so¹n: Vò Thµnh Trung
2
Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Bài tập 2.1: Một Ôtô đi quãng đờng dài 120 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đ-
ợc
1
3
quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 20 phút. Để đúng giờ dự định xe phải
tăng vận tốc thêm 8 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định đi.
HD: Gọi vận tốc dự định của ôtô là x (km/h) ( x>0 )
Ta có phơng trình

120 40 1 80
3 8x x x
= + +
+
C2:
80 80 1
8 3x x
=
+
Bài tập 2.2: Một Ôtô đi quãng đờng dài 100 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đ-
ợc
2
5
quãng đờng, xe tăng vận tốc thêm 5 km/h nên đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính vận tốc ban đầu của Ôtô.
Bài tập 2.3: Một Môtô đi quãng đờng dài 90 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi
đợc
1
3
quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 20 phút. Để đúng giờ dự định xe
phải tăng vận tốc thêm 6 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định đi.
Bài tập 2.4
Một Ôtô đi quãng đờng dài 150 km với vận tốc dự định. Nhng khi đi đợc
1
2
quãng đờng xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút. Để đúng giờ dự định xe phải tăng
vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định đi.
Bài tập 3 ( Năm học 2003-2004)
Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 165 km. Trong một thời gian nhất
định sau khi đi đợc 1h ôtô phải dừng lại 10 phút để mua xăng. Do vậy để đến B

đúng hẹn ôtô phải tăng vận tốc thêm 5km/h. Tính vận tốc ban dầu và thời gian dự
định của ôtô.
HD: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) ( ĐK 0 < x < 165 )
Theo bài ra ta có phơng trình
165 1 165
1
6 5
x
x x

= + +
+
=> x = 55
Thời gian dự định 165: 55 = 3 (h)
Bài tập 4: ( 2007- 2008)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 50 km. Một canô đi xuôi dòng từ
bến A đến bến B, rồi ngợc dòng trở lại bến A. Thời gian cả đi và về tổng cộng hết
4h10. Hãy tìm vận tốc của canô trong nớc yên lặng, biết vận tốc của nớc chảy là 5
km/h.
HD: Đổi 4h10 =
25
6
(h)
Gọi vận tốc của canô trong nớc yên lặng là x ( km/h) ( ĐK x>5)
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
3
Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Theo bài ra ta có phơng trình:
50 50 25
5 5 6x x

+ =
+
=> x = 25
Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc của họ hơn
kém nhau 3km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc của mỗi
ngời. Biết rằng quãng đờng AB dài 30 km.
HD: Gọi vận tốc của ngời đi chậm là x (km/h) ( x>0 )
Theo bài ra ta có phơng trình:
30
x
-
30
3x +
=
1
2
=> x = 12
Bài 2. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120
km. Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nếu để đến B đúng giờ xe phải tăng vận
tốc 2 km/h trên quãng đờng còn lại.
Tính thời gian xe chạy.
HD: Gọi vận tốc dự định của xe là x (km/h) (x>0 ). Đổi 3 phút =
1
20
(h)
Theo bài ra ta có phơng trình:
2
120 60 1 60
20 2

2 2400 0
x x x
x x
= + +
+
+ =
x= 48 ; x = -50 (loại )
Thời gian xe chạy là
120 1
48 20
=
2 giờ 27
Bài 3. Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đơng kính 2m , xuất phát cùng một lúc từ
cùng một điểm . Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng
chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Lời Giải
Gọi vận tốc của Vật I là x ( m/s).(x> 0).
Gọi vận tốc của Vật II là y ( m/s).(y> 0), (x>y).
Sau 20 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 20x, 20y ( m ).
Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 20x
20y = 20

Sau 4 s hai vật chuyển động đợc quãng đờng là 4x, 4y ( m ).
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
Quãng đ-
ờng (km)
Vận tốc
Km/h
Thời
gian(h)

Ngời đi
chậm
30 x
30
x
Ngời đi
nhanh
30 x + 3
30
3x +
4
Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Vì nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau do đó ta có phơng trình: 4x +
4y = 20

Theo bài ra ta có hệ phơng trình:



=+
=


2044
202020
yx
yx
Giải hệ PT ta đợc:

=
=


2
3
y
x
; Vậy vận tốc của hai vật là: 3

(m/s) và 2

(m/s).
Bài 4. Một ngời dự định đi từ A đến B với thời gian đẵ định. Nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10
km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn
hơn dự định 2 giờ. Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đờng AB.
Lời Giải :
Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của ngời đó là x ( km/h).(x> 0).
Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của ngời đó là y (h).(y> 0).
Ta có độ dài của quãng đờng AB là x.y.
Vì nếu ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ do đó ta có PT (1):
(x + 10).(y-1) =xy.
Vì nếu ngời đó giảm vận tốc đi 10 km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ do đó ta có PT (2)
(x - 10).(y+2) =xy.
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:



=+

=+
xyyx
xyyx
)2)(10(
)1)(10(
;giải hệ phơng trình ta đợc



=
=
4
30
y
x
Vậy vân tốc dự định là 30 km/h, thời gian dự định là 4 giờ, Quãng đờng AB là 120 km.
Baứi 5 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc
đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe
thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Giải : Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h). ĐK x > 0.
Theo gt bài ra ta có pt :
5
1
6
108
x
108
=
+

x


x
2
+ 6x 3240 = 0 (
'

= 57 )
Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54.
Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h)
Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h)
Bài 6: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận
tốc của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng.
Giải : Gọi x là vận tốc của ca nô lúc nớc yên lặng ( km/h ; ĐK : x > 2)
Theo gt bài toán ta có pt :
5
2 -x
20
2 x
42
=+
+


5x
2
- 62x + 24 = 0 (
'

= 29)
Giải ra ta đợc : x =
5
2
(loại) ; x = 12.
Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung
5