Tieu luan : Phuong phao so

Tiểu luận : Một số phương pháp giải gần đúng và sự hội tụ trong phương pháp dây cung.
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU .................................................................................................Trang 2
B. NỘI DUNG.........................................................................................................3
I. PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (HAY CÁT TUYẾN)................................3
1. Giải thuật cơ bản......................................................................................3
2. Sự hội tụ....................................................................................................3
II. QUI TẮC ĐIỂM GIỮA................................................................................5
1. Qui tắc điểm giữa.....................................................................................5
2. Giải thuật cơ bản......................................................................................8
III. PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS..................................................................8
1. Phương pháp khử Gauss.........................................................................8
2. Giải thuật cơ bản......................................................................................9
C. KẾT LUẬN.......................................................................................................10
Học viên : Nguyễn Thanh Hiền Trang 1
Tiểu luận : Một số phương pháp giải gần đúng và sự hội tụ trong phương pháp dây cung.
A. MỞ ĐẦU
Ngày nay các ngành khoa học nói chung và ngành vật lí nói riêng đã phát triển đến
mức độ cao, song song với đó là yêu cầu giải quyết các bài toán lớn, rất phức tạp và
đòi hỏi độ chính xác cao. Thay vì đi tìm lời giải tích cho bài toán, ngày nay với sự hỗ
trợ đắc lực của máy tính điện tử hiện đại, cộng với các thuật giải số thông minh, ngắn
gọn thì việc tìm lời giải số (giải gần đúng) cho các bài toán trở nên đơn giản rất nhiều.
Tuy nhiên, khi giải các bài toán bằng phương pháp số điều đáng lưu ý là mức độ sai số
(độ hội tụ) của phương pháp, phương pháp nào cho kết quả càng chính xác, sai số nhỏ
và tính toán nhanh thì được xem là phương pháp tối ưu hơn. Không có phương pháp
nào được xem là tối ưu tuyệt đối, mỗi phương pháp đều có nét đặc trưng riêng của nó,
việc dùng phương pháp nào để giải bài toán còn phụ thuộc vào yếu tố khách quan của
bài toán và mức độ yêu cầu của công việc.
Trong tiểu luận nhỏ này, tôi xin trình bày sự hội tụ của phương pháp dây cung
hay cát tuyến (Secant or Chord), phương pháp khử Gauss (Gauss elimination
method) trong việc giải gần đúng các phương trình đại số phi tuyến và phương trình

đại số tuyến tính và qui tắc điểm giữa trong phương pháp tính gần đúng tích phân.
Học viên : Nguyễn Thanh Hiền Trang 2
Tiểu luận : Một số phương pháp giải gần đúng và sự hội tụ trong phương pháp dây cung.
B. NỘI DUNG
I. PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (HAY CÁT TUYẾN)
1. Giải thuật cơ bản
• Xác lập hàm f(x) và hai lân cận x
a
, x
b
cùng với sai số cho phép. Kí hiệu :
khoang_sai_so.
• Nếu f
a
= f(x
a
) = 0 thì x = x
a
là một nghiệm chính xác ⇒ dừng chương trình.
• Nếu f
b
= f(x
b
) = 0 thì x = x
b
là một nghiệm chính xác ⇒ dừng chương trình.
• Lặp lại các bước sau :
• Tính
n n n n 1
n 1

n n 1
x f (x )(x x )
x
f (x ) f (x )
−
+
−
− −
=
−
, với n = 1, 2, 3…
• Nếu f
n+1
= f(x
n+1
) = 0 thì x = x
n+1
là một nghiêm chính xác ⇒ xác định
nghiệm.
• Kiểm tra nếu x
n+1
- x
n
≤ x
n
*khoang_sai_so thì hoặc x
n
hoặc x
n+1
đều có

thể được xem là nghiệm gần đúng ⇒xác định nghiệm.
• Cho đến khi tìm thấy nghiệm thoả mãn điều kiện đặt ra.
2. Sự hội tụ
Khai triển Taylor xung quanh điểm x = x* đối với x
n
và x
n+1
:
( )
3
2
n n n n
1
f (x ) f (x*) f '(x*) f ''(x*) O
2
= + ε + ε + ε
; [1]
( )
3
2
n 1 n 1 n 1 n 1
1
f (x ) f (x*) f '(x*) f ''(x*) O
2
− − − −
= + ε + ε + ε
[2]
Thay thế các khai triển trên vào công thức lặp của giải thuật Newton-Raphson :
n n 1
n 1 n

n n 1
x x
x x
f (x ) f (x )
−
+
−
−
= −
−
Ta có :
Học viên : Nguyễn Thanh Hiền Trang 3
Tiểu luận : Một số phương pháp giải gần đúng và sự hội tụ trong phương pháp dây cung.
( )
n 1 n 1
n n 1
n n
n n 1
n
n n n 1
n n 1
2
n n n n 1
n
2 2
n n n 1 n 1
n
n
x x *
x x

x f (x ) x *
f (x ) f (x )
f (x )
x x * (x x )
f (x ) f (x )
1
f '(x*) f ''(x *) ...
2
1 1
f '(x*) f ''(x*) ... f '(x*) f ''(x*) ...
2 2
1
f '(x*)
+ +
−
−
−
−
−
− −
ε = +
−
= − −
−
= − −
−
 
ε + ε + ε −ε
 
 

= ε −
   
ε + ε + − ε + ε +
   
   
ε +
= ε −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
n n n 1
2 2
n n 1 n n 1
2
n n n n 1
n
n n 1 n n 1
2
n n
n
n n 1
f ''(x*) ...
2
1
f '(x*) f ''(x*) ...

2
1
f '(x*) f ''(x*) ...
2
1
f '(x*) f ''(x*) ...
2
1
f '(x*) f ''(x*) ...
2
1
f '(x*) f ''
2
−
− −
−
− −
−
 
ε + ε −ε
 
 
ε −ε + ε −ε +
 
ε + ε + ε −ε
 
 
= ε −
 
ε −ε + ε +ε +

 
 
 
ε + ε +
 
 
= ε −
+ ε +ε
( )
( )
2
n n
n
n n 1
2
n n n n n 1
2
n n n n n 1 n
(x*) ...
1 f ''(x*)
...
2 f '(x*)
1 f ''(x*)
1 ...
2 f '(x*)
1 f ''(x*) 1 f ''(x*)
... 1 ...
2 f '(x*) 2 f '(x*)
1 f ''(x*) 1 f ''(x*)
( )

2 f '(x*) 2 f '
−
−
+
 
+
 
 
 
ε + ε +
 
 
= ε −
 
+ ε +ε +
 
 
   
= ε − ε + ε + − ε +ε +
   
   
= ε − ε + ε ε +ε − ε
3
n
3
n n 1 n 1
O( )
(x*)
f ''(x*)
O( )

2f '(x*)
− −
+ ε
= ε ε + ε
Biểu thức ε
n+1
chứa cả ε
n
và ε
n-1
. Từ [3] ta có thể viết lại như sau :
Học viên : Nguyễn Thanh Hiền Trang 4
[3]
Tiểu luận : Một số phương pháp giải gần đúng và sự hội tụ trong phương pháp dây cung.
n 1 n
f ''(x*)
2f '(x*)
β
α
+
 
ε = ε
 ÷
 
[4]
Từ [4], suy ra :
/
1/
n n 1 n 1 n
f ''(x*) f ''(x*)

2f '(x*) 2f '(x*)
β −β α
α α
− −
   
ε = ε ⇔ ε = ε
 ÷  ÷
   
[5]
Thay [5] và [3], ta được :
/
1/
n 1 n n
1
n n
f ''(x*) f ''(x*)
2f '(x*) 2f '(x*)
f ''(x*) f ''(x*)
2f '(x*) 2f '(x*)
β −β α
α
+
α−β
β
α+
β
α
α
   
ε = ε ε

 ÷  ÷
   
   
= ε ≡ ε
 ÷  ÷
   
Đồng nhất vế phải của hai phương trình trên, ta tìm được :
1 1 5
2
1 2
1
1 5
+ α +
α = =
α
α
β = ≡ =
+α α
+
[6]
• Nhận xét : Phương pháp trên có bậc không nguyên
1 5
1,61803...
2
+
=
(con số
này gọi là tỉ lệ vàng). Phương pháp dây cung (hay cát tuyến) phân kì nếu f’ triệt
tiêu trong lân cận của nghiệm.
II. QUI TẮC ĐIỂM GIỮA

1. Qui tắc điểm giữa
Ta khảo sát việc lấy tích phân chuỗi Taylor từ x
0
- ∆x/2 tới x
0
+ ∆x/2.
0 0
0 0
0
0
x x/2 x x/2
2 2
0 0 0 0 0 0
x x/2 x x/2
x x/2
2 3 4
0 0 0 0 0 0
x x/2
1
f (x) f (x ) (x x )f '(x ) (x x ) f "(x ) O(x x ) ...
2
1 1
f (x )x (x x ) f '(x ) (x x ) f "(x ) O(x x )
2 6
+∆ +∆
−∆ −∆
+∆
−∆
 
= + − + − + − +

 
 
= + − + − + −
∫ ∫
Học viên : Nguyễn Thanh Hiền Trang 5