Tổng hợp các dạng bài tập GSAT Samsung Diện tích, Thể tích, Biểu đồ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dạng bài GSAT
Kiến thức bổ trợ quan trọng
Chỉnh hợp và tổ hợp
 n! 
Ckn = 
÷: k!
 (n − k)! 
Ck
n!
A kn =
= n
(n − k)! k!
k
C n = C nn − k

Cách giải phương trình nghiệm nguyên tổng quát dạng:
ax + by = c
ax + by = cz
1. Phương trình nghiệm nguyên ax + by = c (a b c là các số nguyên)
Hướng đi: Tách phần nguyên rồi mò nghiệm dựa theo xét các trường hợp chia cho
a hoặc b. Để giải được phương trình kiểu này thì chỉ có cách duy nhất là tìm nghiệm
riêng
Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên
17x + 997y = 31
Giải:
Ta có:
17x + 997y = 31
<=>

x=

31 − 997y
14 − 11y
= 1 − 58y +
17
17

14 − 11y
∈Z
x là số nguyên <=> 17

TH1: y chia hết cho 17 => Sai
14 − 11y 14 − 11 3
=
= ∉Z
17
17
TH2: y chia 17 dư 1. Chọn y = 1 ta có 17
=> Sai

14 − 11y 14 − 11× 2 −8
=
=
∉Z
17
17
TH3: y chia 17 dư 2. Chọn y = 2 ta có 17
=> Sai

…
14 − 11y 14 − 11× 9

=
= −5 ∈ Z
17
TH10: y chia 17 dư 9. Chọn y = 9 ta có 17
thỏa mãn.


Đến đây ta dừng lại
Vậy y có dạng 17t + 9 với t ∈ Z
=>

x=

31 − 997y 31 − 997 × (17t + 9)
=
17
17

= −526 − 997t

Hoặc:
Với y = 9 ta có x = -526 nên nghiệm có dạng:
x = x0 + bt = –526 + 997t
y = y0 – at = 9 – 17t
Hoặc x = x0 – bt ; y = y0 + at , tùy
Chứng minh điều đơn giản này chỉ là nhân chéo a với b , b với a thôi
Nếu lấy máy tính bấm và nhẩm nghiệm theo ước của a hoặc b thì loại phương
trình này dễ không ý mà
Đi thi trắc nghiệm:
Giải:

Ta có:
17x + 997y = 31
<=>

x=

31 − 997y
17

x=

31
∉Z
17
Sai

x=

31 − 997 −966
=
∉Z
17
17
=> Sai

x=

31 − 997 × 2 −1963
=
∉Z

17
17
=> Sai

TH1: y chia hết cho 17, chọn y = 0 =>
TH2: y chia 17 dư 1. Chọn y = 1 ta có
TH3: y chia 17 dư 2. Chọn y = 2 ta có
…
TH10: y chia 17 dư 9. Chọn y = 9 ta có
Đến đây ta dừng lại
Vậy

x=

31 − 997 × 9
= −526 ∈ Z
17
thỏa mãn.


x = x0 + bt = –526 + 997t
y = y0 – at = 9 – 17t


Dạng bài GSAT
Bài tập liên quan đến các công thức tính diện tích và thể tích
Câu 1. Cho hệ tọa độ:

Hỏi diện tích của tam giác RST là bao nhiêu?.
A. bc/2

B. b(c-1)/2
C. c(b-1)/2
D. a(c-1)/2
E. c(a-1)/2

HK: B
Câu 2. Hình lập phương màu trắng và 18 hình lập phương màu đen có cạnh bằng 1
được dùng để xếp thành 1 hình lập phương lớn có cạnh bằng 3 . Hỏi tỷ lệ phần diện
tích bề mặt xung quanh có màu trắng lớn nhất bằng bao nhiêu ?
HK: Không hiểu đề
Câu 3. Đề thiếu, bỏ
Hình màu trắng có diện tích gấp bao nhiêu lần hình màu ghi?

Câu 4. Trong một hình vuông 2x2, có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật?
HK: Nếu hình vuông cũng được tính là hình chữ nhật thì có tất cả 9 hình


Câu 5. Một hình hộp chữ nhật có diện tích đáy bằng 40 cm2. Chiều dài hơn chiều
cao 4 cm, chiều cao bằng ½ chiều dài. Tính:
a)

Thể tích của hình hộp chữ nhật.

b) Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình chữ nhật.
HK: Chiều dài 8 = x , chiều rộng 5 = y , chiều cao 4 = h
a, V = x × y × h = 8.5.4 = 160 cm3
b, Sxq = 2xh + 2yh = 2 × (8.4 + 5.4) = 2.(32 + 20) = 2.52 = 104
Stp = Sxq + 2xy = 104 + 2.8.5 = 104 + 80 = 184
Câu 6. Một hình lập phương có diện tích toàn phần là 294 cm2. Hỏi hình lập phương
đó có thể tích bao nhiêu?

HK: Gọi cạnh = x thì Stp = 6x2 = 294 => x = 7
V = x3 = 73 = 343
Câu 7. Người ta xếp các hình lập phương có cạnh 2 cm để được một hình hộp chữ
nhật có chiều dài 12 cm, chiều rộng 8 cm và chiều cao 10 cm. Hỏi phải dùng tất cả
bao nhiêu hình lập phương?
HK: Vhình hộp = 12.8.10 = 960 , Vhình lập phương = 23 = 8
=> Số hình lập phương = 960 : 8 = 120 hình
Câu 8. Tính thể tích của một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng 448
cm2, chiều cao 8 cm, chiều dài hơn chiều rộng 4 cm.
HK: Gọi chiều dài x, chiều rộng y, chiều cao h = 8
Sxq = 2.(xh + yh) = 2.8.(x + y) = 448
=> x + y = 28
x–y=4
=> 2x = 32 => x = 16 => y = 12
V = xyh = 16.12.8 = 1536 cm3
Câu 9. Có một cái hồ hình hộp chữ nhật, đo trong lòng hồ ta được chiều dài 1,5 m,
chiều rộng 1,2 m, chiều cao 0,9 m. Hồ không có nước, người ta đổ vào hồ 30 thùng
nước, mỗi thùng chứa 45 lít nước. Hỏi mặt nước còn cách mặt hồ bao nhiêu cm?


HK: Chiều cao mực nước = 0,75 mét
=> Cách mặt hồ 0,15 m
Câu 10. Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có chiều dài 59 cm, chiều rộng 46 cm.
Người ta căt ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông cạnh 17 cm và xếp phần còn lại
thành một cái hộp không nắp. Tìm thể tích cái hộp.
HK: Vẽ ra nháp ta có chiều cao hộp h = 17, chiều dài đáy 59 – 17.2 = 25, chiều rộng
đáy = 46 – 17.2 = 12 => V = dài.rộng.h = 25.12.17 = 5100 cm3
Câu 12. Một hình lập phương có cạnh 7 cm. Nếu cạnh của hình lập phương tăng lên
4 lần. Hỏi:
a)

Diện tích toàn phần của hình lập phương tăng lên mấy lần?

b) Thể tích hình lập phương tăng lên mấy lần?
HK:
a) Stp = 6a2 => Stp tăng 42 = 16 lần
b) V tăng 43 = 64 lần
Câu 13. Có hai hình lập phương, diện tích toàn phần của hình lập phương thứ nhất là
486 cm2, diện tích toàn phần của hình lập phương thứ hai là 54 cm2. Hỏi:
a) Diện tích toàn phần của hình lập phương thứ nhất gấp mấy lần diện tích toàn
phần hình lập phương thứ hai?
b) Cạnh của hình lập phương thứ nhất gấp mấy lần cạnh của hình lập phương thứ
hai?
Câu 14. Một cái thùng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 3 dm. Người ta
rót vào thùng 54l dầu thì mặt trên của dầu cách miệng thùng 2 dm. Tìm chiều cao
của thùng.
Câu 15. Xếp 8 hình lập phương nhỏ có cạnh 4 cm thành một hình lập phương lớn,
rồi sơn tất cả các mặt của hình lập phương lớn. Hỏi:
a) Mội hình lập phương nhỏ có mấy mặt được sơn? => Vẽ ra, mỗi hình nhỏ có 3
mặt được sơn
b) Diện tích được sơn của mỗi hình lập phương nhỏ là bao nhiêu? => 3.42 = 48cm2
Câu 16. Người ta xếp các hình lập phương nhỏ thành một hình lập phương lớn sao
cho mỗi cạnh có 3 hình lập phương nhỏ. Hỏi thể tích của hình lập phương lớn gấp
mấy lần thể tích khối lập phương nhỏ?


Mỗi cạnh có 3 lập phương nhỏ => Cạnh = 3
V gấp 33 = 27 lần
Câu 17. Cứ một giây chiều dài hình chữ nhật tăng 1 cm, chiều rộng hình chữ nhật
tăng 2cm. hỏi cần bao nhiêu thời gian để diện tích hình chữ nhật gấp 5 lần diện tích

hình chữ nhật ban đầu. Biết AB =12 cm, BC = 8cm.
A
B

D

C
HK:
Sban đầu = 12.8 = 96
Gọi thời gian là t (giây)
St = (12 + t).(8 + 2t) = 5.96 = 480
<=> 96 + 32t + 2t2 = 480
<=> t2 + 16t – 192 = 0
∆’ = 64 + 192 = 256 = 162
=> t = (-b’ +

∆ ' ) / a = (-8 + 16) / 1 = 8

Vậy thời gian là 8 giây
Câu 18. Cho tam giác vuông ABC có D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Tính tỷ số diện tích tam giác ADE và ACE.; tỷ số diện tích BED và ABE.

A
D

B

E

C

HK:
Vì D và E là trung điểm của AB và BC nên DE là đường trung bình của ∆ABC
=> DE // AC => DE vuông góc BC
DE = (1 / 2)AC
tỷ số diện tích tam giác ADE và ACE
tam giác ADE và ACE cùng đường cao = EC và cạnh đáy DE = (1 / 2)AC nên S ADE
= (1 / 2)SACE
tỷ số diện tích BED và ABE
tam giác cùng cạnh đáy BE và và đường cao DE = (1 / 2)AC nên SBDE = (1 / 2)SABE
Câu 19. Tính tỷ lệ diện tích phần không tô màu và phần to màu của hình dưới đây,
biết rằng tỷ lệ diện tích màu đen và màu xanh là 9:1.

HK: Vẽ hình ra giấy rồi đặt ẩn thấy đề bài này thiếu hay sao ấy

So sánh giá trị của hai biểu thức A ; B hoặc hai cột tương ứng với điều kiện cho
trước
Câu 19. Đề thiếu, nguệch ngoạc, bỏ
Cho A = a( đơn vị độ dài)
4

a

. B=.3
3


a. A>B

6

b. A=B
c. Ad. Đáp án khác

HK: Đề thiếu, nguệch ngoạc, bỏ
Câu 20. Cho A và B lần lượt là thể tích của hình nón và hình trụ có đáy bằng nhau:

a. A>B
b. A=B
c. Ad. Đáp án khác

Vhình nón = (1/3).S.h Vhình trụ = hhình trụ.S = (2h/3).S
=> Vtrụ = 2Vnón => C
Câu 9. Đề thiếu, nguệch ngoạc, bỏ
Cột A

Điều kiện

Cột B


AB
3

Câu 10.
Cột A

Điều kiện

Diện tích tam giác Y =2x +3
được tạo bởi ba
Y= -1/2 x+3
đường thẳng

Cột B

24

Y=1
HK: Câu vớ vẩn. Nếu là tam giác vuông hoặc tam giác đều thì không nói nhưng nếu
là tam giác bất kỳ thì phải dùng Hê rông, không có máy tính thì sẽ chết mệt nếu làm
điều này
Câu 12. Lấy 2 trong 5 quân bài được đánh số từ 1 đến 5, sau đó ghép lại để tạo
thành một số nguyên. Hỏi có bao nhiêu khả năng để tạo được số lớn hoặc bằng 45.
a. ½
b. 1/3
c. ¼
d. 3/10

HK: Tổng số cách chọn = 5.4.2 = 40
Số cách ghép tạo thành số nguyên ≥ 45
Đầu 4: Số 45
Đầu 5:
Chọn số 5 -> 1 cách chọn


Chọn số thứ hai: 4 cách chọn

=> Số cách chọn ≥ 45 là 5 cách
=> Xác suất = 5 / 40 = 1 / 8 => Đáp án khác
Dạng 2: Bài tập liên quan đến các công thức xác suất tổ hợp (lớp 12)
Yêu cầu: Nhớ lại các công thức tính và các sử dụng của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,
công thức tính xác suất cổ điển.
Chỉnh hợp Akn = n! / (n – k)!
Tổ hợp

Ckn = (n! / (n – k)!) / k! = Akn / k!

Hoán vị

n!

Quy ước: 0! = 1
Câu 1. Một hộp có 4 bi trắng, 5 bi vàng, 6 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp.
Hỏi xác suất lấy được bi đủ cả 3 màu từ hộp.
Tổng số cách chọn = C315 = (15! / (15 – 3)!) / 3! = (15! / 12!) / 6 = 15.14.13 / 6 =
2730 / 6 = 455
Lấy đủ 3 màu: Số cách chọn = 4.5.6 = 120
Xác suất = (120 / 455).100% ≈ 26,3%
Câu 2. Từ một hộp gồm 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16. Lấy ngẫu nhiên ra 4 thẻ
tính xác suất để 4 thẻ được lấy ra đều có số chẵn.
Tổng số cách chọn = C416 = (16! / 12!) / 4! = 16.15.14.13 / 2.3.4 = 4.5.7.13 = 1820
Chọn 4 thẻ đều có số chẵn: Có 8 số chẵn tất cả, lấy 4 số trong 8 số này ta có số cách
chọn là C48 = (8! / 4!) / 4! = 8.7.6.5 / 1.2.3.4 = 7.2.5 = 70
Xác suất = (70 / 1820).100% ≈ 3,84%
Mấy câu xác suất sau dùng máy tính bấm, tính mệt rồi :)
Câu 3. Có hai thí sinh A và B bước vào phòng thi vấn đáp, cán bộ hỏi thi đưa cho
mỗi thí sinh một bộ gồm 10 câu hỏi khác nhau được đựng trong 10 phong bì dán

kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì gồm 1 câu hỏi. Thí sinh chọn 3
phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi


dành cho mỗi thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B
chọn là như nhau.
HK: Tổng số cách chọn là: C310.C310 = ((10! / 7!) / 3!)2 = (10.9.8 / (2.3))2 = (5.3.8)2 =
14400
Nếu A và B đều chọn 3 câu hỏi như nhau thì sau khi A chọn xong thì B chỉ có 1 cách
chọn duy nhất: Số cách chọn là C310.1 =
Vậy xác suất = 1.100 / C310 = 100 / 120 ≈ 0,83
Câu 4. Một hộp đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính
xác suất để
a) Lấy được 3 viên bi cùng màu.
b) Lấy được 3 viên bi khác màu.
c) Lấy được ít nhất 2 viên bi xanh.
HK: Câu này là câu cộng xác suất mà, nói chung là tính toán khá lằng nhằng
a) Lấy được 3 viên bi cùng màu.
TH1: 3 bi xanh ; TH2: 3 bi đỏ Tính số trường hợp ra xong cộng vào rồi chia
cho tổng số trường hợp là C312
Tổng số cách chọn = C312
TH1: 3 bi xanh Số cách chọn = C38
TH2: 3 bi đỏ Số cách chọn = C34
=> Tổng số cách chọn 3 bi cùng màu = C38 + C34 = 60
Xác suất = (60 / C312).100 ≈ 27,27%
b) Lấy được 3 viên bi khác màu.
Thằng ra đề ngu => Lấy được 2 viên bi cùng màu và 1 viên bi khác màu
TH1: 2 bi xanh và 1 bi đỏ TH2: 1 bi xanh và 2 bi đỏ
c) Lấy được ít nhất 2 viên bi xanh.
TH1: 3 bi xanh ; TH2: 2 bi xanh 1 bi đỏ

Câu 5. Từ các chữ số

{ 0,1, 2,3, 4,5}


Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số.

a.

b. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.
c. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
d. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau là số chẵn.
e. Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập trên, tính xác suất
sao cho lấy được một số chẵn từ tập S?
HK:
a. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số.
Số cách chọn = Lấy 3 số trong 5 số có tính lặp – Trường hợp bắt đầu bằng số 0
Tổng số cách chọn = 6.6.6.3!
Lập số có 3 chữ số:
Chọn số hàng trăm: Có 5 cách chọn
Chọn số hàng chục và hàng đơn vị: Mỗi cái có 6
=> Số cách chọn = 5.6.6
=> Xác suất = (5.6.6 / (6.6.6.3!)).100 = (5 / (6.3!)).100 ≈ 13,89%

Dạng 3: Một số bài tập dạng khác:
So sánh:
Câu 1. Cho hai số A= 340 và B= 430
a. A=B

b. A>B

c. A
HK: Để so sánh hai số trên ta chỉ cần lọc cái mũ 10 ra là xong, tức là chỉ cần so sánh
34 và 43
Ta có 34 = 81 và 43 = 64
=> (34)10 > (43)10 => A > B => Đáp án B
Câu 2. Cho A = C2015 2005 và B= C2015 10;
a. A>B

b. A
c. A=B

Công thức: Ckn = (n! / (n – k)!) / k!


=> Can / Cbn = ((1 / (n – a)!) / a!) / ((1 / (n – b)!) / b!) = (n – b)!.b! / (n – a)!.a!
=> C20152005 / C102015 = 2005!.10! / 10!.2005! = 1
Vậy A = B
Sau khi xem lại công thức tổ hợp thì đúng là cái Ckn = Cn – kn nói chung là Ck =
C(n – k)
455
2000
455
8
Câu 3. A = A1098 + C2008 B = C1098 + C2008

a. A>B

b. A
c. A=B

HK: Làm xong câu 2 suy ra ngay là A > B
Câu 4. So sánh các số sau:
3
5
a. A = 10; B = 20
3
b. A = 17; B = 28
5
4
c. A = 13; B = 23

d. 230 và 320.
e. 2014. 2015 và 20152 – 1
HK:
3
5
a. A = 10; B = 20

Bây giờ cách duy nhất có lẽ là phải lũy thừa lên cho mất căn thôi
Lũy thừa chung: 15
Bây giờ ta chỉ cần so sánh 105 và 203 là xong
203 = 23.103
=> 105 / 203 = 102 / 23 > 1
Vậy A > B
Câu b, c cũng lũy thừa cho mất căn tương tự
Câu d chính là dạng câu 1

e. 2014. 2015 và 20152 – 1
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương => 20152 – 1 = 2014.2016
Vậy 20152 – 1 > 2014. 2015


Bài tập dạng suy luận:
Câu 1. Có 3 chiếc đồng hồ cũ chỉ còn kim phút. Cả 3 đồng hồ đều chạy nhanh. Các
đồng hồ A, B và C sau mỗi tiếng chạy nhanh tương ứng là 2, 4 và 6 phút tương ứng.
Vào lúc 12 giờ đêm, cả 3 kim phút đều chỉ vào số 12. Hỏi sau bao nhiêu giờ, các
kim phút này lại cùng gặp nhau, tức là chỉ đúng số phút như nhau?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40
HK:
Đây là một câu khó. Kim gặp nhau, chỉ số phút như nhau có nghĩa là nếu ta không
nói đến giờ thì cùng phút. Ta sẽ thử số phút nhanh là bội số của 60 phút xem
Xét các đáp án:
A. 20 Khi đó đồng hồ A nhanh 40 phút, B nhanh 80 phút (chỉ vào phút 20 ≠ 40) =>
Loại
B. 25 Khi đó đồng hồ A nhanh 50 phút, B nhanh 100 phút (chỉ vào phút 40 ≠ 50)
=> Loại
C. 30 Khi đó đồng hồ A nhanh 60 phút, B nhanh 120 phút, C nhanh 180 phút =>
Thỏa mãn
=> Đáp án C
Hướng đi 1: Phương trình phần nguyên (ta loại bỏ cái cách phương trình phần
nguyên này đi và đừng bao giờ dùng đến nó trong những bài toán thế này nữa vì giải
phương trình phần nguyên khó như gặm gạch ý, mà nó cũng chả hay ho gì cả)
● Bây giờ tôi sẽ viết phương trình cho câu này, nếu mà giải bằng lời giải cụ thể:
Gọi số giờ là x thì A nhanh 2x phút, B nhanh 4x, C nhanh 6x
Phương trình như sau: Với ký hiệu [ ] là phần nguyên
Số phút trên đồng hồ A B C là:
0 ≤ 62x – 60×[62x : 60] = 64x – 60×[64x : 60] = 66x – 60×[66x : 60] ≤ 60

Phương trình này phải ước lượng nghiệm cơ. Nói chung là có phải ai cũng biết
cách giải phương trình nghiệm nguyên đâu nhỉ, câu này đúng là đánh đố nhau
Giải phương trình phần nguyên:
0 ≤ 62x – 60×[62x : 60] = 64x – 60×[64x : 60] = 66x – 60×[66x : 60] ≤ 60


<=>
60×[64x : 60] – 60×[62x : 60] = 2x (1)
và
60×[66x : 60] – 60×[64x : 60] = 2x (2)

Giải (1) bằng định nghĩa
0≤

64 x  64 x 
−
<1
60  60 

 64 x  64 x
0≥
 − 60 > −1
60

<=>
 64 x  64 x
−1 < 
−
≤0
 60  60

<=>

  64 x  64 x 
−60 < 60 ×  
 − 60 ÷ ≤ 0
60



<=>
 64 x 
−60 < 60 × 
− 64 x ≤ 0
 60 
<=>
(*1)
0≤

62 x  62 x 
−
<1
60  60 

 62 x  62 x  
0 ≤ 60 × 
−
 ÷ < 60
60
60




<=>
 62 x 
0 ≤ 62 x − 60 × 
< 60
 60 
<=>

(*2)

Từ (*1) và (*2)
 64 x 
 62 x 
−60 < 60 × 
− 60 × 
+ 62 x − 64 x < 60

 60 
 60 
=>

Kết hợp với phương trình (1)
60×[64x : 60] – 60×[62x : 60] = 2x (1)


=> -60 < 2x – 2x < 60 luôn đúng
Ơ hay :v thế ra phương trình này mắc à :v (ô hay, đường về còn xa chờ anh đưa về
:v). Kết luận là chịu không giải được phương trình nhé, chỉ có cách thử đáp án thôi
Hướng đi 2: Phương trình nghiệm nguyên (Vote cách này nhé)

Nếu giải theo hướng phương trình nghiệm nguyên sẽ đỡ vất vả hơn (đằng nào cách
dùng phương trình phần nguyên cũng chịu rồi)
Gọi số giờ là t (t > 0) ta có:
Đồng hồ A 62t = 60a + p
Đồng hồ B

64t = 60b + p

Đồng hồ C

66t = 60c + p

Trong đó a b c ∈ Z

+

=> -2t = 60(a – b)
-2t = 60(b – c)
=> t = 30(b – a) = 30(b – c) > 0

=>

b−a =

t
t
b−c =
30 ;
30

Mà a b c nguyên dương nên t là bội số của 30 => C là đúng
Thế bây giờ tôi lấy ví dụ như thế này thì sao:
=> -4t = 60(a – b)
-5t = 60(b – c)
b−a =

t
t
b−c =
15 ;
12

a b c ∈Z

+

=> Giá trị nhỏ nhất có thể của t là bội chung nhỏ nhất của 15 và 12
15 = 3.5
12 = 3.4
BCNN(15 ; 12) = 3.5.4 = 60
=> Min t = 60


Câu 2. Năm ngoái trong dàn đồng ca của trường số học sinh nam nhiều hơn số học
sinh nữ 30 người. Năm nay, thành phần đội đồng ca tăng lên 10%: số học sinh nữ
tăng 20% và số học sinh nam tăng 5%. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong dàn đồng ca
của năm nay?
(A) 88 (B) 99 (C) 110 (D) 121 (E) 132
HK:
Đặt ẩn phụ cho năm ngoái

Số học sinh nam năm ngoái = x
Số học sinh nữ năm ngoái = y
Ta có x – y = 30
Năm nay: (100% + 10%).(x + y) = 1,05x + 1,2y
=> 1,1x + 1,1y = 1,05x + 1,2y
=> 0,05x = 0,1y
=> x = 2y
=> y = 30 ; x = 60
=> Năm nay có: 110% × (x + y) = 1,1.90 = 99 em
=> Đáp án B
Câu 3. Trong một dãy 10 số nguyên liên tiếp tăng dần, tổng của năm số đầu là 560,
tổng của 5 số tiếp theo trong dãy số đó là :
a. 585

b. 580 c. 575

d. 570

HK:
Dãy 10 số nguyên: n + 1 ; n + 2 ; … ; n + 10
Tổng 5 số đầu = n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 = 560 = t
Tổng 5 số tiếp theo = n + 6 + n + 7 + n + 8 + n + 9 + n + 10 = t + 5 + 5 + 5 + 5 + 5
= t + 25 = 560 + 25 = 585
Câu 4. Nếu trung bình cộng của 5 số nguyên liên tiếp bằng 12 thì tổng của số nhỏ
nhất và số lớn nhất bằng bao nhiêu?


(A) 24
(B) 14
(C) 12

(D) 11
(E) 10
HK:
Gọi 5 số nguyên liên tiếp: n + 1 ; n + 2 ; … ; n + 5
Trung bình cộng của 5 số = Tổng : 5 = 12 => Tổng = 60
=> 5n + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 60
=> n = 9
=> Số nhỏ nhất: n + 1 = 10 ; số lớn nhất: n + 5 = 14 Tổng = 24
=> Đáp án A
Câu 5. Chữ số cuối cùng của các phép tính sau:
a. 12356234098134 + 562389012346777743
b. 2015201520152016 × 2014201520172018
c 1.2.3.4.5.6…2015
HK:
a. Số ở đuôi 4 + 3 = 7
b. Số ở đuôi 6.8 = 48 viết 8 nhớ 4 => Đuôi là 8
c. 1.2.3.4.5.6…2015 có tích 2.5 = 10 => Đuôi là 0
Câu 6 .Trung bình cộng của 10 số nguyên dương đôi một khác nhau bằng 10 . Hỏi
số lớn nhất trong chúng có thể đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
HK:
Trung bình cộng của 10 số = 10 vậy tổng = 100
Nguyên dương đôi một khác nhau mà nhỏ nhất thì là những số 1 ; 2 ; 3 ; … ; 9
=> Số lớn nhất = 100 – (1 + 2 + 3 + … + 9) = 100 – ((1 + 9).9 / 2) = 100 – 45 = 55


Câu 7. Để phục vụ cho hội nghị quốc tế, ban tổ chức đã huy động 30 cán bộ phiên
dịch tiếng Anh, 25 cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó 12 cán bộ phiên dịch được
cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp. Hỏi:
a, Ban tổ chức đã huy động tất cả bao nhiêu cán bộ phiên dịch cho hội nghị đó.
b, Có bao nhiêu cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh, chỉ dịch được tiếng Pháp?

HK:
a) Gọi hàm lượng tiếng Anh của một người x ; hàm lượng tiếng Pháp của một
người y
Tổng hàm lượng tiếng Anh = 30x
Tổng hàm lượng tiếng Pháp = 25y
Tổng hàm lượng tiếng cần dùng = 30x + 25y
12 cán bộ dịch cả Anh và Pháp có hàm lượng tiếng = 12.(x + y) = 12x + 12y
=> Tổng hàm lượng tiếng cần dùng = 30x + 25y = 12(x + y) + 18x + 13y
=> Tổng số cán bộ = 12 + 18 + 13 = 43
b) Theo câu a) ta có ngay Số cán bộ chỉ dịch được tiếng Anh là 18 và chỉ dịch được
tiếng Pháp là 13
Câu 8. Có 200 học sinh trường chuyên ngữ tham gia dạ hội tiếng Nga, Trung và
Anh. Có 60 bạn chỉ nói được tiếng Anh, 80 bạn nói được tiếng Nga, 90 bạn nói được
tiếng Trung. Có 20 bạn nói được 2 thứ tiếng Nga và Trung. Hỏi có bao nhiêu bạn nói
được 3 thứ tiếng?
HK:
Gọi hàm lượng tiếng Anh của một em là x ; hàm lượng tiếng Nga của một em là
y ; hàm lượng tiếng Trung của một em là z
Đặt số em nói được cả 3 thứ tiếng là t
Tổng hàm lượng tiếng của bài = 60x + 20.(y + z) + t.(x + y + z) + (80 – 20 – t).y +
(90 – 20 – t).z
(các số được in đậm chính là số học sinh)
Tổng số học sinh = 60 + 20 + t + (80 – 20 – t) + (90 – 20 – t) = 200
=> 80 + t + 60 – t + 70 – t = 200
=> 210 – t = 200 => t = 10
Vậy có tất cả 10 em có thể nói được cả 3 thứ tiếng


Bài tập liên quan đến phân tích bảng biểu đồ thị:
Câu 1. Số lao động trong ba công ty qua các năm được cho bởi bảng sau

Năm
2011
2012
2013
2014
2015

Công ty A
400
450
500
550
600

Công ty B
400
400
450
500
540

Công ty C
450
340
500
600
600

Biết rằng tỷ lệ công nhân đã qua đào tạo năm 2011 của các công ty trên là 50% và
mỗi năm tăng thêm 5%.

a. So sánh tỷ lệ tăng của lao động năm 2015 so với năm 2014 của công ty A và
công ty B.
b. Tính số lao động đã qua đào tạo của ba công ty năm 2014.
c. Ý kiến nào sau đây là đúng:
1. Công ty A và công ty B có tỷ lệ tăng lao động hàng năm như nhau.
2. Tỷ lệ lao động đã qua đào tạo của công ty A là lớn nhất.
3. Lao động đã qua đào tạo của công ty C năm 2014 là cao nhất.
Giải:
Năm
2011
2012
2013
2014
2015

Công ty A
400
450
500
550
600

Công ty B
400
400
450
500
540

Công ty C

450
340
500
600
600

Biết rằng tỷ lệ công nhân đã qua đào tạo năm 2011 của các công ty trên là 50% và
mỗi năm tăng thêm 5%.
a. So sánh tỷ lệ tăng của lao động năm 2015 so với năm 2014 của công ty A và
công ty B.
HK: Đây là tôi làm trên Excel nhé. Câu này là phải tính tay đấy nhưng mà ở đây tôi
tính hết ra bằng Excel


a) Nhìn vào bảng tính ta thấy Tỷ lệ tăng lao động năm 2015 so với 2014 của công ty
A là 9,09% ; công ty B là 8,00% cho nên 2015 so với 2014 thì công ty A > công ty B
b. Tính số lao động đã qua đào tạo của ba công ty năm 2014.

Số lao động đã qua đào tạo của cả 3 công ty năm 2014 đều bị lẻ. Vậy ta sẽ làm
tròn lên hay làm tròn xuống ?
Suy luận: Nếu làm tròn lên thì tỷ lệ tăng lao động sẽ lớn hơn 5% (Không thỏa
mãn) còn nếu làm tròn xuống thì tỷ lệ tăng lao động sẽ nhỏ hơn và gần với 5% và có
thể làm tròn lên 5%. Vậy ta phải làm tròn xuống
Vậy số lao động đã qua đào tạo năm 2014 của công ty A 231 người ; công ty B 231
người ; công ty C 260 người
c. Ý kiến nào sau đây là đúng:
1. Công ty A và công ty B có tỷ lệ tăng lao động hàng năm như nhau.
2. Tỷ lệ lao động đã qua đào tạo của công ty A là lớn nhất.
3. Lao động đã qua đào tạo của công ty C năm 2014 là cao nhất.
HK:

Làm xong câu b thì ta thấy ngay đáp án đúng là 3
ý 1 thì đã tính ở trên, nhìn năm 2012 đã thấy sai rồi
ý 2 nó không nói rõ năm nào nên khả năng là sai. Tất nhiên là ta không có hơi đâu
đi tính tỷ lệ lao động đã qua đào tạo của cả 3 công ty trong cả 3 năm. Cái câu mập
mờ như thế này chắc chắn là sai luôn
Câu 2 . Tỷ lệ nhân lực nguời sở tại chi nhánh nước ngoài của công ty điện tử:


Thành phố thuộc khu vực Mỹ Canada

Thành phố thuộc khu vực Châu Âu và
khu vực khác

Chi nhánh

Tổng số
nhân viên

Tỷ lệ nhân
viên người
sở tại

Chi nhánh

Tổng số
nhân viên

Tỷ lệ nhân
viên người
sở tại

Boston

100

25

Beijing

90

40

LA

70

20

Bangkok

580

70

Tổng số nhân viên = số nhân viên người Hàn được sử dụng + nhân viên nước sở tại
1 .Chi nhánh nào có số lượng nhân viên nước sở tại nhiều nhất trong các
chi nhánh sau đây
a. New York

b.Milano

c. Bangkok

d. Tokyo

2. Muốn tăng tỷ lệ nhân viên nước sở tại tại 4 chi nhánh ở Mỹ (Boston,
LA, New York, San Fansico) lên trung bình là 50% thì số lượng nhân viên
tối thiểu cần là bao nhiêu (Thay người Hàn bởi nhân viên nước sở tại)
a. 20

b. 22 c. 24 d. 26

3. Nhân viên sở tại trung bình của các chi nhánh tại Ý ( Napoli, Milano,
Roma) là
a. khoảng 44%

b.khoảng 46% c. khoảng 48% d. khoảng 50%

HK:
Cái câu này làm tôi nhầm mấy lần ở chỗ Tỷ lệ nhân viên người sở tại – Tôi toàn
nhầm với số người nước sở tại thôi. Đáng ra nó nên ghi rõ đơn vị tính là phần trăm
ra thì có phải dễ hơn không. Mà câu này tính toán cũng Mệt đấy
Để tôi viết lại cái bảng cho dễ hình dung


Thành phố thuộc khu vực Mỹ Canada

Thành phố thuộc khu vực Châu Âu và
khu vực khác

Chi nhánh

Tổng số
nhân viên
(người)

Tỷ lệ nhân
viên người
sở tại (%)

Chi nhánh

Tổng số
nhân viên
(người)

Tỷ lệ nhân
viên người
sở tại (%)

Boston

100

25

Beijing

90

40

LA

70

20

Bangkok

580

70

Tổng số nhân viên = số nhân viên người Hàn được sử dụng + nhân viên nước sở tại
1 .Chi nhánh nào có số lượng nhân viên nước sở tại nhiều nhất trong các
chi nhánh sau đây
a. New York

b.Milano

c. Bangkok

d. Tokyo

HK:
Chi nhánh

Số nhân viên sở tại

New York

= 180.0,75 = 135

Milano

= 650.0,62 = 403

Bangkok

= 580.0,7 = 406

Tokyo

=320.0,875 = 280

Vậy Bangkok là chi nhánh có số lượng nhân viên nước sở tại nhiều nhất
2. Muốn tăng tỷ lệ nhân viên nước sở tại tại 4 chi nhánh ở Mỹ (Boston,
LA, New York, San Fansico) lên trung bình là 50% thì số lượng nhân viên
tối thiểu cần là bao nhiêu (Thay người Hàn bởi nhân viên nước sở tại)
a. 20

b. 22 c. 24 d. 26

HK:
Tỷ lệ trung bình số nhân viên nước sở tại
= Tổng số nhân viên nước sở tại / Tổng số nhân viên của các chi nhánh

Tổng số nhân viên của 4 chi nhánh Boston, LA, New York, San Fansico
= 100 + 70 + 180 + 70 = 420
Để tỷ lệ nhân viên sở tại trung bình là 50% thì số nhân viên sở tại khi đó là 420.0,5
= 210 nhân viên
Tổng số nhân viên sở tại của 4 chi nhánh ban đầu = 100.0,25 + 70.0,2 + 180.0,75 +
70.0,2 = 188 nhân viên
=> Để tỷ lệ nhân viên sở tại trung bình là 50% thì số nhân viên cần thêm ít nhất là
210 – 188 = 22 nhân viên
=> Đáp án B
3. Nhân viên sở tại trung bình của các chi nhánh tại Ý ( Napoli, Milano,
Roma) là
a. khoảng 44%

b.khoảng 46% c. khoảng 48% d. khoảng 50%

HK:
Tỷ lệ trung bình số nhân viên nước sở tại
= Tổng số nhân viên nước sở tại / Tổng số nhân viên của các chi nhánh
= ((350.0,22 + 650.0,62 + 220.0,5) / (350 + 650 + 220)).100% ≈ 48,36%
=> Đáp án B

Câu 3. Doanh thu của một của hàng bán 5 loại sản phẩm:

1. Đỗ đen
2. Đỗ xanh: 20%