Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao - Chương 4: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trên miền Z

Xử lý tín hiệu số nâng cao

CHƯƠNG IV
Biểu diễn hệ thống và tín hiệu
rời rạc trên miền Z


Phép biến đổi Z
 Phép biển đổi Z hai phía

X ( z)

ZT [ x(n)]

x ( n) z

n

n

 Z là một biến phức, và tập hợp các giá trị
của Z để cho X(z) hội tụ được gọi là miền
hội tụ (ROC) của biến đổi Z.
2


Miền hội tụ
 Ví dụ: xét tính hội tụ của dãy anu(n) với a ≠ 0.

n

X ( z)

a z
0

n
0

a
z

n

z
z a

=>Hội tụ khi |a/z| < 1 hay khi |z| > |a|

3


Miền hội tụ

Mặt phẳng Z
r=a
Re[z]

4

Điểm cực, điểm không
 Điểm cực: là điểm mà tại đó X(z)=∞
 Điểm không: là điểm mà tại đó X(z)=0
Như vậy nếu ta biểu diễn X(z) dưới dạng phân số thì các
điểm cực là nghiệm của đa thức mẫu số, các điểm
không là nghiệm của đa thức tử số.

5


Điểm cực, điểm không
 Trong matlab ta sử dụng hàm:
 tf2zp để tìm các điểm cực, điểm không,
 zplane để biễn diễn kết quả trên mặt phẳng z

 Ví dụ
a= [1,2,3];
b=[4,5,6];
[z,p,k]=tf2zp(b,a)
zplane(b,a)
6


Một số tính chất của biến đổi Z
 Tính tuyến tính:
Z [ a1 x1 (n) a2 x2 (n)] a1 X 1 ( z ) a2 X 2 ( z );
ROC : ROC x1

ROC x2

7


Một số tính chất của biến đổi Z
 Dịch mẫu – tính chất trễ:

Z [ x(n n0 )]

z

n0

X ( z );

ROC : ROC x

8


Một số tính chất của biến đổi Z
 Dịch tần số:

z
Z [a x(n)] X
;
a
ROC : ROC x scaled by | a |
n

9

Một số tính chất của biến đổi Z
 Biến số đảo:

X [ x( n)] X (1 / z );
ROC : Inverted ROC x

10


Một số tính chất của biến đổi Z
 Liên hợp phức:
*

Z [ x (n)]

*

*

X ( z ); ROC : ROC x

11


Một số tính chất của biến đổi Z
 Tích của hai dãy:
1
Z [ x1 (n) x2 (n)]

X 1 (v) X 2 ( z / v)v 1dv
2 j C
ROC : ROC x1 ROC x2

12


Một số tính chất của biến đổi Z
 Tích chập:

Z [ x1 (n) * x2 (n)]
ROC : ROC x1

X1 ( z) X 2 ( z)
ROC x2

13


Ví dụ
 Ví dụ:
 X1(z)=2+3z-1+4z-2
 X2(z)=3+4z-1+5z-2+6z-3
 Cần tính X3=X1X2

=>

X3=6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5

 Ngoài ra chúng ta cũng có thể sử dụng

phép nhân chập.
 x1(n)={2,3,4} và x2(n)={3,4,5,6}
14


Ví dụ
 Ta sử dụng matlab để tính nhân chập:
x1=[2,3,4];
x2=[3,4,5,6];
x3=conv(x1,x2)
x3 =
6

17

34

43

38

24

 Như vậy X3=6+17z-1+34z-2+43z-3+38z-4+24z-5

15


Biến đổi Z của một số dãy cơ bản
Sequence

Transform

( n)
u ( n)

1

u ( n 1)
n
a u ( n)
n

b u ( n 1)

1
1
1
1

1
z 1
1
z 1
1
az 1
1
bz 1

ROC

z
|z| 1
|z| 1
|z| |a|
| z| |b|
16


Biến đổi Z của một số dãy cơ bản
Sequence

Transform
1
(
a
sin
w
)
z
0
[a n sin w0 n]u (n)
1 (2a cos w0 ) z 1 a 2 z
1
1
(
a
cos
w
)
z

0
[a n cos w0 n]u (n)
1 (2a cos w0 ) z 1 a 2 z
1
az
na n u (n)
(1 az 1 ) 2
1
bz
nb nu ( n 1)
(1 bz 1 ) 2

ROC
2

|z| |a|

2

|z| |a|
|z| |a|
| z| |b|

17


Biến đổi Z ngược

x ( n)

1

Z [ X ( z )]

1
2 j

n 1

C

X ( z ) z dz

18


Các phương pháp
 Tính trực tiếp tích phân sử dụng phương
pháp thặng dư
 Phương pháp triền khai thành lỹ thừa
theo Z hoặc Z-1
 Phương pháp triển khai thành tổng các
phân thức tối giản

19


Biến đổi Z ngược
 Phương pháp thặng dư:

x ( n)

1
X ( Z ) Z n 1dZ
2 jc

Re s[ X ( Z ) Z n 1 | Z
k

Z pk

]

 Zpk là các cực
 Res: thặng dư

20


Biến đổi Z ngược
 X(z) cũng có thể biểu diễn:
X ( z)

B( z )
A( z )

R1
1 p1 z

1

R2
1 p2 z

1

Rn
...
1 pn z

1

c(1) c( 2) z 1...

 Trong Matlab sử dụng hàm:
[R,p,C]=residuez(b,a) và [b,a]=residuez(R,p,C)

21


Ví dụ
 Xét:

X ( z)

3z

2

z

4z 1

 Có thể biểu diễn:

X ( z)

1

z
1
3 4z

1

z

2

0 z
1
3 4z
z

2

22


Ví dụ
 Sử dụng Matlab

b=[0,1];
a=[3,-4,1];

X ( z)

1
2
1 z

1

[R,p,C]=residuez(b,a)

1
2
1
1
z
3

1

 Quay lại cách biểu diễn trước bằng hàm
residuez
[b,a]=residuez(R,p,C)

X ( z)

1 1
0

z
3
4 1 1
1
z
z
3
3

2

3z 2

z
4z 1
23


Ví dụ (tiếp)
 Từ biểu thức:
X ( z)

1
2
1 z

1

1
2

1
1
z
3

1

 Ta có:
x ( n)

1
u ( n)
2

1 1
2 3

n

u ( n)

24


Hàm truyền đạt
 Là tỷ số biến đổi Z của tín hiệu vào và
tín hiệu ra:
Y ( z)
H ( z)
X ( z)

 H(z) là biến đổi Z của đáp ứng xung
h(n)

H ( z)

Z [h(n)]
25