BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC

48
Chương 3
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRÊN MIỀN TẦN SỐ
RỜI RẠC
Mở đầu
Trong các chương trước chúng ta đã tìm hiểu tín hiệu và hệ thống rời rạc trên
miền n, Z, trên miền tần số chúng ta đã sử dụng DTFT để biểu diễn tín hiệu trên
miền tần số liên tục. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu phép biến đổi
Fourier rời rạc để biểu diễn tín hiệu trên miền tần số rời rạc k, với các chuỗi có
chiều dài hữu hạn, cách biểu diễn này rất có ích cho các máy tính số cũng như
cho việc thực hiện phần cứng số.
§1. Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu tuần hoàn (DFS)
1. Định nghĩa
Gọi x
p
(n) là dãy tuần hoàn có chu kì là N: x
p
(n) =x
p
(n + N) chuỗi x
p
(n) có
thể được biểu diễn bằng một chuỗi Fourier rời rạc sau:
(3.1)
Trong đó X
p
(k) là dãy tuần hoàn chu kì N, bây giờ ta đi tìm X
p
(k):
Nhân cả 2 vế với ta có:
Lấy tổng theo n từ: 0 đến N-1 ta có:

Nhận xét :
Vậy với k=m thì ta có:
49
Vậy ta có:
hoặc ta có: (3.2)
Từ (3.1) và (3.2) ta có:
2. Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc
a. Tính chất tuyến tính:
DFS[ x
1p
(n) ] = X
1p
(k)
DFS[ x
2p
(n) ] = X
2p
(k)
x
3p
(n) = a.x
1
(n) + b.x
2
(n)
DFS[ x
3p
(n) ] = X
3p
(k) = a.X

1p
(k) + b.X
2p
(k)
b. Tính chất trễ
DFS[ x
1p
(n) ] = X
1p
(k)
x
2p
(n) = x
1
(n – n
0
)
DFS[ x
2p
(n) ] = X
2p
(k) =
c. Tổng chập tuần hoàn
DFS[ x
1p
(n) ] = X
1p
(k)
DFS[ x
2p

(n) ] = X
2p
(k)
x
3p
(n) = x
1
(n)(*)x
2
(n)
DFS[ x
3p
(n) ] = X
3p
(k) = X
1p
(k).X
2p
(k)
§2. Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu không tuần hoàn có chiều dài
hữu hạn.
1. Mối quan hệ giữa dãy không tuần hoàn có chiều dài hữư hạn và dãy tuần
hoàn.
Giả sử có một dãy rời rạc không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn là M: x(n)
M
và một đãy rời rạc tuần hoàn chu kì N: x
p
(n).
- Nếu M =N thì dãy x(n)
M

chính là một chu kì của dãy x
p
(n) ( Vẽ 2 tín hiệu )
x
p
(n) X
p
(k)
DFS
50
- Nếu M < N thì ta thấy dãy có chiều dài hữu hạn x(n)
M
có thể là một chu kì
của dãy x
p
(n) bằng cách khi chúng ta coi dãy x(n) là dãy có chiều dài là N bằng
cách thên vào (N-M) mẫu có giá trị bằng 0. Ví dụ ( vẽ hình)
Như vậy từ một dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn x(n)
M
ta có thể lập 1
dãy tuần hoàn x
p
(n) có chu kì N>= M với mỗi chu kì của dãy tuần hoàn x
p
(n) sẽ
chính là dãy x(n)
M
.
- Trường hợp M > N ta không thể làm được như vậy.
Chú ý:Để nhận được dãy x(n) có chiều dài hữu hạn chúng ta có thể sử dụng một

dãy chữ nhật: rect
N
(n):
x(n)
M
= x
p
(n).rect
N
(n) =
Trên miền k thì ta sẽ có:
Nhận xét: Chuỗi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn được tính trong một chu kì rồi
lấy tuần hoàn từ -∞ đến +∞ vơis chuu kì là N. Vì vậy ta có thể lấy định nghĩa của
chuỗi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn làm định nghĩa cho chuỗi có chiều daì
hữu hạn nhưng không được lấy tuần hoàn, nó chỉ xác định trong miền giá trị cuả
nó, ngoài miền giá trị bằng 0.
2. Định nghĩa
Cặp biến đổi Furier rời rạc (Discrete Fourier Transform )của dãy có chiều dài
hữu hạn là N được định nghĩa như sau:
Đặt ta có:
51
Kí hiệu : DFT[ x(n) ] = X(k)
IDFT[ X(k) ] = x(n)
gọi là phổ biên độ
gọi là phổ pha
Ví dụ: Tìm X(k) biết:
a. x(n) = ∂(n)
b. x(n) = rect
4
(n)

a. Chọn chiều dài của dãy là M, vậy ta có:
c. Chọn chiều dài của dãy là N = 4
nên ta có:
X(0) = 1 + (-j) + (-j)
2
+ (-j)
3
= 0
Tương tự với X(1), X(2), X(3)
3. Các tính chất của DFT
a. Tính chất tuyến tính:
DFT[ x
1
(n) ] = X
1
(k)
DFT[ x
2
(n) ] = X
2
(k)
x
3
(n) = a.x
1
(n) + b.x
2
(n)
DFS[ x
3

(n) ] = X
3p
(k) = a.X
1
(k) + b.X
2
(k)
b. Tính chất dịch vòng
52
Dịch vòng của một dãy x(n) được định nghĩa như sau:
x(n-n
0
)
N
.rect
N
(n) = x
p
(n-n
0
).rect
N
(n)
Phép dịch vòng của một dãy là phép dịch trong đó các mẫu đi ra khỏi đoạn [0,
N-1] sẽ quay trở lại đầu kia.
DFT[ x(n) ] = X(k)
DFT[ x(n-n
0
) ] = Y(k) =W
k.n

X(k)
Còn nữa
§ 3. Biến đổi Fourier nhanh – FFT
I Mở đầu
Trong lĩnh vực xử lí số tín hiệu, biến đổi Fourier có vai trò rất quan trọng, vì
vậy nó tồn tại các thuật toán tính toán DFT hiệu quả hơn. Từ khi Cooley phát
hiện ra thuật toán tìm nhanh biến đổi DFT, các thuật toán ngày càng được
phát triển và ứng dụng nhiều trong xử lí số tín hiệu.
1. Độ phức tạp tính toán của DFT
Trong phần trước chúng ta đã tìm hiểu biến đổi Fourier rời rạc như sau:
(3.3)
(3.4)
Nhận xét: