BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z

32
Chương II
BIỂU DIỄN TÍN HIỆU
VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN Z
Mờ đầu
Chương 1 đã trình bày cách tính đáp ứng của một hệ thống trực tiếp từ đáp ứng
xung của nó, bằng cách tính tổng chập của kích thích với đáp ứng xung. Cách tính tổng
chập trực tiếp dựa vào công thức định nghĩa như đã làm tốn rất nhiều thời gian và công
sức. Hơn nữa , trong thực tế số mẫu khác không của kích thích và đáp ứng xung là rất
nhiều nên ta không thể ‘tính bằng tay’. Tuy nhiên, phương pháp tính tổng chập bằng đồ
thị như đã trình bày cho ta một thuật toán của chương trình tính tổng chập bằng máy
tính. Việc giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp đệ qui
cũng chỉ có ý nghĩa khi sử dụng máy tính.
Kỹ thuật biến đổi là một công cụ hữu hiệu để phân tích hệ thống LTI. Biến đổi Z
đối với tín hiệu rời rạc có vai trò tương tự như biến đổi Laplace đối với tín hiệu liên tục,
và chúng có quan hệ giống nhau với biến đổi Fourier. Tổng chập của hai dãy trong
miền thời gian sẽ biến thành tích của hai biến đổi Z tương ứng trong miền biến phức z.
Tính chất này sẽ làm đơn giản hóa việc tính đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu vào
khác nhau. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng cũng được giải một cách dễ
dàng hơn khi dùng công cụ biến đổi Z.
Như ta sẽ thấy trong các chương sau, biến đổi Fourier giữa vai trò chìa khóa trong
trong việc biểu diễn và phân tích các hệ thống rời rạc. Tuy nhiên, trong một số trường
hợp cần phải sử dụng dạng tổng quát hóa của biến đổi Fourier, đó là biến đổi Z.
1. Biến đổi z
1 Biến đổi Z trực tiếp
Định nghĩa: Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau:
(2.1)
Trong đó z là biến phức và được biểu diễn như sau :
X(z) = ZT[x(n)]
Do chuỗi biến đổi là vô hạn nên chỉ tồn tại một số giá trị của Z để X(z) hội tụ.
Tập hợp các giá trị của z để X(z) hội tụ gọi là miền hội tụ của X(z) kí hiệu là

ROC[ X(z) ]
33
VD1: Xác định biến đổi z của tín hiệu rời rạc sau:
a/ x(n) = {1,2,5,7,0,1 }
b/ x(n) = δ(n)
c/ x(n) = δ(n - k), k>0
d/ x(n) = δ(n + k), k>0
Như vậy với tín hiệu hữư hạn thì ROC là toàn bộ mặt phẳng z và có thể trừ
các giá trị z = 0 và z = ∞
VD2: Xác định biến đổi z của các tín hiệu rời rạc sau:
Suy ra
Áp dụng công thức 3.1 ta có:
X(z) hội tụ khi khi đó ta có:
Vậy ROC [X(z)] :
· Mặt phẳng z
Do z là biến phức nên: z = Re[z] + j Im[z], mặt phẳng z được tạo bởi trục tung
Im[z] và trục hoành Re[z]
Chú ý: z
là biến
phức nên
ta có thể
biểu diễn
như sau:
z = re
jθ
Im[z
Re[z
r
34
, Nếu r =1 thì có nghĩa là phép

biến đổi z lấy trên vòng tròn đơn vị sẽ trở thành biến đổi Fourier trên miền tần
số.
· Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để xác định miền hội tụ của biến đổi z.
- Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng hội tụ nếu điều
kiện sau thoả mãn:
- Áp dụng với biến đổi z ta có:
Đặt X(z) = X
1
(z) + X
2
(z)
Trong đó: X
1
(z) =
X
2
(z) =
Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho X
1
(z) ta có:
đặt R
x
-
= vậy:
Với thì X
1
(z) hội tụ. Tức là miền hội tụ của X
1
(z) nằm ngoà vòng tròn
bán kính R

-
x
tâm gốc toạ độ trên mặt phẳng z. Đậy cũng là miền hội tụ của dãy
nhân quả có chiều dài vô hạn.
Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy với X
2
(z). tương tự như với X
1
(z) ta cũng có miền
hội tụ của X
2
(z) là: trong đó : R
x
+
= , nghĩa là miền hội tụ của
X
2
(z) là miền nằm trong đường tròn bán kính R
+
x
tâm gốc toạ đoọtrên mặt
phẳng z, đây cũng là miền hội tụ của dãy phản nhân quả có chiều dài vô hạn.
Kết luận vậy miền hội tụ của X(z) là: X
1
(z)∩X
2
(z).
VD 3: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = a
n
u(n)

35
nếu
Vậy , ROC [X(z)] : (3)
VD4: Xác định biến đổi z của tín hiệu x(n) = - a
n
u(-n-1)
Với
Vậy , ROC [X(z)] : (4)
Từ (3) và (4) ta thấy: Hai tín hiệu khác nhau có cùng biến đổi z nhưng ROC khác
nhau. Do đó, tín hiệu rời rạc x(n) xác định duy nhất bằng biến đổi z và ROC của
nó.
2 Các tính chât của biến đổi z.
a. Tính chất tuyến tính
Nếu :
X
1
(z) = ZT[x
1
(n)], ROC[X
1
(z)]
X
2
(z) = ZT[x
2
(n)], ROC[X
2
(z)]
x
3

(n) = ax
1
(n) + bx
2
(n) trong đó a, b là các hằng số thì:
ZT[x
3
(n)] = X
3
(z) = a.X
1
(z) + b.X
2
(z) ,
ROC[X
3
(z)] = ROC[X
1
(z)] ∩ ROC[X
2
(z)]
Ví dụ : x
1
(n) = 2
n
u(n), x
2
(n) = 3
n
u(n)

b. Tính chất dịch thời gian
Nếu :
X(z) = ZT[x(n)], ROC[X(z)]
thì ZT [x(n-k)] = z
-k
X(z)
Miền hội tụ:
+ Nếu k >0 thì ROC: là ROC[X(z)]/0
+ Nếu k<0 thì ROC là ROC[X(z)]/∞
c. Định lí giá trị đầu
Biến đỏi z của dãy nhân quả x(n) được định nghĩa như sau :
36
Khi z→∞ thì lim X(z) → x(0)
Ví dụ: Hãy các định giá trị đầu của dãy sau:
, ROC :
x(0) =
d. Tích chập trên miền z.
Nếu :
X
1
(z) = ZT[x
1
(n)], ROC[X
1
(z)]
X
2
(z) = ZT[x
2
(n)], ROC[X

2
(z)]
x
3
(n) = x
1
(n) * x
2
(n) thì:
ZT[x
3
(n)] = X
3
(z) = X
1
(z).X
2
(z) ,
ROC[X
3
(z)] = ROC[X
1
(z)] ∩ ROC[X
2
(z)], Miền hội tụ của X
3
(z) có thể
rộng hơn miền hội tụ của X
1
(z) và X

2
(z).
Ví dụ : x
1
(n) = 2
n
u(n), x
2
(n) = 3
n
u(n)
e. Nhân với hàm mũ
Giả sử có dãy x(n) có ZT[x(n)] =X(z), ROC : thì dãy :
y(n) = a
n
x(n) có ZT[y(n)] = Y(z) =
ROC :
Ví dụ: cho dãy x(n) = 2
n
u(n) xác định X(z), ROC.
Trước tiên ta tìm biến đổi z của dãy u(n):
với ROC: hay
Vậy với ROC:
3 Biến đổi z hữu tỷ.
Giả sử X(z) là hàm hữu tỷ:
37
a. Các khái niệm cực và không.
+ Điểm cực của X(z) là các giá trị z tại đó X(z) = ∞, kí hiệu là z
ck
, khi đó

D(z
ck
) = 0
+ Điểm không của X(z) là các điểm tại đó X(z) = 0, kí hiệu là z
or
, khi đó
N(z
or
) = 0
b. Biểu diễn X(z) dưới dạng cực và không
Giả sử N(z) là đa thức bậc M của z khi đó:
N(z) = b
M
(z- z
o1
) (z- z
o2
) (z- z
o3
).... (z- z
oM
)=
Giả sử D(z) là đa thức bậc N của z khi đó:
D(z) = a
N
(z- z
c1
) (z- z
c2
) (z- z

c3
).... (z- z
cN
)=
Khi đó X(z) được viết lại như sau:
hay ta có thể viết dưới dảng hàm của z
-1
như sau:
Với c = b
M
/a
N
X(z) có M điểm không và N điểm cực. Để biểu diễn trên
đồ thị các điểm cực được đánh dấu bằng (x) và các điểm không được đánh
dấu bằng (o)
Ví dụ: Xác định biến đổi z của tín hiệu được cho bởi giản đồ cực và không
như sau:
Vẽ hình
2. Biến đổi z ngược
1 Định lí Cauchy