đại số tuyến tính lê xuân đại khong gian vecto con tong va giao cua các khong gian vecto con sinhvienzone com

C
o

e.

on

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA
CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ1CON
/ 52


C
o
e.
on

hV

3

nZ

2

Không gian véc-tơ con: bao tuyến tính, không
gian nghiệm của hệ thuần nhất
Hạng của hệ véc-tơ
Tổng và giao của các không gian véc-tơ con

ie

1

in

m

Nội dung

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ2CON
/ 52


C
o
e.

on

nZ

∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT

1 tập ĐLTT thì số véctơ

n

1 tập là tập sinh của E thì
số véctơ n.

hV

ie

∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n
đều không là tập sinh của E .

in

m

Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ3CON
/ 52


C
o

e.

nZ

on

1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .

ie

M = {x1 , x2 , . . . , xk } (k n) ĐLTT, x không là THTT
của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT

hV

Nếu M = {x1 , x2 , . . . , xm } (m n) là tập sinh của E , xi
là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta
được M = M\{xi } là tập sinh của E .

in

m

1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN

— 2013.
VÉCTƠ4CON
/ 52


C
o

Định nghĩa không gian véctơ con

on

e.

Định nghĩa
Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một
không gian véctơ con của E khi và chỉ khi
F =∅
∀x, y ∈ F , x + y ∈ F
∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .
Ký hiệu F là một K -kgvc của E .

nZ

1

ie

2

hV

3

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ5CON
/ 52


C
o

Định nghĩa không gian véctơ con

on

e.

Định lý

Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một
K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật
+:F ×F →F
(x, y ) −→ x + y
•:K ×F →F
(λ, x) −→ λ.x
cảm sinh bởi các luật của E .

nZ

1

hV

ie

2

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.

VÉCTƠ6CON
/ 52


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R2.

ie

nZ

Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅. Với mọi
x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì

hV

x+y = (x1+y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R2.

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ7CON
/ 52


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 −2x2 +x3 = 0}
là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

hV

ie

nZ

Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅.
∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒
2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó,
suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =
(2x1 −2x2 +x3)+(2y1 −2y2 +y3) = 0 ⇒ x +y ∈ F ,

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ8CON
/ 52


e.

C

o

Ví dụ

hV

ie

nZ

on

∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx3), khi đó
2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0
⇒ λx ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R3.

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ9CON

/ 52


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1}
không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.

hV

ie

nZ

Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F
thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và
(x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =
(x1 + 2x2 + x3) + (y1 + 2y2 + y3) = 1 + 1 = 2. Do
đó x + y ∈
/ F.

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
10CON
/ 52


C
o

Bao tuyến tính

e.

Bao tuyến tính

nZ

on

Định lý
Cho S = {x1, x2, . . . , xn } ⊂ E , E − là một K -kgv.
Khi đó W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x =
n

λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là một không

ie

i=1

hV

gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến
tính của tập {x1, x2, . . . , xn }. Kí hiệu
W = span(S)

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —

GIAN
2013.
VÉCTƠ
11CON
/ 52


Chứng minh
0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W
⇒ W = ∅.

e.

1

on

n

2

∀x, y ∈ W ⇒ x + y =

n

λi xi +

i=1

nZ

n

γi x i =
i=1

(λi + γi )xi ⇒ x + y ∈ W .
n

∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ

hV

3

ie

i=1

n

λi xi =
i=1

(λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .

i=1

in

ậy

m

Bao tuyến tính

C
o

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

/>W là một
không gian véctơ con của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
12CON
/ 52


C
o

Ví dụ

nZ

on

e.

Ví dụ
Trong R − kgv R3 cho
M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định
<M >.

hV

ie

Giải.
< M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) +
λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x =
(λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
13CON
/ 52


e.

C
o

Ví dụ

nZ

on

Ví dụ
Trong R − kgv P2(x) cho
M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .

hV

ie

Giải.
< M >= {λ1(x −2)+λ2(x −2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} =
{λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
14CON
/ 52


C
o

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

on

e.

Hệ quả
Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không
gian véctơ con của E thì dim(F ) n.

hV

ie

nZ

Chứng minh.
Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính
của F đều có số phần tử n.
Gọi B = {x1, x2, . . . , xk }(k n) là 1 tập con
độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn
nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ
B là tập sinh của F .
cần chứng minh
/>
in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
15CON
/ 52


e.

C
o

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Chứng minh B là tập sinh của F .

nZ

on

Phản chứng. Với mọi ∀x ∈ F
B = {x1, x2, . . . , xk } (k n) ĐLTT, x không là
THTT của k véctơ của B khi đó B ∪ {x} ĐLTT

hV

ie

Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần
tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn
nhất).
Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của
những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
16CON
/ 52


C
o

Ví dụ

nZ

on

e.

Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho không gian con
F = {p(x) ∈ P2(x)\p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm
một cơ sở và số chiều của không gian con F .

hV

ie

∀p(x) = ax 2 + bx + c ∈ F , ta có
p(1) = a + b + c = 0 và
p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

a+b+c =0
⇔
a−b+c =0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

a = −c
b=0

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
17CON
/ 52


e.

C
o

Ví dụ

hV

ie

nZ

on

Vậy p(x) = c(−x 2 + 1). Do đó {−x 2 + 1} là tập
sinh của F .
−x 2 + 1 = 0 nên luôn độc lập tuyến tính.
Như vậy, −x 2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều
dim(F ) = 1.

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
18CON
/ 52


C
o

Ví dụ

on

e.

Ví dụ
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W
của R3 cho bởi

nZ

W = {(x1, x2, x3)\x1 + x2 + x3 = 0}

hV

ie

Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình
x1 + x2 + x3 = 0 ⇔ x1 = −x2 − x3.
Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1).
Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở
của W .

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
19CON
/ 52


C
o

Ví dụ

ie

nZ

on

e.

Hai véctơ (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) độc lập
tuyến tính.
Ta chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) sinh ra
W . Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ W thì
x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1).

hV

Như vậy, (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là 1 cơ sở của W
và số chiều dim(W ) = 2.

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
20CON
/ 52


Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

C
o

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Không gian nghiệm của hệ thuần nhất

ie

nZ

on

e.

Định lý
Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm
m phương trình và n ẩn Am×n Xn×1 = 0m×1. Khi
đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành
không gian véctơ con của không gian K n .

in

hV

Định lý
Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng
r trong đó />r = rank(A) và n là số ẩn.
m−
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC

TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
21CON
/ 52


e.

C
o

Ví dụ

ie

nZ

on

tìm nghiệm của không gian nghiệm
+ 2x2 − x3 + x4 = 0
+ 4x2 − 3x3
= 0
+ 2x2 + x3 + 5x4 = 0




h2 →h2 −2h1
1 2 −1 1
−1 1
h →h −h1
 0 0 −1 −2 
−3 0  −−3−−3−−→
0 0 2 4
1 5

hV

Ví dụ
Giải
 hệ
 x1
2x
 1
x1

1 2
2 4
1 2

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
22CON
/ 52


C
o

Ví dụ


1 2 −1 1
h3 →h3 +2h2
−−
−−−−→  0 0 −1 −2  ⇒ x1, x3 là biến cơ
0 0 0 0
sở,
, x4 là
 biến tự do.Đặt x2 = α,
x4 =β

 x2

on

e.



hV

ie

nZ

x1
−2α − 3β
−2
−3





 x2  
α
 = α 1 +β 0 
=


 0 
 −2 

 x3  
−2β
x4
β
0
1
Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0)T và X2 = (−3, 0, −2, 1)T là cơ sở

của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm
của hệ này là 2.

in

m

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
23CON
/ 52

Định nghĩa

C
o

Hạng của một hệ véctơ

nZ

on

e.

Định nghĩa
Cho tập M = {x1, x2, . . . , xp } ⊂ E là một
K − kgv . Tập N = {xi1 , xi2 , . . . , xir } được gọi là
tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và
chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M
đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N.

hV

in

Nếu
m

ie

Định nghĩa

Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số
véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó.
M = {0} thì
coi hạng của M bằng 0.
/>
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
24CON
/ 52


Ví dụ

C
o

Hạng của một hệ véctơ

nZ

on

e.

Ví dụ
Trong R−kgv P3(x) cho hệ
H = {p1(x) = 5x, p2(x) = x + 3x 2, p3(x) =
4x − 5x 2, p4(x) = x 2 + 6x}. Tìm hạng của H.

in

hV

ie

p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ
λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0
⇒ 3λ2x 2 + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0.
p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến
tính của p1(x), p2(x)

Nên
hạng của
m
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

H />bằng 2
KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.

VÉCTƠ
25CON
/ 52