đại số tuyến tính lê xuân đại đề ôn cuối ki co giai sinhvienzone com

C
o

e.

on

Bài giảng điện tử

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>
ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

1 / 26


C
o
e.


2 2 1
Cho hai ma trận A =  2 5 3  và
2 3 5


3 1 2
B =  −1 2 4  . Tìm ma trận X thỏa
2 6 3
AX − X = B T

hV

ie

nZ

on



in

m

Câu 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

2 / 26


C
o

e.



hV

20
 −6
−5

ie

Vậy X

nZ

on

⇔ X = (A − I )−1.B T

−1 
T
1 2 1
3 1 2
=  2 4 3   −1 2 4  =
2 3 4
2 6 3

−9 −10
2
5 
4
2

in

m

AX − X = B T ⇔ (A − I )X = B T

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

3 / 26


C
o
e.

on

nZ

ie

hV
in

m

Câu 2.
Trong R4 cho không gian con
U =< (1, 1, 2, 2), (2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1).
a) Tìm m để v = (1, 2, −1, m) thuộc U.
b) Tìm cơ sở và số chiều U ⊥.

c) Tìm hình chiếu của z xuống U ⊥.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

4 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie

hV

Hệ này vô nghiệm nên m sao cho v ∈ U.

in

m

a) Để v ∈ U thì ∃α, β ∈ R :
v = (1, 2, −1, m) = α(1, 1, 2, 2) + β(2, −1, 1, 0)


α + 2β = 1



α−β = 2
2α + β = −1




2α = m

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

5 / 26


C
o

e.

on

ie

nZ

x1 + x2 + 2x3 + 2x4 = 0
2x1 − x2 + x3 = 0

hV

Cơ sở của U ⊥ : e1 = (−1, −1, 1, 0) và
e2 = (−2, −4, 0, 3). Số chiều dim(U ⊥) = 2.

in

m

b) Tìm cơ sở và số chiều U ⊥. Véctơ
x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ⊥ nên x ⊥ (1, 1, 2, 2) và
x ⊥ (2, −1, 1, 0)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

6 / 26

C
o

e.

on

nZ

ie

hV

in

m

c) Tìm hình chiếu của z xuống U ⊥.
z = αe1 + βe2 + g , với g ∈ (U ⊥)⊥.
< z, e1 >= α < e1, e1 > +β < e1, e2 >
< z, e2 >= α < e1, e2 > +β < e2, e2 >
7
14
3α + 6β = 0
⇔
⇔ α = , β = − Vậy
6α + 29β = −7
17
17

hình chiếu của z xuống U ⊥ là
14
7
f = (−1, −1, 1, 0) − (−2, −4, 0, 3) =
17
17
14 14 21
(0, , , − )
17 17 17
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

7 / 26


C
o

e.

on

x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 0
2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0

ie

V :

nZ

U =< (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0) >

hV

a) Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V .
b) Tìm cơ sở và số chiều của U + V

in

m

Câu 3.
Trong R4 cho 2 không gian con

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

8 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie

hV

in

m

a) Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V .
x = (x1, x2, x3, x4) ∈ U ∩ V ⇔ x ∈ U ∧ x ∈ V .
x ∈ U ⇔ (x1, x2, x3, x4) = α(1, 1, −2, 1) +
β(1, 2, 1, 0) = (α + β, α + 2β, −2α + β, α)
−8α + 8β = 0
x ∈V ⇔
⇔ α = β.
−2α + 2β = 0
Vậy x = α(2, 3, −1, 1). Từ đó suy ra (2, 3, −1, 1)
là tập sinh của U ∩ V . Véctơ (2, 3, −1, 1) độc lập
tuyến tính nên cơ sở của U ∩ V là (2, 3, −1, 1).
Dim(U ∩ V ) = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

9 / 26


C
o

e.

on

hV

ie

nZ

U +V =
<
11, 0, 5) >
 (1, 1, −2, 1), (1, 2,1, 0),(−7, −4, 5, 0), (3, 
1 1 −2 1
1 1 −2 1
 1 2 1 0



 →  0 1 3 −1 
 −7 −4 5 0 

 0 0 −18 10 
3 11 0 5
0 0 0
0
Cơ sở của U + V là
(1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0), (−7, −4, 5, 0). Dim(U + V ) = 3.

in

m

Tìm cơ sở của V
1 2 3 −5
1 2 3 −5
→
2 −1 2 1
0 −5 −4 11
Cơ sở của V là (−7, −4, 5, 0) và (3, 11, 0, 5)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

10 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie
hV
in

m

Câu 4.
Trong R2 : x = (x1, x2), y = (y1, y2). Xét tích vô
hướng (x, y ) = 2x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 3x2y2.
Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v với
u = (2, −1), v = (1, 3).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

11 / 26


C
o
e.

on

nZ

ie

hV

in

m

Câu 4.
Trong R2 : x = (x1, x2), y = (y1, y2). Xét tích vô
hướng (x, y ) = 2x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 3x2y2.
Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v với
u = (2, −1), v = (1, 3).
√
√
d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v > = 34.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

11 / 26

C
o
e.

on

nZ

ie

hV
in

m

Câu 5.
Cho ánh xạ f : R3 → R3, biết ma trận của f
trongcơ sở B = {(1,
 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} là
1 −2 1
A =  3 2 0  . Tìm f (4, 3, 6)
−1 3 4

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

12 / 26


C
o
e.

on

nZ

ie

hV
in

m

[f (4, 3, 6)]B =
A[(4,
B = 

 3, 6)]

1 −2 1
−2
1
 3 2 0  .  1  =  −4  .
−1 3 4
5

25
Vậy f (4, 3, 6) =
1(1, 1, 0) − 4(1, 0, 1) + 25(1, 1, 1) = (22, 26, 21)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

13 / 26


C
o
e.
on

ie

nZ


0 2 2
A =  −1 −3 −2 
1 5 4

hV

Tìm một ma trận B ∈ M3(R) sao cho B 3 = A.

in

m

Câu 6.
Cho ma trận cấp 3


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

14 / 26


C
o
e.

hV

ie

nZ

on

−λ
2
2
χA(λ) = |A − λI | = −1 −3 − λ −2 = 0
1
5
4−λ
⇔ −λ(λ + 1)(λ − 2) = 0
⇔ λ1 = −1, λ2 = 0, λ3 = 2.

in

m

Xét

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

15 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie

hV

in

m

Ứng với λ1 = −1 ta xét hệ

 x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−x − 2x2 − 2x3 = 0
 1
x1 + 5x2 + 5x3 = 0


0
⇒ X1 = α  −1  , α = 0.
1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

16 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie

hV

in

m

Ứng với λ2 = 0 ta xét hệ

 0x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−x − 3x2 − 2x3 = 0
 1
x1 + 5x2 + 4x3 = 0


1
⇒ X2 = β  −1  , β = 0.

1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

17 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie

hV

in

m

Ứng với λ3 = 2 ta xét hệ


 −2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−x1 − 5x2 − 2x3 = 0

x1 + 5x2 + 2x3 = 0


1
⇒ X3 = γ  −1  , γ = 0.
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

18 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie

hV

in

m

Vậy ta
 có ma trận làm
chéo hóa
0 1 1
S =  −1 −1 −1 
1 1 2




−1 −1 0
−1 0 0
⇒ S −1 =  1 −1 −1  D =  0 0 0  .
0 1 1
0 0 2
Do đó A = SDS −1 = B 3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

19 / 26

C
o
e.

on

hV

ie

nZ



(−1)1/3 0
0
0
1
1
−1 −1 0
 −1 −1 −1  
0
01/3 0   1 −1 −1  =
1
1
2
0
1

1
0
0 21/3

1/3
1/3
2
0
2
 −1 −21/3 − 1 −21/3 
1
24/3 + 1
24/3

in

m

Vậy
1 ma trận
B cần tìm là



TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

20 / 26


C
o
e.

on

nZ

hV

ie

f (x1, x2, x3) = x12 −2x22 −2x32 −4x1x2 +4x1x3 +8x2x3.

in

m

Câu 7.
Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc
bằng phép biến đổi trực giao, nêu rõ phép biến đổi

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

21 / 26


C
o
e.

on

nZ

ie
hV
in

m

Ma trận
 của dạng toàn
 phương
1 −2 2
A =  −2 −2 4 
2 4 −2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

22 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie
hV
in

m

χA(λ) = det(A − λI ) =
1 − λ −2
2
=0
−2 −2 − λ
4
2
4
−2 − λ
⇔ λ1 = −7, λ2 = λ3 = 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

23 / 26


C
o

e.

on

nZ

ie

hV
2
3

in

m

χA(λ) = det(A − λI ) =
1 − λ −2

2
=0
−2 −2 − λ
4
2
4
−2 − λ
⇔ λ1 = −7, λ2 = λ3 = 2.
Xác định
 ma1 trận
 trực giao. Với λ1 = −2, ta có
−3
P∗1 =  − 23  .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐỀ ÔN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TP. HCM — 2013.

23 / 26