Bồi dưỡng HSGT6 tinh chat chia het cña mot tong

Biờn son :T Phm Hi Hng H
Chuyên đề toán 6 : tính chất chia hết của một tổng
Ngời viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình
I.Lý thuyết :
Tính chất 1 : với a , b , m N và m 0
Mở rộng a b m với a b
Tính chất 2 : với a , b , m N và m 0
Mở rộng a b hoặc b a cũng không chia hết cho m
Tính chất 3 : với a , b , m N và m 0
Mở rộng B = a b hoặc b a chia hết cho m và trong a và b có một
số
chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m
II.Bài tập :
Loại 1 : Chứng minh chia hết của một tổng không có điều kiện
Bài 1 : Chứng tỏ rằng tổng T = + 74 37
Giải :
Ta thấy = a.111 = a.3.37 37 ; = b.111 = b.3.37 và 74 37 . Vậy T 37 đpcm
Bài 2 : Chứng minh rằng tổng N = 2007
2007
+ 2008
2008
+ 2009
2009
2
Giải :
Ta có 2008
2008
là số chẵn nên chia hết cho 2.
2007
2007

lẻ và 2009
2009
lẻ nên 2007
2007
+ 2009
2009
2
Mà N = 2007
2007
+ 2008
2008
+ 2009
2009
= 2008
2008
+ ( 2007
2007
+ 2009
2009
) là tổng của hai số
chia hết cho 2 nên N chia hết cho 2 . đpcm
Hãy nhận xét về cách giải loại bài tập trên
Giải các bài tập sau : Chứng minh rằng :
1) 11 ; 3 ) 55
2
+ 555
2
+ 5555
2
+ 55555

2
10
2) 7 ; 4 ) 11
5) 9 với a > b ; 6) 2 với a , b N
1
Tài liệu bồi giỏi
Biên soạn :Tạ Phạm Hải Hưng Hà
7) Chøng minh r»ng tỉng cđa 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× chia hÕt cho 3 , nhng tỉng cđa
bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp th× kh«ng chia hÕt cho 4.
8) Chøng minh r»ng 60n + 45 chia hÕt cho 15 ϵ N nhng kh«ng chia hÕt cho 30
9) Chøng minh sè 23! + 19! – 15! ⋮ 110
10)CMR với mọi số tự nhiên n thì n
2
+ n + 6 không chia hết cho 5.
11) CMR: a/ 942
60
– 351
37
chia hết cho 5.
b/ 99
5
- 98
4
+ 97
3
- 96
2
chia hết cho 2 và 5.
Bµi 4 : Cho tỉng A = 2 + 2
2

+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ ... + 2
59
+ 2
60

1) Chøng tá A 3
2) Chøng tá A 7
3) Chøng tá A 15
Gi¶i :
a ) A = ( 2 + 2
2
) + ( 2
3
+ 2
4
) + ( 2
5
+ 2
6
) + .... + ( 2
59
+ 2
60
)

= 2( 1 + 2 ) + 2
3
( 1 + 2 ) + 2
5
( 1 + 2 ) + ..... + 2
59
( 1 + 2 )
= 2.3 + 2
3
.3 + 2
5
.3 + 2
7
.3 +.... + 2
59
.3
Tỉng A gåm 30 nhãm nhãm nµo còng chia hÕt cho 3 nªn A chia hÕt cho 3 . ®pcm
b ) A = ( 2 + 2
2
+ 2
3
) + ( 2
4
+ 2
5
+ 2
6
) +... + ( 2
58
+ 2

59
+ 2
60
)
= 2 ( 1 + 2 + 2
2
) + 2
4
( 1 + 2 + 2
2
) + .... + 2
58
( 1 + 2 + 2
2
)
= 2.7 + 2
4
.7 + 2
7
.7 + ... + 2
58
.7
Tỉng A gåm 20 nhãm nhãm nµo còng chia hÕt cho 7 nªn A chia hÕt cho 7 . ®pcm
c ) A = ( 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + ( 2

5
+ 2
6
+ 2
7
+ 2
8
) + ... + ( 2
57
+ 2
58
+ 2
59
+ 2
60
)
= 2( 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + 2
5
( 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + ... + 2
57
( 1 + 2 + 2
2

+ 2
3
)
= 2.15 + 2
5
.15 + .... + 2
57
.15
Tỉng A gåm 15 nhãm nhãm nµo còng chia hÕt cho 15 nªn A chia hÕt cho 15 . ®pcm
• H·y nhËn xÐt c¸ch gi¶i trªn
• Bµi tËp t¬ng tù :
1) Cho B = 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ 5
5
+ ... + 5
12

a. Chøng tá B 6
b. Chøng tá B 31
c. Chøng tá B 30
2) Cho C = 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3

4
+ 3
5
+ ... + 3
12
3) Cho D = 4 + 4
2
+ 4
3
+ 4
4
+ 4
5
+ ... + 4
24
4) Cho E = 7 + 7
2
+ 7
3
+ 7
4
+ 7
5
+ 7
6
+ 7
7
+ 7
8

2
Tµi liƯu båi giái
Biờn son :T Phm Hi Hng H
Bài 5: Chứng minh rằng 10
n
+ 18n 1 chia hết cho 27 ( n N
*
)
Giảng : Đây là bài tập khó . Việc biến đổi 10
n
+ 18n 1 thành tổng các số hạng cùng chia
hết cho 27 không thể dùng cấu tạo số hoặc tách ra thành các bộ phận từ bản thân nó . Sau
đây ta làm quen với một thủ thuật mới đó là thêm bớt cùng một số hạng .
Giải:
Ta có 10
n
+ 18n 1 = 10
n
1 9n + 27n = ( 10
n
1 ) 9n + 27n .
=
999...9
n
1 2 3
- 9n + 27 = 9.(
111...1
n
1 2 3
- n) + 27n

Vì Số
111...1
n
1 2 3
và tổng các chữ số của nó (bằng n) có cùng số d trong phép chia cho 3
nên hiệu của chúng chia hết cho 3, nghĩa là :
11.....1 n chia hết cho 3, do đó 9(11..... 1 n) chia hết cho 27 .
n số 1 n số 1
Vậy 9(
111...1
n
1 2 3
n) + 27n chia hết cho 27 . Hay 10
n
+ 18n 1 chia hết cho 27.
Loại 2 : Chứng minh sự chia hết của một tổng có điều kiện
Bài 1: Chứng minh rằng
a. Nếu + 37 thì 37
b. Chứng minh rằng nếu thì + 134 67
Giải:
a. Ta có : = 1000. + = 999. + ( + ) , mà 999 =
37.27 nên = 37.27. + ( + ) .Vậy nếu + 37 thì
37
b. Ta có + 134 = 100. + +134 = 100.2. + 134 = 201. + 134 67
đúng
Hãy nhận xét cách giải trên
Bài tập tơng tự : Chứng minh rằng
1) Nếu + 11 , thì 11
2) Nếu 7 , thì 7
3) Nếu thì chia hết cho 23 và 29

4) Nếu a b 6 thì a + 5b ; a + 17b ; a 13b đều chia hết cho 6
3
Tài liệu bồi giỏi
Biên soạn :Tạ Phạm Hải Hưng Hà
5) Cho 10
k
– 1
⋮
19 với k > 1 CMR: 10
2k
– 1
⋮
19
6) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn
số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4.
7) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ
liên tiếp thì không chia hết cho 10.
Bµi 2 : Cho c¸c biĨu thøc A = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
vµ B = a + b + c + d , víi a,b,c,d ∈ N .
Chøng minh r»ng nÕu A ⋮ 2 th× B còng chia hÕt cho 2 .
Gi¶i :
XÐt A + B = a
2

+ a + b
2
+ b + c
2
+ c + d
2
+ d = a(a + 1) + b(b + 1) + c(c + 1) + d( d + 1)
Ta thÊy a(a + 1) ; b(b + 1) ; c(c + 1) ; d(d + 1) ®Ịu lµ tÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn
®Ịu lµ sè ch½n , do ®ã A + B ⋮ 2 . VËy nÕu A ⋮ 2 th× B còng chia hÕt cho 2 .
Bµi 3: Cho biÕt abc chia hÕt cho 7, chøng minh r»ng : 2a + 3b + c chia hÕt cho 7.
Gi¶ng :
Sư dơng kiÕn thøc vỊ cÊu t¹o sè ®Ĩ ph©n tÝch thµnh tỉng cđa hai sè h¹ng: mét
sè h¹ng lµ béi cđa 7, sè h¹ng kia lµ 2a + 3b + c
Gi¶i:
Ta cã = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c)
= 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
Mµ 7(14a + b) chia hÕt cho 7 . Do ®ã (2a + 3b +c) chia hÕt cho 7
Bµi 4: Cho biÕt a + 4b chia hÕt cho 13 (a,b ∊ N).
Chøng minh r»ng 10a + b ⋮13.
Gi¶ng :
§Ị bµi cho biÕt a + 4b ⋮ 13 vµ ph¶i chøng minh 10a + b⋮13. Do ®ã cÇn nghÜ ®Õn viƯc
sư dơng gi¶ thiÕt nµy b»ng c¸ch lµm xt hiƯn tỉng hc hiƯu cđa hai sè, mét sè chøa a +
4b, mét sè chøa 10a + b råi xÐt tỉng hc hiƯu cđa chóng.
§Ĩ cho gän ®Ỉt a + 4b = X, 10a + b = Y. Ta thÊy khi xÐt tỉng hc hiƯu cđa X vµ Y th×
kh«ng thÊy xt hiƯn béi cđa 13. V× vËy cã thĨ nh©n X hc Y lªn mét sè lÇn ®Ĩ sao cho khi
céng hay trõ hai biĨu thøc th× xt hiƯn béi cđa 13.
V× hƯ sè cđa a ë X lµ 1, ë Y lµ 10 nªn cã thĨ nh©n X víi 10 råi xÐt hiƯu 10X Y nh»m–
khư a hc nh©n X víi 3 råi xÐt tỉng 3X + Y, nh»m t¹o ra hƯ sè cđa a b»ng 13...
Lêi gi¶i :
§Ỉt a + 4b = X vµ 10a + b = Y , th× theo ®Ị bµi ta cã X ⋮ 13 .

Khi ®ã xÐt : 10X – Y = 10( a + 4b ) – ( 10a + b) = 10a + 40b – 10a – b = 39b
⋮ 13
Do X ⋮ 13 nªn Y ⋮ 13 . hay 10a + b ⋮ 13 ( ®pcm )
Tuy nhiªn ta cã c¸c c¸ch kh¸c nh sau :
C¸ch 2 :
Tõ ®Ị bµi ta cã X⋮13 nªn 3X⋮13
XÐt 3X + Y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b ⋮ 13
Nh vËy 3X + Y ⋮13 mµ X⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b ⋮13 ( ®pcm)
4
Tµi liƯu båi giái
Biờn son :T Phm Hi Hng H
Cách 3 :
Xét X + 9Y = a + 4b + 9(10a + b) = 91a + 13b ( vì 91 13 )
Ta đợc : X + 9Y13 mà X13 9Y13. mà (9 ; 13) = 1 nên Y13 hay 10a + b 13
Cách 4:
Xét 4Y X = 4(10a + b) (a + 4b) = 39a 13
Nh vậy 4Y X 13 mà X13 4Y13
Do (4 ; 13) = 1 nên Y13 hay 10a + b13
Bài tập : Cho biết 3a + 2b chia hết cho 17 (a,b N),
chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17.
Bài 5: Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số. Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số tận
cùng lên đầu tiên ta vẫn đợc số chia hết cho 7.
Giải:
Gọi số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg
Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta đợc số: Y = gabcde
Đặt abcde = n thì X = 10n + g, Y = 100000g + n
Ta có: 10Y X = 10(100000g +n) (10n + g)
= 1000000g + 10n 10n g = 999999g 7
Mà 10 Y X chia hết cho 7, X chia hết cho 7 nên 10Y 7
Mà 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y 7 hay abcdeg 7 ( đpcm )

Bài 6 : Cho a và b là các chữ số , chứng minh rằng nếu 6a + 11b 31 thì 31
Lời giải 1:
Ta có 31 6. 31 hay 6.( 100b + a ) = 600b + 6a = 589b + 11b + 6a .
Vậy 6. = 589b + 11b + 6a = 19.31.b + ( 6a + 11b) .
Ta có 19.31b 31 và 6a + 11b 31 nên 6. 31 do ( 6 ; 31) = 1 nên 31 . đpcm
Lời giải 2 :
Vì 6a + 11b 31 nên 5(6a + 11b) 31. Xét tổng 5( 6a + 11b) + = 30a + 55b +
100b + a = 31a + 155b = 31a + 31.5b 31 . vậy 31 ( đpcm )
Loại 3 : Tìm số nguyên hoặc tìm chữ số để chia hết
Bài 1: Tìm chữ số a, biết rằng 20a20a20a 7
Giải :
Giảng : Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích thành tổng của hai số
hạng : trong đó có một số hạng là bội của 7 ; số hạng còn lại ở dạng đơn giản nhất có thể đ-
ợc dùng để suy luận tìm ra a .
Ta có 20a20a20a = 20a20a.1000 + 20a
= (20a.1000 + 20a).1000 + 20a
5
Tài liệu bồi giỏi