Bài tập hình học xạ ảnh (NXB giáo dục 2000) nguyễn hữu quang, 78 trang

ĐẠI HỌC VINH
Trung tâm TT - TV

516
NQ 17b/ 00

Ỉ N HỮU QUANG - TRƯƠNG ĐỨC H Ì N H

MV.064907

BÀI TẬP HÌNH HỌC XA ẢNH
DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG
ĐAI HOC VÀ CAO ĐANG s ư PHẠM

MV.064907
;

XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 2000



L Ờ I NÓI ĐẦU
iỉinh

học

xạ ảnh

là m ù n h ọ c q u a n trọng Irong c h ư ơ n g trình h ọ c ở các

trường Đ H S P n g à n h T o á n và C Đ S P nạàiili T o á n - L ý . Đ ể lạo d i ê u k i ệ n Ihuân

lợi cho sinh viên trong việc h ọ c tạp m ồ n học này, cluing l o i biCn soạn

CHOI!

s á c h Dài tập hĩnh học .xạ ánh.
C u ố n s á c h g ô m hai p h á n : P h á n ( h ú I i l i . i t d à n h cho v i ệ c l ú m

c;ic kiêu

i h ũ c t r o n g c á c m ụ c v à c ạ c - d ề t o á n ờ l ừ n g mục: P h à n I l i ứ lini là viỌc t r ì n h bày
c á c l ờ i giãi h o ặ c h ư ớ n g d á n g i ã i c á c d ẩ l o à n ấy.
C á c l e m l ắ t lý thuyết và c á c d ể t r á n dược t r ì n h b à y t r o n g c u ố n s á c h

nay

chù V C U dựa v à o nội dung c á c bài giàiiE mà c h ú n g loi dã E Ì à i i e 'Jay cho sinh
viên n g à n h T o á n t r ư ờ n g ĐI 1SP V i n h .
C á c d ể t o á n cStic n h ư lùi g i ã i d t r ơ c đ á n h
Khi đùne

CUỐÍT

M">

l i ê n g llieo

UII1E

mục.

s á c h n à y s i n h v i ê n n é n ụ: mini) Tun lòi l ờ i Ẹ ĩ á i . l ó i sau lió

J ỉ i c l i i i u v ớ i c á c Ì tít giãi l ư ơ n g t i n ẹ ứ p i i ổ n InrúỉiE d ã n .
• l ú n g lôi hy v ọ n g r ằ m ; c u ố n s á c h n á y sẽ c ó n h ũ n g b õ í c h (lối vói sinh
viên n g à n h T o á n ó c á c l i u ờ n g D I !SP và c á c sinh v i ê n T o á n - i . v ti c;ic l i i i i m c
CDSP.
M ặ c dù d ã c ó n h i ê u c ó g ấ n e l i o n e k h i biên s o ạ n , n h u n g c u ố n s á c h k h ô n g
Ìránli khỏi những ihiếu s ó t . C h ú n e l ỏ i luông nhọn tlưuc sự

p ó p ý của

d ò i i e np.liiỄ
i và hạn d ọ c d ể c u ố n sácii citrực hoàn thiện Uoiiẹ liiu iu sau.
X i n châu thành cám ƯU.

C á c t á c sin

rác


I. T Ó M T Á T L Ý T H U Y Ế T VÀ Đít B À I T Ậ P

PHẤN

ị. ĩ. KHÔNG ( Ĩ 1 A N XẠ ẢNH
I n ký h i ệ u

V

: 1 1

| là UỊ|) l i ợ p IÁI c à c á c k h ô n g gian v e c l ơ I - c h i ê u c ù a m o t

im gian vccitj ikưc ( l i + 1 ) chiều

V

1

Víộ( tạp I r i ệ (lược g ọ i l à khặiiiỊ
s o n g n u l l p: p —> V

n

t

l l +

|.
nếu In l i m dược

(ỊÌan sạ ánh li - chilli

.

í

'

Va k ý h i ệ u k h ô n g g i i i n x ụ á n h l i - c h i ể u là ị',, và g ọ i v „

i p i i i l n l ầ c ù n P d i r ợ c g ọ i \h mật
n

+

1

là n e n c ù a p^.

điểm.

V í d ụ : p l à . l ạ p h ụ p l ủ i c á c á c (.lường t h ầ n e '.li t|iia m ộ i đ i ể m 0 t r o n g k h ỏ i ! ị
li E

( h ò n g t h ư ờ n g . K h i t l ó p In p , .

Chúng
£

m i n h : G i á sứ d ư ờ n g l i n i n g a s

p, ã ià v e c i ơ c h ỉ p h ư ơ n g c ủ a .;i

J

E ) . T a k ý l i i ệ n < ã > [à k h ô n g c h i u v e c i ơ Ì - c h i ê u s i n h h ỏ i ã .

p ->• Ẽ

P :

XÓI

a H

5

Ì

'

Rõ r á m : ị ) à m ò i s o n g á n h .
Vậy p « p . .

Bài t ạ p
x . . ) | X ; 6 R Ị la k ý h i ê n X - y t i ế u v à c h i n é n l ổ n l ụ i

1.1. C h o R " = { . \ ( x ,

= 0 , s a o c h o .X = ky ( ớ d à y X, y e R " ) .
K ý hiệu | x | = í y | y ~ x }

và p = { | x | | x e R " . X F ( ) | . .
V*

! lây x â y (lựng I ' Ịhiinii k l i õ i m gian xụ linh t u -í I - •.inéti.

í . 2 . (.'ho i

1

2

= li

ì./' í;

2

(Ví áíìv ĩị

là ỉ 11 Tỉ í phân!! Iliủng Iliườim và Ẽ " ! à

:

:')iiạ g i i i n v e c m g ồ m c; .c v c c l ơ n o n e iiiíU p h a n g ; . ( J h i i i i y m i n h p = I N .
1.3. C l i n s lít m ộ t s i ê u C À U H r t t i g k h ổ n g g i u n O c í i i l i - c h i ề u E".
Cìoi p = j ( A

' / ị A , À " IÌI c á c đ i ể m x u y ê n (Am đ ố i c ủ a S ) .

O i l i n g ĩ í i i n l i p = p„ . ị .
Ì .4. G i á sứ V í a d ư ờ n g Hòn Irone E \ H ã y l à m c h o Vua
1.5. G i á sầ I l à m ộ i đ i ế m cố (.lịnh t r o n g E

2

l l i à n l i P|.

và p !à t ạ p h ợ p tilt c á c á c p h é p

»

ì

•»

(lời loại I trong R* nhạn I làm cliỏni kép. O i ứ n e min!) mím I ' = f'|.
ỉ / ỉ . G i o p ì Ti .lộp hợp c á c dưừim lining cỉniịỊ (li <|ii;i mội diem cò (.lịnh

0

I m i i c li"i G I Ứ I I C niiiili V = l ' „ . | .

1.7. (Ịiio p là lạp họp mi en c:ic siêu phàng cùne.cli ({tia m ọ i cliôni cỏ (lịnli
0 trong c " . Chứng minh p = p „ . | .
Gio ý ìm
i một d ư ờ n g (ròn trong i r . Ký liiỏti |C! = l i yj D. T m i m dó R
là l ộ p l i ợ p

gồm các

cụp

(Hòm xuyỏii lílm

(lối c ú n

'ì? v à ì) IÌI c á c điểm I I O I I E c ủ a

c . calling iỉiiiilì lằiiỊỊ Ị C Ị = I V

§2. MÚC'HÍCH

Cùi ỉ i i

VÀ'TOA

DÙ XẠ A N H

A ĩ p„ vỹ ro li lĩ ánh p (lặt lưổng line A vói khỏnc gian veclổ

!- chiêu V ị . K l i i dó la c h ọ n ã 6 V Ị , s í 0 him v c c l ổ i l ỵ i (liệu cho điểm A VÌ!
la viết A <-»• ã .
M ộ i l i ỏ k đ i ể m li ong ('„ khổiiẸ (lộc lạp (lirực coi ĩĩi hệ (tiêm (lộc kịp nếu và
đù

:

Ilòn h ệ v c c t ơ tlỵi
S í t } d ộ c lạp Inyiiii l í n h .

M ộ i hè đ i ế m trong p„ kliủnc '.lục lạp cluợc nại là hè -.nếm ịìiiụ
Hộ (li +2) iliòtu

(Ai

IU trmiụ l'„ 'lược gụi l;i /mi/ /;«/(' //rỉ/

Ì,,,;

!'., nêu và chi lieu lie ( A i

thuộc.

.V,

M

ỉ (lộc lap và ẽ =

troiiE

> ã; (if cỉilv C tiỵi (iiện
Tri

t h o í: và ã í dại ti lộn cho A ) .
Các đ i ể m / \ ; d ư ợ c sụt

là (//'«/( c ú n m ụ c l i ê n và d i ê m lí đ ư ợ c g ẹ i lít f/;c)»

/li// 17. Hộ ị ã;Ị cltrực g ẹ i lii (7/.trì úng v ó i m ụ c lieu ị i \ ; I'.J.

iMẽnli (le. Hệ (n +2) (Hem Ị / l |
Ả/// và á i / A7í/ /;
.'í.,+2í

//»«/!«

.'.'He . ' l ã / Í / Y i m ;

p„

(lì + i ) ttVcw «<w r /Ít/ //ẹ íiv (;7/),(>
G i ả sú { A j ; (ĩ) í;i m ọ i mục liêu ú n g vói CCT W { ã | Ị và X là mội điếm l ũ y ý
vói ( l ạ i d i ê n In X . K h i d ó . ta c ó sự h i ể u d i ễ n X = X I ã I + . . . + x„ n ă „ | . nẹ
t

(Xi

số

X.,..ị) dược g ọ i là mạ (lộ c ủ a X và viết X ( X | . . . . . x„ |).
f

Cho các mục liên { A i : l ĩ ) , Ị Ui ; l ) tưổng ú n g vc'ti các cu sứ í i i ị Ị . Ị bị},
;

khi dó HUI hội) c h u vén A : {ã;}
ĨĨỊ

- > { b i } , d ư ợ c gọi Lì »71« Í Í W / chuyền

{ B ị ; F } . Ta c ỏ c ù n g thúc d ổ i mục Itôn n h ư sau:
A.|x| = A * h ' l . A . * u

lit { A , ;


("í day

IXI

=

: |x'|

và A * là Min '.rủn chuyến v ị cũn A

=

Hài t ậ p .
2 . 1 . G i á n g minh l ằ n g m ụ c liêu [ A i ! IÌỊ c ù n g ứng với hai cơ sớ { ã ; } và
ịi>,}

thì

ã; = X b ị .

ke

R , x * l ) .

•

2.2. Cìiúittỉ m i l til rằng m ọ i iìệ

iluKK.
2..?.

(:i

i-2)

-

-

uiCiii

irniig ?„ liều in ! i ệ l i ế i n

phụ

-

C l u i i i t i 111 ĩ 11 i Ì I Ì H I I Ì :

ai Hê chỉ tĩ ổm m ộ i ( l i ế m Ironc p„ là hộ (lộc l ạ p .
li) H ộ con cùa m ộ i h ệ đ i ể m (lộc híp trong p„ c ũ n g là h
dộc lăn.
2.4. ơ i ứ i i Ị Ị minh rằng (lịnh nsli ĩ a hè d i ê m dộc lộp trotm p„ k h ô n g phụ
lliuộc VÍU) viỏc chọn c á c v e c i ơ dại (liên.
2.5. "ĨVtiim Pi V(ji m ụ c l i ề u dã c h ọ n , cho ba đ i ể m A ( a | , : ụ , a-ị), I3(b,, b i , b i ) ,
G'C|,

Zt, C-Ị). G H Í I I C ri Ì Ì li Ì Ì Ị A , B. c.'ị

ịa,

Ị h.
Ị

2.6. Trong
j = I , Í I

c,

a,
hi
C,

híp

khi

và chỉ

khi

I
y i )
Cj Ị

a

3

P vói c á c mục
Jt

(iộc

liêu dã chọn, cho k"điểm Aj(iijj), (i = I

r i ? ị: < li + 1 ) . Cliứng MI ti l i I num í À; ì ' l ộ c l ậ p õ

k:

niiik(;i„) = k.

2.7. T i n n y P Ị vái mục tiêu dã c h ọ n , cho 4 đ i ể m :

AO, 1,0); BO,0.7); ao,"TvnyDDr^TTr""

-

ni ( l ì i r n g minh l ằ n g { A , 15, V.) dộc lộp.
I)) Clnhiií minh r ằ n g ( A , B, c\ D I là mục liêu.
2.S. XÓI lính cliilì (lộc lộp hay phụ thuộc cùi! c á c hộ (liểni trong P :
2

a) { A ( l . 2 . I ) . 0 ( 1 , I , 0 ) , C ( 3 . 4 , D I ,
h) {/MO. 1,2). R(2, ! , ( ) ) } .
OI

Ị Ar

I. ó ,

0), l ì ( l , 1, 0), C(

I,

Ì,

I)}.

4


2.9. Trong Pj d ù i m ụ c liêu { A | , A Ị , A , ; lĩ} và chu 'I ĩliểm A ( 2 . I. 0),
IJ( 1,0, 2 ) . C ( Õ , 2. I ) . 13(5.4.3).
1

a) Chứng minh ( A , 13. C: D Ị là mực IÍCH.
b) ' I n n ma í rạn chuyên lừ Ị Ají E} sang { A , B, C; D ị .
2.10. Trong P| vói Énục liOu liii chọn, cho hai họ điểm:

•í!):

A(l.2)

í

A ' ( 0 . I)

>

Hít). I )

(2): >

I3'(2. i)

I

C(l,4)

í

C(4.5)

•

a) Chúng tui li ti rằue ( I ) V Ì I (2) (lén l à mục I ÍCH.
b) Viết còng Ihúc d õ i m ụ c / Í C H lù ( I ) sai.ỊỊ (2).
c) Cho X(3, 8). T i m lựii d ỏ cùn X (ÍCH vin mục liêu Ị A . I Ị . (."Ị.

§3. C Á C

ni - r u À N t ; X Ạ

ẢNH

Già si" p„ là kliOiié gian xa ãnỉi l i - chiều với nén V
mội

t ạ p con

Iroue 1',,'VÌI V

n l

J

n

v à song null p. p là

. , là k h ô n g , ai ỈU Ì CHU I I O I I Ẹ V ,

k l

. Nếu

p lim

hẹp

(rén p cũne là mội song ánh p—* V ,„ ,1 thì In coi p là ni - phang cùn p,.
• l'| dảục gụi là (lường lining tron l i ! ' . , .
• I'Ị

cluực gọi In /dí// I>ÌI(III
• p „ . | (lảợc cụi là siêu phỏng Ironc ì',,.

• Các diêm M ị ,

M

k

cũ ne (liuùc mội dùi me lliáne cluực gói In í •(((• (/ÍCH/

///(Ĩ/I.Q /;<;/!(;, các ilicni l i ê n c ú m : mỏi mại Ịilinnp dảợc »ọi lít cóc I lì a li ÕỒIIÍỊ
plìcìnạ.

-

• Bílv 2 Ì ừ . cho hai pliiina I',,, và ị\,
hat pliiiiig P

nl

mỏi piiẩne Q cú chiều lie Itli.1l chua cà

và ỉ\ tlirực gọi là phổng itỉiiỊỊ

và ký hiên là ụ = p,„ + l ' . iVlột
k

plume R có chiêu l á u Iih.1l n ằ m Irong p,;, và P clirực gọi lải pỉiiỉntỊ
k

ilirảc k ý biêu l i = p„, n

ạiat) và

l' .
k

Hai phang P và Pit" có đ i ể m cluing (lảợc gọi là hai phỏng cát nhau.
m

Hai phang P

m

và P-< kliòne có điểm chu ne (lảợc coi là hai phần?

nhan.
T r o n e p,j với mục tiêu tin c h ọ n . phang p,„ có phảơng trình dạng:

chéo


í

- : ? | | X | + ... + ; t | „ (.|X„

A

X

B-m I I

+

••-

+

n

»-

-

e l

0

• I*!!*!

=

"

Trong lia i ; u i k | ; i j j | = l i -m.
R õ rãi!" P
Ú I , , a „

n

c ó

(rình ..lang : i | X | -r ... + a„ _ | X „ | = 0. Ta g ọ i bộ số

phiKTiig

+

, , ) là lọn ( l ộ C:'IÍI p „ .| d ố i vói mục liên dã cho.

• Q u i ý num n o n g . ' Ị vói mục liêu (lã chọn, l ọ n ( l ộ cúi! (lường liiiing 1|IUI
( a.

a

- l i

hai đ i ể u : A í : i , M Ị , 1 1 , 1 . lỉíli;, h , b,) là
(

:

li
b

u

3 1

"1

3

ị
L ỉ*
ì 1

3|

a,

.1,

b,

b, f

ị

a,

a, Ị

b,

bj

b.

. Và

"1

nếu cho I Ì U Ò I I Ị ; thằng SI" /ã d ư ờ n g thẳng b vcVi a ( c i | , ai, a j ) , b i b , , h i ,
(liếm c ù a ; i và i) o i loa (lò là:

ì

i l l ! iiiao

b,ỊJ-

nài tội).
Clìúim m ĩ ) i l l lằng liai (iiròiig (hắng phím b i ộ l trong P luôn cái I i l i i i u .

ỈA.

:

}•.!.

i'i'01111

P, vói mục liêu dã chọn. cho bu clirờiií; lliẲim nia,, : i Ị , a,i,

l)fl>Ị, h-v. 1>0,C(C|, C i , c,). C h ú n g
chi le ỉ Ì ĩ

d i lum khi

và

- '

I

a

,
I

3.3. Trong
(„) = A C

có đ i ể m

m m i i lằng a, b, c

\ \

cha

X íil), li = AD

l
c

mục
X ne.

ĩ

a

b,ị

h

2

j Ì" •

c

liêu

.l

= <).

I
Ỉ A , n, C; D Ị . Ký hiệu p = A i } X CD,

Ì ' , Ọ , l i c ó Iluing liỉiiig khòiiịỊ? "lại s ; H ) ?

3.4. ( D i n h lý Pnppuýl). Già sạ a, I) lí) hai d ư ờ n g thẳng phan biệt trong p j .
C í c đ i ế m A , l ỉ , c lluiộc n và c.ic (liêm A ' , B ' , c
đ i ể m c ù a A B ' và AM), A C và A ' C , n e

thuộc l). K h i l i ỏ các siao

và B"C lining h à n g .

3.5. (Định lý Dờclác). Trong Pi cho liai laní giác A D C , A ' l V C (lum g i á c
'là một tạp hạp g ồ m 3 diểin dộc lạp). N ế u c á c d ư ờ n g ihắng A A " , n B '
ilồne (|1!Ỵ, i111 c á c a i i K i đ i ế m cùa An và A ' D \
hàng.

cc

ne và B ' C ; CA và C A ' Ilíẵna

'

6


.Ui. Trong P ,.cho ỊIHIC liêu { A , l ỉ , C; D Ị . Trên M ĩ ,
:

ne.ri).

DA làn l i r ợ l

láy. c á c diêm M . N . p, Q. G i á n g minh rằng uốn các tlưòue llmitc ĩVliN, A C ,
PQ d ò n g qui Hù c á c dường thẳng M Ọ , [3D. N I ' cũng đổng qui.

. ,-

3.7. Trong PỊ với mục tiêu dã chọn { A | , A T , / V I , À*; n), d i u mãi phảng Ì'
có p i m ư n e trình ax Ị + r.,| = í). ' I n n a đ ổ ì' ciíl lĩ lụt phang ( A | A A i ) llicd m ộ '
2

(.luông ll'.ang.

*

. . . 8 . Già sù k h ô n g giun liền cún p híiiic I ' và phảng ọ Imne 1», l ư a IU im" là
:

Vi.,

v' .
fJ

Clhữiic minh rằne nền cũn p + Q là V,r4-V,j và nềncim-m^vQ-là Virr"^ v,y.' 2.9. Trong p„ cho hai cãi phang l ' VÌ! Q,. G i à sù tlim(P + Q,) = |), clim(P,
r

n

r

Qj - M- d ' . u i i g minh rung:

,

a) r + s = p + l ị , nêu p, vò Q cái nhau.
s

b) r + s = p - 1 . nếu p , và ọ , c h é o nhan.
J. 1 0 . Già sit H và Ụ lù hai siêu pitiiim lione p„ (li > 2). O u i n i í minh lằue
t l i m t P n Q) = li - 2. Ị

.5.11. Trong Vi vói mục licit (lã c h ọ n . cho 4 diêm A ( ì . 2. 0), D ậ . í). I ) .
GO. !. 4 ) , Dí 1 . 2. 31. l ì m M = A U
3.12.

Gio

X

CD.

[ A | . A i . A i . A. ; '.lị Lì mục liêu Ironc p, v:ì cho Im (.liếm
t

A ( l . 1 . 0 . 0 ) . BU). I . I . O ) . C ( U ) . I . 1).
ni Ilãv vièl piiuo tic Ì rĩ ni ì cùa ( A U Q .
h) T i m ịỉiao điểm cùa ( A B Q và A | A i .
.1.13. T m n e p, với min; liêu (in choi), cho (ỉiõin A ( l . I , 0, 0) V.1 ỊIIÙIMỊ'.
;

: ! i : ' : n i : .'Ì

c ú piiiuiim Hình

í
ị

X,

H-X,

X ,

+

X,

=0

- .

.

=0

Hãy láp p h ư ậ n g Hình mật ịiliằnc p qua A và p chưn n.
3.14.

Tro li Ị; P|

V('ii mục

(idii tin chọn, cho c:íc iliổin A ( l , 0. -2. 0).

DU). 1 . 3 . 0 ) . C ( 2 . 1 , r. I ) , Dụi.ú.

Í.-I).

Xét vị (rí liíậnc d ồ i cùn hni dtrừim ihẳne A U và CD.
3 . 1 5 . Cho Ị A ị , . . . , A |

A „ * i ; EỊ là một mục liêu trong p„.

lì) L i p piiuoiig Irìnii cùa phang !' (li qiiii A ,

Ạ , ÍZ.
m


li) I.iỊp pluruim H i n t cùa p lắng ọ (li qua A,„ , ì, A „ , , ,

A „ , ị.

c) T ì m (lim(P + Q).
3. Ì (í. T i (inn p,, cliti lam giác À ne và m ộ i dường thắng a k h à n g di qua
(linh nào cùa lam giác (ló. d ứ n g m i n h n i n g luồn l ì m clirọc một đ i ể m E, sao
cho (lối với mục lieu { A , n, C; É) ilirờnq lliầng a có plurmig trình
X, + x

:

ị- X , = í ) .

"'.

.í.17. T I O H Ị I P , cho Im11 uiác A B C và s là mội đ i ể m k l i õ i m nằm tròn A U ,
2

ne. CA. K ý hiện A". n\ c lẳn lirọl là giao điểm cùa AS, BS, c s vói ne, C A ,
AU.

Chứng minh rằng ÌKI !ỉiao (.nần cùa IỈC và C ' C , C A và C A ' , An và

A'S!'ihiiiitỉ Ilium.

-

- -

3.18. Trong !»>, cho lini tam giác AI3C và AMVC sao cho A A \ mì', c c
ilồitu (Ịtii và A U ' , I3C\ C A ' cũng đẳng Í Ị U Ì . Q i ứ n g m i n h rang cúc ciirờng
Ihẳng A C , I3A', C ũ ' đẳng q u i .
3.19. Trong P Ị , cho 6 đ i ể m A | , A i , A i , A , A , A . thoa mãn hai diều kiên
4

5

F I

Sim:

-

A ị A i , AjA.ị, AjAft ciông q u i .

-

A n \ j , A|A<, A,,A| dòng q u i .

*

Cliiinc minh inne các tlirờnn liiáiiii À | A j , A-.A , A , A (lẳng c 111 í.
S

A

ĩ.21). Troll" p, V(ii mục lieu tin c h ọ n , j i i o hai dưỡng iliAng a, li có piurnnc
trinh:
i t , X | + a x , + a , x , -P i i x
:

l ) . X | +• I ) Ị X Ị + I ) Ị X

Ị

4

= (}

4

Ì- l>|Xj = 0

C,.X| Í-_C,X, + C , X ) i-L'.|X.|

=

')

(In: •:
ị

•
í i . X ) + ( I Ị X Ị + cl,x, +• i l x
4

4

T

= 0

Tun điểu kiện y\i a, I) chéo nhau.
3.21. Trong

veil mục tiêu cliĩ chọn, I.lio (lường tháng ii có plurcmc trình:


Vù chi) dường tháng I) có I'lufoni: hình ị

;

"

'

IX.,

=0

a) Oiứii<: minh riu Ì ù a, ì) chéo nhau.

b) G i o điểm A ( i , 0, Ì , 0 ) . Viết phưoim trình (.tuông Iliiing c (|Uii A và
c;il cà a và b.

•

§4. T Ỷ S Ố . K K P

Già sir A . 13, c. 0 là 4 (.liêm piìíìn l>iặl Ihẳiic hànc Irotic l'„. -Khi l i a , la
.
...
có sự biêu d i ê n :

|C:| = X.,|A| + H||HI
I D | = - - A . , | A | + ,1,|Ỉ3|

Số k = — : -— dược g ọ i là lí sở k é p cùa A . B. c . D ke llico liu? lự Áy. Ta
À| / 1 ,
v i c t I A B C D ) = k.

Ta qui ước Iliiìní

răỊig: (AACiJ)

= - I : !/\nnD) = -n; (AIỈCA) = T V

(ABCG'= 1: !ABAD) = (j.
Nêu l i sỏ kép ( A D C D ) = - I. !;i Ile 1Ì A . !ỉ. c . Đ là Iiiing diêm (liêu hôn.
IVOIIB P-, m ù i liìnl) c ố m 4 dưỡng iliiinii mà kliôiia có Un (liiồiiẹ NÍU) ilứiiG
CỊUÌ

íiọi là hình 4 ((/;;/; toàn phần.

M ồ i (.liíúne lliẳnc cluực gọi là m ộ i canh

(4 canh). Giao (litim cùn hai cạnh (lược nại là dinh \(i ilínii). Iliii đinh không
llmOc m ò i canh (lược gói Hi cặp (linh (lài (Hèn (3 cặp). Dnờim (háng (li <|ii;i
mọi

cộp tlinli (lôi (liệu (lược

ỊỊOI

là lim)/!?, chéo iĩ (Itíònt: chéo). CiiiU) (liêm cún

liai ỊIKÌ»I!1Ỉ chéo iluợc liọi lù ái ấn chét/ iỉ diêm d i ê m .
Ta coi mót chùm siêu piiiiiiỊỊ Irone Ì'.,, (ló là mõi IÍỊ|) hạn gồm Ifll cá các
siêu phang

CÌIHỊỊ

di

qua m ộ i cái (li -2)

- piiMUỊi.

Giá sú l \ ọ . R,

s

IM

4 siêu

pliiiMCTÙn m ò i c l i i m i . In cfinc ctí sự hicn (Hôn:
| R | = ^ Ì I ' I + ||.IQI
iS! = X;ii'i + t . i ( ; i .
(

Số k = ^ :
Ả, ,L
viùì: (PQRSì = k.

dược g ọ i là lý Hố kép cùa Ì'. Ọ : K. S kè theo l i m lự ày. t a


M ệ n h (lề: Niúi lồi l iiínn p, 0.

R, s hòi một

(liiòiHỊ

IIHUIỊỊ

c ới cúc

"tao

(liềm iướntỊ Ú/Iii Á. lì, c. ũ thì la vó:
(PQRS) = (ARC!))

•

Hài ( ộ p .
4.1. T r o n g P
(•(2,

2

vói mục liêu dã chọn, cho 4 d i ê m A ( l , 2, Oi, 13(0, I , 2),

5.2),

H ã y l ì m (AMCDì, ( B A O ! ) ) , ACHI)).
4 . 2 . T I O I I J J í', vùi .mục ;ic;i lia chọn. cho 4 đ i ế m A i ! , 0 . 0,!»), i ì n ,

1.0. 0).

Cí.5, 2 , 0 , lì), D(5. 3. c u n .
; i ! O i t i l t ? mÌ!5Ìi l ằ n c A , D. c, !J Hianij h à n g .
1)) T i m l A B C D ) .
4 . 3 . T r o n g P j với mục liêu ciã chọn, cho 3 đ i ế m A U , u, I ) , i m ,

C(2, !,

I , 0),

1).

.-.) Tim đ i ể m M d ể í ABC.Vn = 2.

li) ' H i n d i ê m ũ dể A , B, c. D là hàng đ i ể m d i ê u iiòa.
4.4. i ' l u i n n ininii rai IU ( A l i C D ) k h ô n g phụ i i i t i ộ c vào việc ciion loa liò cua
A,

lị, c.

:x

4.5. ''.Vong p . cho iùnii 4 cạnh loàn p h i u A I Ỉ C D ( h ì n h I )

Hình I
l i ) I l ũ y ciii n i f l i c Mường c h é o , điểm c h é o .
b) C h ứ n g m i n l i các h ã n g đ i ể m { A , c; p, Ọ } ' , {13, D, p, R Ị , { E , F, Q, RỊ là
c á c h à n g cliổin iliổu hòa.
4.6. T r o i ụ; I ' l dw

3 diem A , rỉ, c l l i ằ n g h à n g . Chi d ù n g ilitrớc hiĩy dựng

đ i ề m (liêu lùm tin? 4.
4.7. T r o n g ÌN cho ì U I ĩ dư
n g thẳng l i , I) phan b i ệ t và điểm M kliổne thuộc

!()


a

. ì*. Tun ^ ĩ tíciìVih ang.diém N, SAO ch o ( M N U V ) = - I . nong dó l i . V lì.

ý a o diêm cửa MK^-tìi li, b.

* J L Trong Vi c i ' » n a i < I u ( « i p thẳng a. h ( t a n M ạ vi, điểm M kl«M.ji t l ư ộ c
a. K Hai

òuCii diảrtí

.W..B1- biến lhiồ:i qua M cải a lại A. A' và cái b lại 13.

B' lương ung. T i m VJJI ifciv jrao điểm N cùa A B ' và A'B.
4 9. (Định lý MCnôÚuýl). Tronn P,, cho lam giác Ạ Ị A Ị A , VĨ! mủi dường
lluiivj d k l i ỏ n c (.li q u a c á c clìiiìv c ù a l a m GIÁC dó.

Ký hiụn K Ị = d X A | A ,
:

Giã sư

L|. LỊ. L

lãi

(

K = li X A A , , K , = ó X ,v,.\,.
:

'-116111

2

lẳn luọt tr'ili A A u A , A | , A | A j .

2

Chúng tiiinli rằng L , , ụ , L i lìiảim IiìiiiỊỊ khi và c:ii khi
(A..V.K,Li V.A-ÀjK J^J ( \ , . \ , K , L o -

I.

-Ì. l o . (Định lý X C v a ì .

,

Vùi c á c già thiết niur 4.9. Chúng li.inh rằng các duừng (hảng A ị L ị , A L ,
:

;

A Ị L Ị . A Ị L I d ò n c ụity khi V Ĩ ! chỉ khi

(A A,K|-L4).(A
2

t/\

-1.

( K Ị ! .->).( A | A - I K Ị L I ) —

4.11. Trong P-, c h ò lun dường lliiiiie ít. b c a i nhau lại A . Trôn ii la !ílỵ

c. D.

BO*, cc\

Trôn b

lining

DD" đổng quy khi vã chi khi (AUCD) = (AH'C"l.n.

la

lay 3 điểm tỉ',

c.

3 .iitim B.

!)'.

Giữiiẹ

I11II1ÌÌ

ríiiiụ

rúc cltrtme

§ 5 . Á N H XẠ X A Ả N H VÀ BIÊN D O I XA Ả N H

MỌI ánh xạ í: P„(V, .,) -> P , l V
1(

i w l

) (lược cụi là ánh xạ xạ tinh nêu lúm ta

'.im liuuc m ỏ i ti Ang c ầ u l u y ế n lính - V
Vĩ

p . t h i
a M

s a o c h o â i à (.lại d i ệ n c ù a

ƯA).

- Anh xạ tp nói trên d ư c c gọi tò ánh sạ nén cua í".
- Khi p s P". la nòi r (ù mội biên dổi xạ
Mụnh dể: Già
HOI ĩ

p „

/li.i=/»j,ỉ =

Nhận xét:

Khi

sứ

{Á ; É)

dó lổn

i. 2

/r+l

hì mục

=

hay phép xạ mũi.

nâu trong

lọi lim- nhũ)
và HE)

null,

r„

và [A ; lĩ) là mitt -.lén

mọt ( M i / , . V Ị ; / . r„

- » /'

, ĩ
.

• / c ó nén 111 hì À..O cĩiim a i nen cùa /'(V/. = 0).
• Già

sù

r.„

l à m ủ i | ì l i ; i u g I m n c p., t h ì / ? p , „ ) cìiii£> lít t u

-phang

!!


Irong

P.
H

5

.ĩ?..?**/

Ộ

» ,I !

p

"?

p

:-

, h

°* ™ "

y ( M )

=

M

v ớ i

l à phép thâu xạ và siêu phổng p.., dược gọi là nổ, cùa/.
Phương

™ è p , dưạc gọi
.

n

trình của phép xạ ảnh:

Trong p„ vói mục liêu {A,; E} dã cliọn, cho phép i ụ â n h /ỉ p, -> P . Giả SỪ
u

/: Ai

A : , E - > É* và điểm XiXj) Bait kỳ dirọc biến t liành X'(x-). Ta>-/1íÌệir

A in mi, min cliuvc'n-f A;; G} - > ( À ) ; E ' } . Khi dó phương trình « ! í í / c ó (Inntr
k|x*| = A * ( x | ; v ó i k s i O .

nài lập.
5.1. Cllững minh rạng iíi»l> xạ xụ ánh / : p„ -*• p„biè'n hệ điểm dộc iủp
llìàuh hê đ i ể m (lộc lập, biến hộ đ i ế m phụ thuộc thành hộ

điểm phụ

thuộc.

5.2. Ký hiệu j i , l;\ lạp họp tất cà các phép xa ánh p.,. Giứng minh j J

n

!h

mội n h ó m (đổi vãi các phép [oán tích các xạ ánh).
5.3. Trong l\ cho hai dường thẳng a, b phợn biệt và 0 là một điểm không
thuộc :i, b. M ỗ i (luông ihẳnR in (lua 0 cắt a ờ A vò CÁI b ờ R.

Xét ánh x ạ / : a ->• I), / ( A ) = B.

Cliứniĩ minh rằng ý là ánh xạ xạ ảnh. (Ánh xạ nlur the dược gọi là phỨỊi
chiến xuyên tám lừa lỏn h; o clirợc gọi là lãm
SA.

Ị: n -

chiêu)..

T r o i r t j 1\ cho hai (.lường lliầiiỊị ii, l i cùi I)li;iu ờ ì và cho ánh \» xạ Anh

b.

í.liứng m i n l n m i g / l i i phép chiếu xuyên Kim kin và chì khiy(l) = I .
5.5. O m a n ininh phép xạ ảnh hào lổn lý sổ kép c ù a 4 didui Ihnng hang.
5.6. Già

SỪ

{/V,, A Ị , À.,; lĩ) Ì Ti mục lieu trong Py Viế t

plnKTUỆ

trinh phép

lliấu xạ có nền l;YA,A->.
5.7. V ớ i gìn lliiết như ù (Bài 5.6 v à / không phiu Ih phép dợng nhít. Chứng
minh rằng / c ó I điểm kép s và nêu in là ilưtoig tháng qua s liu Xin) = in.
.5.8. Cho { A , , A , ; lì} là mục liêu nong p,. Cho phép xạ á n h / , bui A |

h* A Ị ( Ì , Ì ) , A j 1-» A 2 (2, ỉ ) ; C H Í IĨ'I.4, Ì), l l i i y viết phương trìiilt c ù a / .
5.9. Trong l'j vói mực tiêu tin chọn, c!i(> các đ i ể m A | ( I , 0 , 0 ) , A i ( l , l , 0 ) ,
A,(0. Ì . Ì ) , Ă ( 3 . 3, l ) ; D , ( l . 2 . 0 ) .
4

mo, ì . 2), B,(2,

a) d ứ n g minh { Ạ , , A i , A-I,

0 , I ) . D (4. 5. 3 ) . '
4

là m ụ c liêu.

b) Viết phương trình phép xạ n u l l / . biết A i —> Bj, i = I , 2 . 3 , 4 .
. 5.10. Tì in điểm kép cùa phép xạ ảnh / có phươnc (rình như sau:
r

kx Ị = 2.17 +• Hy
k.Xj-=

. k\ \

Ix,-í-X,

= 2x, 4 - x

2

• 5.11. Với giiì Iliiíl nhu bài 5.10

n) Cho điểm M ( 0 , 1. 2). Hãy lìm M * = . A M ) ,
bì a i o i l ư ờ n e thang li = ( I . 1. ì ) . T ì m d* =J\ứ).
.5.12. Troi!!! pỊ vói mục tiOu Ỉ A , , A i , A i ; E Ị , cho hai ckùmc thane
ai.1.1.1). a"(5, 0, 2) và cho các điểm A ( 0 . ! , l ) , 13(2.-1,2), C ( U . U ) . A ' ( 0 , 4 , 3 ) ,
B'í-1,1.7), C ' ( 4 , ! , - 4 ) . Hãy láp phươiic Irìtih phép xạ i ì i i l i / b i ế u a, À , B. c
IIKTIIE ỏnc thành à", À * . B \ c .
5.13. T i m piurơnc trình phép xạ ánh / trong p „ , biết các dinh m ụ c liôu A i
cùa mục liêu { A ; E Ị dược biến thành chính nó.
;

3.14. Trong P cho phép xạ ánh/'. iiiếl Ị hiến m ụ c liêu ( I ) thành m ụ c liêu
M

'2). Cliúne minh rằim l iến (Hem có lọn d ỏ ( X j ) d ố i với ( I ) dù / ( X ) CŨIIC có lọn
liu ù j ) d ố i v ó i (2).
' 5.15.'Trong
a-(

1,0,1),

MA,)

P

2

vói mục liên

1.1,0), .(,,(1,1,1). Lạp

{ A j ; ti}
pituuiig

= a|..AA.,A,) = i N . / ( A , A j ) =

S6. NGUYÊN TÁC DOI NÍỈẦU
Trong P In cỏ' (lịnh mục liêu ( A ,
2

cho 4 dỏưiIE thang ĩ i | ( ( ) , l . l ) ,

Irình

xạ

phép

ải l í t /

của l' .
2

biêt:

= a<.
.

.

À , , * , ; l ĩ } . K ý hiệu p * I í Ì tạp h ọ p l.ni

en các siôu pliẳng (rung p„ V Ì ! cho null xạ q: l'„ -*

p„

X(xj) M. q(X)(*i)

13


Hay g i ò la xót ánh xạ ( Í : M - >

M (ờ (lily M là lộp lất cà c;íc in-plinnc p„

c ù a p„ vói ni < l i , a (P,„) = . Q q ( X ) KI lĩ iló ánh xạ a dược g ọ i là phép
Xe

dối

|'„

vực của p„.
Mệnh dể.
+ a hiển

p,„ mành

+ a háo lổn quan
NnjivJn

p„.,„.,.
hệ liên

thuộc.

Già s ù A là m ộ i định lý cùn hình học xạ lình trẽn

lắc dối ngẫu:

p„, nói vẻ c á c m-piiẳng và c á c quan hộ liên ihuộc giữa c h ú n g . N ế u none A la
:

thay c á c ììí "u>-niii mg" hằng l ừ " n - m - l

phang", còn lát cà các lù k h á c d ể

I i c i i y è n , 11 lì líi (iược mót (lịnh lý m ờ i Á ' . Định lý A ! dược soi là Định

lý

dối

ngần c ù a A .
M ỗ i k h á i n i ệ m cùa hình học xa linh cũng c ó m ộ i khái niệm tiấi neỊu,
hằnc c á c h (huy l ừ " m - p h ẳ u g " liời l ừ "n-m-1 pliẳng".

Hài t.ị|).

;

6 . I . Phái b i ế u nguyên lác ciối n g á n n o n g p, và p,.
ÍỈ.2. T r o n g p„, cho p,„ (li
" l (

a

(ỊUii

1 1

! l

C h ứ n g tui I li Ì rằng a(P,„)
ị'

phương liiijh

;i||Xị

+

c;ic tìiètn liộc iẠp A | , . . . , A ,
lu +

•—

; l

m»l

I

t l

vói

' ' i n - r i li

có
...

+ n,

ị
';

•'^n.*i(.

n

n T l

x„

= 0

i (

'.
X

" H I »1 1 I

+

•••

n

:ni

l i i T l

X

n * l

=

(i.3. P h á i b i ể u (iịnli ỉý d ổ i neẫu củi! định lý sau:
" ( ) i i i i hai tiicni A , 13 piiAn biệt ti0111* ỉ ' , luôn có m ộ i và chì mội (lườnc
v

thầne".
6.4. Phát b i ể u (lịnli lý d ố i ngẫu của định lý Đ ờ d á c .
6.5. Phát h i ể u khái n i ệ m d ố i ngẫu c ù a khái n i ệ m " h ì n h 4 cạnh loàn p h á n " .
6.6.

Phác b i ế u khái n i ê m (lối ngíìu cùa khái niêm "lý số k é p của 4 đ i ể m

thẳng h à n g " .


6.7. Phát biểu khái niệm dối li p tì li cún khái niệm 'lùme iliiìm cỉiéu h ò n "
1

nong P .
2

6.8. Phát b i ể u (.lịnh lý d ồ i ngẫu c ù a dinh lý Pappuýi.
§ 7 . SIÊU MẶT HẠC HAI
Tronc P., vói mục tiêu ti?, chon. iiiụl !Ọ|> hợp s gôm các ciiòm X ( x ,

x

n

t l

)

n+t

llioã i n ã h p i i ư ơ u g (rình

y^ajjXj.xỊ

= ') tở dílỵ H;j = a

;i

và a

;j

không dóng

lliừi

bang 0) dược g ọ i là m ộ t siêu bậc hai (long p„.
Pliuc-nc trình củ li s C H Ọ C v i ế t tkcr' (lí HẸ ria ' r i l l : I x ' * A | X' := 0.
5 trong Pi dược gọi là dường hác 2.

'

s Irciig P_1 dược eọi là mội bậc 2.
Nêu

ỊAỊ *

0.

s

d ư ợ c coi

là siêu

mật

hác

hai

khùng

SKV hiến,

còn

ế
n u

ỊAỊ = 0 thì s d ư ợ c gợi là JHV biên.
Trong PỊ n ế u d ư ờ n g bơc hai s k h ù n g suy biế n vá s * 'Ị) li lì s dược gọi là
:òniv.

Đ ỏ i với m ỗ i s i ê u m ã i b á c i i a i . la l u ô n tim d ư ụ c một m ụ c

nêu mịi!

sao

cho d õ i với m ụ c l i ê u n à y , p i i ư o n e trình s có dang:

x í + . . . + XÌ - x ì , , - .. -\[„

=0:k + r < n + l .

^-

Pliuơng trình dơng trên gọi ìn piu(i/iĩĩ> ninh chinh lắc n i a 5.
Giả sử s c ó phướng trình [ x | * A r x l = 0. IJ(U|

ơ, ^ | ) là m ộ t đ i ể m cùa p.,.

Nếu có si iu piiiiim ị u I * A Ị X Ị = 0 ĩ 11 ì In nói siêu phang :iàv là siêu phồng

dôi

í lit: cùa LI. Ta ký ì Ì ĩ ệ LI s i ê u phiine '.iỏi cục cua điển) V là H i , . K h i đ ó diem lì
; ũ n ẹ dược zọ\ là cúc diêm cùa í!,:.
Trong i r u ờ n g hợp [ u j * A | x j = u k h ô n J x á c dinii uiciiĩa là c á c iiệ sù biínơ 0
:;lt c r ) thì lu n ó i LI là (.nịm k ỳ dị c ù a 5.

N6u l
piwii"

thuộc s

dược g ọ i là siêu

với s l ạ i u , M ò i ( l u ù i m ihằiig a Irtĩĩic í 1(1 ciĩ qua

tie;.' xúc

í/é/7 Ítívé/I cún

u khỏne phin là điểm kỳ dị thì

s.

D i ê m u d ư ợ c gọi

Định lí'. G/í/ sù (luông

ihẵiìỊỊ

í

la .ích
li qua

u ( l ư u c soi

là

,iie)n.

Ư. CHI r i , , .'ợ/

'•'/ cỡ/ a tyi :,„ị , / / / „ ;

l . /?. Khi dó (AỈỈUV] = - I .
Hai đ i ế m

lí

V núi

trone dĩ ni t lý n à y đ ư ợ c ơ ọ i là ..vi;; ứ / c H ! / i ẽ / / / | « J

đôi


s.

với

Đ ị n h lý. ĐtíOTiq r/irí/i? í là tiếp tuyến của s khi và chi khi l Cắí -S tại hai
điếm

trùỉKỊ

nhau.

Đ ị n h lý. Già
ĩiiyéiì

cùa s

sù u 2 s

qua

và s

Lì trùnq

khàng

vùi các

suy

biến.

ti ườn q thẳng

Khi
nối

u

dó lập Ì1ỢỊÌ các
với

các

điểm

tiếp
cùa

n ns.
v

Hài ( ộ p .
7 . 1 . Hãy l i ệ t kè các dạng c h í n h lắc cùa dương bậc hai s trong P-..
. „ 7 . 2 . Đua c á c dường bộc hai Irong PT sau day về (lạng c h í n h tắc:

ajx,
.

:

- 4x,x +

xỉ-í-2.x,x, = 0

3

1)) xf-ỉ-2X|X-> + 2xỉ
u)

X I

Xi

T

XTX^

=

í-2xiXj = 0

í)

~.3. Trong i \ , đường bậc hai s r ệ và k h ô n g suy b i ế n dược g ọ i là đưòng
Jồnic. Hãv tìm c á c ciá trị của a d ể c á c dường bậc hai sau ciủy ià c ô n i c :

a) a x ì

b)

XI

+ X|X-> T i i X | X j =

- X ị + MXiX-Ị =

c; a x }

0.

0.

- ax J + 4 x | . X j =

0.

7.4. T r o n g P , cho ciưàng bạc hai s có phương li ình:
2

Xị

2

-

2x,x,

+

Xỉ

=0

(!)(> liườiriỊ liiÁnc í' có piiirong '.rinh u x Ị + x-> - X j = 0. H ã y lìm ; i d ể ỉ là
liếp.tu ven _ '
7.5. Trong Ì';, cho s c ó phương n inh X f - ' x ỉ + X j

=0

H ã y viết plurơng trình l i ế p tuyến cùa s qua u trong c á c trường hợp

sau

(lay:
ai

un.

1.0).

h> ú c - 1 , 1 . 0).
C)

U( l ,

1,1).

Ị6


7.6. Chứng minh'rằng: l í s I ly till V e I
7.7. Chứng minh rằng khái niệm "siôu phung doi cực" là một bất biến x a
ánh.

•

7.S. Già sù A là đ i ể m kỳ dị củ;vS và 13 là diêm bất kỳ c ù a s. G ú í n g minli
rằng dường thẳng A B nằm trẽn s.
7.9. Trong P cho s có phương Irìtih x , - x ỉ -í- 2\ \x
:

2

2

= 0. Hãy tìm điểm u

dong các trường họp sau dAv:
à) r i u :

X| + X

= 'J.

2

b)

riu:

X, - x

c;

n,j:

X, + X, =

2

=

0.
0..
-ì

7.10.

Q i ú n g minh rằng hĩnh 4 cạnh toàn phàn A B C D có c á c dính A , B,

c. D thuộc dường

bậc

hai s

Un các điềm p = A C X BO, E = A D X BC.

F = AD x C Đ lạp thành tam e i á c lự doi cực.
7.11. Trong P

2

pho d u ù n g bác hai s và lam giác A B C tự d ợ i cực. M ộ t

tlưùng thằng m cắt Be, C A . A B lổn lượt lại p, ọ , R ( k h ô n g trùng vói các d ì n h r
cùa tam giác'). Già sù P'. Ọ ' . R ' là các diêm íữaue, ứng Hầm trẽn BC. CA. A B
và theo i l i ứ tự l i ề u hợp v ó i p. Q, l i d ợ i vói 5. O i l i n g minh rẳtm các duờne
thẳng Á P ' , D Ọ ' , C R ' d ô n g qui.
7.12. Trone p tam giác A B C dược soi in (lôi cực của tam giác A ' B ' C " d ợ i
2

vói cỏnic s nếu D ' C , C A ' . A ' B ' làn Itrựt có cực điểm là A . B, c.
Chứng minh l ẳ n g nếu tain aiác A B C là dợi cục cùa tam giííc A ' B ' C thì
lam g i á c A ' B ' C cung là dôi cực cùa lam £Ì;ic ABC.
§s. CÁC ẢNH XẠ XẠ ẢNH GIŨA CÁC HÀ NG ĐIỂM VÀ CÁC CHÚM
DUỜNU THẢNG TRONG MÁT PHANG XA ẢNH
Tập hạp líu en c á c đ i ể m c ù n g thuộc một duờne thằng in dược gọi là m ó t
liủn% di ếm vù ký h i ệ u bởi { m } , dường lliiing in dược gọi là

cùn hàng diêm

ủy.
Ánh xạ từ một hàng d i ê m lên một hàng .điểm (lược g ọ i lã áiiiì xạ xọ ánh
nếu nó b à o l ổ n lý sợ kép cửa bái kỳ 4 diem tửu. Anh xạ xạ ảnh l ừ m ỏ i h ù n g
điểm lân mội hàng đ i ể m dirợc gọi là phép phổi cảnh nếu c á c dường thằng n ợ i

các cập đ i ể m lương ứng đ ổ n g quỵ tại một diêm (lức là nõ là m ọ t phép chiêu


x u y ê n tam). Đ i ể m c h u n g d ó dược g ọ i là lãm phối rành.

H à n ? đ i ể m { m } ứng

vôi h à n g đ i ể m ( i n ' } n o n g m ọ t á n h x ạ / t h ì v i ế t :
{m} Ã

-

.

{in'},

và lúc n à y ta nói l ẳ n g hai h à n g đ i ể m { i n } và { m ' } Hèn hệ xạ ánh v ớ i nhau.
T r o n g trường h ọ p / l à

p h é p p h ố i c ả n h thì nói rẳnữ { t u } và { m ' } liên hệ

phổi cành vói Thau và viết:
{m} Ã
M ệ n h d ể . Liên hệ xạ lình ị ỹưa
ỳao

điềm

qiá lự

cùa hai

ŨIÌỊỊ

{in'}.
hai liànạ (liềm 'tà phối cành khi '.'à chi khi

(tức là điềm

ẹiao này là một điểm kép của ánh -

xọ ĩ ) .
T r o n g m ặ t p h ả n g x ạ á n h , m ộ t t ậ p h ụ p c á c t l t r ờ n g t i i ẳ n g dổng quy tại đ i ể m
s dược gọi ià m ộ t chùm

dưàìì% '.hắiìíỊ, đ i ể m s dược soi là tóm-của c h ù m . Ký

hiệu c h ù m dó bói { S } .
A n i l x ạ iìr m ộ t c h ù m d ư ờ n g ì h ầ n g lân m ộ t c h ù m d ư ờ n g chẳng chrợc gọi là
ánii xạ xạ lình n ế u n ó b à o t ổ n tỷ s ố k é p c ù a bất k ỳ bốn d ư ờ n g thẳng n à o . ánh
xạ xạ ảnh l ừ m ọ t c h ù m d ư ờ n g t h ẳ n g lèn m ộ t c h ù m dường thẳng được nại ià
cành n ế u c á c giao đ i ể m c ù a c á c cập dường thẳng t ư ơ n g ú n g c ù n e

phép phái

nằm trẽn m ộ t d ư ờ n g í h ẩ n g . Đirớng t h ả n g n à y dirọc g ọ i là trờc phổi

cánh.

G i ù m {S) và c h ù m Í S ' } ứ n g vói nhau (rong một ánh xạ xạ ảnh f thì viết:

{S} Ã Í S ' } ,
và Itíc này (a g ó i hai c h ù m (S) và Ị S ' } liên hệ xạ ánh vãi nhau, trong trường
hạp/là

p h é p p h ô i d i n h thì nói ịS)

và { S ' Ị Hãn hệ piiổi

cành vói nhau và

viết:
{S} =

{S'}.

I

M ệ n h ( l ể . Liên
và

chì

ỉhciiHỊ

khi
kép

(lườiKỊ
cùa

hệ xạ ảnh f ỳữa
lltầiHỊ

ánh

Đ ị n h lý S l e i n e .
- Thuận:

Tronq

xạ

nôi

'nai

lâm

hai chùm
;ự

úiiq

(lirờnq thàniỊ là phoi cành khi

(túc

ciườnq

thẩiHỊ

này

lá

dướn?

f).

mật

phđiUỊ

xạ ánh cho hai chùm dườnq tỉiãn<> {/4ị},

{A )
2

18


có các tám AỊ, Aỵ tà hai diêm

phàn

ảnh mà không phải pltép phôi

cành

hiệt.

Nế n Ị:

tiế p xút: vói dưới!?

f'\i\ A{)

tại

2

- Dào:
diêm

biế n

thànẹ

J{AỊA-,)

2

tại / 1

2

cúnic

dườniị

đi qua / t | và Ai.

và tiế p xúc

xạ

vái dưởnạ

Cònic
í/i«;i?

Aị.

Nêu /Vị, Ái là hai điểm
thiên

trên s thi ánh

[Ai}, xác dinh l)ởiJ[AịM)
phép phổi

{ / l } là ánh xạ

thì quỹ tích giao điế m cùa các cặp

lining {Hơn? ứnz troiu> ánh xạ đó là mọt tlườnẹ
nàv

{/t|}

phàn

hiệt cỏ định trẽn m
t cònic

xạ f; ( / l ị ) —> ịA }

lử chùm

2

s và AI ỉa

{ / l ị } tiế n

= / l u i / là m
t ảnh xạ xạ lình ínhưng khàn?

chùm
phái

lồ

cành).

Hài t ậ p .
• 8.1. G i à sử 0 , 0 '

là hai đ i ể m d ã cho: { 0 } Ã Í O ' } ià một l i ố n h ệ xạ ảnh

giữa hai c h ù m d ư ờ n g l l i ẩ i i c ; à là m ộ t d ư ò n c thẳng khửim đi qua o. A ' là m ó t
đ ư ờ n g thẳne không di q u a 0 ' . X é t á n h xạ:
ỳ": h à n g đ i ể m { A } —> !iài:c diểĩn

(A'ì

:;ac dịnii như sau: vói M 6 ủ ta lítv M ' = / í M ) = y r< / ( O M ) .
a) Clu'rim niiiili rồng

/tà

m ớ i liên xạ mill d ũ a

hai h à n e

diêm

í ỏ!

và ( ủ ' } .

b) X á c định c á ẹ vị trí của A và à' d ể /' là p h é p phôi c à n h .
8.2. Tronc mật p l i ằ u e x ạ linh p^ cho liên i i ệ xa l ì n h / g i ũ a hai liàna đ i ể m
' n i } và { m } ; 0

là m ủ i d i ê m c ỏ clịnli k i i ỏ i m n ằ m n é n d u ứ i i ẹ t h ẳ n g in. 0 '

lù

một đ i ế m c ố (lịnh k l i ỏ n c n ằ m I r è i r c l ư ở i i u liinnc i n ' .

. Xét á n h xạ / : c h ù m { O } —> cliùin { 0 ' } x á c dịníi nhít sau:
với dU'tug thẳng cìe ( 0 | , M = c l n i n . M ' =J{M),
a) Chung m i n h r ằ n g /

ta iíty 7(d)

= O'M'.

ià m ớ t lính xạ xạ ànii.

b) V ớ i đ i ể u kiiìn n à o Li lĩ /

là p h ô i c à n h ?

8 J . Trong mật phung ,xạ anil Pi cho p h é p thâu xa F vái Min In o và n é n là
A; á là mớt dường Clang trong Vi và l i " = F(dv, /

lã thu hẹp c ú n F tròn d,

!9


7:d->d\
a) Q i ứ n g minh r ằ n g /

là m ộ t ánh x ạ x ạ ánh t ừ hàng_cỊỊểm. {đ} l ê n

hàng điểm { d ' } . '
b) X á c (lịnh vị trí c ù a (ì d ể / là:

- P h é p drtng n h á i .
- P h é p chiếu x u y ê n l â m .
8.4. T r o n g

mật phang

x ạ á n h P-, cho m ụ c tiêu

{ A | , A-1, A 3 ;

E}.

E. = A ĩ E n A A . „ E j = A n E n A - , A | . E , = A , E n A , A : G o c á c đ i ể n M ị ,
:

:

M i , M , llieo thư l ự Hẳm I r ẻ n c á c d ư ờ n g ihảiig E 1 E 3 , E E | , E|E->. Chứng m i n h
3

rang

n ế u c á c đường

thằng

E.Mj dỏng quy (lù c á c dường

thảng

ẢjMj

(i = Ì , 2, 3) cũng d á n g quy.
8.5. T r o n g mái phảng x ạ ánh cho c ò n i c s và hai đường thẳng A và À ' p h à n
biệt, khọníĩ c ó đ i ể m c l u i n g với s. Trên s cho hai đ i ể m A , B phan biẻt, c ố
d i n h . T a x â y dựng ánh x ạ / : A - > á' n h ư sau: vói M e A ta gọi giao đ i ể m t h ứ
hai c ù a (lường lliang A M v ớ i s là X (nếu A M là t iếp luyến ciia.s t h ì l ấ y
X = A ) ; d ạ i M " = UM) = R X n i ' (nếu X 3 M thì lấy BX là t iếp t uyến c ù a S
lai B).
:

à") Cìiứng minh r ầ n e / l à mọt ánh xạ xạ á n h .
b) T ì m vị ( r i cùa A và A ' d ể / i n p h é p chiếu xuyên tam.
8.6. T r o n g m ặ t phang x ạ Anh cho m ộ t lam g i á c A B C cố hai đ i ể m A , B
lương ứ n g chạy irẻn hai d ư ờ n g thằng a, b c ố định và 3 cạnh BC, CA, A B
lifting ứng d i qua 3 đ i ể m c ố nịnh a , jì, y k h ô n g nằm (rén ii và b. T u n quỹ tích
cún đ i n h c.
8.7. T r ồ n g m ặ t phang x ạ Anh cho c ò n i c s, hai d i ê m À , B cố dinh trên s và
mội đ i ể m cỏ" (lịnh ì ' k h ô n g mun ircii s. Qua ì' vẽ dường lltẳiig tlhav d ọ i ) cất s
l ạ i M VÌ1 N . ' l ì m quỹ lích c á c đ i ể m Ì = A M r\ B N , K = A N P i B M .
8.8. T r o n g m ậ l phang x ạ Anh cho crtilic s và m ồ i dường thăng cl k h ô n g c ó
đ i ể m c h u n g với S; A v à B là hai d i ê m cá (lịnh trên S; X là m ộ t đ i ể m b i ế n
thiên trôn ti. K ý hiệu M là giao ilicin li lữ liíiĩ cĩia s với A X (nếu A X là t i ế p
l u y ế n c ù a s thì lấy M = A ) . Ký h i ệ u N là giao đ i ể m thứ hai cùa s với BX (nếu
I3X là t i ế p l u y ế n cùa s l i u l á y N = B). T i m q u ỹ tích giao đ i ể n ì c ù a A N và
13M.

,

20

§ 9 . ĐỊNH LÝ P A X C A N VÀ BỊNH LÝ B R l A i N d S Ò N C

Trong mật phảng xa ảnh. m ộ i tạp hợp 6 dường thẳng kể theo l!iứ l ự a, b. c,
d . e. f, trong d ó k h ô n g c ó 11 ri ĩ đường n à o (rùng nhnu. dược g ọ i là một hình (ì
l ạnh. Sáu dường lining dó dược gọi In c á c cạnh. M ỗ i cặp ít và t i , b và e, c và
í dược gọi tò một cặp cạnh đỏi diện. C á c giao đ i ể m f na = Á. a n
ú n c = c, c n ti = D,' d n

b = 13,

e = E, c n f = r dược g ọ i là các dinh cùa- lùnii 6

cạnii d ó .
Trong mãi phang xa á n h . m ỏ i tạp hơn 6 đ i ể m k ể theo lint lư A . R. c. D. E.
F 'rong d ó kliòng c ó hai đ i ể m nào trùng nhau. dược g ọ i ià m ọ i 'ninh (ì (linh.
~Sáu dỉểriniS"<.Tũộcgộriẵ~cãcT/í;i/i."MẹỈ cập A vn D . 13 và rỉ, c và F dược gọi
là mọt cập dinh đổi diện.

C á c dường thẳng FA; AO; DC; C D : DE: EF dược

gọi là các cạnh cùa h ì n h 6 đĩnh d ó .

.,

Định lý Paxcan.
•- Thuận:

Nến mật hình 6 cạnh nội tiếp dược mội cứnic {lức là các

cùa nó củng thuộc một cỏnic)
tri lì mật ciuòití' lỉiắinỊÌốợi
• Dáo:

Nêu 3 vào

thi 3- ịìao

điểm của 3 cập cạnh dổi diện

là dướnt; iltẳntỊ Pa.xc.au cùa hình ri cạnh

diêm

dinh
nằm

đủ).

cùa 3 cập cạnh dối diện cùa một hình 6 cạnh

cun? Hầm trên một dườnố ĩliẩng thì hình (ì cạnh dó nội tiếp một

cônic.

Định lý H r i ã i i g s ò n g .
- Thuận: Nêu một hình 6 dinh ngoại liếp dược một cônic (tức lờ các
cùa nó cù/iẹ tiếp .rúc vói mật cônic)

thì 3 dưừnố thang nùi 3 cập đinh

diện cùa nó dóng, quý tại một điềm (%ọi tà diêm Brỉăngsỏnạ

cạnh
đôi

của hình 6 íỊỉiĩh

íiv).
C

- Dào: Nếu im dường tliảnạ nối ì tạ'/'
ÓCIIĨỊ

quv

Hài

tại một

điếm

thi hình

ỗ àinlràrHỊỊvại

''V"

liếp

mọi

í

l

l

a

mội hình 6 dinh

củiiic.

tạp.

9 . 1 . Sừ dụng c á c ký h i ệ u như trong phán tóm l ắ t lý thuyết ủ trên, hãy dùng
hình vẽ dể minh họa H ỏ i đ u n g dinh lý Paxcnn trong c á c trường họp sau day:
1) C á c đ i ể m A . B . C D . E . F dôi m ô i phan biệt.
2) Trong số 6 đ i ề m A , B, c. D, E. F có \ 3 ũ và không c ò n sự Irimg nhau
nào khác.


3) Trong sổ 6 điểm A, B, c. D, E, F có A 5 B, c 3 Đ và không còn sự
!rùiig nhau nào khác.

4) Trong số 6 điểm A, B, c, D, E, F có A s B, D s E và không còn sự
ỉ rùng nhan nào khác.
5) Trong số 6 điểm A, B, c, D. E. F có A = B, c 2 D, E = F và không còn

sự trùng nhau nào khác.
9.2. Sừ dụng các ký hiệu như li ong phin lòm tắt lý (huyết ờ irèn, liãv dùng
hình vẽ i\é minh họa nội dung định lý Driăngsòng trong các trưạng hop sau
đay:

...

\

•

ì) Cắc giường ihẳng AO, BC. CD, DE, EF. FA (lôi một phán biệt.
2) Trong số 6 dường thẳng AB, BC, CD, DE, EF, FA có A B = BC và
không còn sự trùng nhau nào khúc.
3) Trong sổ 6 dường

thẳng AB. BC, CD, ĐE, EF, FA có AB a B C

C D = DE và không còn sự trùng Iilinu nào kliác.
4) Trong số 6 (luông '.hàng AO, ne, CD, DE, EF, VA có A n B BC,
DC 3 EF và kliônc còn sự irùnc nhau tù.o khác.
5) Trail" sổ ó dường thẳng AB, oe, CD, DE. EF, PA cỏ AB 3 DC.
CD = DE. EF = FA và không còn sự trùng nhau nào khác.
'5)3. Cho hình 6 cạnh A Ị A A . A A A
2

4

cún 2 tiếp tuyến vại s tại Ai vá A j

5

t l

s

nội liếp cònic s. Gọi Bj là giao điểm

(xem A a A | ) . Nhu vây ta dược một
7

hình 6 (linh B|B->D.n B O ncoại liếp CÒIIÍC S, Chứng minh rằng dirờng thẳng
4

5

fi

Piixcan cun hình (ì cạnh A|AiAiAjA«A/, là dối cực cùa (liêm Briiìnẹsỏiig cùa
hình 6 tliiiii B , B , B , 0 B , n
4

v

r—i

HIM. Các cạnh ne, CA, Aĩì cùa mm giiíc A n e tiếp xúc vại cónic s llieo.thú
lự lại các (iiỏtn K, L, M . Chứng ininli rằng các ciuờng ihàng A K . 3L, CM
(lổng (|tiv lại mội điếm.
(5)5. G i á n g minh rằng nếu hai tam giá c A13C và K I M cùng nội tiếp một

eônic thì duing cũng ngoại liếp một cònic.
Q l í L C h o Him giiíc ABC và cồnic s liếp xúc vại DC, CA, AB lãn lượt tại À",
\ \ \ c\

Ky hiệu p = A Q n A'ĩì',

ráng 13', c

R thảng hàng.

Q = A C n A ' C , R = PQ n BC. Chứng minh


(917. Cho t am giác A R C và crt nic s liếp xúc với Be, C A . A U theo ihứ tư lại
A ! , B', c*.

Ký h i ệ n o = BI3' r i cc\

đ ư ờ n g tliẳng.
7\

,2!3.

O u í n g minh rằng A , 0 , : V Hẳm l i ê n một

. • í:

Troiìg mặt phẳiig xạ ànli clio 4 điểm A, B, c, D (rong dó khủng có 3

điểm nào thẳng hàng. s là mội cỏnic l)iến Illicit luồn di qua 4 (.nỏm dó. Tiếp

'.uvến cùa s lại D cắt Ạ C tại 13', t iếp t uyến của s lại c cái I3D lại c.

ailing

minh rằng dường thẳng B ' C luôn luôn di qua một diêm c ố Minh.
ị 919. Trong mặt phăng xạ anh cho cỏnic s và 3 diêm A . B, c c ố đừnh trôn s.
K là một điểm c ố dinh không năm (rén s. Các đườnc tliằnc K A . K D .
tương ứng cắt s tại các điểm thứ liai !à A", B', c*.

!
p là mội điểm biến t hiên

trên s. Các đường thắng PA. PD. P C tương ứng cất B ' C \ C A ' , A'B* lại A",
D"

C " . G u i n ẹ mirh

3 điểm A " . B". C " cùng nam trẽn một dường thẳng

rằMí;

và dirừne tilling này luồn di qua mọi (.Hỏm c ó đừnh.
9.10. Trong

mặt

piiíine

xạ

nhau của nó là a. a \ b. b'. c. c*.

null

cho

cỏnic

s

và

6

liếp

luyến

K ỹ hiệu A = a " I c. 13 = b o c, A ' = an

khác
c".

B' = b ' o c ' . Oiữne minh rằng 3 đ i ể m p = n r i a'. ọ = I) o I)', R = AO' r i DA'
ilwne hìine.
§10.

M ủ HÌNH XẠ ẢNH CỦA M Ậ T IMlẢiNt; A FIN

Trone mật phảng xạ ánh I \ cho dirò.ig à. Ta sẽ làm ciio tạp p,\ Á trò
iliànii

mót mật phảng a f i n . M u ố n v â v , Irona p^ c l i ọ n iiiột I r ụ c tiêu xạ á n h

?ỉ = ( A i , A I , À , ; E Ị sao cho A | , A2 € ủ . khi dó A , 2 ả. do dó các điểm
Xí.Xừ, .Xj, .Xi) 6 l'->\ủalềa c ó loa
diem
X|

A

n à y c ó the

dũiic

= — , A, = — . Đ ể

tọa d ò

d ọ (hú ha X,
kliỏnẹ

và (lo dó doi

với c á c

lluiíiti nliííl X = ( X | , X i ) Irotiụ (lí)

hun c h o PẠ <-\ trờ lliànii mãi phảng n í i n . In x é t mọt

k i i ò n e ginn v c c l ơ 2 c l i i ề u V , ( t r ê n Iriròĩie s ò iliựcJ và một cu s ò s = { ẽ | , ẽ , Ì

trong n ó . ròi lạp luông ứng sau (.lay. Doi v ó i bai kỳ liiii diêm c ó kô l l i ứ (ự X ,
Y s P A A mà lụa dọ không (huân

Iiliill

của ciiúng là X = ( X , . X j ) . Y = ( Y „ Y )
2

la c h o ứ n g vói v c c l ơ Iroim V i , k ý li tâu X V , m à tọa d ọ cún n ó Irone CƯ SỪ E là

(Y| - X ừ j ,

( Y - X ) . Tạp P \ A
2

2

2

CÙI1E

vói mung

ÚUE

này l õ lìiiig llioà mãn 2-tiồn

dè cùa đừnh nghĩa không gian níin 2 ciiiểu. Vạy với lương ứng Iiàv thì tập
P \ ủ trờ tliànli mội mò hình cùa không gian-afin 2 clii4n c ó nén là khủng
: