tai lieu boi duong hsg lop 7

tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
Tham khảo một số đề luyện
đề 6
Câu 1. Trong 3 số x, y, z có 1 số dơng, một số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết:
3 2
x y y z=
Câu 2. Tìm các cặp số (x; y) biết:
x y 1+3y 1+5y 1+7y
a, ; xy =84 b,
3 7 12 5x 4x
= = =
Câu 3. Tính tổng:
n 1
3 1
S 1 2 5 14 ... (n , n > 0)
2

+
= + + + + + Â
Câu 4. Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó dựng hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB;
AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC

BE
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và
ABC EMA =
c. Chứng minh: MA

BC

Câu 5. Cho ABC cú gúc B = 90
o
; ng cao BH. Gi M l trung im ca BH v K l im sao cho B là trung điểm
của KC. Chng minh : KH vuụng gúc vi AM.
Câu 6. Cho P =
( )
( )
4 2
2
2 2 2008
3
x x x x

+ +
ữ

. Tìm giá trị của x để
a) P = 0 b) P > 0 c) P < 0
đề 7
Câu 1: So sánh các số:
a.
2 50
A 1 2 2 ... 2= + + + +
& B =2
51
b. 2
300
& 3
200
Câu 2: Tìm ba số a, b, c biết a và b tỉ lệ thuận với 7 và 11; b và c tỉ lệ nghịch với 3 và 8 và 5a - 3b + 2c = 164

Câu 3: Tính nhanh:
1 1 1 761 4 5
3 4
417 762 139 762 417.762 139
ì ì +

ã
à
ã ã
âu 4. ó 2 . ẻ AH BC. ên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH.
Kẻ đường thẳng EH cắt AC ở D.
a. Chứng minh ABC 2 .
. ứng minh DHC cân.
c. ứng minh DHA cân.
C Cho ABC c ABC C K Tr
BHE
b Ch
Ch
=
=


V
Câu 5. Cho 3 số tự nhiên:
{
{
2 / 4 / 8
( 1) / 2
44...4 ; 22....2 ; 88....8
n c s n c s

n c s
A B C
+
= = =
123
. Chứng minh rằng A + B+C + 7 là số chính phơng.
Câu 6. Cho tam giác ABC cân có
à
0
110A =
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
ã
0
105ADC =
. Từ C kẻ đờng thẳng
song song với AD cắt BA ở E. So sánh các cạnh của tam giác ACE, tam giác BEC?
đề 8
Câu 1. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
266 1 15 2 27 1998 133
; ; ; 0; ; ; ;
281 173 31 347 53 1997 141

Câu 2. Cho biểu thức:
8 x
A
x 3

=

a. Tìm giá trị thích hợp của biến x?

b. Với giá trị nào của x thì A > 0?
c. Tính giá trị của A sao cho :
a b a c
x 13
+ +
=
và
( )
( ) ( )
2
a c
169
2a b c b c 27
+

=
+ +
Câu 3. Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tia Ax; By & Mz sao cho:
Ax

AB; Ay

AC; Mz

BC ( M là trung điểm của BC). Trên tia Ax, Ay, Mz lấy các điểm theo thứ tự D, E, O
1
sao cho AD = AB; AE = AC; MO
1
=MB. Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với BC tại H và cắt DE ở K. Gọi O
2

, O
3
là
trung điểm của BD và CE . Chứng minh rằng:
a. K là trung điểm của DE.
b. Tam giác O
2
MO
3
vuông cân.
trờng THCS hải hậu
tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
c. CO
2
và O
1
O
3
bằng nhau và vuông góc với nhau. Trên hình vẽ có những cặp đoạn thẳng nào có tính chất tơng tự
cặp CO
2
và O
1
O
3
?
Câu 4. Chứng minh rằng số n = 8k + 7 với k
Ơ
không thể biểu diễn thành tổng của ba số chính phơng.
Câu 5. Cho hàm số y = f(x) = ax + b. Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1) và B( -1; 2)

a) Xác định a, b ?
b) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số trên: M ( 0;
3
2
) ; N ( 2; -1) ; P
3 2
2 ;
2


ữ

c) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số trên và đồ thị hàm số
2
1 1
2 2
y x x= +
Câu 6. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD = BA và CE = CA.
a) Chứng minh rằng giao điểm I các phân giác của tam giác ABC là giao điểm các đờng trung trực của tam giác DEF
b) Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác ABC. Tính DE theo m
c) Tính số đo góc DIE?
đề 9
Câu 1. a. Tìm các số nguyên x biết
( )
( )
2
x 3 x 4 4 +
b.Tìm x, y, z biết:
2
1 2

x y x xz 0
2 3
+ + + + =
Câu 2. Tìm các số a
1
, a
2
, ...,a
9
biết:
9
1 2
a 9
a 1 a 2
9 8 1


= = ììì=
và a
1
+ a
2
+ ...+ a
9
= 90
Câu 3. Tính:
4 3 3 4
5 27 4 5
23 47 47 23

ì +
ữ

Câu 4. Cho các số a
1
, a
2
, ...,a
n
mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1. Biết rằng:
1 2 2 3 n 1
a a a a a a 0+ + ììì+ =
Hỏi n có thể bằng 2002 đợc hay không?
Câu 5. Cho tam giác ABC có Â = 90
0
. Vẽ phân giác BD và CE ( D thuộc AC, E thuộc AB) chúng cắt nhau tại O.
a. Tính số đo góc BOC?
b. Trên BC lấy M, N sao cho BM = BA, CN = CA. Chứng minh: EN // DM
c. Gọi I là giao điểm của BD và AN. Chứng minh: tam giác AIM vuông cân.
Câu 6. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho MB < MC. Lấy điểm O trên đoạn AM
( O

/
A, O

/
M). Chứng minh rằng
ã
ã
AOB AOC>

đề 10
Câu 1. Thực hiện phép tính
Câu 2. a)
( )
( )
2
2
ab
. ứng minh rằng
cd
a c a b
Cho Ch
b d
c d
+
= =
+

b) Tỡm s cú 3 ch s, bit rng s ú chia ht cho 18 v cỏc ch s ca nú t l vi 1 ; 2 ; 3.
Câu 3. a) Rỳt gn biu thc : A = |x - 1| + |x - 2| ; (x thuc Q)
b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca y biu thc B =
42
15
y
y


cú giỏ tr nguyờn nh nht.
Câu 4.Cho tam giỏc vuụng cõn ABC (AB = AC), tia phõn giỏc ca cỏc gúc B v C ct AC v AB ln lt ti E v D.
a) Chng minh rng : BE = CD v AD = AE.

b) Gi I l giao im ca BE v CD, AI ct BC M. Chng minh rng cỏc tam giỏc MAB, MAC l cỏc tam
giỏc cõn.
c) T A v D v cỏc ng thng vuụng gúc vi BE, cỏc ng ny ct BC ln lt K v H. Chng minh
rng : KH = KC.
Câu 5. Cho DABC cú AB > AC v A = . ng thng i qua A vuụng gúc vi phõn giỏc gúc A ct ng thng
BC ti M sao cho BM = BA + AC. Tớnh s o B v C ?
Câu 6. Chứng minh rằng: a)
1 1 4
x y x y
+
+
. Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi nào?
trờng THCS hải hậu
tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
b)
( )
1 3 5 2 1 1
. . ..... ; 0
2 4 6 2
3 1
n
n n
n
n

>
+
Â
đề 11
Câu1. Cho các đa thức : f(x) = 2x

5
- 4x
3
+ x
2
- 2x + 2
g(x) = x
5
- 2x
4
+ x
2
- 5x + 3
h(x) = x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
- 8x +
3
4
16
a) Tính M(x) = f(x) - 2g(x) + h(x).
b) Tính giá trị của M(x) khi :
0,25x =
c) Có giá trị n o của x M(x) = 0 ?
d) Tìm x để M(x) =
4
1

5
16
x +
Câu 2. a) Tỡm 3 s a, b, c bit : 3a = 2b ; 5b = 7c v 3a + 5c - 7b = 60.
b) Tỡm x bit : |2x - 3| - x = |2 - x|.
Câu3. Tỡm giỏ tr nguyờn ca m, n biu thc :
a)
2
6
P
m
=

cú giỏ tr ln nht. b)
8
3
n
Q
n

=

cú giỏ tr nguyờn nh nht.
Câu 4. Cho tam giỏc ABC cú AB < AC, AB = c, AC = b. Qua M l trung im ca BC ngi ta k ng vuụng gúc
vi ng phõn giỏc trong ca
à
A
ng thng ny ct cỏc ng thng AB, AC ln lt ti D v E.
a) Chng minh : BD = CE.
b) Tớnh AD v BD theo b, c.

Câu 5. Cho tam giỏc ABC cõn ti A,
à
A
= 100
o
, D l mt im thuc min trong ca tam giỏc ABC sao cho
ã
DBC
=
10
o
,
ã
DCB
=20
o
. Tớnh
ã
ADB
.
Câu 6. Cho đa thức: f(x) = x
2
+ mx + 2.
a) Xác định m để f(x) nhận -2 là một nghiệm.
b) Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm đợc của m?
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức f(x) ứng với giá trị vừa tìm đợc của m?
đề 12
Câu 1. Cho dóy : 1, -5, 9, -13, 17, -21, 25,
1) Tớnh tng 2003 s hng u tiờn ca dóy trờn.
2) Vit s hng tng quỏt th n ca dóy ó cho.

Câu 2. Tỡm x tha món : 1) 2003 - |x - 2003| = x. 2) |2x - 3| + |2x + 4| = 7.
Câu 3. V th hm s sau : y = |1 - |1 - x||.
Câu 4. Tỡm cỏc cp s nguyờn (x ; y), sao cho 2x - 5y + 5xy = 14.
Câu 5. Cho
V
ABC cú cỏc tia phõn giỏc ca cỏc gúc B v C ct nhau I, cỏc ng phõn giỏc ngoi ca cỏc gúc B v C
ct nhau K. Gi E l giao im ca cỏc ng thng BI v KC.
1) Tớnh cỏc BIC, BEC , BKC khi gúc A = 60
o
.
2) Tớnh cỏc BIC, BEC, BKC khi A = a
o
( 0
o
< a
o
< 180
o
).
Câu 6. Chứng minh rằng: n
3
+ 3n
2
n 3 chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên lẻ.
một số vấn đề bổ sung
I. ĐạI Số
1. Tính giá trị của biểu thức : 22, 23, 128, 138, 139/ BTT7 T
1
; 10, 155 / NCPT T
1

; 181 NCPT T
2
bổ SUNG: Bài 1 Tính
4 5 8 9 5 5
4 5 8 8 5
1 2 1 1 7
4 .5 4 1:1 4 :13
11 .6 11 9 .3 9 10 10 .3
2 3 4 15 8
) ) ) : ) : :
3 1 1 1 2 7
11 11 9 .5 9 .7 10 .11
6 11 .5 3 :6 5 :1
4 3 4 8 3 8
a b c d


+
Bài 2 Thực hiện phép tính 1 cách hợp lí:
trờng THCS hải hậu
tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa

3 3 1 1 1 1
0,375 0,3 0,25 0,2
1,5 1 0,75 6
11 12 3 7 13 3
;
5 5 5 2 2 2 1
7
0,625 0,5 2,5 1,25 1 0,875 0,7

11 12 3 3 7 13 6
A B
+ + +
+
= + = ì +
+ + +
Bài 3 Tính giá trị của biểu thức: a) A = 2x + 2xy y với
x
= 2,5 và y =
3
4

;
b) B = 3a 3ab b và C =
5 3
3
a
b

với
1
; 0,25
3
a b= =
Bài 4. Tính
a) A =
1 1 1 1 1 0 3
(2 3 ):(2 3 ) (2 .2 ):2

+ +

g) G =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 2
3 2 5
1 0 2
1 6 1
) :2
3 7 2
b B



= +
ữ ữ ữ


( )
( )
2
1
0
3
2
2 5
1 1
) 0,1 2 :2
7 49
c C

= + ì ì

ữ






d)
6 5 9
2 2
4 12 11 2
4 .9 6 .120 1 1
3 . .81 .
8 .3 6 243 3
D
+
= +

e)
( )
5 3
1 1
1 1 1
4.2 : 2 .

1 1
16
1 1
1 2 1 2
E


= + +
ữ

+
+
h)
( )
0 2
2
3
1 1 1
2 3. . .4 2 : :8
2 2 2


+ +
ữ ữ


2. Tỉ lệ thức dãy tỉ số bằng nhau 55, 56, 57, 58, 61, 62, 64, 65 / NCPTT
1
;
Bổ sung: Bài 1. Cho tỉ lệ thức:

a c
b d
=
. Chứng minh rằng:
1) 2) 3) 4) ( ) 5) 6)
n n n n
n n n n
a b c d a b c d a b a b a b a b a b c d a c
n
b d b d c d c d c d c d a c a b c d
+ + + + + +
= = = = = =
+ + + +
Ơ

Bài 2 . Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:
2 2 2 2
2 2 2 2
a
( ới k )ta có thể suy ra được:
b
k k k k
k k k k
a b a b c
v
c d c d d
+
= =
+
Ơ

.
B i 3. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức:
a a
( ), ó thểsuy ra được: ếu n lẻ và ếu n chẵn.
b b
n
n n
n n
a a b c c
n ta c n n
c c d d d
+

= = =
ữ
+

Ơ
B i 4. Chứng minh rằng nếu ta có dãy tỉ số bằng nhau:
2007
1 2 3 2007 1 1 2 3 2007
2 3 4 2008 2008 2 3 4 2008
...
... ì ta có thể suy ra được đẳng thức:
...
a a a a a a a a a
th
a a a a a a a a a

+ + + +

= = = = =
ữ
+ + + +

B i 5. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức
a b b c a b
ta suy ra
a b b c b c

= =
+ +
.
B i 6. Chứng minh rằng nếu
2 2
2 2 2 2
5a +3b 5 3 7 3 7 3
ì a) )
5a 3b 5 3 11 8 11 8
a c c d a ab c cd
th b
b d c d a b c d
+ + +
= = =

B i 7. Cho 4 số khác không thoả mãn điều kiện:
2
2
a
= a
1

a
3
&
2
3
a
= a
2
a
4
. Chứng minh:
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
a a a a
a a a a
+ +
=
+ +
Bài 8. Biết
'
1& 1
' ' '
a b b c
a b b c
+ = + =
. Chứng minh rằng: abc + abc = 0.
Bài 9. Cho 4 số nguyên dơng a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a & c và
1 1 1 1

2c b d

= +
ữ

. Chứng minh rằng 4
số đó lập nên 1 tỉ lệ thức.
Bài 10. Chứng minh rằng nếu:
a b
b c
=
thì
2 2
2 2
a b a
b c c
+
=
+
với b, c

0
Bài 11. Biết
( ới a, b, c 0). Chứng minh rằng
bz cy cx az ay bx x y z
v
a b c a b c

= = = =
.

Bài 12. Tìm số hạng cha biết trong tỉ lệ thức:
trờng THCS hải hậu
tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
a) x: 15 = 8: 24 b) 36 : x = 54 : 3 d) 1,56 : 2,88 = 2,6 : x g) 2,5 : 4x = 0,5 : 0,2
c)
1
3
2
: 0,4 = x :
1
1
7
d)
1 2
:3 :0,25
5 3
x =
e)
3 2 3 1
5 7 5 1
x x
x x
+
=
+ +
f)
1 0,5 2
2 1 3
x x
x x

+ +
=
+ +
Bài13. Tìm x, y biết:
a)
7 3
x y
=
và 1) x + y = 110
2) x y = 50
b)
4 4
& . 16
2 4
x y
x y= =
c)
2 2 2 2
10 10
& . 1024
3 5
y x x y
x y
+
= =
d)
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x

+ +
= =
e)
& 21
3 4
x y
x y= + =
f)
& 32
3 5
x y
x y= + =
g) 3x = 7y & x- y = -16 h) 5x = 7y & y x =18 i) 4x = 3y & xy = 192
k) 4x = 5y & x
2
y
2
= 1 i) x : y = 5 : 7 & x
2
+ y
2
= 4376
Bài14. Tìm 3 số x, y, z biết:
3 3 3
2 2 2
) & 14
8 64 216
x y z
a x y z= = + + =
4 2 3

) & 12
1 2 2
b xyz
x y z
= = =
+ +
) & 90
2 3 5
x y z
c x y z= = + + =
d) 2x = 3y = 5z & x y + z = -33 e) x:y:z = 3:5: (- 2)
& 5x- y+3z = 124
f) 2x = 3y; 5y =7z & 3x 7y+5z =
-30
g) 2x = y; 3y = 2z & 4x-3y+ 2z = 36 h) x:y:z = 3:4:5
&2x
2
+2y
2
3z
2
= -100
Bài 15. Tìm các số a
1
, a
2
, a
3
, , a
9

biết:
9
1 2 3
9
1 2 3
...
9 8 7 1
a
a a a


= = = =
& a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
9
= 90
3. Giá trị tuyệt đối xem phần chuyên đề giá trị tuyệt đối của một số / NCptt
1
Bổ sung Xét các dạng đặc biệt
Dạng 1.
( )
f x a=
( a là hằng số dơng). Ta lần lợt xét
( ) ( )
&f x a f x a= =

.
Mỗi lần tìm đợc một giá trị của x ta đợc 1 đáp số
Ví dụ . 2 1 5x =


2 1 5 3
2 1 5 2
x x
x x
= =



= =


Dạng 2.
( ) ( )
f x g x=
Ta phải tìm x thoả mãn cả hai điều kiện
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 & ặc g x f x g x ho f x g x = =
Ví dụ
3 1 2 3 4x x + = +


3 1 3 2x x = +


2

3 2 0
( ô lí )
3
2
3 1 3 2 1 2
1
3
1 6
3 2 0 2
6
3
3 1 3 2
6 1
x
x
V
x
x x
x
x
x
x
x x
x

+









= + =



=



+



=

=





=


Dạng 3.
( ) ( ) ( ) ( )
0f x g x hay f x g x = =
Ta phải tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện
( )
( )
( )
( )
ặc f x g x ho f x g x= =
Ví dụ :
2 2008 2008 2 2006 2006 1
2 2008 2008 2
2 2008 2008 2 2010 2010 1
x x x x
x x
x x x x
= = =

=

= + = =


Dạng 4.
( ) ( )
0f x g x+ =
Ta phải tìm x thoả mãn cả hai điều kiện:
( ) ( )
0 & 0f x g x= =
Ví dụ Tìm x biết rằng:
( ) ( )
2
3 1 3 0x x x x + + =
trờng THCS hải hậu
tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
: ó 3 0; 1 3 0
0 0
3 0 3
3 0
3 0
ên 3 1 3 0 3
1 3 0

1 3 0
1 0 1
3 0 3
HD Ta c x x x x x
x x
x x
x x
x x
n x x x x x
x x
x x
x x
x x
+

= =



= =


=
=

+ + = =

+ =
+ =
+ = =

= =


4. Bất dẳng thức xem phần chuyên đề Bất đẳng thức / NCPTT
1
5. Hàm số 94 -105/ NCPTT
1
6. Đa thức 182- 189; 207-211/NCPTT
1
7. Phần nguyên, phần lẻ của 1 số hữu tỉ:
Cho x
Ô
, phần nguyên của 1 số x kí hiệu là
[ ]
x
là số nguyên lớn nhất không vợt quá x:
[ ]
x

x <
[ ]
1x +
Ví dụ:
[ ] [ ]

3 4
0,5 0; 1; 2; 3 3;...
2 3


= = = =


Phần lẻ của số hữu tỉ x kí hiệu là
{ }
x
:
{ }
x
= x -
[ ]
x
Bài 1. a) Tìm
7 85 195
ết ; ;
13 271 1996
x bi x x x

= = =

b) Tìm
[ ]
x
trong các số x nói trên?
c) Tìm

[ ]
x
biết: 1, x 1 < 5 < x 2, x < 17 < x + 1 3, x < -10 < x + 0,2
d) Tìm
{ }
X
biết: x =
3
2
; x = -3,75; x = 0,45
Bài 2. Chứng minh rằng:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
) 1 , ếu x không là số nguyên. )a x x n b x y x y = + +
Hớng dẫn: a) Ta có :
[ ]
x

x <
[ ]
1x +
vì x không nguyên nên:
[ ]
x
<
x <
[ ]
1x +

[ ]
( )

[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 1 ( 1) 1x x x hay x x x x + < < < + = +
.
Theo định nghĩa phần nguyên ta có:
[ ] [ ]
( )
1 1x x = +
b)
[ ]
x


x ,
[ ]
y


y nên
[ ]
x
+
[ ]
y


x + y do đó
[ ]
x
+
[ ]

y



[ ]
x y+
8. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Xem chuyên đề trong sách NCPTT
1
Bài 140, 141/ 23 ( BTT7 tập 1)
9. Số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn Xem chuyên đề trong sách NCPTT
1
II. HìNH HọC
1. Chứng minh tam giác bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau:
46, 47, 48, 62, 63, 64, 65, 66/ BTT7 T
1
; 24-39 / NCPTT
1

2. Các đ ờng đồng qui trong tam giác Xem các ví dụ và bài tập trong sách NCPTT
2
3. Tính số đo góc

Xem phần Chuyên đề trong sách NCPTT
2
.
4. Đ ờng trung bình 149 - 158 / NCPTT
2
.
5. Định lí Py ta go
1. Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 15cm. Tính độ dài các cạnh

góc vuông.
2. Cho tam giác ABC có
à
0
90A =
, AB = 8 cm, BC = 17 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia
CD

AC và CD = 36 cm. Tính AB + BC + CD +DA?
trờng THCS hải hậu
tham khảo ôn tập hè 2008 GV biên soạn: Lu tuấn nghĩa
TTT6
KHễNG CH DNG LI VIC GII TON !
Trong hc toỏn, vic to c thúi quen ch ng tỡm tũi, khai thỏc, phỏt trin cỏc bi toỏn s giỳp ngi hc
hiu sõu sc kin thc ó hc, phỏt trin t duy sỏng to v tip thu tt nhng kin thc mi.
* Chỳng ta s bt u t mt bi toỏn quen thuc.
Bi toỏn 1
Cho ABC cú B = 90
o
; ng cao BH. Gi M v N ln lt l trung im ca BH v HC. Chng minh :
AM vuụng gúc vi BN.
Li gii :
T gi thit ta cú : MN l ng trung bỡnh ca HBC (hỡnh 1) => MN // BC, mt khỏc BC vuụng gúc AB =>
MN vuụng gúc vi AB.
Xột ABN cú MN vuụng gúc vi AB ; BM vuụng gúc vi AN => M l trc tõm ca ABN => AM vuụng gúc
vi BN (pcm).
* Cú rt nhiu hng phỏt trin bi toỏn 1, cho ta nhng bi toỏn mi khỏ thỳ v. T suy ngh nu to c
ng thng song song vi AM hoc BN thỡ ng thng ú s tng ng vuụng gúc vi BN hoc AM, ta cho
thờm im K m B l trung im ca KC (hỡnh 2), d dng nhn thy BN l ng trung bỡnh ca CKH =>
BN // KH => AM vuụng gúc vi KH. Ta cú bi toỏn sau :

Bi toỏn 2 :
Cho ABC cú gúc B = 90
o
; ng cao BH. Gi M l trung im ca BH v K l im i xng vi C qua B.
Chng minh : KH vuụng gúc vi AM.
Li gii :
Gi N l trung im ca HC, theo chng minh trờn, ta cú pcm.
* Hon ton l bi toỏn 2 nhng vi cỏch phỏt biu khỏc i, ta cú bi toỏn 3.
Bi toỏn 3 :
Cho ABC cõn ti A, ng cao AH. H HI vuụng gúc vi AC, M l trung im ca HI. Chng minh rng BI
vuụng gúc vi AM.
* Tip tc phỏt trin theo hng trờn : to ra ng thng song song vi AM, ng thng ú ct vuụng gúc
vi BN.
Bi toỏn 4 :
Cho hỡnh ch nht ABCD. Gi H l hỡnh chiu ca B trờn AC, I v N ln lt l trung im ca AD v HC.
Chng minh rng BN vuụng gúc vi IN.
Li gii :
trờng THCS hải hậu
tham kh¶o «n tËp hÌ 2008 GV biªn so¹n: Lu tuÊn nghÜa
Gọi M là trung điểm của BH (hình 3).
Ta có AM vuông góc với BN (bài toán 1). Ta còn phải chứng minh AM // IN, thật vậy :
Do MN là đường trung bình của ΔHBC nên MN // = 1/2BC , mặt khác, ABCD là hình chữ nhật và I là trung
điểm của AD nên IA // = 1/2 BC . Do đó IA // = MN => MNIA là hình bình hành => AM // IN, bài toán được
chứng minh xong.
* Bài toán 4 còn nhiều cách giải khác. Kết hợp bài toán 3 và bài toán 4 ta có bài toán mới khó hơn chút xíu.
Bài toán 5 :
Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK ; HI vuông góc với AC. M và N lần lượt là
trung điểm của IC và AK. Chứng minh rằng MN vuông góc với BI.
Lời giải :
Gọi J là trung điểm của HI (hình 4). áp bài toán 3 ta có BI vuông góc với AJ ; mặt khác, theo chứng minh của

bài toán 4, tứ giác AJMN là hình bình hành và AJ // MN, vậy : MN vuông góc với BI (đpcm).
* Tương tự như bài toán 4 (dựng hình chữ nhật ABCD rồi tạo AM // IN), ta sẽ tạo EF // BN để được bài toán
sau.
Bài toán 6 :
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC ; E, F, M lần lượt là trung điểm của AB, DH, BH.
Chứng minh rằng AM vuông góc với EF.
Lời giải :
trêng THCS h¶i hËu