SKKN- Phương pháp cm bất đẳng thức

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
 !"
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) *%% &%"+,'+
-.%)/% &#), *#.##
% &0
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<% & *=!8!"%
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>?@/%(000 *67!8
=#"000A=B6CD#), *'D
.%)% &0
D)!"BEFG1H63#2
)%% &%%
&F)IJ#.## >
6K > *?)%093=/
6G1H"D)2!B;! 6
$$%D=!8D)!"%=#
0
!/ K *=#?+6;#.##
B *67!8% &L!4 >M%D NO
. .!4% & P%D#.###)000000
6;%=#=!8Q$#6%?$$3#%
B=!8% &$#6( >? *
#.##$.% &
%0

R
S  ((mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông
cñabÊt ®¼ng thøc )) ;$#66;#.
##% & T! UB
@'"D *6#T/B
 (  *+.KV).
W
B giải quyết vấn đề
phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu
X)!"B?#3#6;%=#% &B6
$$+%=#B >? 3%+
6E %
++(%=#! B
? B+CD#)?!I66;#.
##% &!8/% &+
CD6 ($#6D% &
+6%=#% &
Phần II: các phơng pháp nghiên cứu
P.##
Y.## ;
Y.##+
Phần III: nội dung của đề tài
i : Các kiến thức cần lu ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức
Z@.%-+[%
Z?.%-+\%
Z@.3%Q%-+[%
Z?.3%Q%-+\%
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :
-]L\%[^\%[

%-_L\%%\^\\
H;`*6a(@a(a(%a(BDa(
bcddeR]cR
f
-cL\%[^\Z\%Z
G+)L\%[^\O\%O
Z\%[^\\%O
!-gL\%\!^\Z\%Z!
\%[!^\O\%O!
J-eL\%\d^\\%!
\%[d^\[%!
h-RL\%\di\!\d^\\%!
-WL\%\d^\

\%

\%[^\

\%

?j0
-fL\%i%\d^\
3, Một số bất đẳng thức thông dụngL
< &16L
A?_6;!.%L
ab
ba

+
2

k &K)BL^%
%< &<#KL
A?6;i%iKiBLlKZ%Bm
_


l
_
Z%
_
mlK
_
ZB
_
m
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y
b
x
a
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++
k &K)BL%

d

II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng
thức
1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
OXDLa(n\<Kb+nO<on
O<\d0
OpTLn
_


d?ni!qq^qqK)Bn^d0
r
OA-!8L
Bµi 1.1 :
A?6;LKBsQLK
_
ZB
_
Zs
_
Zc
≥
_lKZBZsm
Gi¶i :
Kb+LG^K
_
ZB
_
Zs
_
ZcO_lKZBZsm

^K
_
ZB
_
Zs
_
ZcO_KO_BO_s
^lK
_
O_KZ]mZlB
_
O_BZ]mZls
_
O_sZ]m
^lKO]m
_
ZlBO]m
_
ZlsO]m
_
klKO]m
_

≥
d?K
lBO]m
_

≥
d?B

lsO]m
_

≥
d?s
 ^\G
≥
d?KBs
GBK
_
ZB
_
Zs
_
Zc
≥
_lKZBZsm?KBs0
k%QK)B[^\K^B^s^]0
Bµi 1.2L
1%!J6;L
1QL
_
Z%
_
Z
_
Z!
_
ZJ
_


≥
l%ZZ!ZJm
Gi¶i :
tb+LG^
_
Z%
_
Z
_
Z!
_
ZJ
_
Ol%ZZ!ZJm
^l
b
a
−
2
m
_
Zl
c
a
−
2
m
_
Zl

d
a
−
2
m
_
Zl
e
a
−
2
m
_
kl
b
a
−
2
m
_

≥
d?%
kl
c
a
−
2
m
_


≥
d?
kl
d
a
−
2
m
_

≥
d?!
kl
e
a
−
2
m
_
≥
d?J
^\G
≥
d?%!J
kqq^qqK)B[^\%^^!^J^
2
a
Bµi 1.3 :1% &L


2
22
22






+
≥
+
baba
]d
Giải :
tb+LG^
2
22
22






+

+
baba
^

4
)2()(2
2222
bababa
+++
^
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+
baabbaba
0A?%0
kqq^qqK)B^%0
2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng .
OXDL<D N% &C. .?%
& $3% & P * $0
O96;% &F!4L
lnZ<m
_
^n
_
Z_n<Z<
_
lnO<m
_
^n

_
O_n<Z<
_
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_
^n
_
Z<
_
Z1
_
Z_n<Z_n1Z_<1
lnZ<m
c
^n
c
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_
<Zcn<
_
Z<
c
lnO<m
c
^n
c
Ocn
_
<Zcn<
_

O<
c
uuuuuuuuuuu0
A-!8L
Bài 2. 1L1%6;!.N%Q]01QL

3
4
1
1
1
1

+
+
+
ba
Giải:
k4#b#%D N. .i
clZ]Z%Z]m

glZ]ml%Z]m
r

gl%ZZ%Z]mlZ%^]m
r

g%Zf]

g%lZ%m

_


g%
< &; $0HB #)0
Bài 2. 2L1%6;!.)PLZ%Z^g
1QLlZ%ml%ZmlZm


c
%
c

c

Giải:
vLlZ%m
_


g%lZ%Zm
_
^
[ ]
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2
+++
^\]R

glZ%m^\]RlZ%m

glZ%m
_


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^\Z%

%
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%
Z

%
]]
^\lZ%ml%ZmlZm
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c
%
c

c

Bµi 2.3L1% &L

3
33
22







+
≥
+
baba
i \di%\d
Gi¶i :
k4#b#%D N. .LA?\di%\d^\Z%\d

3
33
22






+
≥
+
baba









+
≥+−






+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
0
2
2







+
ba

_
O%Z%
_

≥

2
2






+
ba
g
_
Og%Zg%
_

≥

_
Z_%Z%
_


c
_
OR%Zc%
_

≥
cl
_
O_%Z%
_
m
≥
d
< &;4 $i6BL
3
33
22






+
≥
+
baba
Bµi 2.4:
1_6;%)PZ%^]019w
c

Z%
c
Z%
≥

2
1
Gi¶i :
L
c
Z%
c
Z%
≥

2
1
[^\
c
Z%
c
Z%O
2
1

≥
d
[^\lZ%ml
_
O%Z%

_
mZ%O
2
1

≥
d
[^\
_
Z%
_
O
2
1
≥
d0AZ%^]
[^\_
_
Z_%
_
O]
≥
d
[^\_
_
Z_l]Om
_
O]
≥
dl%^O]m

[^\g
_
OgZ]
≥
d
[^\l_O]m
_

≥
d
< &;4 $0A=B
c
Z%
c
Z%
≥

2
1
kqq^qqK)B^%^
2
1
Bµi 2.5 :1% &L
3
33
22







+
≥
+
baba

 L\d%\d0
Gi¶i :
]_
A?\d%\d^\Z%\d
L
3
33
22






+

+
baba
[^\
( )
2
22
22

.
2






+






+
+






+
baba
baba
ba
[^\
2
22

2






+
+
ba
baba
[^\g
_
Og%Zg%
_



_
Z_%Z%
_

[^\cl
_
O_%Z%
_
m

d
[^\clO%m

_


d0< &B $
^\
3
33
22






+

+
baba
kqq^qqK)B^%0
Bài 2.6LA?\d%\d01% &L

a
b
a




a
b

b

Giải :
k4#b#%D N. .L

a
b
a




a
b
b

l
)() baabbbaa
++

d

[ ]
0)()()(
33
++
baabba

0)())((
+++

baabbababa

0)2)((
++
bababa

0))((
+
baba
< &; $i6BL
a
b
a




a
b
b


3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
OXDLk4% &JL16<#K
% &!>B+ ; (%D N
96;+)v% &LK
_
ZB
_

_KB
A?%\d
2
+
a
b
b
a
1-!8L
Bài 3.1Lx)67%6;!.QL

2
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a

]c
Gi¶i
#!8<a1BL
Zl%Zm

)(2 cba
+≥

cba
a
cb
a
++
≥
+
2
. *L

cba
b
ac
b
++
≥
+
2

cba
c
ba
c
++
≥
+
2

k%Q/%<a( oFK)B L
^%Z%^Z^Z%Z%Z^dl?)D% 
6;!.m0
v 6BL
2
>
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Bµi 3.2:
1KB_6;)PL

K
_
ZB
_
^
22
11 xyyx
−+−
 1QLcKZgB
≤

e
Gi¶i :
¸#!8% &<#KL
lK
_
ZB
_
m
_
^l
22
11 xyyx
−+−
m
_
l
1
≤
x
i
1
≤
y
m

≤
lK
_
ZB
_

ml]OB
_
Z]OK
_
m
^\K
_
ZB
_

≤
]
"LlcKZgBm
_

≤
lc
_
Zg
_
mlK
_
ZB
_
m
≤
_e
^\cKZgB
≤
e

a&K)B







=
>>
=+
43
0,0
1
22
yx
yx
yx






=
=
5
4
5
3

y
x
a+L
2
5
2
3
≤≤
x
Bµi 3. 3:1%
≥
diZ%Z^]01QL

6
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%
5,3111
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Gi¶i
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( )
( )
( ) ( ) ( )







+++++++≤+++++
222
1111.1.1. accbbaaccbba
^\
( )
6)22.(3
2
=++≤+++++
acbaaccbba
]g
^\
6
≤+++++
accbba
0
kqq^qqK)BL^%^^
3
1
%¸#!8% &16L

1
22
1)1(
1 +=
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aa
a
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1
2
1
+≤+
b
b
i
1
2
1
+≤+
c
c
1vD/c% & *L

5,33
2
111
=+
++
≤+++++
cba
cba
k &K)B^%^^d?)DLZ%Z^ ]
A=BL
5,3111
<+++++
cba
Bµi 3.4L16;!.%)PLZ%Z^]0
1QL

9
111
≥++
cba
Gi¶i :
L
0
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a
b
b
a
%\d
L
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cba
111
)
111
(
cba
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0]^
)
111
(
cba
++
0lZ%Zm
^

111 ++++++++
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
^
≥++++++
)()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
cZ_Z_Z_^r
^\

9
111
≥++
cba
kqq^qqK)BL^%^^
3
1
Bµi 3.5
1KB\d01QL
yxyx
+
≥+
411


Gi¶i
¸#!8% &16L
xyyx 2
≥+


yx
11
+

≥

xy
2
^\lKZBml

yx
11
+
m
≥
g
]e
^\
yx
11
+



yx
+
4
4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
OXDLk4- P * (=!8)%
=#0
1-!8L
Bài 4.1 :1_6;KB)P +LKZB^_0
1QLK
g
ZB
g


_
Giải

J-%,CLlK
_
OB
_
m

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g
ZB
g


_K
_
B
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g
ZB
g
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_
ZB
_
m
_
l]m
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_


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ZB
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_
ZB
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_
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_
ZB
_
m

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K
_
ZB
_

_l_m
vl]ml_mLK
g
ZB
g


_
kqq^qqK)BK^B^]0
Bài 4.2:
1d[%![]01QL
l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!0
Giải :
Ll]Oml]O%m^]OO%Z%
k%\d%\d^\l]Oml]O%m\]OO%0
k[]]O\d^\l]Oml]O%ml]Om\l]OO%ml]Om
l]Oml]O%ml]Om\]OO%OZZ%0
k%!\d]O!\diZ%\di!Z%!Z!\d
^\l]Oml]O%ml]Om\]OO%O
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\l]OO%Oml]O!m
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!Z!Z%!Z!
^\l]Oml]O%ml]Oml]O!m\]OO%OO!0
Bài 4.3 :1d[%[]01QL
_
c
Z_%
c
Z_
c

[cZ
_
%Z%
_
Z
_

Giải :
]R
k%[]^\
c
[
_
[[]i%
c
[%
_
[%[]iL
l]O
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c
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c
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c
Z
c
[]Z%
_
i
c
Z
c
[]Z
_
0
^\_
c
Z_%
c
Z_
c
[cZ
_
%Z%

_
Z
_

5.phơng pháp 5 : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự
nhiên
Bài 5.1: 1\%\d19wL

1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
\
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+
x)L
a(% &% &
6D\%\d6;\
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

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+ +
l]m
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l]m

2 2
m m m n n n
m m n n
a b b a b b
a b a b
+ +
>
+ +


]O
2 2 2 2
1
m n m n
m m n n m m n n
b b b b
a b a b a b a b
> >
+ + + +
m n
m n
m n
m m n n
m m n n
m m n n

b b
b b
b b
a b a b
a b a b
b b b b
< <
+ +
+ +
1 1
1 1
m n
m n
a a
b b
<
+ +
1 1
m n
m n
a a
b b
+ > +
( ) ( )
m n
m n
m n
a a a a
b b b b
> >

l_m
< &l_m $\%\d
1
a
b
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$
á#!8% &
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

>
+ +
;\%\d\
^]rrR^]rre% &#)y $
1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
\
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+
6. phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác
% !%"/

[%Zl]m
%[Zl_m
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