Giải pháp riemann cho bài toán khí động lực học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRẦN XUÂN HOÀNG

GIẢI PHÁP RIEMANN CHO
BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 08 năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRẦN XUÂN HOÀNG

GIẢI PHÁP RIEMANN CHO
BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. Hồ CHÍ MINH, tháng 08 năm 2017

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS Mai Đức Thành
Cán bộ nhận xét 1: TS. Nguyễn Bá Thi.
Cán bộ nhận xét 2: PGS. TS. Tô Anh Dũng.
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 03 tháng 08
năm 2017.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. PGS. TS. Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch Hội đồng.
2. PGS. TS. Tô Anh Dũng - Phản biện 2.
3. TS. Nguyễn Bá Thi - Phản biện 1.
4. TS. Đặng Văn Vinh - Thư ký.
5. TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm - ủy viên.
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi
luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY

PGS. TS. HUỲNH QUANG LINH



ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐỘC LẬP - Tự Do - HẠNH PHÚC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: TRẦN XUÂN HOÀNG
Ngày, tháng, năm sinh: 19/10/1991

MSHV: 7140271
Nơi sinh: Bình Định

Chuyên ngành: Toán ứng Dụng

Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: GIẢI PHÁP RIEMANN CHO BÀI TOÁN KHÍ ĐỘNG
LỰC HỌC.
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
Đọc, tìm hiểu và tổng hợp lại các nội dung sau đây từ nhiều bài báo và tài liệu tham khảo:
- Kiến thức tổng quan.
- Những vấn đề liên quan đến khí động lực học.
- Giải pháp Riemann ứng dụng cho bài toán khí động lực học.

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2016
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/07/2017
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS MAI ĐỨC THÀNH
Tp. Hồ Chí Minh, ngày ... tháng ... năm ...

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

(Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC VÀ ỨNG DỤNG
(Họ tên và chữ ký)

3


Lời cám ơn
Trong suốt quá trình thực hiện và nghiên cứu đề tài luận văn thạc sĩ chuyên ngành
Toán ứng Dụng, tôi đã luôn nhận được rất nhiều sự quan tâm và giúp đỡ từ phía Thầy Cô,
người thân và bạn bè.
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành kính gửi đến Thầy, PGS.TS Mai Đức Thành lời cảm
ơn sâu sắc nhất về sự tận tình hướng dẫn của Thầy đối với tôi trong toàn bộ thời gian làm
luận văn. Đó là những kiến thức nền tảng chuyên ngành, phương pháp và kỹ năng trình
bày luận văn thạc sĩ, đối với tôi nó không chỉ giúp tôi hoàn thành tốt luận văn mà còn hình
thành phương pháp tự nghiên cứu và học tập nhằm phục vụ cho công tác sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong bộ môn Toán ứng dụng - khoa Khoa
học ứng dụng và phòng Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Bách Khoa TP.HỒ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt thời
gian tôi học lớp cao học tại trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn thân thương nhất đến gia đình, đồng nghiệp và bạn
bè đã hỗ trợ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất giúp tôi có thể theo đuổi công
việc học tập và nghiên cứu này.
Xin chân thành cảm ơn!
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 6 năm 2017.

Trần Xuân Hoàng

4


TÓM TẮT LUẬN VĂN
Trong luận văn này chúng tôi tập trung tìm hiểu các đặc trưng của hệ phương trình khí
động lực học một chiều. Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu về phương pháp số giải
bài toán Riemann bằng matlab, thông qua việc nghiên cứu các sóng cơ sở như sóng sốc,
sóng giãn, gián đoạn tiếp xúc. Từ đó có thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán
Riemann cho hệ phương trình khí động lực học và các mô hình khác.
Luận văn được trình bày gồm 3 chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản.
Chương 2 trình bày những vấn đề liên quan đến khí động lực học.
Chương 3 trình bày giải pháp Riemann ứng dụng có bài toán khí động lực học.

ABSTRACT
In this thesis, we make a closer study of the one-dimensional system of gas dynammics.
In chapter 3, we research numerical solution of the Riemann problem using matlab by
researching base waves such as shock wave, rarefaction wave and contact discontinuity.
Base on that, we can find exact solution of the Riemann problem for gas dynamics and
other systems.
The thesis contains three chapters.
Chapter 1 presents the basic concept.
Chapter 2 presents some problems related to gas dynamics.
Chapter 3 presents numerical solution of the Riemann problem for gas dynamics.

5

Lời cam đoan
Tôi tên là Trần Xuân Hoàng, mã học viên: 7140271, học viên cao học chuyên ngành
Toán ứng dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2014. Tôi xin
cam đoan rằng: ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong
luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện và chưa có
phần nội dung nào của luận văn này được nộp để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường
khác.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 6 năm 2017.

Trần Xuân Hoàng

6


Mục lục
«•

Lời cám ơn

Danh mục hình vẽ
Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu

10

Mở đầu

11

1 KIẾN THỨC TỒNG QUAN

13

1.1 Hệ luật bảo toàn trong không gian nhiều chiều .............................................

13

1.2 Nghiệm yếu của định luật bảo toàn ................................................................

18

1.2.1 Dưòng đặc trưng trong trường hợp vô hướng và một chiều .

18

1.2.2 Hệ thức Rankine-Hugoniot

20

1.2.3 Tính không duy nhất của nghiệm yếu

23

1.3 Nghiệm Entropy

24

1.3.1 Khái niệm entropy toán học

24

1.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm entropy trong trưòng hợp
vô hưóng

27

2 NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐEN KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC

29

2.1 Những đặc tính của Entropy vật lý

29

2.2 Khí lý tưởng

35

7


3 GIẢI PHẤP RIEMANN ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN KHÍ
ĐỘNG LỰC HỌC

38

3.1 Tính chất cơ bản của hệ phương trình khí động lực học

38

13.1.1 Tính Hyperbolicl ..........................................................

38

3.1.2 Các trưòng đặc trưng thuần phi tuyến và suy biến tuyến tính 41
3.2 Sóng sốc

45

3.2.1 Tập hợp Rankine-Hugoniot

45

3.2.2 Gián đoạn tiếp xúc

47

3.2.3 Sốc thỏa bất đẳng thức sốc Lax

50

3.2.4 Đường cong sốc chấp nhận được cho hệ phương trình khí
động lực học

51

3.3 Sóng giãn

56

3.3.1 Công thức sóng giãn

56

3.3.2 Đường cong tích phân

57

3.3.3 Đường cong tích phân cho hệ phương trình khí động lực học

59

3.4 Nghiệm của bài toán Riemann

61

13.4.1 Rài toán Riemannl . .

61

3.4.2 Thiết lập phương trình cho áp suất và vận tốc hạt

64

3.4.3 Phương pháp số cho bài toán Riemann

68

KẾT LUẬN

78

TÀI LIỆU THAM KHẢO

79

8


Danh muc hình vẽ
Hình 3.1. Nghiệm của bài toán Riemann cho hệ tuyến tính.
Hình 3.2. Các trạng thái bên trái và bên phải có thể được nối với trạng thái a qua sóng
sốc.
Hình 3.3. Các trạng thái bên phải có thể được kết nối với trạng thái a qua sóng sốc.
Hình 3.4. Các trạng thái bên trái có thể được kết nối với trạng thái a qua sóng sốc.
Hình 3.5. Cấu trúc nghiệm của bài toán Riemann trên mặt phẳng x-t của hệ phương
trình khí động lực học một chiều.
Hình 3.6. Đường cong bài toán Riemann cho hai sóng sốc (1-sốc và 3-sốc).
Hình 3.7. Đường cong bài toán Riemann cho 1-sốc và 3-giãn.
Hình 3.8. Đường cong bài toán Riemann cho 1-giãn và 3-sốc.
Hình 3.9. Đường cong bài toán Riemann cho hai sóng giãn (1-giãn và 3-giãn).
Hình 3.10. Sóng sốc bên trái với tốc độ SLHình 3.11. Hoạt động của hàm áp suất trong việc tìm nghiệm của bài toán Riemann.
Hình 3.12. Nghiệm

của bàitoán riemann tại thời điểm t = 0.15 s.

Hình 3.13. Nghiệm

của bàitoán riemann tại thời điểm t = 0.25 s.

Hình 3.14. Nghiệm

của bàitoán riemann tại thời điểm t = 0.012 s.

Hình 3.15. Nghiệm

của bàitoán riemann tại thời điểm t = 0.035 s.

9


Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu

Ký hiệu

Ý nghĩa

p

Mật độ của dòng chảy

p

u

Ấp suất
Thể tích riêng

T

Vận tốc

7
e

Tĩ số nhiệt dung riêng
Nang lượng riêng toàn phần

e

Nội năng riêng, nội năng trên một đơn vị khối lượng

c

Tốc độ âm thanh

10


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Khí động lực học là bài toán nghiên cứu về dòng chảy của chất khí, được nghiên cứu
đầu tiên bởi George Cayley vào thập niên 1800. Giải pháp cho các vấn đề khí động lực
học dẫn đến các tính toán về tính chất khác nhau của dòng chảy, như vận tốc, áp suất, mật
độ và nhiệt độ, như là các hàm của không gian và thời gian. Khi hiểu được các tính chất
này của chất khí, người ta có thể tính toán chính xác hay xấp xỉ các lực và các mômen lực
của hệ thống dòng chảy.
Đến nay, lý thuyết này đã đạt được nhiều thành tựu trong các lĩnh vực hàng không, vũ
trụ, vật lý, cơ khí, chế tạo máy..., và đây thực sự là một đề tài mang tính thời sự đã và đang
được nhiều người trên thế giới quan tâm, nghiên cứu.

Việc nghiên cứu bài toán Riemann cho phép khảo sát các sóng cơ sở, các tính chất cơ
bản của hệ phương trình khí động lực học. Nghiệm của bài toán Riemann kết hợp từ các
sóng cơ sỏ có thể được sử dụng để xây dựng các phương pháp số, chẳng hạn phương pháp
Godunov cho bài toán Cauchy.

II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích cơ bản của luận văn này là phân tích, tìm hiểu và tổng hợp lại kết quả của bài
toán Riemann từ nhiều bài tài liệu và bài báo ỏ mục tài liệu tham khảo, thông qua việc tìm
hiểu các tính chất của hệ hyperbolic của các định luật bảo toàn, các sóng cơ sỏ và ứng
dụng các kết quả tìm nghiệm cho hệ phương trình khí động lực học.

III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết hệ hyperbolic của các định luật bảo toàn và phương
trình khí động lực học, các loại sóng cơ sỏ như sóng sốc, sóng giãn, gián đoạn tiếp xúc.
- Phạm vi nghiên cứu: tìm hiểu hệ hyperbolic của các định luật bảo toàn, bài toán
Riemann cho hệ phương trình khí động lực học.

11


IV. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và tìm hiểu tài liệu, làm rõ các chứng minh định lý trong tài liệu tham khảo.
- Tìm hiểu, phân tích giải pháp Riemann cho bài toán khí động lực học .
- Viết chương trình tìm nghiệm của bài toán Riemann.

V.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Ý nghĩa khoa học: Luận văn này làm rõ phương pháp số cho hệ hyperbolic của các

định luật bảo toàn và đưa ra giải pháp Riemann cho bài toán khí động lực học.
- Ý nghĩa thực tiễn: ứng dụng các kết quả của giải pháp Riemann để mô phỏng nghiệm
của bài toán khí động lực học. Nghiệm của bài toán Riemann có thể được sử dụng để xây
dựng phương pháp số, chẳng hạn phương pháp Godunov để xấp xỉ nghiệm bài toán giá trị
ban đầu.

VI. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có 3 chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản.
Chương 2 trình bày những vấn đề liên quan đến khí động lực học.
Chương 3 trình bày giải pháp Riemann ứng dụng có bài toán khí động lực học.

12


Chương 1

KIẾN THỨC TỔNG QUAN
Trong chương này, sẽ trình bày những kiến thức cơ bản được sử dụng trong Luận văn.
Trước hết, ta nhắc lại những kiến thức liên quan đến hệ luật bảo toàn trong không gian
nhiều chiều.

1.1

Hệ luật bảo toàn trong không gian nhiều chiều

Cho là một tập mở trong và fj, 1

d là các hàm trơn từ: -> Khi

đó dạng tổng quát của hệ các định luật bảo toàn trong không gian nhiều chiều có dạng:
(1-1)
trong đó:

u = u(x,ì) =
rtp(x, t) Ị
là hàm véctơ giá trị, u :
X [o, +oo[ —> fì. Tập được gọi là tập các trạng thái và các
hàm được gọi là hàm thông lượng.
Từ hệ (1.1), với D là miền tùy ý trong Rd và n = (m,...,ni}T là véctơ tiếp xúc

13


với biên dD của D. Ta có:
dt /Dudx + 52 /dD fj(U)njdS = °Phương trình cân bằng này có ý nghĩa tự nhiên là biến phân theo thời gian của udx đúng
bằng thông lượng thất thoát qua biên dD.
Ký hiệu:
AM=

là ma trận Jacobian của /j(tt), với j = 1,d.

Định nghĩa 1.1 (xem [ , trang 1)
Hệ (1.1) được gọi là hệ hyperbolic nếu: với e Í2 và Vcư = (cưi, ...,cưd) € Rd, cư
0, thì ma trận:

j=l

có p giá trị riêng thực: Xi(u,w) A2(1Í, cư)

Xp(u, cư) và p vectơ riêng độc lập

tuyến tính ri(tt, cư), r2(tt,cư),..., rp(u, cư);
Aịu,cư)rk(u,ư) = xk(u,uj')rk(u,uj), l^k^p.
Khi đó, ta nói cặp Xk(u, Lv')rk(u, uj') là trường đặc trưng thứ k (1 k p).

Định nghĩa 1.2 (xem [ ], trang 2)
Hệ (1.1) được gọi là hệ hyperbolic ngặt nếu: ma trận Aj(u) có p giá trị riêng
phân biệt: Ai(tt,cư) < Ă2(tt, cư) < ... < Ap(tt,cư).
Bài toán Cauchy (bài toán giá trị ban đầu): tìm hàm
u : (x, í) e X [o, +oo [ —> u(x, t) G
sao cho nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
u(x, 0) = Uo(x), X E
trong đó: Uữ :

(1-2)

-> là hàm cho trước.

Trong trường hợp bài toán một chiều, xét hàm dữ kiện ban đầu Uữ có dạng: với Ui và ur
là các trạng thái hằng cho trước.
UỊ, X < 0
«o(a?) = <
Khi đó, bài toán Cauchy của hệ (1.1) được gọi là bài toán Riemann.

Trong trường hợp vô hướng (p = 1), ví dụ đơn giản nhất của hệ luật cân bằng phi tuyến
là phương trình Burgers.
UT, X > 0,
14

Ví dụ 1.1: Phương trình Burger

1): với
2

và f : R -> R là hàm lồi, trơn.
Ví dụ 1.2: Hệ phương trình khí động lực học đẳng entropy một chiều trong hệ tọa độ
Lagrangian (hệ p) (xem I
°
1

w=0

lã ã?

(1-4)
’

với V là thể tích riêng, u là vận tốc, và áp suất p = p(v) làm hàm theo V.
Trong trường hợp khí động lực học đẳng entropy nhiều chiều, ta có:
p(v) = Av 7
với các hằng số A = 2ầ(s) > 0 (phụ thuộc vào entropy) và 7
dạng:

1, khi đó hệ (1.4) có

trong đó:
(Ạ . í-“} „ „
W=Ị ,/(w)=

ựJ

,n = {(v,u) e R2;v > 0}.

ự(v) J

Hệ này là hệ hyperbolic ngặt với điều kiện ta giả định rằng p'(v) < 0.
Trong trường hợp, ma trận Jacobian của f:
A(w) = Í ,° ? Ì
\p'(O
0J

15


có hai giá trị riêng thực phân biệt
A1 = -y/(-p'(v)) < Ă2 = ự(-p'(v)).
Trong trường hợp vô hướng, hệ p (1.4) là một ví dụ không tầm thường đơn giản nhất của
hệ luật cân bằng phi tuyến. Chú ý rằng bất kỳ phương trình sóng phi tuyến
d2g d ( ~
đều có thể viết dưới dạng (1
’ã?- - ã? = -’w
Ví dụ 1.3: Hệ phương trình khí động lực học trong hệ tọa độ Eulerian.
Ta có hệ phương trình Euler mô tả cho dòng chảy nén được và không có tính nhớt (bỏ qua
sự dẫn nhiệt) được viết dưới dạng (xem [

]):

—+ X —z-'-) = 0,
j=i

< — (puị) +

--- (pUịUj +pơịj) = 0, 1 i 3,

(1.5)

ãĩw+^ãĩ7^+í'W = 0j=l J
Trong đó p là mật độ của dòng chảy, u = (ríi,rt2,ií3) là vận tốc, p là áp suất, và
|rt|2
e = e+

2

là năng lượng toàn phần riêng (với £ là nội năng riêng, nội năng trên một đơn vị khối
lượng).
Trong trường hợp riêng phương trình trạng thái có dạng:
p = p(p, e)Trong trường hợp đa hướng, phương trình trạng thái được cho bỏi:
p = (7 - l)pe, 7 > 1.
Đặt:
qi = puị, 1 i 3, E = pe,

16


hệ (1.5) có thể được viết dưới dạng hệ (1.1), nếu ta lấy:

\E)

Ự^ + p)91/^
92

/\
93

9192/p

9193/p

p + qỉ/p

, /3(V) =

9293/p

p + 93/p
ẠE + p)q3/'p)

(E + p)ợ2/p,

= |(A Q

= (91, 92, 93), E)-p > 0, q e R3, E —

>0

Ta thấy, trong trường hợp một chiều, hệ phương trình khí động lực học (1.5) với phương
trình trạng thái là một hệ luật cân bằng hyperbolic phi tuyến đối xứng ngặt.
Trong nhiều ứng dụng, ta không phải giải cho một hệ đầy đủ. Ví dụ như đối với dòng chảy
đẳng entropy, với việc giảm thiểu phương trình trạng thái:
p = p(p),

cũng đủ để giải hệ phương trình cho định luật bảo toàn khối lượng và động lượng Nếu giả
định rằng dòng chảy có tính đối xứng, khi đó ta có thể giảm thiểu số lượng biến không
gian, như trong trường hợp đối xứng, hệ phương trình khí động

17


lực học trở thành:

(1.6)

Tương tự, ta chọn p, q = pu, E = pe là các biến độc lập. Khi đó hệ (1.6) có thể viết lại
thành hệ (1.1) với d = 1, p = 3.

1.2

Nghiệm yếu của định luật bảo toàn

Trở lại với bài toán Cauchy (1.1), (1.2) cho hệ luật cân bằng tổng quát. Ta thấy rằng
hàm u :

X [o, +oo[ -> là nghiệm cổ điển của hệ (1.1), (1.2) nếu u là

một hàm trong không gian c1 và thỏa mãn hệ phương trình (1.1), (1.2) theo từng điểm.
1.2.1 Đường đặc trưng trong trường hợp vô hướng và một chiều
Giả sử p = d = 1 và cho f : R -> R là một hàm trong không gian c1.
Xét bài toán:
du d
n_
= 0, X € R, t > 0,

u(x, 0) = rtoộr), X E R,

(1.8)

ữ(u) = /'(«).

(1.9)

và đặt:

Để u là nghiệm cổ điển của (1.7), ta viết (1.7) dưới dạng phi bảo toàn:

Đường cong đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng (1.7) được định nghĩa là đường
cong tích phân của phương trình vi phân:
^ = a(u(x(i),t)).

(1.10)

Mệnh đề 1.1 (xem [ ], trang 12):
Nếu u là một nghiệm trơn của (1.7) thì các đường cong đặc trưng của (1.10) là những
đường thẳng mà dọc theo đó hàm u là hàm hằng.
Chứng minh:

18


Xét bài toán mà nghiệm của nó là một đường cong đặc trưng đi qua điểm (ư?0,0):

ư?(0) = Xo-

Khi đó tồn tại ít nhất một khoảng thời gian [o, to) nhỏ, sao cho dọc theo đường cong đó,
hàm u là hàm hằng:
t) =

^ (l(t), () + g (xti), t) ^(t)
-\jr+“w&)Wí)’t) = 0'

Do đó, theo (1.10) các đường cong đặc trưng là những đường thẳng có độ dốc không đổi
phụ thuộc vào dữ liệu ban đầu, và những đường thẳng đặc trưng này đi qua điểm (xo,0)
được cho bởi phương trình:
X = Xo + tữ(río(xo)).

(1.11)

u(x,i) = lío(xo),

(1-12)

Ta có:

trong đó Xo là nghiệm của (1.11). Giả sử tồn tại hai điểm X1 < X2 sao cho:
1_1
mi

ữ(u0(xi))

ữ(rto(x2))‘

Khi đó, hai đường cong 61 và c2 được vẽ từ hai điểm (xi,o) và (x2,0), theo thứ tự sẽ có độ
dốc là 7711 và m2 và hai đường cong này cần phải giao nhau tại điểm p nào đó.
Tại điểm p này, nghiệm u nhận cả hai giá trị Uo(xi) và Wo(x2), điều này là không thể. Do
đó, nghiệm u không thể liên tục tại p.
Từ (1.11), ta có điều kiện để hai đường đặc trưng cắt nhau tại thời điểm t nếu:
t (a (ito(a?i)) - a (ito(x2))) = x2 - XiNếu hàm X -> a(tto(z)) tăng thì hai đường đặc trưng này cắt nhau tại t>0, ta không thể xác
định được nghiệm u với mọi t>0. Tuy nhiên, nghiệm u của hệ vẫn tồn tại và có thể xây
dựng bằng phương pháp đường đặc trưng đến một thời điểm lớn nhất T* xác định bởi:
T* =

nVQ =

min(aí, 0) j/eR dy

19

(^0(2/)) •


1.2.2

Hệ thức Rankine-Hugoniot

Xét bài toán Cauchy (1.1), (1.2):
' du d d
+ 52
j=l j

<

= °’ x = (*1,-,xd) € t > 0

u(x, 0) = tto(ír), X e

Chú ý: Dấu là tích vô hướng Euclid. Do đó, nghiệm cổ điển u của (1.1), (1.2) thỏa mãn
đẳng thức vi tích phân với: v<£> e Cg(Rd X [0, +00 [)p
í í Iu-~ + 52/ý(M)-^~I + í uo(.x).ip(x,ũ)dx = 0.
Jo JRd [
“7 ơxj J JR1*

(1-13)

Định nghĩa 1.3 (xem [ trang 15)
Với UQ e L^c(^d)p. Khi đó, hàm u e £“c(Rd X [0, +00 [)p được gọi là nghiệm yếu của
bài toán Cauchy (1.1), (1.2) nếu u(x,t) e hầu khắp nơi và thỏa mãn (1.13) với mọi hàm ip
e Cg(Rd X [0, +oo[)p.
Như vậy nếu u là nghiệm cổ điển của bài toán thì u cũng là nghiệm yếu. Ngược lại, bằng
cách chọn

c°°.
Trong X ]o, 00[, nếu u là nghiệm yếu, khả vi liên tục thì nó cũng là nghiệm cổ

20


điển.

Định lý 1.1 (xem [ ], trang 16)
Cho u : Rd X [o, +oo[ -> íì là một hàm trong c1. Khi đó, u là nghiệm của (1.1) trên X
]o, +oo[ (theo ý nghĩa phân phối) nếu và chỉ nếu thỏa mãn hai điều kiện
sau:

(i) u là nghiệm cổ điển của (1.1) trong miền mà u e c1,
(ii) u thỏa điều kiện
ơj(«+) -

(u+ - u-)nt +

n

Xi = 0

j=l
dọc theo bề mặt gián đoạn.
Hệ thức (1.14) được gọi là hệ thức Rankine-Hugoniot.
Chứng minh: (i)
Giả sử rằng u là nghiệm yếu, trơn trong miền D c X ]o, +oo[. Gọi 52 là bề mặt gián
đoạn của u. Khi đó, 52 tách miền D thành hai miền con, ký hiệu: D± (tướng ứng với bên
phải và bên trái của 52)- Giả sử <£> € c^ipy, ta có:
Ũ

'rd

=/D<

u.-

Giả sử n là véc tơ pháp tuyến 52 hướng từ D vào D+. Áp dụng công thức Green trong
miền D+ và D-, ta được:
du y-' r / \
j=l 3

Ịd
S ntu+ + '^2nrijfj(u+) .ipdS

-í
L{
•L
JY.nD

j=i
d

du \' d . .
j=l 3

< ntu- + y^nXj-/j(ĩt-) -pds.

JX.nD

J-1

21


Vậy u là nghiệm cổ điển của (1.1) trong miền D+ và D-, triệt tiêu tích phân thứ nhất và
thứ ba, ta được:
rí
-nt(u+ - rt_) - y2 nXj
J D

^

-VdS = 0
j=i

(ii)
Ta có:

và

Khi đó, (1.14) tương đương với:
d
j=i

Nếu (nX1, ...,nXd) ± (0, ...,0) thì véc tơ pháp tuyến có dạng

. Ill .......

trong đó: s e R và V = («1, ...,Vd)T là véc tơ đơn vị trong Khi đó (1.14) tương đương với:
j=i

Giả sử rằng trong trường hợp hai chiều (d=2), 52 là một mặt cong trơn trong R3 với các
tham số có dạng (t,xi,X2 = £(i, X1)). Ta có:
-1/2

(21+
T
n = (nt,nX1,nX2)
và các điểm V nằm theo hướng dương của của trục Xi- Trong trường hợp một chiều
(d=l), ta giả định rằng 52 là đường cong trơn với tham số (i,£(i)), ta có:

(1.16)
Khi đó, Hệ thức Rankine-Hugoniot (114) trỏ thành:

(1.17)
22


Với phương trình vô hướng, ta được:

Vậy đối với hệ gồm p phương trình, ta có:

1.2.3 Tính không duy nhất của nghiệm yếu
Xét bài toán Riemann của phương trình Burger sau đây (xem [ ], trang 19): ' du d
u2
dt + dx 2
<

Ui, X < 0,
«o(z) = <
ur, X > 0.

Nếu Ui ± ur, theo hệ thức Rankine-Hugoniot, ta thu được một nghiệm yếu của bài toán
do lan truyền gián đoạn với tốc độ s = 2 (ui + Ur), trong đó:
UỊ, X < st

u(x, t) = <

(119)

ur, X > st.

Để kiểm tra phương trình có nghiệm yếu khác hay không, ta cho a là hằng số thỏa
a max(tt/, — urỴ Khi đó hàm u được định nghĩa như sau:
U[. X < Sit
—a, Sit < X < 0
u(x, i) = <
a, 0 < X < S2Ỉ
ur, X > S2Ỉ
và u(x,t) cũng là nghiệm yếu nếu: S1 = ^-2, S2 =

Do đó hệ thức Rankine-

Hugoniot (2.17) được thỏa mãn dọc theo mỗi đường gián đoạn của u. Ta thu được
một họ các nghiệm yếu không liên tục.
Mặc khác, trong trường hợp Uị ur các đường đặc trưng không giao nhau. Rõ ràng, ta
có thể sử dụng phương pháp đường đặc trưng để xác định nghiệm ỏ bất kỳ khoảng nào
ngoại trừ: Ui Y ur. Tuy nhiên, chú ý rằng hàm v(x,L) = f là

23