Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 4: Mô hình hồi quy bội

KINH TẾ LƯỢNG
Econometrics
Chương 4
MÔ HÌNH HỒI QUY BỘI

1


4.1. Mô hình hồi quy tuyến tính 3 biến
Hàm hồi quy tổng thể
E (Y / X 2 , X 3 )

X2

3

X 3i

ui

X3

Gọi Yi  là giá trị quan sát thứ i của biến Y, khi 
đó: 
Yi

1

2

X 2i

1

2

3

ui: sai số ngẫu nhiên

2


4.1.1 Ý nghĩa của các hệ số β 1, β 2, β 3:
 β1: Hệ số tự do (hệ số chặn), nó chính là giá 
trị trung bình c
ủ
a bi
ế
n Y khi X
= X
= 0.
2 
3
E
X2

2

. Điều này có nghĩa là khi chúng 

ta giữ nguyên yếu tố X3  thì giá trị trung bình 
của biến phụ thuộc Y sẽ thay đổi (tăng hoặc 
giảm tùy thuộc vào dấu của β2) β2 đơn vị cho 
 mỗi đơn vị tăng của yếu tố X2.
3


E
Tương tự, 
X3

3

có nghĩa là giá trị trung bình của biến Y tăng 
(hoặc  giảm)  β3  đơn  vị  cho  mỗi  đơn  vị  tăng 
của X3.

4


4.1.2 Các giả thiết của mô hình:
­ Giá trị trung bình của Ui bằng 0 hay:
E(Ui/X2i, X3i) = 0

( i)

­ Phương sai của các Ui là không đổi hay:
Var(Ui) = σ2 

( i)

­  Không  có  hiện  tượng  tự
i   tươ
j ng  quan  giữa 
các Ui, tức: Cov(Ui, Uj) = 0
­  Giữa  các  biến  giải  thích  X2,  X3  không  có 
2
quan  hệ  tuyến  tính  (hiUệi n 
~ Ntượ
(0, ng 
) đa  cộng 
tuyến).
5
­ Ui có phân phối chuẩn: 


4.1.3 Ước lượng các tham số:
Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất 
(Ordinary Least Squares ­ OLS) để ước 
lượng các tham số của mô hình:
E(Y/X2i, X3i) = β1 + β2X2i + β3X3i
Giả sử có n quan sát, quan sát thứ i có 3 giá 
trị ứng với Y, X2 và X3, ký hiệu là: (Yi, X2i, 
X3i). 

6


Hàm  hồi  quy  mẫu  SRF  được  xây  dựng  từ  n 
quan sát này có dạYˆng:

ˆ 1 ˆ 2 X 2 i ˆ 3 X 3i
i
Trong  đó ˆj là  ước  lượng  điểm  của  βj 
(j=1,2,3).Yi ˆ 1 ˆ 2 X 2i ˆ 3 X 3i ei
Khi đó:
ei là phần dư ứng với quan sát thứ i.

ei Yi Yˆi Yi

ˆ1

ˆ 2 X 2i

ˆ 3 X 3i

7


Theo  nguyên  lý  của  phương  pháp  bình 
ˆ3
ˆ 1 ˆ 2 ị      ,      và      
phương nhỏ nhất, các giá tr
được chọn sao cho:

e

2

i

(Y Yˆ )

2

i

(Y

i

i

ˆ

1

ˆX

1

ˆX

2

ˆX )

2

2i

3

min

3i

Hay:
f ( ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3)

n
i 1

e

i

2

n
i 1

(Y

i

ˆ

2

2i

ˆX )
3

3i

2

min

8


Tính các đạo hàm riêng bậc 1 của f ( ˆ 1, ˆ 2,  ˆ 3)
theo  ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3 và cho các đạo hàm riêng đó 
bằng 0, ta được: 
f ( ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3)
ˆ1
f ( ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3)
ˆ2
f ( ˆ 1, ˆ 2, ˆ 3)
ˆ3

2

n

(Yi

ˆ1

ˆ 2 X 2i

ˆ 3 X 3i )( 1) 0

(1)

(Yi

ˆ1

ˆ 2 X 2i

ˆ 3 X 3i )( X 2i ) 0

(2)

(Yi

ˆ1

ˆ 2 X 2i

ˆ 3 X 3i )( X 3i ) 0

(3)

i 1

2

n
i 1

2

n
i 1

9


(1)
n

(Yi

ˆ1

ˆ 2 X 2i

ˆ 3 X 3i ) 0

i 1

Yi n ˆ 1
n

ˆ1

Yi

i 1

ˆ1 Y

n

ˆ2

X 2i
n

ˆ2

ˆ 2 X 2i

X 2i

i 1

n
ˆ 3 X 3i

ˆ3

X 3i
n

ˆ3

0

X 3i

i 1

n

10


Thay kết quả vào các phương trình còn lại và giải, ta 
được: ˆ
ˆ
ˆ
1

ˆ

Y

2

X 2i

2
2i

yi x3i

3

xi

x

x

ˆ

x
Xi

X

X 3i

2
3i

yi x2 i
2

3

2
3i

x

x
2
2i

yi x3i
(

2
2i

x2i x3i )

yi x2 i
2
3i

x

(
yi

x2i x3i
2

x2i x3i

x2i x3i )

2

Yi Y
11


Thí  du  1:  Bảng  dưới  đây  cho  các  số  liệu  về 
doanh số bán (Y), chi phí chào hàng (X2) và chi 
phí  quảng  cáo  (X3)  trong  năm  2001  ở    khu  vực 
bán hang của một công  ty. Hãy  ước lượng hàm 
hồi  qui  tuyến  tính  của  doanh  số  bán  hàng  theo 
chi phí chào hàng và chi phí quảng cáo.


Doanh số bán Yi 
(triệu đồng)
1270
1490
1060
1626
1020
1800
1610
1280
1390
1440
1590
1380

Chi phí chào hàng  Chi phí quảng cáo 
X2i (triệu đồng) 

X3i (triệu đồng)
100
106
60
160
70
170
140
120
116
120
140
150

180
248
190
240
150
260
250
160
170
230
220
150


Giải: Từ các số liệu của bảng trên ta tính được các
 tổng: 

X 2i = 1452 ;

Yi = 16956 ;

Yi 2 = 24549576 ;
X 3iYi = 3542360 ;

X 22i = 188192 ;

X 3i = 2448 ;
X 32i = 518504 ;

X 2i X 3i = 303608 ;

X 2iYi = 2128740 ;
Từ đó, ta tính được:
2448
16956
1452
= 204 .
Y=
= 1413 ; X 2 =
= 121 ; X 2 =
12
12
12


Ta tính được: 
n

n

( )

�y = �Yi − n Y
i =1

2
i

2

i =1

n

n

i =1

i =1

n

n

2

= 24549576 − 12.(1413)2 = 590748 ;

( )

2
2
x
=
X
� 2i � 2i − n X 2

�x = �X
i =1

2
3i

i =1

2
3i

( )

2

= 188192 − 12.(121) 2 = 125 ;

− n X 3 = 518504 − 12.(204) = 19112 ;
2

n

�x
n

�x
�x

i =1

n

y = �X 3iYi − n X 3 Y = 3542360 − 12.204.1413 = 83336

3i i

i =1

i =1

y = �X 2iYi − n X 2 Y = 2128740 − 12.121.1413 = 77064

2i i

i =1

n

n

i =1

n

x = �X 2i X 3i − n X 2 X 3 = 303608 − 12.121.204 = 7400

2 i 3i

i =1


77064.19112 − 83336.7400
ˆ
β2 =
= 4, 64951
2
12500.19112 − 7400
83336.12500 − 77064.7400
ˆ
β3 =
= 2,560152
2
12500.19112 − 7400

βˆ1 = 1413 − 4, 64951.121 − 2,560152.204 = 328,1383

Vậy hàm hồi quy biến tuyến tính mẫu  của doanh số
 bán theo chi phí chào hàng và chi phí quảng cáo là:
Y1 = 328,138 + 4, 64951. X 2i + 2,560152.204. X 3i

Kết quả trên cho thấy:
•Khi chi phí chào hàng và chi phí quảng cáo đều bằng 0 
thì doanh số bán trung bình của một khu vực bán hàng là 
328,1383 triệu đồng/ năm.
•Nếu giữ chi phí quảng cáo không đổi, khi chi phí chào 
hàng  tăng  lên  1  triệu  đồng/  năm  sẽ  làm  cho  doanh  thu 
trung  bình  của  một  khu  vực  bán  hàng  tăng  lên  4,6495 
triệu đồng/ năm.
•  Nếu  giữ  chi  phí  chào  hàng  không  đổi,  khi  chi  phí 
quảng cáo tăng lên 1 triệu đồng/ năm sẽ làm cho doanh 
thu trung bình của một khu vực bán hàng tăng lên 2,56 
triệu đồng/ năm.


4.1.2. Phương sai của các ước lượng
1
Var ( ˆ1 ) (
n

X 22

X 32
x22i

x22i
x32i (

2X 2 X3

x
x22i

x32i (
x

x22i

)

2

2

x2i x3i ) 2

2
2i

x32i (

x2i x3i

x2i x3i ) 2

2
3i

Var ( ˆ2 )

Var ( ˆ3 )

x32i

2

x2i x3i ) 2

Do     là phương sai của ui chưa biết nên trong thực 
tế người ta dùng ước lượng không chệch của nó:
2
2
2
e
(
1
R
)
y
i
i
ˆ2
19
n 3
n 3
2


se( ˆ 1)

Var ( ˆ 1)

se( ˆ 2)

Var ( ˆ 2)

se( ˆ 3)

Var ( ˆ 3)

TSS

n
i 1

ESS

Y

ˆ2

2

i

n
i 1

n (Y )
yix 2 i

ˆ3

2

n

yix 3i

i 1
20


Với các số liệu ở ví dụ trên, ta có:
TSS = 24549576 − 12 ( 1413) = 590748
2

ESS = 4,64951.77064 + 2,560152.83336 = 5716662,67
RSS = 590748 − 5716662, 67 = 19085,33


� σˆ 2 =

19085,33
= 2120,592
12 − 3

Var ( βˆ2 ) =

19112

.2120,592 = 0, 220097
2
12500.19112 − 7400

� se( βˆ2 ) = 0,220097 = 0, 46915
Var ( βˆ3 ) =

12500
.2120,592 = 0,143952
2
12500.19112 − 7400

� se( βˆ3 ) = 0,143952 = 0,379407


4.1.3. Hệ số xác định và hệ số xác định hiệu 
chỉnh
n
2
2
ei
Hệ số xác định R
ESS
RSS
2
R
1
1 in 1
TSS
TSS

2
yi
MH hồi quy 3 biến 

R

2

ˆ

i 1

2

ˆ

yi x 2 i

Hệ số xác định hiệu chỉnh
Với k là tham số của mô 
R2 1
hình, 
kể cả hệ số tự do

3

y

yi x3i

2
i
2

e
y

(n k )

i

2
i

(n 1) 23


Mối quan hệ giữa R2 và  R 2
2
2 n 1
R
1 (1 R )
n k
2

R ể xem xét việc đưa thêm 1 
Người ta dùng      đ
biến vào mô hình. Biến mới đưa vào mô hình phải 
thỏa 2 điều kiện:
2

­ Làm      tăng
R
­  Khi  kiểm  định  giả  thuyết  hệ  số  của  biến  này 
trong mô hình với giả thuyết H0 thì phải bác bỏ H0.
24


Từ kết quả ở ví dụ trên thì: 
571662, 67
R =
= 0,9677
590478
2
12 − 1
2 n −1
R = 1 − (1 − R )
= 1 − (1 − 0,9677)
= 0,9605
n−k
12 − 3
2

Ở mô hình hồi qui 2 biến (biến phụ thuộc Y và
 biến độc lập X2) ta tính được:
12 − 1
R = 0,80425 � R = 1 − (1 − 0,80425)
= 0, 78467
12 − 2
2

2

Như vậy R

2

= 0,9605 > 0, 78467

2

tức  R  có tăng lên

Ta tiến hành kiểm định giả thiết: 
H 0 : β 3 = 0; H1 : β 3

0