Bài giảng Toán kinh tế: Mô hình tuyến tính phân tích kinh tế - Kinh doanh - ThS. Ngô Văn Phong

Mô hình tuyến tính
Phân tích Kinh tế - Kinh doanh
Nguyễn Văn Phong

(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

1 / 22


Nội dung

1

Mô hình cân đối liên ngành (I/O)

2

Các mô hình cân bằng

(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

1 / 22


Mô hình cân đối liên ngành (I/O)
Bài toán. Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất
một loại hàng hoá nào đó (output) đòi hỏi phải sử dụng

các loại hàng hoá khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào
(input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu
đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong nền kinh
tế là quan trọng. Tổng cầu bao gồm:
1
Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại
sản phẩm đó cho quá trình sản xuất.
2
Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sản phẩm để
tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình,
Nhà nước, các doanh nghiệp, . . .
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

2 / 22


Mô hình cân đối liên ngành (I/O)
Mô hình. Giả sử một nền kinh tế có n ngành sản xuất.
Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản
xuất, ta biểu diễn lượng cầu của tất cả các loại hàng hoá
ở dạng giá trị (đo bằng tiền). Khi đó tổng cầu về sản
phẩm hàng hoá của ngành i được xác định bởi
Xi = xi1 + xi2 + · · · + xin + bi , i = 1, 2, . . . , n

(1)

trong đó
xij : là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành j cần

sử dụng cho quá trình sản xuất của mình (giá trị
cầu trung gian)
bi : là gía trị sản phẩm mà ngành i dành cho nhu
cầu tiêu dùng và xuất khẩu (giá trị cuối cùng).
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

3 / 22


Mô hình cân đối liên ngành (I/O)
Tuy nhiên, trong thực tế, thường không có thông tin về
giá trị cầu trung gian xik nhưng người ta lại chủ động
trong việc xác định tỷ phần chi phí đầu vào của sản xuất.
Ký hiệu aik là tỷ phần chi phí đầu vào của ngành k đối
với ngành i, được xác định bởi công thức
aij =

xij
, i, j = 1, 2, . . . , n.
Xj

(2)

Hệ số aik còn được gọi là hệ số chi phí đầu vào, và
A = (aik )n×n được gọi là ma trận chi phí đầu vào (ma
trận hệ số kỹ thuật).
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

4 / 22


Mô hình cân đối liên ngành (I/O)
Từ (1)

X1


X
2
..

.


Xn

và (2), ta có hệ phương trình sau:

= a11 X1 + a12 X2 + · · · + a1n Xn + b1
= a21 X1 + a22 X2 + · · · + a2n Xn + b2
= an1 X1 + an2 X2 + · · · + ann Xn + bn

Hay dưới dạng ma trận

(I − A) X = b

(3)

Do đó, từ (3) ma trận tổng cầu được xác định bởi
X = (I − A)
(BMT-TK)

−1

b

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

(4)
5 / 22


Mô hình cân đối liên ngành (I/O)
Trong đó,
Hệ số aij có ý nghĩa : Cho biết để sản xuất ra một
đơn vị giá trị ngành j thì ngành i phải cung cấp trực
tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm có giá trị là
aij .
−1

Ma trận C = (cij )n×n = (I − A) được gọi là ma
trận hệ số chi phí toàn bộ; Hệ số cij cho biết để sản
xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của
ngành j, thì ngành i cần phải sản xuất một lượng
sản phẩm có giá trị là cij .
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

6 / 22


Ví dụ 1
Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất:
ngành 1 và ngành 2 có ma trận hệ số kỹ thuật là:
A=

0, 2 0, 3
0, 4 0, 1

Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của
ngành 1 và ngành 2 thứ tự là 10, 20 tỷ đồng.
a) Giải thích ý nghĩa của hệ số 0,2.
b) Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.

(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

7 / 22


Ví dụ 2
Trong mô hình I/O biết ma trận kỹ thuật số như sau



0, 2 m 0, 3
A =  0, 3 0, 1 0, 2 
0, 2 0, 3 0, 2
a) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 1.
b) Tìm yêu cầu của ngành kinh tế mở khi biết sản lượng
của 3 ngành là 300, 250, 220.
c) Tìm m biết rằng khi sản lượng của 3 ngành là 400,
400, 300 thì ngành kinh tế thứ nhất cung cấp cho
ngành kinh tế mở là 130.
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

8 / 22


Ví dụ 3
Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối.
Hãy xác định ma trận tổng cầu trong các trường hợp
sau:
0, 2 0, 4
200
a) A =
;b =
0, 1 0, 3
300





0, 4 0, 2 0, 1
40
b) A =  0, 1 0, 3 0, 4  ; b =  110 
0, 2 0, 2 0, 3
40




0, 3 0, 5 0, 3
20000
c) A =  0, 2 0, 2 0, 3  ; b =  10000 
0, 4 0, 2 0, 3
40000
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

9 / 22


Ví dụ 4
Cho dòng 3 trong ma trận hệ số kỹ thuật của mô hình
cân đối liên ngành gồm bốn ngành sản xuất là
0, 2 0, 1 0, 2 0, 3
Hãy xác định số tiền mà ngành 4 phải trả cho ngành 3
để mua sản phẩm của ngành 3 làm nguyên liệu đầu vào
của sản xuất, biết tổng giá trị sản phẩm của ngành 4 là
200 nghìn tỷ đồng.

(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

10 / 22


Ví dụ 5
Xét mô hình I/O gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ
thuật là


0, 1 0, 3 0, 2
A =  0, 4 0, 2 0, 1 
0, 2 0, 3 0, 3
a) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 1.
b) Cho ma trận cầu cuối . Tìm sản lượng mỗi ngành.
c) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến
kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu
lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là
b=
(BMT-TK)

124 66 100

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

T

11 / 22

Ví dụ 6
Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ và ma trận tổng cầu
như sau:




150
25/16
5/16
5/16
C =  35/88 135/88 5/8  ; X =  200 
150
95/176 115/176 25/16
a) Nêu ý nghĩa của hệ số c23 .
b) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật.
c) Tìm ma trận cầu cuối.
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

12 / 22


Ví dụ 7
Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 4 ngành sản xuất và
cầu hàng hóa được cho ở bảng bên dưới (đơn vị tính :
triệu USD). Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi

ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật (tính xấp xỉ 3 chữ
số thập phân).

(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

13 / 22


Các mô hình cân bằng
Cân bằng cung cầu Giả sử hàm cung và hàm cầu của
một loại hàng hoá được cho bởi
QS = S (P ) và QD = D (P ).
Khi đó, Giá cân bằng P, thoả phương trình
QS = Q D .
Cân bằng n hàng hóa
QSi = QDi , i = 1, 2, . . . , n,
trong đó
QSi = Si (P1 , P2 , ..., Pn ) ; QDi = Di (P1 , P2 , ..., Pn ) .
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

14 / 22


Các mô hình cân bằng
Cân bằng thu nhập quốc dân
Mô hình

Y = E = C + I + G + EX − IM
dựa vào các quan hệ:
C = C0 + aYd , 0 < a < 1
Yd = Y − T
I = I0 − br , b > 0
T = tY + c

(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

Từ (5)-(9) ta tìm được lượng thu nhập (Y ) và chi tiêu
(C ) cân bằng.
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

15 / 22


Các mô hình cân bằng
Cân bằng thu nhập quốc dân
Trong đó
Y : Tổng thu nhập quốc dân;
E : Tổng chi tiêu có kế hoạch (Tổng cầu);
C : Tiêu dùng; C0 : Tiêu dùng tự định;
T : Thuế; c : Thuế khác;
r : Lãi suất.

I : Nhu cầu đầu tư của dân cư;
G : Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ;
EX : Nhu cầu cho xuất khẩu;
IM : Nhu cầu nhập khẩu ;
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

16 / 22


Các mô hình cân bằng
Mô hình IS-LM Phân tích trạng thái cân bằng của nền
kinh tế, chúng ta xét cả hai thị trường hàng
hóa và tiền tệ. Mục tiêu là chúng ta xác định
mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng
thái cân bằng.
Trước tiên ta xét một trường hợp đơn giản của (5) (Nền
kinh tế đóng)
Y = C + I + G0

(10)

Kết hợp với (8), ta có mô hình IS (quan hệ giữa lãi suất
và thu nhập) như sau
br = C + I0 + G0 − Y
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

(11)
17 / 22


Các mô hình cân bằng
Mô hình IS-LM
Mặt khác, trong thị trường tiền tệ, ta có lượng cung tiền
M = M0 và lượng cầu tiền L = αY − βr . Khi đó mô
hình LM (cân bằng giữa cung - cầu tiền) như sau:
βr = αY − M0

(12)

Từ (11) và (12), ta có mô hình IS-LM (Xác định mức lãi
suất và thu nhập cân bằng)
IS : br = C + I0 + G0 − Y
LM : βr = αY − M0
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

18 / 22


Ví dụ 1
Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại
hàng hóa như sau:
QS1 = −2 + 3P1 ; QD1 = 8 − 2P1 + P2
QS2 = −1 + 2P2 ; QD2 = 11 + P1 − P2
Tìm điểm cân bằng của thị trường bằng quy tắc Cramer

(phương pháp định thức)

(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

19 / 22


Ví dụ 2
Xét thị trường gồm 3 loại hàng hóa: chè, cafe, cacao, có
hàm cung và hàm cầu tương ứng là
QS1 = −10 + P1 ; QD1 = 20 − P1 − P3 (chè)
QS2 = 2P2 ; QD2 = 40 − 2P2 − P3 (cafe)
QS3 = −5 + 3P3 ; QD3 = 10 − P1 + P2 − P3 (cacao)
Xác định giá cafe và lượng cân bằng ở trạng thái cân
bằng thị trường bằng quy tắc Cramer.

(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

20 / 22


Ví dụ 3
Xét mô hình cân bằng :
Y = C + I0 + G0 + X0 − N,
với C = α(1 − t )Y , 0 < α < 1, t là thuế suất và
N = β(1 − t )Y , 0 < β < 1.

a) Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở
trạng thái cân bằng. ( bằng quy tắc Cramer)
b) Tính Y và C khi t = 0.1, α = 0.85, β = 0.1 và
G0 = 400, I0 = 250, X0 = 100.
(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

21 / 22


Ví dụ 4
Xét mô hình IS – LM với
C = 0.6Y + 35, I = 65 − r ,
G = G0 , L = 5Y − 50r , M = M0 .
a) Hãy xác định Y và r
b) Tính Y và r khi G0 = 70, M0 = 1500.

(BMT-TK)

TOÁN CHO KINH TẾ & QUẢN TRỊ

22 / 22