Bài giảng Toán kinh tế: Mô hình giải tích nhiều biến phân tích kinh tế - Kinh doanh - ThS. Ngô Văn Phong

Mô hình giải tích nhiều biến
PHÂN TÍCH KINH TẾ - KINH
DOANH
Nguyễn Văn Phong

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

1 / 15


Nội dung

1

Công cụ toán

2

Các bài toán kinh tế

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

1 / 15


Công cụ toán
Đạo hàm riêng

Cho f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của f là các
hàm hai biến fx và fy được định nghĩa như sau:
f (x + ∆x, y ) − f (x, y )
∂f
= fx (x, y ) = lim
(1)
∆x→0
∂x
∆x
∂f
f (x, y + ∆y ) − f (x, y )
= fy (x, y ) = lim
(2)
∆y →0
∂y
∆y
Cho hàm f (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi đó, đạo hàm riêng của f
theo biến thứ i, được định nghĩa là:
∂f
f (x1 , . . . , xi + ∆xi , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xi , . . . , xn )
= lim
∆xi →0
∂xi
∆xi
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

2 / 15

Công cụ toán
Bài toán cực trị hàm hai biến
Cho hàm số z = f (x, y ). Khi đó ta có các kết quả sau

Định lý (Điều kiện cần)
Nếu f đạt cực trị địa phương tại (a, b) và các đạo hàm
riêng cấp một của f tồn tại, thì
fx (a, b) = 0 và fy (a, b) = 0.

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

3 / 15


Công cụ toán
Định lý (Điều kiện đủ)
Nếu các đạo hàm riêng cấp hai của f (x, y ) tồn tại trên
N(a,b) và fx (a, b) = 0, fy (a, b) = 0. Ta đặt
∆ = fxx (a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]2 =

fxx fxy
fyx fyy

a. Nếu ∆ > 0 và fxx (a, b) > 0 thì (a, b) là cực tiểu
b. Nếu ∆ > 0 và fxx (a, b) < 0 thì (a, b) là cực đại
c. Nếu ∆ < 0 thì (a, b) là điểm yên ngựa
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

4 / 15


Công cụ toán
Bài toán cực trị có điều kiện
Tìm cực trị của hàm f (x, y ) thõa mãn g (x, y ) = 0

Phương pháp nhân tử Lagrange
B1: Lập hàm Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y )
B2: Tìm các điểm dừng thõa


 Lx (x, y , λ) = 0
Ly (x, y , λ) = 0
(3)

 L (x, y , λ) = 0
λ
Giải (3) ta được ∃ (x0 , y0 , λ)
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

5 / 15


Công cụ toán

Phương pháp nhân tử Lagrange
B3: Tính dg (x0 , y0 ) = gx (x0 , y0 )dx + gy (x0 , y0 )dx và cho
dg (x0 , y0 ) = 0. Ta tìm được biểu thức liên hệ giữa
dx và dy
B4: Kiểm tra điều kiện cực trị
Tính d 2 L(x0 , y0 ) vi phân toàn phần cấp hai của L
Nếu d 2 L(x0 , y0 ) > 0 thì (x0 , y0 ) là cực tiểu
Nếu d 2 L(x0 , y0 ) < 0 thì (x0 , y0 ) là cực đại

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

6 / 15


Công cụ toán
Hàm thuần nhất bậc k
Hàm z = f (x, y ) được gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu
∀t, f (tx, ty ) = t k f (x, y )

(4)

Công thức Euler
Hàm z = f (x, y ) là hàm thuần nhất bậc k nếu và chỉ nếu
∂f
∂f
x
+y
= kz

(5)
∂x
∂y

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

7 / 15


Công cụ toán

Công thức đạo hàm hàm ẩn
Cho F (x, y ) = 0. Giả sử các đạo hàm riêng của F liên
tục và Fy (x, y ) = 0. Khi đó
∃y (x) ∈ Nx0 : y0 = y (x0 ), F (x, y (x)) = 0,
F
y (x) = − x
Fy

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

(6)
(7)

8 / 15

Các bài toán kinh tế
Hàm cận biên
Cho hàm số y = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi đó hàm cận biên
của f theo xi được xác định bởi
Mfxi (x1 , x2 , . . . , xn ) =

∂f (x1 , x2 , . . . , xn )
.
∂xi

Ý nghĩa
Khi các yếu tố khác không đổi, nếu xi thay đổi 1 đơn vị
thì y thay đổi Mfxi đơn vị.
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

9 / 15


Các bài toán kinh tế
Hệ số co dãn
Cho hàm số y = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi đó hệ số co dãn
của f theo xi tại x0 ∈ Rn được xác định bởi
Efxi (x0 ) =

∂f (x0 ) x0
.
∂xi f (x0 )

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Cho hàm số U = U(x, y ). Ta nói U tuân theo quy luật
lợi ích cận biên giảm dần nếu
Uxx < 0 và Uyy < 0, ∀(x, y )
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

10 / 15


Các bài toán kinh tế
Hiệu quả quy mô sản suất
Cho hàm sản suất Q = f (K , L). Khi đó, nếu
Q(mK , mL) > mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả
tăng theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất > 1).
Q(mK , mL) < mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả
giảm theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất < 1).
Q(mK , mL) = mQ(K , L) thì sản suất có hiệu quả
không đổi theo quy mô (ứng với cấp thuần nhất = 1).

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

11 / 15


Các bài toán kinh tế

Hệ số thay thế
Cho y = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Khi đó, nếu có hai biến xi , xj
thay đổi và các yếu tố khác không đổi, để f không đổi
thì hai biến trên thay đổi theo tỷ lệ nào? Từ biểu thức vi
phân toàn phần của hàm f
n

df =
i=1

∂f
∂f
∂f
dxi ⇒ 0 =
dxi +
dxj
∂xi
∂xi
∂xj

Ta suy ra
d xi
∂f /∂xj
=−
d xj
∂f /∂xi
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

(8)
12 / 15


Các bài toán kinh tế
Hệ số thay thế
Nếu

d xi
d xj

với tỷ lệ
Nếu

d xi
d xj

< 0 thì ta nói xi có thể thay thế được cho xj
d xi
d xj

.

> 0 thì ta nói xi , xj có thể bổ sung được cho

nhau với tỷ lệ

d xi
d xj

.

Nếu dd xxji = 0 thì ta nói xi , xj không thay thế được cho
nhau.

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

13 / 15


Các bài toán kinh tế
Các bài toán tối ưu
1
2

Bài toán tối đa hóa lợi nhuận.
Bài toán người tiêu dùng.
Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh
thu, lợi nhuận
Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí,
tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận.
Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa doanh
thu, lợi nhuận

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

14 / 15


Vận dụng

Tìm các ứng dụng khác của đạo hàm riêng, hàm thuần
nhất, đạo hàm hàm ẩn, ... trong phân tích kinh tế. Với
các yêu cầu sau:
Phát biểu bài toán (Nêu tên nếu có)
Thiết lập mô hình
Giải, phân tích

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

15 / 15