Bài 1: Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong phân tích kinh tế

BÀI 1
ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

TS. Vương Thị Thảo Bình

V1.0018112205

1


Tình huống khởi động bài

(1) Xét thị trường hải sản gồm 2 mặt hàng Cá và tôm. Ký hiệu p1 là giá 1kg cá, p2 là giá 1kg tôm (đơn vị nghìn
đồng).

Ký hiệu QS1, QS2 là lượng cá và lượng tôm mà người bán bằng lòng bán tại mỗi mức giá p1, p2.
Ký hiệu QD1, QD2, là lượng cá, lượng tôm mà người mua bằng lòng mua tại mỗi mức giá p1, p2,
Cụ thể QS1, QS2 , QD1, QD2 được cho theo quy tắc như sau:

QS1 = ─40 + p1, QD1 = 60 – 3p1 + 4p2
QS2 = ─50 + 3p2, QD2 = 150 + 2p1 – p2
Tìm mức giá cá, giá tôm mà người bán vừa bán hết hàng và người mua vừa mua hết hàng trên thị trường.
(2) Vì sao thay đổi của một hay nhiều ngành sản xuất lại ảnh hưởng đến những ngành còn lại của nền kinh tế.
Kế hoạch sản xuất toàn diện của Chính phủ được biểu diễn bởi mô hình toán học như thế nào?

V1.0018112205

2

MỤC TIÊU BÀI HỌC

•
•
•
•

Nắm được mô hình cân bằng thị trường và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
Nắm được mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
Nắm được mô hình IS - LM và áp dụng được vào các bài tập liên quan.
Nắm được mô hình I/O và áp dụng được vào các bài tập liên quan.

V1.0018112205

3


CẤU TRÚC NỘI DUNG

V1.0018112205

1.1

Mô hình cân bằng thị trường

1.2

Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

1.3

Mô hình IS-LM

1.4

Mô hình input – output Leontief

4


1.1. MÔ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG

V1.0018112205

1.1.1

Thị trường một loại hàng hóa

1.1.2

Thị trường nhiều hàng hóa

5


1.1.1. THỊ TRƯỜNG MỘT LOẠI HÀNG HÓA

• Hàm cung: Qs = −a0 + a1p
• Hàm cầu: Qd = b0 − b1p

Q   a  a p
Q   a  a p


• Mô hình cân bằng thị trường có dạng: Q  b  b p  Q  b  b p
Q  Q
 a  a p  b  b p


s

0

d

0

s

1

1

d

V1.0018112205

0

0

a b a b

Q

Q

Q


a b


p  a  b

a b
s

0

d

1

• Giá cân bằng và lượng cân bằng:

s

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

d

0

0

1

1

6

1.1.2. THỊ TRƯỜNG NHIỀU HÀNG HÓA

• Hàm cung: Qsi = ai0 + ailp1 + ai2p2 (i = 1, 2)
• Hàm cầu: Qdi = bi0 + bilp1 + bi2p2 (i = 1, 2)
• Mô hình cân bằng thị trường hàng hóa có dạng:

Q

Q
Q

Q
Q

Q

V1.0018112205

s1

a a p a p

d1

b b p b p

s2

a a p a p

d2

b b p b p

10

10

20

20

s1

Q

s2

Q

11

11

21

21

1

12

1

1

1

12

22

22

2

2

2

2

d1

d2

7

1.1.2. THỊ TRƯỜNG NHIỀU HÀNG HÓA (tiếp theo)

• Hệ phương trình giá cân bằng:

a  a p  a p  b  b p  b p

a  a p  a p  b  b p  b p
10

11

1

20

21

1

12

22

2

10

2

20

11

21

1

12

1

22

2

2

• Giá cân bằng và lượng cân bằng tìm được từ hệ

c p  c p  c

c p  c p  c

V1.0018112205

11

1

12

2

21

1

22

2

10

20

8


1.1.2. THỊ TRƯỜNG NHIỀU HÀNG HÓA (tiếp theo)

Ví dụ 1: Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hoá như sau:

Q  2  3p

Q  8  2p  p

Q  1  2p

Q  11  p  p

S1

S2

1

2

D1

1

S2

1

2

2

Xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng.

Giải

Q  Q
2  3p  8  2p  p
5p  p  10



Thiết lập phương trình xác định giá cân bằng: 
Q  Q
1  2p  11  p  p
p  3p  12
S1

D1

1

1

2

1

S2

D2

2

1

2

1

2

2

Giải hệ và tìm được bộ giá cân bằng là (p ; p )  (3; 5)

Q  2  3p  7
Thay giá cân bằng vào hàm cung ta tìm được lượng cân bằng là: 
Q  1  2p  9
1

V1.0018112205

2

1

1

2

2

9


1.2. MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ

Phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là:
Y=C+G+I
C = aY + b (0 < a < 1, b > 0), G=G0, I=I0
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô trong trường hợp này quy về hệ phương trình tuyến tính:

Y  C  I0  G 0
 Y  C  I0  G 0
b  I0  G 0
b  a(I0  G 0 )



Y

;
C




1 a
1 a
C

aY

b

aY

C

b




Nếu tính đến yếu tố thuế suất t:

Y  C  I0  G 0

b  I0  G 0
b  a(1  t )( I 0  G 0 )

; C
C  aYd  b (0  a  1, b  0)  Y 
1  a(1  t )
1  a(1  t )

Y  Y  tY  (1  t )Y
 d

V1.0018112205

10


1.2. MÔ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ (tiếp theo)

Ví dụ 2: Cho mô hình thu nhập quốc dân

 G0
Y  C  I0

C  150  0, 8( Y  T )

T  0, 2Y

Trong đó: Y - thu nhập quốc dân, I0 - đầu tư, C - tiêu dùng, T - thuế, G0 - chi tiêu chính phủ

Tìm trạng thái cân bằng bằng phương pháp Crame khi I0 = 200, G0 = 900
Giải
Ta có:

 G0
Y  C  I0
Y  C  I0  G 0
Y  C  I0  G 0




C  150  0, 8( Y  T )
C

150

0
,
8
(
Y

0
,
2Y

)

0, 64Y  C  150
T  0, 2Y


D
V1.0018112205

1
1
 0, 36 ;
0, 64 1

DY 

I0  G 0
150

1
 I0  G 0  150 ;
1

DC 

1
I0  G 0
 150  0, 64  I 0  G 0 
0, 64
150

11


1.3. MÔ HÌNH IS - LM

Y  C  I  G 0
 Y  (aY  b )  (c  dr )  G 0
 (1  a )Y  dr  b  c  G 0
 
 

M 0  L
 M 0  Y   r
  Y   r   M 0
Thu nhập và lãi suất cân bằng tìm được là:

Y

( b  c  G 0 )  dM 0
d  (1  a )

( b  c  G 0 )  (1  a )M 0
r
d  (1  a )

V1.0018112205

12

1.4. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF

Cầu trung gian

Tổng cầu

Ngành
Ngành 1
Ngành 2
...
Ngành n-1
Ngành n

• Đặt

V1.0018112205

x
a 
x

ij

ij

Cầu cuối cùng
Ngành 1

Ngành 2

...

Ngành n-1

Ngành n

x1
x2
...
xn-1

x11
x21
...
xn-11

x12
x22
...
xn-12

...
...
...
...

x1n-1
x2n-1
...
xn-1n-1

x1n
x2n
...
xn-1n

b1
b2
...
bn-1

xn

xn1

xn2

...

xnn-1

xnn

bn

 x a x
ij

ij

j

j

13


1.4. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF (tiếp theo)

 x1
x
 2


 x n




a11x1
a 21x1




a12 x 2
a 22 x 2







a1n x n
a 2n x n




b1
b2



a n1x1



a n2x2





a nn x n



bn

a x  ... 
a x b
(1  a )x 
  a x  (1  a )x  ... 
a x b


.......................................

  a x 
a x  ...  (1  a )x  b
11

1

21

n1

E
V1.0018112205

1

12

22

1

2

1n

2

n2

2n

2

nn

n

n

1

2

n

n

 A X  B  X  E  A B
1

14


1.4. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF (tiếp theo)

Định nghĩa
Ma trận A được gọi là ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị (hay ma trận hệ số kỹ thuật); ma trận X là ma
trận tổng cầu; ma trận B là ma trận cầu cuối cùng. Ma trận E – A được gọi là ma trận Leontief hay ma trận
công nghệ, (E – A)–1 được gọi là ma trận chi phí dạng toàn bộ.
Ví dụ 3
Giả sử nền kinh tế có hai ngành sản xuất, ngành 1 và ngành 2 có ma trận hệ số kỹ thuật là:

0, 2 0, 3
A

0
,
4
0
,
1


Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 10, 20 tỷ đồng. Hãy xác
định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.

V1.0018112205

15

Giải quyết tình huống dẫn nhập

• Hệ phương trình giá cân bằng

 40  p  60 – 3p  4p
 p  p  25
 p  150



50  3p  150  2p – p
p  2p  100
p  125
1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

• Vì sao thay đổi của một hay nhiều ngành sản xuất lại ảnh hưởng đến những ngành còn lại của nền kinh tế?
• Kế hoạch sản xuất toàn diện của Chính phủ được biểu diễn bởi mô hình toán học như thế nào?
Giải thích bằng mô hình I/O.

V1.0018112205

16


TỔNG KẾT BÀI HỌC

•
•
•
•
•

Mô hình cân bằng thị trường 1 hàng hóa
Mô hình cân bằng thị trường hai hàng hóa
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
Mô hình IS - LM
Mô hình Input – Output

V1.0018112205

17