Bài giảng Toán kinh tế: Mô hình giải tích phân tích kinh tế - Kinh doanh - ThS. Ngô Văn Phong

Mô hình giải tích
PHÂN TÍCH KINH TẾ - KINH
DOANH
Nguyễn Văn Phong

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

1 / 22


Nội dung

1

Công cụ toán

2

Các mô hình kinh tế

3

Các bài toán kinh tế

4

Vận dụng

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

1 / 22


Công cụ toán
Định nghĩa đạo hàm
Cho một số f : (a, b) → R và x0 ∈ (a, b). Khi đó, đạo
hàm của f tại x0 , được xác định bởi
∆f
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= lim
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x

f (x0 ) = lim

(1)

Đạo hàm cấp n của f được xác định bởi
f (n) (x0 ) = f (n−1)
(BMT-TK)

(x0 ).

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

(2)

2 / 22


Công cụ toán
Ý nghĩa đạo hàm
Tính xấp xỉ giá trị của một hàm f tại một điểm x0
cho trước thông qua
f (x) ∼ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ).

(3)

Cho biết tại x0 , nếu x thay đổi một đơn vị thì f sẽ
thay đổi f (x0 ) đơn vị.
Khảo xát cực trị của hàm số.

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

3 / 22


Công cụ toán
Tích phân
Nguyên hàm: F (x) là một nguyên hàm của f (x)
nếu
F (x) = f (x)

(4)

Ký hiệu f (x)dx = F (x) + C vớ C : hằng số.
Tích phân xác định: Tích phân xác định của f
trên [a, b] là
b

f (x) dx = lim
a
(BMT-TK)

n→∞

n
i=1

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

f (xi∗ )∆xi

(5)
4 / 22


Công cụ toán
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Có dạng:
y + p(x)y = q(x)

(6)

Có nghiệm tổng quát là:
y (x) = e −

(BMT-TK)

p(x)dx

q(x)e

p(x)dx

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

dx + C

(7)

5 / 22


Các mô hình kinh tế
Hàm sản suất
Q (L) = αLβ

(8)

Q (K , L) = αK β Lγ

(9)

trong đó, K : Vốn, L : Lao động. (9) còn được gọi là hàm
Cobb-Douglas.
Hàm chi phí
C = C (Q1 , Q2 , . . . , Qn , L)

(10)

trong đó, Q : Sản lượng, L : Lao động.
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

6 / 22


Các mô hình kinh tế
Hàm doanh thu - Lợi nhuận
R (Q1 , Q2 , . . . , Qn , L)
π (Q1 , Q2 , . . . , Qn , L) = R − C

(11)
(12)

Chi tiêu - Tiết kiệm - Cung - Cầu
C (Y ) = aY + b, (0 < a < 1, b > 0)
S = S(Y )
QS = S(P)
QD = D(P)

(13)

(14)
(15)
(16)

trong đó, Y : Thu nhập, P : Giá bán.
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

7 / 22


Các mô hình kinh tế

Hàm lợi ích (thỏa dụng)
TU = TU(x1 , x2 , . . . , xn )

(17)

trong đó, x1 , x2 , . . . , xn : lượng của các mặt hàng hay dịch
vụ.

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

8 / 22


Các bài toán kinh tế

Hàm cận biên
Cho hàm số y = f (x). Khi đó hàm cận biên của f được
xác định bởi
Mf (x) =

df (x)
= f (x).
dx

(18)

Cho biết : Khi x thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi Mf (x)
đơn vị.

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

9 / 22


Các bài toán kinh tế
Hệ số co dãn
Cho hàm số y = f (x). Khi đó hệ số co dãn của f theo x
tại x0 được xác định bởi
Efx (x0 ) =

∆f (x0 ) x0
.
∆x f (x0 )

(19)

Cho biết : Khi x thay đổi 1% thì y thay đổi Efx (x0 ) %.

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

10 / 22


Các bài toán kinh tế

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Cho hàm số U = U(x). Khi đó U tuân theo quy luật lợi
ích cận biên giảm dần nếu
(MU(x)) = U (x) < 0, ∀x.

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

(20)

11 / 22


Các bài toán kinh tế
Hàm bình quân

Cho hàm số y = f (x). Khi đó hàm bình quân được xác
định bởi
Af (x) =

f (x)
,x > 0
x

(21)

và Af (x) đạt cực trị nếu ∃x0 sao cho
(Af ) (x0 ) =
(BMT-TK)

Mf (x0 ) − Af (x0 )
=0
x0

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

(22)

12 / 22


Các bài toán kinh tế
Các bài toán tối ưu
Cho hàm số y = f (x). Khi đó f đạt cực trị tại x0 nếu
f (x0 ) = 0

(23)

và f đạt cực đại tại x0 nếu
f (x0 ) < 0

(24)

f (x0 ) > 0

(25)

và cực tiểu nếu

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

13 / 22


Các bài toán kinh tế

Xác định hàm tổng khi biết hàm cận biên
Cho hàm cận biên My = Mf (x) với điều kiện y0 = f (x0 ).
Khi đó hàm tổng f (x) được xác định bởi
f (x) = Mf (x)dx
y0 = f (x0 )

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

(26)

14 / 22


Các bài toán kinh tế
Xác định thặng dư
Cho hàm cung QS = S(P) và hàm cầu QD = D(P). Khi
đó thặng dư của nhà sản suất được xác định bởi
Q0

PS = P0 Q0 −

S −1 (Q)dQ

(27)

0

và thặng dư của người tiêu dùng được xác định bởi
Q0

CS =

D −1 (Q)dQ − P0 Q0

(28)

0

trong đó P0 thỏa S(P) = D(P) và Q0 = D(P0 ) = S(P0 ).
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

15 / 22


Các bài toán kinh tế
Xác định lãi kép
Gọi V0 : giá trị hiện tại (PV); r : lãi suất; Vt : giá trị
tương lai (FV). Khi đó, ta có
Vt = V0 (1 + r )t .
Nếu trong một năm có n lần tính lãi với lãi suất một lần
tính là rn = r /n. Khi đó,
Vt = V0 (1 + rn )nt = V0 (1 + r /n)nt .
Nếu n → +∞ thì Vt = lim V0 (1 + r /n)nt = V0 e rt
n→∞

được gọi là lãi suất liên tục.
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

16 / 22


Các bài toán kinh tế

Đánh giá hiệu quả đầu tư
Gọi C : chi phí triển khai dự án hiện tại; B : số tiền mà
dự án đem về sau t năm; r : lãi suất. Khi đó, để đánh
giá hiệu quả của dự án ta dùng chỉ số giá trị hiện tại
ròng, NPV
NPV = B(1 + r )−t − C .
Nếu NPV > 0 thì dự án được chấp nhận.

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

17 / 22


Các bài toán kinh tế
Xác định hàm cầu từ hệ số co dãn
Từ định nghĩa về hệ số co dãn của cầu theo giá bán
DP

= D (P)

P
dD(P) P
=
× ·
D
dP
D

(29)

Từ (29), tích phân hai vế ta có
1
dD =
D

(BMT-TK)

1
εDP dP → ln (D (P)) =
P

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

DP

1
dP
P

18 / 22


Các bài toán kinh tế
Điều chỉnh giá thị trường
Giả sử cung và cầu của một loại hàng hóa
QD = a − bP, a, b > 0
QS = −c + dP, c, d > 0

(30)
(31)

Nếu tại thời điểm t = 0 mà P(0) = P0 (giá cân bằng) thì
thị trường đạt được sự cân bằng. Tuy nhiên nếu P(0) = P0
thì phải sau một thời gian điều chỉnh thị trường mới có
thể tiếng tới trạng thái cân bằng. Trong khoảng thời gian
đó cả P, QD , QS đều thay đổi theo t.
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

19 / 22


Các bài toán kinh tế
Vấn đề đặt ra là nếu có đủ thời gian để điều chỉnh thì liệu
thị trường có tiến tới trạng thái cân bằng không? nghĩa là
P(t) → P0 , khi t → ∞

(32)

Để trả lời câu hỏi này: Chúng ta cần thiết lập hàm P(t).
Với giả thuyết sau:

Giả thuyết
dP
= δ (QD − QS )
dt

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

(33)
20 / 22


Các bài toán kinh tế
Tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với lượng chênh
lệch cung cầu, QS − QD . Với δ > 0 là hệ số điều chỉnh
dP
= 0 khi QD − QS . Thay (30) và (31) vào
Chú ý rằng
dt
(33) ta được
dP
+ δ (a + c) P = δ (a + c)
(34)
dt
Phương trình (34) là phương trình vi phân tuyến tính. Giải
(34) ta được
P(t) = [P(0) − P0 ] e −δ(b+d )t + P0

(35)

Do δ(b + d ) > 0 nên khi t → ∞ thì P(t) → P0 .
(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

21 / 22


Vận dụng

Tìm các ứng dụng khác của tích phân và phương trình vi
phân trong phân tích kinh tế. Với các yêu cầu sau:
Phát biểu bài toán (Nêu tên nếu có)
Thiết lập mô hình
Giải, phân tích

(BMT-TK)

TOÁN CHO QUẢN TRỊ - KINH DOANH

22 / 22