Từ phương pháp qui nạp đến phương pháp sai phân

TỪ PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP ĐẾN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
@ Phương pháp sai phân - Khái niệm :
Khi tính tổng S
n
= u
1
+ u
2
+ ...+ u
n
nếu ta phân tích được số hạng tổng quát của tổng là u
k
=
f(k+1) - f(k) (*) với f(x) là một hàm nào đó thì tổng:
S
n
= f(2) - f(1) + f(3) -f(2)+...+ f(n+1) - f(n) = f(n+1) - f(1) .
f(k+1) - f(k) là biểu thức sai phân của hàm số f(x)
Phương pháp tính tổng như vậy gọi là phương pháp sai phân . ° Chú ý :(*) có thể là u
k
= f(k) -
f(k+1) .Điểm then chốt của phương pháp là xác lập được biểu thức sai phân
Một cách tương tự như bài toán tính tổng; trong cminh bđt mà một vế là tổng S
n
thay vì phân tích
số hạng tổng quát u
k
thành một bthức sai phân ,ta đánh giá u
k
theo một bthứ sai phân
@ Từ pp qui nạp đến pp sai phân:

Bài toán : Chứng minh với mọi n ≥ 1, n∈N ta có :
S
n
= 1+
n2
n
1
...
3
1
2
1
<+++
Lời giải 1: ... Giả sử S
k
< 2
k
.
Ta có S
k+1
= S
k
+
1k
1
+
< 2
k
.+
1k

1
+
,cần tiếp tục cminh 2
k
.+
1k
1
+
< 2
1k +
hay
1k
1
+
< 2
1k +
- 2
k
(*)
(dễ cmịnh (*) ) suy ra S
k+1
< 2
1k +
.
Vậy bđt đúng với mọi n ∈ N , n ≥ 1.
Trong quá trình cminh bđt bằng pp qui nạp ta xác lập được bđt (*), từ đây ta đề xuất cminh bđt
trên bằng pp"sai phân "
Lời giải 2 : Dễ chứng minh
1k
1

+
< 2
1k +
- 2
k
(*) với k∈N . Với k lần lượt nhận các
giá trị 0, 1 , 2 ,..., n-1 ; từ (*) ta có : 1 < 2

2
1
< 2
2
- 2

2232
3
1
−<
...
1n2n2
n
1
−−<
Cộng n bđt trên vế theo vế ta có : S
n
< 2
n
(đpcm)
( (*) là bđt mà số hạng tổng quát ở vế trái nhỏ hơn một biểu thức sai phân ) °