Chinh phục hệ thức viet

CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT:
TỪ LÝ THUYẾT ĐẾN BÀI TẬP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

A - HỆ THỨC VIÉT
1.Định lý Viét (thuận):
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì
b
c
tổng và tích hai nghiệm đó là: S = x1+ x2 = và P = x1. x2 =
a
a
2. Định lý Viét ( đảo):
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là hai
nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0.
3. Ứng dụng của định lý Viét:
a) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai đơn giản;
b) Tính nghiệm còn lại của phương trình khi đã biết một nghiệm của
nó;
c) Tính hệ thức giữa các nghiệm mà không cần tính nghiệm của pt;
d) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó;
e) Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn dấu của nghiệm .v .v .

B– CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN VIÉT
Dạng 1: NHẨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
Có 3 cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 :
c
Cách 1 : Nếu a + c + b = 0 thì x1 = 1 và x2 = ;
a

c
Cách 2 : Nếu a + c - b = 0 thì x1 = - 1 và x2 = - ;
a
Cách 3 : (Thường nhẩm khi a =1).
Tính tổng S và tích P rồi suy ra hai nghiệm x1 , x2 .
Lưu ý: Trong cách 1 và cách 2, ta nên lấy a cộng với c trước, rồi so sánh tổng
(a+c) này với b:
+ Nếu tổng (a+c) trái dấu với b thì dùng cách 1(cách cộng với b);
+Nếu tổng (a+c) cùng dấu với b thì dùng cách 2(cách trừ đi b).
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

/>
1
1


CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a) 3x2 – 5x + 2 = 0;
b) 4x2 + 7x + 3 = 0;
c) x2 – 3x – 10 = 0
Giải
a) 3x2 – 5x + 2 = 0

b)

Ta thấy a + c = 3 + 2 = 5 còn b = -5

4x2 + 7x + 3 = 0;

Ta thấy a+ c = 4 + 3 = 7 còn b = 7

Do đó a + c + b = 0

Do đó a + c – b = 0

c 2
=
a
3

x1 = 1 và x2 =

x1 = -1 và x2 = -

c
3
=a
4

c) x2 – 3x – 10 = 0
Vì a và c trái dấu nên pt có hai nghiệm trái dấu. Theo Viet ta có:
S = x1 + x2 = P = x1.x2 =

b
3
= –
a

1

c
=
a

=

3
=3
1

x1 = 5 và x2 = -2

10
= -10
1

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phương trìnnh sau:
a) x2 -

2x + (

b) x2 +

2 - 1) = 0;

3 x + ( 3 - 1) = 0;

c) x2 – (3 + 7 )x + 3 7 = 0

Giải
a) x2 -

2x + (

2 - 1) = 0

Ta thấy: a + c = 1 + (

2 - 1) =

x1 = 1 ; x2 =
b) x2 +

3 x+(

2 còn b = - 2 . Do đó a + c + b = 0
c
=
a

2 -1
= 2 -1
1

3 - 1) = 0

ta thấy a + c = 1 + ( 3 - 1) =

3 còn b =

x1 = -1 ; x2 = -

3 . Do đó a + c – b = 0.

c
( 3 - 1)
==11
a

3

c) x2 – (3 + 7 )x + 3 7 = 0
Theo Viét ta có : S = x1 + x2 = -

b
=a

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

(3

7)
1

=3+

7

/>

2
2


CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
c
3 7
P = x1 . x2 =
=
= 3 7
1
a
x1 = 3 và x2 =

7

Dạng 2 : KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM X1 VÀ X2.
Bước 1 : Kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không (Pt có nghiệm
khi ∆ 0 hoặc ∆’ 0 hoặc a và c trái dấu) .
Bước 2 : Áp dụng hệ thức Viét để tính tổng S và tích P của hai nghiệm.
Bước 3 : Biến đổi biểu thức đề bài đã cho để xuất hiện S và P.
Bước 4 : Thay các giá trị của S và P vào để tính giá trị biểu thức.
Một số đẳng thức thường sử dụng:
1/ x12 + x22 = S2 – 2P ; 2/ (x1 – x2 )2 = S2 – 4P ;
3/ x13 + x23 = S3 – 3SP.
Ví dụ 1: Chứng mimh các đẳng thức sau:
1) x12 + x22 = S2 – 2P ;

4) x12 - x22 =

S S2 4P neáu x1 x 2
S S2 4P neáu x1 x 2

2) (x1 – x2 )2 = S2 – 4P ;
3) x1 – x2 =

S2 4P neáu x1 x 2
S2 4P neáu x1 x 2

5) x13 + x23 = S( S2 – 3P) ;

Giải
1) x12 + x22 = S2 – 2P
Biến đổi vế trái :
x12 + x22 = x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2

( thêm, bớt 2x1x2 )

=

(x1 + x2 )2

=

S2 – 2P = Vế phải (đpcm)

– 2x1x2
( vì x1+ x2 = S và x1x2 =P )

2) (x1 – x2 )2 = S2 – 4P
Vế trái = ( x1 – x2 )2 = x12 - 2x1x2 + x22 = [(x12 + x22) – 2x1x2 ]

=[ (S2– 2P ) - 2P] =S2 – 4P= vế phải

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

/>
3
3


CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

4P neáu x1 x 2
S 4P neáu x1 x 2

2

S

3) x1 – x2 =

2

Ta có (x1 – x2 )2 = S2 – 4P (chứng minh trên)
2

x1 – x2 =

4)

x12 - x22 =

S

4P =

S2 4P neáu x1 x 2
S2 4P neáu x1 x 2

S S2 4P neáu x1 x 2
S S2 4P neáu x1 x 2

Biến đổi vế trái :
x12 - x22 = (x1 + x2) (x1 – x2) = S(

S2

S S2 4P neáu x1 x 2
S S2 4P neáu x1 x 2

4P ) =

5) x13 + x23 = S3 – 3SP ;
vế trái = x13 + x23 = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22 )
= (x1 + x2)[(x12 + x22 ) – x1x2)]
= S [ ( S2 – 2P ) – P ]

= S [S2 – 3P ] = S3 – 3SP (đpcm)

Ví dụ 2 (Bài 1 trang 90-SGK lớp 9): Không giải phương trình, hãy tính tổng
và tích các nghiệm của phương trình:
a) x2 – 14x + 33 = 0 ;

c) 3x2 + 5x + 61 = 0

b) 6x2 -13x – 48 = 0 ;

d) x2 –x

3 -2 –

6 =0

Giải
a) x2 – 14x + 33 = 0 :
a=1

’= (b’)2 – ac

b= -14

= (-7)2 – 1. 33

b’ = -7

= 49 – 33 = 16 > 0

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

/>
4
4


CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
c = 33
Vì

’> 0 nên phương trình có 2 nghiệm. Áp dụng hệ thức Viét ta có:

S = x 1 + x2 = P = x1.x2 =

b
=a

14
= 14
1

c 33
=
= 33
a
1

b) 6x2 -13x – 48 = 0
Vì a và c trái dấu nên phương trình có 2 nghiệm. Theo Viét ta có:
S = x 1 + x2 = P = x1.x2 =

13
b
13
=-(
)=
6
a
6

c
=
a

48
6

c) 3x2 + 5x + 61 = 0
a= 3

= b2 – 4ac

b= 5

= 52 – 4.3. 61

c = 61

Vì

= 25 – 732 = - 707 < 0
< 0 nên phương trình vô nghiệm. Do đó không có tổng và tích 2

nghiệm.

d) x2 –x

3 -2 –

6 =0

Ta thấy a = 1 > 0 và c = -2 –

6 = - (2 + 6 ) < 0.

Vì a và c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm. Theo Viét ta có :
S = x1 + x2 =P = x1.x2 =

b
3
=- (
)= 3
1
a

c
2
6

=
= -2 –
1
a

6

Ví dụ 3: Cho phuong trình 2x2 + 7x + 3 = 0 có x1, x2 là 2 nghiệm (với x1 >
x2 ). Không giải phuong trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau :
TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

/>
5
5


CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
6
6

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
1
1
1
1
a)
+
;
b) x12 + x22 ;
c) 2 + 2 ;

x1
x1 x 2
x2
e) x13 + x23 ;
k)

1
x13

f) x14 + x24

g)

d) (x1 - x2 )2

1
1
+ 4 ;
4
x1
x2

h) x12 - x22.

1
x 23
Giải

Vì phương trình có hai nghiệm x1, x2 nên theo Viét ta có:
S = x 1 + x2 = a)

1
1
+
x1 x 2

b
7
=a
2

và

S
x 2 x1
= =
x1x 2
P

=

7
b) x + x = S - 2P = 2
12

22

P = x1.x2 =

7

7 2
.
= 2 3
3

7 3
:
=
2 2

2

2

c 3
=
a 2

- 2.

49
3
=
4
2

1
1
S2 2P
37

x 2 2 x12
3
c) 2 + 2 =
=
=
:
2
2
2
x1
x2
P
2
4
x1 x 2
d) x1 - x2 =

2

S

4P =

7
2

2

4.

3
=
2

49
4

3

49
4

2

=

12
4

37
4

37 9 37 4 37
: =
. =
9
4 4
4 9

6 =

49
4

24
4

25
4

5
2

e) x13 + x23 = S3 – 3SP =

7
2

3

3.

7 3
.
2 2

343
8

63

4

343 126
8

217
8

f) x14 + x24 = (x12)2 + (x22)2
= (x12)2 + 2x12x22 + (x22)2 - 2x12x22 (thêm, bớt 2x12x22 )
= ( x12 + x22)2 – 2x12x22
= (S2 – 2P)2 – 2P2

(vì x12 + x22 = S2- 2P )

= S4 – 4S2P + 4P2 – 2P2
= S4 – 4S2P + 2P2 . Thay S =

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

7
3
và P = vào ta có:
2
2

/>

CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
7

7

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

7
2

=
=

4

2

4

7 3
.
2
2

2401 147
16
2

3
2

2

2

=

2401
16

2401 1176
9
=
16
16
2

1
1
x 2 4 x14 S4
g) 4 + 4 =
=
x2
x1
x14 x 2 4

4S2 P
P4

2P 2

h)x12 - x22 =( x1 + x2 )( x1 - x2 )= S S

4P =

49 3
.
4 2

2.

9
4

1
1297
= 81
16
16

72
16

4

1297 81
1297 3
=
=
:
:
16 16
16

2
=

2

4.

1297 16
.
16 81

7
2

7
3

2

1297
81

7 5
3
4. = - . =
2
2 2

35
4

1
k) 3
x1
-

1
x 23 x13
=
x 23
x13 x 23

217 27
:
8 8

217 8
.
8
27

S3

3SP
P3

217 3
=:
8
2

3

=

217
27

Dạng 3: TÍNH NGHIỆM CÒN LẠI KHI BIẾT MỘT NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Cách giải:
Bước 1: Dùng Viét tính S (hoặc P);
Bước 2: Thay giá trị của nghiệm đã biết vào đẳng thức S (hoặc P) ở trên để
tìm nghiệm còn lại.
Ví dụ 1: Cho phương trình 2x2 + 5x – 3 = 0 có một nghiệm bằng

1
. Tính
2

nghiệm còn lại.
Giải
Cách 1: Theo Viét ta có:

S = x 1 + x2 =

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

b
5
=a

2
/>

CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
8
8

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
1
1
5
Thay x1 = vào ta được
+ x2 = 2
2
2
x2 = -

5 1
- =
2 2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 =
Cách 2: Theo Viét ta có P = x1.x2 =
Thay x1 =

1
vào ta được
2

c

a

6
5 1
=
2
2

3

1
và x2 = -3.
2

3
2

1
3
. x2 = 2
2
x2 = -

3 2
3 1
:
=
. = -3.
2 1
2 2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 =

1
và x2 = -3.
2

Dạng 4 : TÌM THAM SỐ ĐỂ THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VỀ MỐI LIÊN
HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
Bước 1: Tính

(hoặc

' ).

Bước 2 : Đặt điều kiện cho

0 ( hoặc

’

0 ) để phương trình có

nghiệm.
Bước 3: Dùng Viét để tính tổng S và tích P của 2 nghiệm.
Bước 4 : * Nếu đẳng thức đề cho là bậc nhất (x1 và x2 đều có mũ là 1) thì
kết hợp đẳng thức này với tổng S để được hệ pt. Giải hệ pt tìm x1, x2 . Sau
đó thay x1, x2 vừa tính vào P để tìm tham số.
* Nếu đẳng thức đề cho là bậc 2 trở lên thì biến đổi đẳng thức đó xuất hiện
S và P. Sau đó thay S và P vào để tìm tham số.

Bước 5: Đối chiếu giá trị tham số vừa tìm với điều kiện và trả lời.

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

/>

CHINH PHC H THC VI-ẫT
Su tm v chia s bi Organic Math - Toỏn hc Hu c
9
9
*Nu b bc 2 ( bc t iu kin pt cú nghim) thỡ sau khi tỡm c tham
s phi thay giỏ tr tham s vo
cho

< 0 (hoc

(hoc

' ). Nu giỏ tr no ca tham s lm

< 0 ) thỡ loi b giỏ tr ú ca tham s.

Vớ du 1: ( Bi 6 Tr 96-SGK): cho phng trỡnh x2 + 3x + m = 0, x1, x2 l hai
nghim ca phng trỡnh. Khụng gii phng trỡnh, tỡm giỏ tr ca m :
a) x1 x2 = 6 ;

b) x12 + x22 = 34 ; c) x12 x22 = 30 ;

d) x1 = 2x2

e) 3x1 + 2x2 = 20 ;

;

Gii
= b2 - 4ac = 32 - 4.1.m = 9 4m

+
iu kin :

0 hay 9 4m
- 4m

+ Theo Viột ta cú :

a) Ta cú h phng trỡnh

x1
x1

cng tng v c :

2x1
x1

Thay x1=

m

9

(hay m
4

2,25)

b
3
= - = -3
a
1

c m
=
=m
a
1
x2
x2

3
6

(Tớnh theo Viet ụỷ treõn )
(theo ủe cho)

=3
=

3
2

3
vo pt x1 + x2 = -3
2

3
+ x2 = -3
2
Thay x1=

-9

S = x 1 + x2 = P = x1.x2 =

0

x2 = -3 -

3
9
=2
2

3
9
v x2 = - vo P = x1.x2 = m ta tỡm c m =
2
2

27

(tha món
4

k)

TRN B WORD TON THCS CH T 150K

/>

CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
10
10
27
Vậy với m =
thì pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức x1 – x2 =6.
4
b) x12 + x22 = 34
x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2 = 34 (thêm, bớt 2x1x2 vào vế trái)
( x1 + x2)2 – 2x1x2 = 34
S2 – 2P

= 34 Thay S = -3 và P = m vào ta được :

(-3)2 – 2.m = 34
9 – 2m = 34
Vậy với m =-

m=-

25
(thỏa mãn điều kiện)
2

25
thì x12 + x22 = 34.
2

c) x12 – x22 = 30
( x1 + x2 )( x1 – x2 ) = 30
-3 .( x1 – x2 ) = 3
x1 – x2 = - 1 (*)
Ta có hệ phương trình

x1
x1

x2
x2

(Tính theo Viet ôû treân )
.
(theo * )

3
1

Giải hệ này ta tìm được x1 = -2 và x2 = -1.
Thay x1 = -2 và x2 = -1 vào P = x1.x2 = m
(-2)(-1) = m

m = 2 (thỏa điều kiện)
Vậy với m = 2 thì x12 – x22 = 30 .

d) x1 = 2x2
Ta có hệ phương trình

x1
x1

x2
2x 2

3

x1
x1

x2
2x 2

3
0

Giải hệ này (bằng phương pháp cộng hoặc thế)ta tìm được x1= -2 và x2=-1.
Thay x1 = -2 và x2 =-1 vào P = x1.x2 = m ta có:

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

/>

CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
11
11

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
(-2).(-1) = m
m = 2 (thỏa mãn đk)
vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức
x1 = 2x2.
e) 3x1 + 2x2 = 20
Ta cóhệ phương trình

x1 x 2
3
3x1 2x 2 20

2x1 2x 2
3x1 2x 2
x1

6
20

= 26

Thay x1 = 26 vào x1 + x2 = -3
26 + x2 = -3
x2 = -3 - 26 = -29 ( thỏa đk)
thay x1 = 26 và x2 = -29 vào P = x1.x2 = m
26.(-29) = m

m

= - 754 (thỏa mãn đk)

Vậy với m = - 754 thì pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức 3x1 + 2x2 =
20.
Ví dụ 2: Xác định m để phương trình: x2 – mx + m + 7 = 0 có hai nghiệm
thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10.
Giải
+

a=1

= b2 – 4ac

b=-m

= (-m)2 – 4.1.(m + 7)

c=m+7

= m2 – 4m – 28

+ Theo Viét ta có :

S = x 1 + x2 = P = x1.x2 =

b
m
==m

a
1

c m 7
=
=m+7
a
1

+ Ta có : x12 + x22 = 10

TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

/>

CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
hay S2 – 2P = 10 . Thay S = m và P = m + 7 vào ta được:
m2 - 2(m + 7) = 10
m2 – 2m – 14 = 10
m2 – 2m – 24 = 0 .
Giải pt bậc hai có ẩn số là m này ta tìm được m1 = 6 và m2 = - 4 .
+ Với m1 = 6 thì

= m2 – 4m – 28 = 62 – 4.6 – 28
= 36 – 24 – 48 = - 34 < 0 (Pt vô nghiệm nên loại bỏ m1 = 6)

Với m2 = - 4 thì

= m2 – 4m – 28

= (-4)2 – 4(-4) – 28 = 16 + 16 – 28 = 4 > 0 ( Pt có 2 nghiệm)

Vậy với m = - 4 thì x12 + x22 = 10.
Dạng 5 : TÌM THAM SỐ KHI BIẾT MỘT NGHIỆM,
TÍNH NGHIỆM CÒN LẠI.
Bước 1 : Thay giá trị của nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số;
Bước 2 : Dùng Viét để tính tổng S (hoặc tích P ) của hai nghiệm;
Bước 3 : Thay các giá trị của nghiệm đã biết và của tham số vào S (hoặc
P) để tìm nghiệm còn lại.
* Sau khi xong bước 1, có thể thay giá trị của tham số vào phương trình, rồi giải
phương trình để tìm nghiệm còn lại. Tuy nhiên, cách này không đẹp.
Ví dụ : Với giá trị nào của m thì phương trình x2 – 2(1 + 3m)x – 6m = 0 (*)
có nghiệm là -2? Tính nghiệm còn lại.
Giải
+ Thay x1 = -2 vào pt (*) : x2 – 2(1+ 3m)x – 6m = 0
(-2)2 – 2(1 + 3m).(-2) – 6m = 0
4 + 4(1 + 3m) – 6m = 0
4 + 4 + 12m – 6m = 0
8 + 6m = 0
TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K

/>
12
12


CHINH PHỤC HỆ THỨC VI-ÉT
13
13

Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
8
4
m=
6
3
* Tính nghiệm x2 còn lại : (chọn 1 trong 2 cách sau):
Cách 1: Theo Viét ta có S = x1 + x2 = -

b
a

2(1 3m)
1

2(1 3m) = 2 + 6m

4
vào x1 + x2 = 2 + 6m
3

Thay x1=-2 và m = -

4
( -2) + x2 = 2 + 6(- )
3
-2 + x2 = 2 – 8
x2 = - 4
Cách 2: Theo Viét ta có P = x1.x2 =
Thay x1=-2 và m = -

c
=
a

6m
= - 6m
1

4
vào x1.x2 = - 6m
3
4
(-2). x2 = -6(- )
3
-2x2 = 8

Trả lời: Vậy với m = -

x2 = - 4

4
thì Pt(*) đã cho có 2 nghiệm x1 = -2 và x2 = - 4.
3

BẢNG XÉT DẤU CÁC NGHIỆM
SỐ
1/ Nếu P < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu:
a) Nếu P < 0 và S > 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
và nghiệm dương lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm

âm.
b) Nếu P < 0 và S < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm
âm.
2) Nếu P > 0 thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu:
a) Nếu P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương.
b) Nếu P > 0 và S < 0 thì 2 nghiệm đều âm.
c
Cần nhớ: Vì P = nên nếu a và c cùng dấu thì
a
P >0, nếu a và c trái dấu thì P < 0.
TRỌN BỘ WORD TOÁN THCS CHỈ TỪ 150K
/>