ĐÁP án LIVESTREAM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc MP p1

Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429
HÌNH HỌC 11
CHỦ ĐỀ: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
BÀI 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
LIVESTREAM THỰC HIỆN BỞI: GV HỨA NHẬT VI
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA  SC . Chứng minh rằng
AC  ( SBD) .
Lời giải:
Tam giác SAC có SA  SC nên là tam giác cân tại đỉnh S .
Mặt khác O là trung điểm AC nên SO vừa là đường trung
tuyến vừa là đường cao nên SO  AC . 1
Ta có BD  AC (hai đường chéo của hình thoi).

S

 2

 AC  SO
 AC   SBD  .
Từ 1 và  2  , ta có 
 AC  BD

B

C
O

A

D

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và SC  a 2 .
Chứng minh rằng BC   SAB  .
Lời giải:
Tam giác SAB đều cạnh a nên SB  AB  a .
Xét tam giác SBC , ta có

S

SB 2  BC 2  a 2  a 2  2a 2 

2
2
2
  SB  BC  SC .
2
2
SC  2a



Suy ra tam giác SBC vuông tại B nên BC  SB .

D

A

1
 2

Mặt khác, BC  AB (do ABCD là hình vuông).

Từ 1 và  2  , suy ra BC   SAB  .

C

B

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC , SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trực tâm
các tam giác ABC và SBC . Chứng minh SC   BHK  và HK   SBC  .
Lời giải:
S

Ta có

BH  AC 
  BH   SAC   BH  SC . 1
BH  SA 

P

Mặt khác, BK  SC (theo giả thiết).  2 
Từ 1 và  2  , suy ra SC   BHK  .
Do SC   BHK   SC  HK .

A

 3

BC  AM 
Ta có
  BC   SAM   BC  HK .

BC  SA 

N

C
K

 4

Từ  3 và  4  , suy ra HK   SBC  .

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

H
M
B

Trang

1/4


Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi H là trung điểm của cạnh AB và
SH
ABCD . Gọi K là trung điểm của cạnh AD . Chứng minh
a) AC

.

SHK

b) CK SD .
Lời giải:
a) Ta có SH ABCD
Lại có

AC

BD

AC

BD / / HK

AC .

SH
HK

.

2

Từ 1 và 2 , suy ra AC

SHK .

b) Dễ thấy

suy ra AHD DKC .

AHD

DKC

S

1

Mà AHD ADH 900 nên
DKC

ADH

A

900 hay DH

Mặt khác, ta có SH

ABCD

Từ 3 và 4 , suy ra CK

CK .
SH

SDH

3

CK .

CK

4

B

H

K

D

C

SD .

Bài 5: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB nằm trong mặt phẳng  P  . Trên đường vuông góc với  P 
tại A lấy điểm S , trên đường tròn  O  lấy điểm C , kẻ AI vuông góc SC và AK vuông góc SB .
a) Chứng minh rằng các mặt bên tứ diện S.ABC là các tam giác vuông.
b) Chứng minh AI  IK và IK  SB .
Lời giải:
a) Theo giả thiết SA   ABC  nên SA  AB và SA  AC .
Do đó các tam giác SAB và SAC vuông tại A .
Ta có BCA  900 (chắn nửa đường tròn) nên BC  AC 1
Mặt khác, từ SA   ABC   SA  BC .  2 
Từ 1 và  2  , suy ra BC   SAC   BC  SC .

Do đó tam giác SBC vuông tại C .


 BC   SAC 
Ta có 
 BC  AI .  3
AI

SAC




Theo giả thiết AI  SC .  4 
Từ  3 và  4  , suy ra AI   SBC   AI  IK .
Theo chứng minh trên AI   SBC   AI  SB .  5
Theo giả thiết AK  SB .  6 
Từ  5 và  6  , suy ra SB   AIK   SB  IK .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của điểm O trên mặt phẳng  ABC  .
a) Chứng minh rằng BC   OAH  , CA   OBH  , AB   OCH  .
LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang

2/4


Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429

b) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC .
Lời giải:
a) Từ giả thiết ta có OH   ABC  suy ra OH  BC .

A

1
OA  OB
 OA   OBC   OA  BC .
Ta có 
OA  OC

 2
Từ 1 và  2  , suy ra

H

BC   OAH  .

C

O

Chứng minh tương tự ta được CA   OBH  , AB  OCH  .

K

b) Từ kết quả câu a, ta có BC   OAH  suy ra BC  AH .  3
Tương tự, từ AC   OBH  suy ra AC  BH .

B

 4

 AH  BC
Từ  3 và  4  , ta có 
suy ra H là trực tâm của ABC .
 BH  AC
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và
SC a 2 . Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Chứng minh rằng SH
ABCD .
S

Lời giải:

Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên
1
SH AB .
Ta có SH
A

a 3
, SC
2

B
H

Do đó HC 2 HS2

D

Suy ra

C

HSC

DH 2

a 2 , HC

3a 2
4

5a 2
4

2a2

SC 2 .

vuông tại H nên SH

HC .

Từ 1 và 2 , suy ra SH

a 5
2

DC 2

.

2

.

ABCD

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Mặt phẳng AHK cắt SC tại L . Chứng minh AL SC .
Lời giải:
S

Ta có

BC

AB

BC

SA

BC

SAB

BC

AH .

1

Hơn nữa, theo giả thiết AH SB .
L

K

H

Từ 1 và 2 , suy ra AH
Tương tự, ta có

A

B

DC

AD

DC

SA

Hơn nữa, theo giả thiết AK
O

D

Từ 3 và 4 , suy ra AK
C

Từ * và * * , suy ra SC

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

2

SBC

AH

DC

SAD

SC .
DC

SD .
SDC

AHK

*

AK .

3
4

AK

SC .

SC

AL .

Trang

**

3/4


Biên soạn: HỨA NHẬT VI– Điện thoại: 0965.867.429
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AD 2a, AB BC a ; SA
vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SD , SA . Chứng minh rằng
a) Tam giác SCD vuông.
b) Tứ giác BCMN là hình chữ nhật.
Lời giải:
1
a) Ta có SA ABCD suy ra SA CD .
Gọi I là trung điểm CD . Khi đó ABCI là hình vuông nên CI

a

AD
.
2

Tam giác ACD có trung tuyến CI bằng nửa cạnh đáy AD nên tam giác ACD vuông tại C . Suy ra CD CA .
2

Từ 1 và 2 , suy ra CD

SAC

CD

SC .

Vậy tam giác SCD vuông tại C .

S

b) Ta có M , N lần lượt là trung điểm SD , SA nên MN
là đường trung bình của tam giác SAD .

N

M

A

I

AD
. Do đó MN song
2
song và bằng BC . Điều này chứng tỏ tứ giác BCMN là

Suy ra MN song song và bằng

D

hình bình hành.
Ta có

B

BC

AB

BC

SA

3

BC

SAB

BC

BN .

4

Từ 3 và 4 , suy ra tứ giác BCMN là hình chữ nhật.

C

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AB CD và AC BD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng
BCD . Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác BCD và AD BC .
Lời giải:Vì H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng BCD nên AH

BCD

suy ra AH CD .

1

A

Theo giả thiết AB CD .

2

Từ 1 và 2 , suy ra CD   ABH   CD  BH .
Chứng minh tương tự, ta được BD  CH .
Từ đó suy ra H là trực tâm của tam giác BCD .
Ta có

BC

DH

BC

AH

BC

ADH

BC

AD .

B

C

H
D

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang

4/4