SKKN: Hướng dẫn học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai.

MỤC LỤC
TT

TÊN ĐỀ MỤC

TRANG

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

Phần một: THÔNG TIN CÁ NHÂN
Phần hai: NỘI DUNG
Chương I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
I. Đặc điểm tình hình cơ quan, đơn vị
II. Lý do chọn đề tài
III. Mục đích nghiên cứu

IV. Phương pháp nghiên cứu
V. Cơ sở khoa học và cơ sở pháp lí
Chương II: NỘI DUNG
I. Thực trạng của sáng kiến
II. Nội dung sáng kiến
1. Giải quyết vấn đề
2. Khả năng áp dụng của sáng kiến
3. Phạm vi, đối tượng áp dục của sáng kiến
4. Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến
5. Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu
Chương III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

2
2
2
2
2
3
3
3
5
5
6
6
14
14
14
15
16

Phần 1: THÔNG TIN CÁ NHÂN
- Họ và tên tác giả: Trương Hồng Lịch.
- Ngày, tháng, năm sinh: 02/ 01/ 1986.
- Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Đại Phác.
- Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm Toán lý.
- Đề nghị xét, công nhận sáng kiến: Cấp cơ sở.
- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy môn Toán lớp 9.
1


Phần 2: NỘI DUNG
Chương I
NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG
I. Đặc điểm tình hình cơ quan, đơn vị:
- Tên đơn vị: Trường THCS Đại Phác.
- Địa chỉ: Thôn Ba Luồng - xã Đại Phác - huyện Văn Yên - tỉnh Yên Bái.
- Thành lập năm 1999, thuộc quản lí của UBND huyện Văn Yên.
- Tổng số CB- GV- CNV: 16 đồng chí.
- Tổng số Đảng viên: 12 đồng chí.
- Chất lượng đội ngũ: Đại học: 7; Cao đẳng: 8; Trung cấp: 1.
1. Thuận lợi:
- Trường THCS Đại Phác luôn nhận được sự quan tâm, chỉ đạo của Đảng bộ
chính quyền địa phương, của phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Văn Yên.
- Trường có bề dày thành tích, truyền thống về phong trào dạy tốt, học tốt.
- Trường có đội ngũ cán bộ, giáo viên trẻ, khỏe, có trình độ năng lực chuyên
môn vững vàng, luôn có tinh thần trách nhiệm cao, nhiệt tình trong công tác,
năng động, sáng tạo trong công tác chuyên môn; đoàn kết, tương thân tương ái,
luôn khắc phục mọi khó khăn để hoàn thành thành tốt nhiệm vụ được giao.
- Các em học sinh ngoan, phần lớn nhận thức tốt, có ý thức phấn đấu vươn
lên để đạt kết quả cao trong học tập.

2. Khó khăn:
- Địa phương nơi trường đóng là xã nghèo, thuần nông nên việc đầu tư thời
gian và vật chất cho học tập của con em mình còn hạn chế. Một bộ phận học
sinh còn chưa chăm học nên ít nhiều ảnh hưởng tới chất lượng giáo dục.
- Đội ngũ cán bộ giáo viên chưa thực sự đồng đều về năng lực chuyên môn,
chưa đủ về chuyên môn đào tạo, một số đồng chí giáo viên phải dạy trái ban.
- Trường còn thiếu các phòng học chức năng, đồ dùng thiết bị chưa đảm bảo
về chất lượng và tính chính xác, tài liệu tham khảo các môn học còn ít.
II. Lý do chọn đề tài:
Là một môn học thuộc nhóm khoa học tự nhiên, môn Toán có tầm quan
trong rất lớn và ngày càng khẳng định được vị trí đứng đầu của mình trong các
ngành khoa học. Học tốt môn Toán học sinh có thể học tốt tất cả các môn học
khác, kể cả các môn học thuộc nhóm khoa học xã hội. Chính vì quan trọng như
vậy nên việc hình thành cho học sinh những kĩ năng cơ bản trong giải toán là vô
cùng cần thiết.
Trong quá trình giảng dạy thực tế một số năm học, tôi đã phát hiện ra còn rất
nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học
sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về
căn bậc hai hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích … Việc
giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn, giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là
một công việc vô cùng cần thiết, giúp các em có mọi sự am hiểu vững chắc về

2


lượng kiến thức căn bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán
cao hơn sau này.
Bản thân tôi là một giáo viên dạy bộ môn Toán bậc trung học cơ sở, tôi luôn
trăn trở và mong muốn có những đóng góp để từng bước nâng cao chất lượng
dạy và học môn Toán nói riêng cũng như các bộ môn khác nói chung. Với suy

nghĩ và mong muốn đó, trong quá trình giảng dạy tôi luôn chú ý tích lũy kinh
nghiệm giảng dạy. Và một trong những kinh nghiệm giảng dạy mà tôi có được
là: Hướng dẫn học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán
về căn bậc hai.
III. Mục đích nghiên cứu:
Với kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong
khi giải toán về căn bậc hai”, tôi mong muốn được cùng các đồng nghiệp trao
đổi, chia sẻ những kinh nghiệm giảng dạy. Qua đó, chúng ta cùng nhau tìm ra
những phương pháp dạy học tích cực, hiệu quả. Từ đó có thêm cái nhìn mới sâu
sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho
học sinh.
Trong kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải
trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học
sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc
trong kiểm tra, thi cử; khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ, tư duy lôgic của
học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã sử dụng rất nhiều phương pháp nghiên
cứu, trong đó có một số phương pháp cơ bản sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp quan sát, điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm giáo dục.
- Phương pháp so sánh, đối chiếu.
- Phương pháp trao đổi, thảo luận cùng đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt
chuyên môn và bồi dưỡng thường xuyên của giáo viên.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp.
V. Cơ sở khoa học và cơ sở pháp lí của đề tài:
1. Cơ sở khoa học:
a. Nội dung chủ yếu của chương “Căn bậc hai - Căn bậc ba” toán lớp 9 là:
Phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của một số không âm) và một số

phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Giới thiệu một số hiểu biết về
căn bậc ba, căn thức bậc hai và bảng căn bậc hai.
b. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9:
- Đưa ra kiến thức đã biết ở lớp 7:
+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là
a và số âm kí hiệu là − a .
3


+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 = 0.
- Đưa ra định nghĩa: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học
của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
- Đưa ra chú ý: Với a ≥ 0, ta có:
Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a;
Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a .
Ta viết:
 x ≥ 0,
x= a ⇔ 2
 x = a.

- Đưa ra nội dung về phép khai phương: Phép toán tìm căn bậc hai số học
của số không âm gọi là phép khai phương.
- Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn
bậc hai bậc hai của nó.
2. Cơ sở pháp lí:
Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực học tập của
học sinh đã được đặt ra trong Ngành giáo dục nước ta từ những năm 1960 và
được thể hiện rõ trong các nghị quyết TW, trong Luật giáo dục. Cụ thể, Hội nghị
lần thức tư Ban chấp hành TW Đảng Khóa VII đã chỉ rõ: “Đổi mới phương pháp

dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học, kết hợp tốt học với hành, học tập với
lao động sản xuất ... áp dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng
cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề ...”. Hội nghị
lần thứ hai Ban chấp hành TW Đảng khóa VIII nhấn mạnh: “Từng bước áp dụng
phương pháp tiên tiến và các phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm
bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu chop học sinh” ... Luật giáo dục
2005 quy định: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; phù hợp với đặc điểm của từng
lớp học, môn học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp
tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS".
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc"; Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán ban hành kèm theo Quyết
định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ giáo dục và Đào tạo cũng
đã nêu: "Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự
học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy; phù hợp với
đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi
dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng
thú và trách nhiệm học tập cho HS".
4


Chương II
NỘI DUNG

I. Thực trạng của sáng kiến:
Hiện nay một số giáo viên dạy bộ môn toán 9 ở trường THCS đang gặp khó
khăn trong việc giảng dạy toán về căn bậc hai. Trong quá trình hướng dẫn học
sinh giải toán về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái
niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học. Sự vận dụng lí thuyết vào
việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi
hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương
hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. Một vấn đề
cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn
rất yếu.
Bản thân tôi trước kia khi chưa áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy, tôi
thấy học sinh có tinh thần uể oải, không hứng thú với giờ học, chất lượng bài
kiểm tra 15 phút, 1 tiết rất thấp. S ố học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải
còn nhiều, học sinh chưa tích cực, chủ động làm bài tập. Năm 2011 - 2012, sau
khi học xong chương “Căn bậc hai - Căn bậc ba”, tôi đã thực hiện một bài khảo
sát thực tế về thái độ của học sinh khi học về kiến thức căn bậc hai. Tôi đã thu
được kết quả như sau:
- Học sinh không thích học chiếm tỉ lệ 75%.
- Học sinh thích học chiếm tỉ lệ 25%.
Cũng trong năm học đó, tỉ lệ bài kiểm tra 1 tiết chương I toán 9 được xếp loại
như sau: Loại giỏi: 5%, loại khá: 20%, loại trung bình: 60%, loại yếu: 15%.
Đa số học sinh đều cho rằng kiến thức về căn bậc hai nhiều và khó, dễ nhầm
lẫn, sai xót khi giải bài. Đứng trước thực tế đó để giúp học sinh có thể làm tốt
các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người giáo viên phải
nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án
“Hướng dẫn học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”. Và
tôi đã áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy cho học sinh từ năm học 2012 2013 đến nay.
II. Nội dung sáng kiến:
1. Giải quyết vấn đề:
Để áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy có hiệu quả, chúng ta phải thực hiện

các nội dung và biện pháp sau:
1.1. Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai:
1.1.1. Kiến thức:
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương, căn thức bậc hai
và một số phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai.
a. Nội dung của phép khai phương gồm:
- Giới thiệu phép khai phương thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc
hai số học của số không âm.
5


- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự: SGK thể hiện bởi Định lý về
so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔ a < b ”.
- Liên hệ giữa phép khai phương với phép nhân và phép chia, thể hiện bởi:
+ Định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: ab = a b ”.
a
=
b

+ Định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có :

a
b

”).

b. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A 2 = A :
+ Với A là một biểu thức đại số, A là căn thức bậc hai của A, A là biểu
thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
+ A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm (A ≥ 0).

2
+ Hằng đẳng thức: Với mọi số a, ta có a 2 =| a | ; với a ≥ 0, ta có ( a ) = a .
Với A là một biểu thức, ta có:

A2 = A .

c. Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai:
- Ngoài việc sử dụng các công thức biến đổi như:
A 2 = | A|
(với A ≥ 0, B ≥ 0)
AB = A B
A
=
B

A

(với A ≥ 0, B > 0)

B

- Sách giáo khoa toán 9 còn đưa ra một số phép biến đổi biểu thức chứa căn
thức bậc hai:
* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
(với B ≥ 0)
A 2 B =| A | B
* Đưa thừa số vào trong dấu căn:
A B = A2 B
(với A ≥ 0, B ≥ 0)
2

(với A < 0, B ≥ 0)
A B =− A B
* Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
A
=
B

AB
B

(với AB ≥ 0, B ≠ 0)

* Trục căn thức ở mẫu:
A

=

B
C

A B
B

A±B
C

=

A± B

(với và B > 0)

C ( A B )
A − B2
=

C( A  B )
A− B

(với A ≥ 0, A ≠ B2)
(với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B)

1.1.2. Kỹ năng:
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
a. Kỹ năng tính toán: Có thể kể các kỹ năng về tính toán như:

6


- Phép khai phương của một số (số đó có thể là số chính phương trong
khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc
thương của số đó với số 100).
- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số (tính
theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai
phương).
b. Kỹ năng về kiến đổi biểu thức: Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu
thức như:
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên
(với công thức dạng A = B, có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi
B thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn thức bậc hai có thể coi là vận dụng

công thức AB = A B theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đó (và cả những kỹ năng có trong những lớp trước)
để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ
năng trục căn thức ở mẫu.
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính
mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng
sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn
nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng (để so sánh số, giải toán tìm x thoả
mãn điều kiện nào đó).
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành
và củng cố trong phần này như:
- Giải toán so sánh số, một số lập luận trong giải toán so sánh số (củng cố
tính chất bất đẳng thức nêu ở toán 8).
- Một số kỹ năng giải toán tìm x (kể cả việc giải phương trình tích).
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho.
- Kỹ năng sử dụng máy tính.
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu
của phần kiến thức này (ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các
kỹ năng tương ứng, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình
thành kỹ năng).
1.2. Phân tích những điểm khó trong kiến thức về căn bậc hai:
Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh:
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số
tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành
kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi
mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn
thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn).
- Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu
khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu
thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức).

1.3. Tìm những sai lầm thường gặp khi giải toán về căn bậc hai:
1.3.1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học:
a. Định nghĩa về căn bậc hai:
* Ở lớp 7:
7


- Đưa ra nhận xét: 32 = 9; (-3)2 = 9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.
- Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a và một số
âm ký hiệu là - a .
* Ở lớp 9 chỉ nhắc lại kiến thức ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số
học:
b. Định nghĩa căn bậc hai số học:
- Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
- Sau đó đưa ra chú ý:
Với a ≥ 0, ta có: + Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a;
+ Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a .
x ≥ 0

Ta viết: x = a ⇔ 

2
x = a

Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương
(gọi tắt là khai phương).
* Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “căn
bậc hai” và"căn bậc hai số học”.
Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của 25.

Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 25 có hai căn bậc hai là hai số
đối nhau là 5 và - 5.
Ví dụ 2: Tính 25
Lời giải sai: 25 = 5 và - 5 có nghĩa là: 25 = ± 5
Như vậy học sinh đã tính ra được số 25 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau
là: 25 = 5 và 25 = -5
Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
Lời giải đúng: 25 = 5 (có thể giải thích thêm vì 5 > 0 và 52 = 25)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
c. So sánh các căn bậc hai số học:
Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔ a < b .
Ví dụ 3: So sánh 4 và 15
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì
theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so
sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học
sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau: 4 < 15 (vì cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ
hơn 15 ). Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm
ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ
thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Lời giải đúng: 16 > 15 nên 16 > 15 hay 4 > 15 (vì 16 = 4).
Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học.
d. Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học:
Với a ≥ 0, ta có: + Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a;
+ Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a .
8


Ví dụ 4: Tìm số x không âm, biết: x = 11
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau:
Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = a

và x = - a học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như
sau: x = 11 <=> x 2 = 112 => x = 121 hoặc x = - 121.
Vậy tìm được hai nghiệm là x1 = 121 và x2 = -121
Lời giải đúng: Cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 112.
Vậy x = 121.
e. Sai trong thuật ngữ khai phương:
Ví dụ 5: Tính - 36
Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm
căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - 36 là một căn bậc
hai âm của số dương 36, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau:
- 36 = 6 và - 6
Lời giải đúng là: - 36 = -6
g. Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A 2 = | A|:
- Căn thức bậc hai: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn
thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu
căn. A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
- Hằng đẳng thức: A 2 = | A|.
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6: Hãy bình phương số -9 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Lời giải sai: (-9)2 = 81 nên khai phương số 81 lại bằng -9.
Lời giải đúng: (-9)2 = 81 và 81 = 9.
Mối liên hệ a 2 = | a| cho thấy “Bình phương một số, rồi khai phương kết
quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”.
Ví dụ 7: Với a2 = A thì A chưa chắc đã bằng a.
Cụ thể ta có (-9)2 = 81 nhưng 81 = 9; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng định
được kết quả như ở trên.
1.3.2. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán:
a. Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn thức bậc hai:
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x + 2 x
Lời giải sai: B = x + x = (x + 2 x + 1) - 1 = ( x + 1)2 - 1 ≥ -1

Vậy min B = - 1.
Phân tích sai lầm:
Sau khi chứng minh B ≥ -1, chưa chỉ ra trường hợp B = -1 xảy ra khi và chỉ
khi x = -1 (vô lý).
Lời giải đúng: Để tồn tại x thì x ≥ 0. Do đó B = x + 2 x ≥ 0
hay min B = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Ví dụ 9: Tìm x, biết: (2 x − 1) 2 = 3
Lời giải sai:
( 2 x − 1) 2 = 3 ⇔ 2x - 1 = 3 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
9


Phân tích sai lầm: Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý: Một cách
tổng quát, với A là một biểu thức ta có A 2 = | A|, có nghĩa là:
A 2 = A nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm);
A 2 = -A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm
Lời giải đúng:
( 2 x − 1) 2 = 3 ⇔ 2 x − 1 = 3
Ta phải đi giải hai phương trình sau: 1) 2x - 1 = 3 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
2) 2x - 1 = -3 ⇔ 2x = -2 ⇔ x = -1
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là: x1 = 2 và x2 = -1.
Ví dụ 10: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = 16 x + 16 - 9 x + 9 + 4 x + 4 + x + 1 với x ≥ -1
Lời giải sai:
B = 4 x + 1 -3 x + 1 + 2 x + 1 + x + 1 = 4 x + 1
B = 16 ⇔ 4 x + 1 = 16 ⇔ x + 1 = 4 ⇔ ( x + 1 )2 = 42 ⇔ ( x + 1) 2 = 16
⇔ |x + 1| = 16
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau:
1) x + 1 = 16 ⇔ x = 15

2) x + 1 = -16 ⇔ x = - 17
Vậy: x = 15 hoặc x = -17 thì B = 16.
Phân tích sai lầm: Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1 = 15 và
x2 = -17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2 = -17 không đúng.
Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào
công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán,
với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại tức là luôn có giá trị không âm
nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.
Lời giải đúng:
B = 4 x + 1 - 3 x + 1 + 2 x +1 + x +1 = 4 x + 1
B = 16 ⇔ 4 x + 1 = 16 ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x + 1 = 16 ⇔ x = 15 (vì x ≥ 0)
b. Sai lầm trong kỹ năng biến đổi:
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của
số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 11: Tìm x, biết: (3 - 10 ). 3 x < 3(3 − 10)
Lời giải sai: (3 - 10 ). 3 x < 3(3 − 10) ⇔ 3x < 3 ⇔ x <

3
3

hay x < 3 (chia

cả hai vế cho (3 - 10)
Phân tích sai lầm: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề
gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan
không để ý đến dấu của bất đẳng thức: “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất
đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 3 và 10 cho nên
mới bỏ qua biểu thức 3 - 10 là số âm, dẫn tới lời giải sai.
10

Lời giải đúng: Vì 3 = 9 < 10 nên 3 - 10 < 0, do đó ta có:
(3 - 10 ). 3 x < 3(3 − 10) ⇔ 3x > 3 ⇔ x >
Ví dụ 12: Rút gọn biểu thức:
x2 − 2

Lời giải sai:

x+ 2

=

3
3

hay x > 3

x2 − 2

x+ 2
( x − 2) ( x + 2 )
x+ 2

= x− 2 .

Phân tích sai lầm: Rõ ràng nếu x = - 2 thì x +
x −2

2 = 0, khi đó biểu thức

2

x+ 2

sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai,

nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể
không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
Lời giải đúng: Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần
phải có x + 2 ≠ 0 hay x ≠ - 2 . Khi đó ta có:
x2 − 2
x+ 2

( x − 2) ( x + 2 )

=

x+ 2

= x − 2 (x ≠ - 2 ).

Ví dụ 13: Rút gọn A, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của A.


A = 

1

+

a− a


a +1
 :
với a > 0.
a − 1 a − 2 a + 1
1

Lời giải sai:
 1+ a 
a +1

a +1
:
 :
= 
2

a − 1 a − 2 a + 1
a− a
 a ( a − 1)  ( a − 1)
 1 + a  ( a − 1) 2
.
A = 

a +1
 a ( a − 1) 


A = 

1

1

+

a −1

A=

a

Ta có A =

a −1
a

=

a
a

-

1
a

= 1-

1
a

, khi đó ta nhận thấy A < 1 vì a >0

Do đó min A = 0 khi và chỉ khi a = 1.
Phân tích sai lầm: Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai,
nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì
lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì a = 1 do đó
a - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
Lời giải đúng :


A = 

1

a− a

+


a +1
 :
có a > 0 và
a − 1 a − 2 a + 1
1

Với điều kiện trên, ta có :
 1 + a  ( a − 1) 2
.
A = 

a
(
a
−
1
)
a +1



11

a - 1 ≠ 0 hay a > 0 và a ≠ 1.


a −1

A=

a

Khi đó ta nhận thấy A < 1 vì a > 0. Nếu min A = 0, khi và chỉ khi a = 1 (mâu
thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min A < 1, khi và chỉ khi 0 < a < 1.

Ví dụ 14: Cho biểu thức:


x

P = 

1 − x

+

x  3− x
+
với x ≠ 1, x > 0
x −1
1 + x 

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P > -1.


Giải: a) P = 


= 


=

3

x

+

 x (1 + x ) + x (1 − x )  3 − x
x  3− x
+
=

x −1
1 + x 
(1 − x )(1 + x )

 1− x

1 − x
x + x+ x − x 3− x
2 x − (3 − x )
2 x 3− x
−
−
=
=

1− x
1− x
1− x
1− x
1− x


−3
3
x −3

1− x

=

1+ x

=-

1+ x

b) Lời giải sai: P > -1 nên ta có: ⇔ 2>

x ⇔ 4 > x hay x < 4.

3
1+ x

> -1 ⇔ 3 > 1+

x

Vậy với x < 4 thì P < -1.
Phân tích sai lầm: Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất
đẳng thức vì thế có luôn được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết
quả của bài toán dẫn đến sai.

Lời giải đúng:
P > -1 nên ta có: ⇔ 1+

3

> -1 ⇔

3

1+ x
1+ x
⇔
⇔
x >3
x >2
x > 4.

<1

Vậy với x > 4 thì P > - 1.
1.4. Tìm hiểu một số phương pháp giải toán về căn bậc hai:
1.4.1. Xét thuật ngữ toán học: Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể
khắc phục được nhược điểm này của học sinh.
1.4.2. Xét biểu thức phụ có liên quan:
Ví dụ 1: Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh a + b < a + b
Giải: Ta đi so sánh hai biểu thức sau: a + b và ( a + b )2
Ta có: ( a + b )2 = a + b + 2 ab
Suy ra a + b < ( a + b )2 do đó ta khai căn hai vế ta được:
a + b < ( a + b ) 2 vì a > 0, b > 0 nên ta được:
a+b < a + b

Nhận xét: Như vậy trong bài toán này muốn so sánh được a + b với
a + b thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết được quan
hệ thứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A:
12


A=

1
2 − 3 − x2

Giải:
Điều kiện: |x| ≤ 3 . Dễ thấy A > 0. Ta xét biểu thức phụ sau:
B=

1
= 2A

3 − x2

Ta có: 0 ≤ 3 − x 2 ≤ 3 => - 3 ≤ - 3 − x 2 ≤ 0 => 2- 3 ≤ 2 Giá trị nhỏ nhất của B = 2 - 3 ⇔ 3 = 3 − x 2 ⇔ x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A =

1
2− 3

3 − x2 ≤ 2

= 2 + 3.

Giá trị lớn nhất của B = 2 ⇔ 3 − x 2 = 0 ⇔ x = ± 3 , khi đó giá trị nhỏ nhất
của A =

1
1
= .
B
2

Nhận xét: Trong ví dụ trên, để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ

1
.
A

1.4.3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học:
Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc
hai bằng cách sử dụng các kiến thức về quy đồng mẫu thức, các hệ thức và công
thức đã học: Hằng đẳng thức, quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các
căn bậc hai, quy tắc khai phương một thương, quy tắc chia hai căn bậc hai, đưa
thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử mẫu của biểu thức
lấy căn, trục căn thức ở mẫu…
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài
toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhưng bài toán lại yêu cầu đi tìm
giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị
của một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dương hoặc bằng 0
hoặc bằng một giá trị nào đó… thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến
thức sao cho khi hướng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu

được bài toán đó.
Ví dụ 3: Cho biểu thức:

 2x +1
  1 + x3
x

÷
B=
−
− x÷
÷
 3
÷ 1 + x
x
+
x
+
1
 x −1



( x ≥ 0 ; x ≠ 1)

a) Rút gọn B.
b) Tìm x để B = 3
Nhận xét: Bài toán cho gồm có các hằng đẳng thức sau:

( x −1) ( x +

x3 = ( 1 + x ) ( 1 −

x3 − 1 =
1+

)
x + x)
x +1

Áp dụng vào bài toán ta có:
Giải:
13



 2x +1
  1 + x3
x


÷
a) B =
−
− x÷
÷
 3
÷ 1 + x
x
+
x

+
1
 x −1




B =

)
 2 x +1 − x ( x −1) 
÷ 1−
B =
 ( x −1) ( x + x +1) ÷(





(



B =



B =



b)

)(



(

(

)(

)

 1 + x 1 − x + x

2 x +1
x
÷
−
− x÷
÷
1+ x
x −1 x + x +1 x + x +1 ÷


x +x− x

2 x +1 − x + x ÷

1− 2 x + x
x −1 x + x +1 ÷

)(

)



(

( x + x +1) ÷ 1 − x 2 =
(
)
( x −1) ( x + x +1) ÷

)

)
x −1

B = 3 ⇔ x −1 = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = 16

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = x − 1 + y − 2 biết x + y = 4
Giải: Ta có A2 = (x - 1) + (y - 2) + 2 ( x − 1)( y − 2)
= (x + y) - 3 + 2 ( x − 1)( y − 2) = 1 + 2 ( x − 1)( y − 2)
Ta lại có: 2 ( x − 1)( y − 2) ≤ (x - 1) + (y - 2) = 1 nên A2 ≤ 2
x − 1 = y − 2

 x = 1,5

⇔
Vậy: Giá trị lớn nhất của A = 2 khi và chỉ khi 
.
x + y = 4
 y = 2,5
Trên đây là một số phương pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm
mà học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập,
giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù
hợp, tránh lập luận sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
2. Khả năng áp dụng:
Kinh nghiệm này có thể vận dụng trong dạy học môn toán 9 ở các giờ dạy lí
thuyết, giờ luyện tập, ôn tập môn toán 9 trong các trường học.
3. Phạm vi, đối tượng áp dụng:
- Phạm vi áp dụng: Có thể áp dụng trong dạy học môn toán 9 ở các trường
học trên toàn quốc.
- Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 9 và giáo viên toán THCS trên toàn quốc.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng kinh nghiệm vào dạy học:
Qua thực tế giảng dạy chương I - môn đại số 9 năm học 2015 - 2016 này.
Sau khi xây dựng đề cương chi tiết của kinh nghiệm được rút ra từ năm học
2014 - 2015 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở lớp 9 chủ yếu vào các tiết luyện
tập, ôn tập. Qua việc khảo sát sự yêu thích môn học bằng phiếu trắc nghiệm và
khảo sát chất lượng môn toán bằng bài kiểm tra 45 phút cuối chương “Căn bậc
hai - Căn bậc ba”, tôi đã thu được kết quả như sau:

Khi chưa áp dụng kinh nghiệm vào Sau khi áp dụng kinh nghiệm vào
dạy học
dạy học
14

Số HS không
Số HS không
Số HS thích học
thích học
thích học
25%
75%
85%
15%
Với sự hứng thú học tập của học sinh do giáo viên có phương pháp dạy
học tích cực, phù hợp, tôi đã thu được kết quả về chất lượng bài kiểm tra 45 phút
như sau:
Số HS thích học

Khi chưa áp dụng kinh nghiệm vào Sau khi áp dụng kinh nghiệm vào
dạy học
dạy học
Trung
Trung
Giỏi
Khá
Yếu
Giỏi
Khá
Yếu
bình
bình
5%

20%
60%
15%
10%
35%
50%
5%
So sánh:
- Bài kiểm tra đạt loại giỏi tăng: 5%
- Bài kiểm tra đạt loại khá tăng: 15%
- Bài kiểm tra đạt loại trung bình giảm: 10%
- Bài kiểm tra đạt loại yếu giảm: 10%
Như vậy sau 2 năm áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy môn Toán 9, tôi
nhận thấy số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải bài toán về căn bậc
hai giảm đi nhiều, học sinh tích cực, chủ động làm bài tập. Từ đó chất lượng dạy
và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên rõ rệt.
5. Những người tham gia tổ chức áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy
lần đầu:
Là một giáo viên giảng dạy tại trường THCS Đại Phác, để có được kinh
nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải
toán về căn bậc hai”, tôi đã dựa vào thực tế các giờ dạy học môn Toán 9 cho học
sinh tại trường và qua trao đổi, thảo luận với các đồng nghiệp tại đơn vị mình.
Chương III
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu các phương án
giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong
chương I - Đại số 9, tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm sau:
- Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm
đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng
đối tượng học sinh, khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó tìm ra phương pháp

dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Đồng thời khi dạy các tiết học
luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm học sinh thường mắc phải,
phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi
làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa ra phương pháp
giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm khắc, uốn nắn
những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em
15


làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn được
đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp, học hỏi và rút ra
kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận
thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao
chất lượng dạy và học.
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I- Đại số 9 rất rộng và sâu,
tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn
rất cao, bài tập và kiến thức rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận
thấy để dạy học được tốt phần chương I- Đại số 9 thì cần phải nắm vững những
sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy
đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm
thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn
Toán nói chung và phần chương I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích
luỹ kiến thức, có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học
sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Giúp học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi
giải toán về căn bậc hai” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh
thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm

khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên
có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa
ra được hướng cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó.
Vì tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ
bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học
trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất
lượng dạy và học của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn
giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học sao cho sinh động và thu hút
đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ,
nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng
thường xuyên.
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và
trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
Vì bản thân tuổi nghề và kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều nên
khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Vậy tôi kính mong nhận được sự
đóng góp của các cấp lãnh đạo và quí đồng nghiệp gần xa để chúng ta cùng có
những kinh nghiệm giảng dạy sâu hơn. Qua đó, chúng ta cùng góp phần công
sức nhỏ của mình vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán 9 nói riêng
cũng như chất lượng dạy học của sự nghiệp nói chung.
16


Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đại Phác, ngày 5 tháng 10 năm 2015
Người viết

Trương Hồng Lịch

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách "Một số vấn đề đổi mới PPDH môn Toán ở trường THCS" của Nhà
xuất bản Giáo dục.
2. Giáo trình " Phương pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng.
3. Sách giáo khoa và sách bài tập toán 9 tập 1 của Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Sách “Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập Toán 9 tập một”
của Nhà xuất bản Giáo dục.
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA NHÀ TRƯỜNG

…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA PHÒNG GD & ĐT VĂN YÊN

17


…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

18