SKKN Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai

Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Tên sáng kiến kinh nghiệm
:
dạy học
Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm
Trong khi giải toán về căn bậc hai
Phần I : Mở đầu
A - Lý do chọn đề tài
:
Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nớc thì phải nhanh chóng tiếp thu
khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển nh vũ bão của khoa học
và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay
còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà trờng không thể nào luôn luôn cung
cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật đợc. Điều quan trọng là phải trang bị cho
các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết
trong tơng lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trờng, sự xuất hiện nề kinh tế tri thức trong tơng
lai đòi hỏi ngời lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm chất
thích hợp để bơn chải vơn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu thập
thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phơng tiện truyền thông
tuyên truyền, máy tính, mạng internet .v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đói với con ngời
hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông tin để tìm ra
giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng nh của
xã hội.
Nh vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trớc đây nặng về việc truyền thụ
kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho HS. Để
đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình dạy
học về mục tiêu, nội dung, phơng pháp, hìn thức tổ chức, phơng tiện, cách kiểm tra
đánh giá
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã đợc mở rộng, các kiến thức và kỹ
năng đợc hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :

+ Năng lực hành động
+ Năng lực thích ứng
+ Năng lực cùng chung sống và làm việc
+ Năng lực tự khẳng định mình.
Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là
"Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến
thức và kỹ năng là một trong những thành tố của năng lực HS.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát hiện ra
rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất
nhiều học sinh(45%) cha thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
1
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục
đích

Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh đợc sự nhầm lẫn
đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính
thời cuộc rất cao, giúp các em có mồn sự am hiểu vững trắc về lợng kiến thức căn bậc
hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
B- Thời gian nghiên cứu
:
Đợc chia làm 3 giai đoạn chính :
1. Giai đoạn 1 :
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2006 đến ngày 26 tháng 10 năm 2006.
2. Giai đoạn 2 :
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2007 đến ngày 29 tháng 10 năm 2007.
3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm 15 tháng 11 năm
2007.
C - Mục đích nghiên cứu

:
- Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục
đích nh sau :
+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phơng pháp dạy học tích
cực rất rễ thực hiện.
+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS nói riêng có
thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đa ra biện
pháp tối u khi áp dụng phơng pháp vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở
để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong
quá trình lĩnh hội kiến thức ở chơng căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc
phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử,
kiểm tra

Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới
sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho
học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ t duy lôgic của học sinh giúp
học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con ngời học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm
để làm luận cứ cho phơng pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
D - Phạm vi nghiên cứu
:
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số Nhóm sai lầm mà học sinh thờng
mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chơng I - Đại số 9.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy đợc những lập
luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
Từ đó định hớng cho học sinh phơng pháp giải bài toán về căn bậc hai.
E - Đối tợng nghiên cứu
:
Nh đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm

đối tợng cụ thể sau :
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
2
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
1. Giáo viên dạy toán 9 THCS
2. Học sinh lớp 9 THCS : bao gồm 4 lớp 9 với tổng số 151 học sinh
F - Phơng pháp nghiên cứu
:
- Đọc sách, tham khảo tài liệu.
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm.
- Thông qua học tập BDTX các chu kỳ.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh nghiệm
của trờng trong những năm học trớc và vốn kinh nghiệm của bản thân đã rút ra đợc
một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học
sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dới
các hình thức khác nhau, bớc đầu tôi đã nắm đợc các sai lầm mà học sinh thờng mắc
phải khi giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những ph-
ơng pháp sau :
- Quan sát trực tiếp các đối tợng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học
sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tợng học sinh trong 4 lớp 9 của khối 9 với tổng số
151 học sinh để thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học
môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan
đến căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm ).
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận
thức, phơng pháp và chất lợng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lợng giáo
dục.

- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả
bài kiểm tra. . . tôi đã đa vấn đề này ra hớng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận
bằng nhiều hình thức khác nhau nh hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để
học sinh khắc sâu kiến thức, tránh đợc những sai lầm trong khi giải bài tập. Yêu cầu
học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đa thêm vào đó
những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận
của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang nghiên
cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh th-
ờng mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp theo.
G - Tài liệu tham khảo
:
1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trờng THCS môn toán" của Bộ giáo
dục và Đào tạo
2. Tài liệu bồi dỡng thờng xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) môn
toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ
giáo dục và Đào tạo.
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
3
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
4. Giáo trình " Phơng pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT
5. SGK và SGV toán 6,7,8,9.(BGD&ĐT)
Phần II : nội dung đề tài
A. Chơng I :
cơ sở lý luận

I -
Quan điểm về đổi mới phơng pháp dạy học và ph-
ơng pháp dạy học tích cực :

1. Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học :
Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phơng pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng cho ngời học
năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên".
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính
năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa,
xây dựng t cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc
đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"; Chơng trình giáo
dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày
5/5/2006 của Bộ trởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu : "Phải phát huy tính tích
cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trng môn học, đặc điểm
đối tợng học sinh, điều kiện của từng đối tợng học sinh, điều kiện của từng lớp học;
bồi dỡng cho học sinh phơng pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và
trách nhiệm học tập cho HS".
- Quan điểm dạy học : là những định hớng tổng thể cho các hành động phơng
pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng, những cơ sở
lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chức cũng nh những
định hớng về vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học. Quan điểm dạy học là
những định hớng mang tính chiến lợc, cơng lĩnh, là mô hình lý thuyết của PPDH.
Những quan điểm dạy học cơ bản : DH giải thích minh hoạ, DH gắn với kinh nghiệm,
DH kế thừa, DH định hớng HS, DH định hớng hành động, giao tiếp; DH nghiên cứu,
DH khám phá, DH mở.
2. Phơng pháp dạy học tích cực :
Việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới
đồng bộ từ mục tiêu, nội dung, phơng pháp, PTDH đến cách thức đánh giá kết quả
dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới PPDH.
Mục đích của việc đổi mới PPDH ở trờng phổ thông là thay đổi lối dạy học
truyền thụ một chiều sang dạy học theo phơng pháp dạy học tích cực(PPDHTC) nhằm

giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen
và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình
huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú
trong học tập. Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; HS tìm tòi, khám phá, phát hiện
luện tập khai thác và sử lý thông tin

HS tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm
chất. Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm ra chân lý. Chú trọng hình
thành các năng lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,

) dạy phơng pháp và kỹ thuật lao động
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
4
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
khoa học, dạy cách học. Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại và t-
ơng lai. Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát triển xã
hội.
PPDH tích cực đợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt
động, thụ động. PPDHTC hớng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của HS,
nghĩa là hớng vào phát huy tính tích cực, chủ động của ngời học chứ không chỉ hớng
vào phát huy tính tích cực của ngời dạy.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách học,
tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hởng đến cách dạy của thầy.
Mặt khác, cũng có trờng hợp HS mong muốn đợc học theo PPDHTC nhng GV cha
đáp ứng đợc. Do vậy, GV cần phải đợc bồi dỡng, phải kiên trì cách dạy theo
PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao,
hình thành thói quen cho HS. Trong đổi mới phơng pháp phải có sự hợp tác của thầy
và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả. PPDHTC
hàm chứa cả phơng pháp dạy và phơng pháp học.
* Đặc trng của phơng pháp dạy học tích cực :

a) dạy học tăng cờng phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo
thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh.
b) Dạy học trú trọng rèn luyện phơng pháp và phát huy năng lực tự học của HS.
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác.
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá.
e) Tăng cờng khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện
thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV
3. Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục Đào tạo con ngời phát triển toàn
diện căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2006 - 2007 và nhiệm vụ đầu năm học 2007
-2008 là tiếp tục đổi mới chơng trình SGK, nội dung phơng pháp giáo dục ở tất cả các
bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý giáo dục
có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ về số lợng, đồng bộ về cơ cấu, chuẩn
hoá về trình độ đào tạo

Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục.
II Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm :
1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng
nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hớng dẫn học sinh giải
toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định
lý, bất đẳng thức, các công thức toán học.
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh cha linh hoạt.
Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự t duy thì học sinh không xác
định đợc phơng hớng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm đợc bài.
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số
học sinh còn rất yếu.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chơng I
đại số 9 thì ngời thầy phải nắm đợc các khuyết điểm mà học sinh thờng mắc phải, từ
đó có phơng án Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc
hai
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007

5
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
2 . Chơng Căn bậc hai, căn bậc ba có hai nội dung chủ yếu là phép khai ph-
ơng(phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức
lấy căn bậc hai. Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba, căn thức bậc hai và bảng
căn bậc hai.
3 . Cách trình bày và đa ra định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai ở chơng trình SGK
cũ năm học 2004-2005 :
a) Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai :
- Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm.
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau có bình phơng bằng nhau và ngợc lại nếu hai
số có bình phơng bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau.
- Với hai số a,b : Nếu a>b thì a
2
> b
2
và ngợc lại nếu a
2
> b
2
thì a >b.
- Bình phơng của một tích(hoặc một thơng) bằng tích(hoặc thơng) các bình ph-
ơng các thừa số(hoặc số bị chia với bình phơng số chia).
b) Căn bậc hai của một số :
* Xét bài toán : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x
2
= a. Ta thấy :
- Nếu a< 0 thì không tồn tại số thực x nào thoả mãn x
2
=a

- Nếu a > 0 có hai số thực x mà x
2
=a, một số thực dơng x
1
>0 mà x
1
2
=a và một số
thực âm x
2
<0 mà x
2
2
=a, hơn nữa đó là hai số đối nhau.
* Công nhận : Ngời ta chứng minh đợc rằng với mọi số thực a
0
luôn luôn tồn
tại số thực duy nhất x

0 mà x
2
=a. Ta ký hiệu x =
a
và gọi là căn bậc hai số học của
a.
* Từ đó đa ra định nghĩa : căn bậc hai số học (CBHSH) của một số a

0 là số
không âm x =
a

0 có bình phơng bằng a :



==

=
aax
x
ax
22
)(
0
* Đa ra chú ý : a) Số
a
<0, số đối của CBHSH
a
của a (a>0) đợc gọi là căn
bậc hai âm của a. Nh vậy mỗi số thực a> 0 có 2 căn bậc hai là hai số đối nhau :
0>a
gọi là CBHSH hay còn gọi là căn bậc hai dơng của a.
0< a
gọi là căn bậc hai âm của a.
b) Căn bậc hai số học có thể coi là kết quả của phép toán sau :
:)(
R
+

R
+
a


a
sao cho
aa =
2
)(
phép toán đó gọi là phép khai phơng hay
phép khai căn bậc hai trên R
+
, đó là phép toán ngợc của phép bình phơng trên R
+
.
4. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) :
a) Đa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
6
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdơng kí hiệu là
a
và
số âm kí hiệu là -
a
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết

0
= 0
.
b) Đa ra định nghĩa : Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a.
Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0.
c) Đa ra chú ý : Với a

0, ta có :
Nếu x=
a
thì x 0 và x
2
=a;
Nếu x 0 và x
2
=a thì x=
a
. Ta viết :





=

=
.
,0

2
ax
x
ax
d) Đa ra nội dung về phép khai phơng : Phép toán tìm căn bậc hai số học của số
không âm gọi là phép khai phơng.
e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định đợc các căn bậc
hai bậc hai của nó.
III - Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai :
1. Kiến thức :
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phơng(phép tìm căn bậc hai số
học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phơng gồm :
- Giới thiệu phép khai phơng(thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số
học của số không âm)
- Liên hệ của phép khai phơng với phép bình phơng(với a0, có
( )
aa =
2
; với a
bất kỳ có
||
2
aa =
)
- Liên hệ phép khai phơng với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so
sánh các căn bậc hai số học : Với a 0, b 0, ta có : a < b
ba <
)
- Liên hệ phép khai phơng với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý

Với a 0, b 0, ta có :
baab =
và định lý Với a 0, b > 0, ta có :
b
a
b
a
=
)
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các
công thức sau :
2
A
= | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )
BAAB =
( với A, B là hai biểu thức mà A 0, B 0)
B
A
B
A
=
( với A, B là hai biểu thức mà A 0, B > 0)
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
7
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
BABA ||
2
=
( với A, B là hai biểu thức mà B 0 )
AB

BB
A 1
=
( với A, B là hai biểu thức mà AB 0, B 0 )
B
BA
B
A
=
( với A, B là biểu thức và B > 0)
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


(với A, B, C là biểu thức mà A 0 và A B
2
)
BA
BAC
BA
C

=

)(
( với A, B, C là biểu thức mà A 0, B 0 và A B )
* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ
yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức( một
số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với trình bày tính
chất phép tính khai phơng).
2. Kỹ năng :
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán nh :
- Tìm khai phơng của một số ( số đó có thể là số chính phơng trong khoảng từ 1
đến 400 hoặc là tích hay thơng của chúng, đặc biệt là tích hoặc thơng của số đó với số
100)
- Phối hợp kỹ năng khai phơng với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số ( tính theo
thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phơng)
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức nh :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tơng ứng với các công thức nêu ở phần trên( với
công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành
A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn(thức) bậc hai có thể coi là vận dụng công thức
BAAB =
theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đó( và cả những kỹ năng có trong những lớp trớc) để có
kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng trục căn
thức ở mẫu.
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục
đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi
hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm phong
phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện
nào đó.)
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng đợc hình thành và
củng cố trong phần này nh :

- Giải toán so sánh số
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức nêu
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
8
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phơng trình tích)
- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính.
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của
phần kiến thức này( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng t-
ơng ứng và nhiều khi, chẳng hạn nh giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình
thành kỹ năng).
B. Chơng II : Nội dung thực hiện
I - Các bớc tiến hành :
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.
3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cơng.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến. Qua
khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai
thành từng nhóm.
6. Đa ra định hớng, các phơng pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng vào các ví
dụ cụ thể.
7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm.
II - Khảo sát đánh giá :
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ôn tập.
GV cần lu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bài giải của học sinh,
gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót(nếu có) trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra

các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác.
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán tìm
căn bậc hai của 139 học sinh lớp 9 năm học 2006-2007 là : 38/139 em chiếm 27,33%.
Trong bài kiểm tra chơng I - Đại số 9 năm học 2006-2007 của 139 học sinh thì
số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai là 56/139 em chiếm 40,3%
(nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán 9 năm học 2006-2007)
Nh vậy số lợng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về căn bậc hai là t-
ơng đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh đợc khi làm bài tập
trong năm học 2007-2008 này là một công việc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong
quá trình giảng dạy ở trờng THCS Đồng Khê.
III - Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về căn
bậc hai :
So với chơng trình cũ thì chơng I - Đại số 9 trong chơng trình mới này có những
điểm mới và khó chủ yếu sau :
1. Điểm mới :
- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã đợc giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục sử dụng
qua một số bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ tập trung vào giới thiệu căn bậc hai số
học và phép khai phơng.
- Phép tính khai phơng và căn bậc hai số học đợc giới thiệu gọn, liên hệ giữa thứ
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
9
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
tự và phép khai phơng đợc mô tả rõ hơn sách cũ ( nhng vẫn chỉ là bổ sung phần đã
nêu ở lớp 7)
- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn ( nhẹ căn
cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập)
- Cách trình bày phép tính khai phơng và phép biến đổi biểu thức chứa căn thức
bậc hai đợc phân biệt rạch ròi hơn ( Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và các chuyển ý khi
giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai phơng thể hiện điều đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng đợc SGK chú ý để HS có thể

tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ?n có ngay trong phần bài
học mỗi bài.
2. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chơng với số tiết
không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng
tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải
thích (nh biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phơng pháp
rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái
niệm (chẳng hạn nh căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phơng, biểu thức lấy căn,
nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức).
IV - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn bậc hai :
Nh đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hớng sai lầm chủ yếu sau :
1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :
a) Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đa ra nhận xét 3
2
=9; (-3)
2
=9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của
9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.
- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai, một số dơng ký hiệu là
a
và một số âm
ký hiệu là-
a
.

* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
b) Định nghĩa căn bậc hai số học :
Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a.
Sau đó đa ra chú ý : với a 0, ta có :
Nếu x =
a
thì x 0 và x
2
=a;
Nếu x 0 và x
2
=a thì x =
a
. Ta viết
x=
a




=


ax
x
2
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng (gọi
tắt là khai phơng).

Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ căn bậc
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
10
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
hai và"căn bậc hai số học.
Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra đợc số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối
nhau là 4 và - 4.
Ví dụ 2 : Tính
16

Học sinh đến đây sẽ giải sai nh sau :

16
= 4 và - 4 có nghĩa là
16
=

4
Nh vậy học sinh đã tính ra đợc số
16
có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :

16
=4 và
16
= -4
Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
Lời giải đúng :
16

= 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 4
2
= 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
c) So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có a < b

ba <
Ví dụ 3 : so sánh 4 và
15
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo
định nghĩa số
15
chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4
thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đ a ra
lời giải sai nh sau : 4 <
15
(vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn
15
).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau
khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học
sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Lời giải đúng : 16 > 15 nên
16
>
15
. Vậy 4 =
16
>

15
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học :
với a 0, ta có :
Nếu x =
a
thì x 0 và x
2
=a;
Nếu x 0 và x
2
=a thì x =
a
.
Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết :

x
= 15
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai nh sau :
Nếu x =
a
thì x 0 và x
2
=a; vì phơng trình x
2
= a có 2 nghiệm là x =
a
và x
=-
a

học sinh đã đợc giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên nh sau :
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
11
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Do x 0 nên
2
x
= 15
2
hay x = 225 và x = -225.
Vậy tìm đợc hai nghiệm là x
1
=225 và x
2
=-225
Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 15
2
. Vậy x =225.
e) Sai trong thuật ngữ khai phơng :
Ví dụ 5 : Tính -
25
- Học sinh hiểu ngay đợc rằng phép toán khai phơng chính là phép toán tìm căn
bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ -
25
là một căn bậc hai âm
của số dơng 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai nh sau :
-
25
= 5 và - 5
Lời giải đúng là : -

25
= -5
g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A
= | A|
Căn thức bậc hai :
Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, còn A
đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.
A
xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
Hằng đẳng thức :
2
A
= | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phơng và phép bình phơng.
Ví dụ 6 : Hãy bình phơng số -8 rồi khai phơng kết quả vừa tìm đợc.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau ( lời giải sai) :
(-8)
2
= 64 , nên khai phơng số 64 lại bằng -8
Lời giải đúng : (-8)
2
= 64 và
64
= 8.
Mối liên hệ
2

a
= | a| cho thấy Bình phơng một số, rồi khai phơng kết quả đó,
cha chắc sẽ đợc số ban đầu
Ví dụ 7 : Với a
2
= A thì
A
cha chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-5)
2
= 25 nhng
25
= 5; rất nhiều ví dụ tơng tự đã khảng định đợc
kết quả nh ở trên.
2. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A = x +
x
* Lời giải sai : A= x +
x
= (x+
x
+
4
1
) -
4
1
= (

x
+
2
1
)
2
-
4
1

Vậy min A = -
4
1
.
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
12
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
* Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x) -
4
1
, cha chỉ ra trờng hợp xảy ra f(x) = -
4
1
. Xảy ra khi
và chỉ khi
x
= -
2
1

(vô lý).
* Lời giải đúng :
Để tồn tại
x
thì x 0. Do đó A = x +
x
0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0
Ví dụ 9 : Tìm x, biết :
2
)1(4 x
- 6 = 0
* Lời giải sai :
2
)1(4 x
- 6 = 0
6)1(2
2
= x

2(1-x) = 6

1- x = 3

x = - 2.
* Phân tích sai lầm : Học sinh có thể cha nắm vững đợc chú ý sau : Một cách
tổng quát, với A là một biểu thức ta có
2
A
= | A|, có nghĩa là :
2

A
= A nếu A 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2
A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Nh thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng :
2
)1(4 x
- 6 = 0
6)1(2
2
= x


| 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phơng trình
sau : 1) 1- x = 3

x = -2
2) 1- x = -3

x = 4. Vậy ta tìm đợc hai giá trị của x là x
1
= -2 và x
2
= 4.
Ví dụ 10 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B =
1616 +x
-

99 +x
+
44 +x
+
1+x
với x -1
* Lời giải sai :
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1x
+
1x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x


4 =
1+x


4
2
= (
1+x
)

2
hay 16 =
2
)1( +x

16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phơng trình sau : 1) 16 = x + 1

x = 15
2) 16 = -(x+1)

x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta đợc hai giá trị của x là x
1
= 15 và x
2
=-
17 nhng chỉ có giá trị x
1
= 15 là thoả mãn, còn giá trị x
2
= -17 không đúng. Đâu là
nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức
mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các biểu thức trong
căn luôn tồn tại nên không cần đa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng :
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
13
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
B = 4

1+x
-3
1+x
+ 2
1x
+
1x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x


4 =
1+x
(do x -1)

16 = x + 1. Suy ra x = 15.
b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số
hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 11 : Tìm x, biết :
(4-
)174(32).17 <x
.
* Lời giải sai :
(4-
)174(32).17 <x

2x <
3
( chia cả hai vế cho 4-
17
)

x <
2
3
.
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề
gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan
không để ý đến dấu của bất đẳng thức : Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng
thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
17
cho nên mới
bỏ qua biểu thức 4 -
17
là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 =
16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có
(4-
)174(32).17 <x

2x >
3


x >
2
3
.
Ví dụ 12 : Rút gọn biểu thức :

3
3
2
+

x
x
* Lời giải sai :
3
3
2
+

x
x
=
3
)3)(3(
+

+
x
xx
= x -
3
.
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = -
3
thì x +
3
= 0, khi đó biểu thức
3
3
2
+

x
x
sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải đợc của học sinh đó không sai, nhng sai
trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại
thì làm sao có thể có kết quả đợc.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần
phải có x +
3
0 hay x -
3
. Khi đó ta có
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
14
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên

3
3
2
+

x
x
=
3
)3)(3(
+
+
x
xx
= x -
3
(với x -
3
).
Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
M =
12
1
:
1
11
+
+

+
aa
a
aaa
với a > 0.
* Lời giải sai :
M =
12
1
:
1
11
+
+

+
aa
a
aaa
=
:
)1(
1









+
aa
a
2
)1(
1

+
a
a
M =

+
)1(
1
aa
a
.
1
)1(
2
+

a
a
M =
a
a 1
Ta có M =
a
a 1
=
a
a
-

a
1
= 1-
a
1
, khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhng
sai ở chỗ học sinh lập luận và đa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì
a
= 1 do đó
a
- 1= 0,
điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
* Lời giải đúng :
M =
12
1
:
1
11
+
+

+
aa
a
aaa
có a > 0 và
a
- 1 0 hay a >0 và a 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M =









+
)1(
1
aa
a
.
1
)1(
2

+

a
a
M =
a
a 1
khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu
thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1.
Ví dụ 14 : Cho biểu thức :
Q =
1
3
11


+








+
+

x

x
x
x
x
x
với x 1, x > 0
a) Rút gọn Q
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
15
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
b) Tìm x để Q > -1.
Giải : a) Q =
1
3
11


+








+
+

x

x
x
x
x
x
Q =






+
++
)1)(1(
)1()1(
xx
xxxx
-
x
x


1
3
Q =

++
x
xxxx
1
x
x


1
3
Q =

x
x
1
2
x
x


1
3
=
x

xx


1
)3(2
Q =
x
x


1
33
=
x+

1
3
Q = -
x+1
3
b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có
-
x+1
3
> -1

3 > 1+
x

2 >
x


4 > x hay x < 4.
Vậy với x < 4 thì Q < -1.
* Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế
của bất đẳng thức vì thế có luôn đợc bất đẳng thức mới với hai vế đều dơng nên kết
quả của bài toán dẫn đến sai.
* Lời giải đúng :
Q > -1 nên ta có
-
x+1
3
> -1


x+1
3
< 1

1+
x
> 3


x
> 2

x > 4.

Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
V - Những phơng pháp giải toán về căn bậc hai :
1. Xét thuật ngữ toán học : Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc phục
đợc nhợc điểm này của học sinh.
2. Xét biểu thức phụ có liên quan :
Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh
ba +
<
ba +
Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và (
a
+
b
)
2
Ta có : (
a
+
b
)
2
= a+ b + 2
ab
Suy ra a + b < (
a
+
b
)
2
do đó ta khai căn hai vế ta đợc :

Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
16
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên

ba +
<
2
)( ba +
vì a > 0, b > 0 nên ta đợc :

ba +
<
ba +
* Nh vậy trong bài toán này muốn so sánh đợc
ba +
với
ba +
thì ta phải đi
so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết đợc quan hệ thứ tự của chúng, do
đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A :
A =
2
32
1
x
Giải :
Ta phải có |x| 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau :
B =
=

A
1
2-
2
3 x
Ta có : 0
2
3 x

3
=> -
3
-
2
3 x
0 => 2-
3
2 -
2
3 x
2
giá trị nhỏ nhất của B = 2-
3



3
=
2
3 x

x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A =
32
1

= 2+
3
.
Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi
2
3 x
= 0

x =
3
, khi đó giá trị
nhỏ nhất của A =
B
1
=
2
1
.
* Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ
A
1
.

3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học :
Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc hai
bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai
phơng một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phơng một thơng, quy tắc
chia hai căn bậc hai, đa thừa số ra ngoài dấu căn, đa thừa số vào trong dấu căn, Khử
mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài toán
có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá trị lớn
nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của một tham số
nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dơng hoặc bằng 0 hoặc bằng một giá trị
nào đó thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức sao cho khi hớng dẫn
học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu đợc bài toán đó .
Ví dụ 3 : Cho biểu thức :
P =









+

+

1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
với a > 0 và a 1.
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
17
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của a để P < 0
Giải : a)
P =
)1)(1(

)1()1(
.
2
1.
22
2
+
+









aa
aa
a
aa
=
1
1212
.
2
1
2

+

a
aaaa
a
a
=
2
)2(
)4)(1(
a
aa
=
a
aa
4
4).1(
=
a
a1
.
Vậy P =
a

a1
với a > 0 và a 1.
b) Do a > 0 và a 1 nên P < 0 khi và chỉ khi

a
a1
< 0

1- a < 0

a > 1.
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A :
A =
1x
+
2y
biết x + y = 4
Giải : Ta có A
2
= ( x-1) + (y - 2) + 2
)2)(1( yx
=
= (x + y) - 3 + 2
)2)(1( yx
= 1+ 2
)2)(1( yx
Ta lại có 2
)2)(1( yx
(x -1) + (y- 2) = 1
Nên A

2
2
=> Giá trị lớn nhất của A =
2
khi và chỉ khi



=
=




=+
=
5,2
5,1
4
21
y
x
yx
yx
.
Trên đây là một số phơng pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm mà
học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hớng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên
cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm đợc phơng pháp giải phù hợp, tránh lập luận
sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
VI- Kết quả thực hiện :

Qua thực tế giảng dạy chơng I- môn đại số 9 năm học 2007-2008 này. Sau khi
xây dựng đề cơng chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm đợc rút ra từ năm học 2006-
2007 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9A, 9B chủ yếu vào các tiết luyện tập,
ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập
học sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể :
Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 73 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 66 em chiếm 90,4%. (ở năm học 2006-
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
18
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
2007 là 73%) Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính áp dụng nhng hiệu
quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hớng đi đúng.
Bài kiểm tra chơng I : Tổng số 73 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 56 em chiếm 76,7% (ở năm học 2006-
2007 là 60%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và t duy cao.
Nh vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trong
khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh
mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lợng dạy và học môn
Đại số nói riêng và môn Toán nói chung đợc nâng lên.
VII- Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện :
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu caqcs phơng án giúp
học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chơng I-Đại số 9, tôi đã rút
ra một số kinh nghiệm nh sau :
* Về phía giáo viên :
- Ngời thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến
chất lợng của từng học sinh, nắm vững đợc đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tợng
học sinh và phải hiểu đợc gia cảnh cũng nh khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó tìm
ra phơng pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tợng học sinh. Đồng thời trong khi
dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà học sinh th-

ờng mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm
trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đa ra phơng pháp
giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phơng án và phơng pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm
khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi
các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn đợc
đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thờng xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh
nghiệm cho bản thân, vận dụng phơng pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học
sinh, không ngừng đổi mới phơng pháp giảng dạy để nâng cao chất lợng dạy và học.
- Giáo viên phải chịu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian để bố trí
các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh :
- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và chịu
khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu đợc bản chất của vấn
đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh
đợc những sai lầm khi giải toán.
- Phải có đầy đủ các phơng tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính
điện tử bỏ túi Caisiô f(x) từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở
nhà thờng xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.
VIII- Kết luận :
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chơng I- Đại số 9 rất rộng và sâu, tơng đối
khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập
và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học đợc tốt
phần chơng I- Đại số 9 thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thờng mắc
phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
19
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên

quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lợng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói
chung và phần chơng I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức,
phải có phơng pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây
cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến
Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán
về căn bậc hai tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thờng mắc phải một
cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần
kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát
hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hớng và đa ra đợc hớng cũng nh biện
pháp khắc phục các sai lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phơng
pháp khắc phục và định hớng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận
của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một
cách dễ hiểu. Ngoài ra tôi còn đa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để
các em có thể thực hành kỹ năng của mình.
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tối chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì
vậy tôi chỉ đa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự
đúc rút của các năm học trớc đã dạy. Tôi xin đợc đề xuất một số ý nhỏ nh sau nhằm
nâng cao chất lợng dạy và học của giáo viên và học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chơng trình sách giáo khoa, soạn giáo
án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động và thu hút
đối tợng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm
và nhà trờng, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dỡng thờng xuyên.
- Học sinh cần hóc kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và
trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.

Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 cha nhiều, tầm quan sát
tổng thể cha cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu
sót và khiếm khuyết. Rất mong đợc lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ
xung cho tôi để sáng kiến đợc đầy đủ hơn có thể vận dụng đợc tốt và có chất lợng
trong những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !
Đồng Khê, ngày 28 tháng 11 năm 2007
Ngời nghiên cứu
Vũ Văn Hạnh

Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
20
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Phần III : theo dõi thực hiện.
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy thực tế từ tuần 1 đến
tuần 9 (dạy chơng I- Đại số 9) năm học 2007-2008 đợc kết quả nh sau :
Tuần Kết quả thực hiện Tồn tại Điểu chỉnh- bổ xung
1 -Học sinh có ý thức
học tơng đối tốt, chuẩn
bị bài đầy đủ, có đủ đồ
dùng học tập.
- Có sự hào hứng khi
bớc vào môn học.
- Học sinh bị hổng
kiến thức cũ, kiến thức
cơ bản từ lớp dới tơng
đối nhiều do thời gian
hè dài học sinh cha có
điều kiện ôn và cập
nhật lại.

- Yêu cầu học sinh ôn
tập lại bài cũ, củng cố
lại các kiến thức về căn
bậc hai đã đợc học từ
lớp 7.
2 - áp dụng các phơng
pháp 1 và 2 trong một
số bài tập ban đầu,
nhận thấy tỉ lệ học
sinh giải bài tập đúng
tăng lên.
- Còn nhiều học sinh
cha vận dụng tốt các
phơng pháp hoặc cha
nắm vững ngay kiến
thức cơ bản của bài
học do đó còn cha
theo kịp bạn bè.
- Cho học sinh làm
nhiều bài tập, trong khi
luyện tập, GV cần nêu
rõ các bớc giải khi sử
dụng phơng pháp.
- Tìm nhiều bài tập tơng
tự để học sinh về nhà
làm tạo thói quen và
hiểu kĩ về cách làm.
3 - áp dụng phơng pháp
2 trong giải bài tập thì
tỉ lệ học sinh giải bài

tập đã tăng lên rất
nhiều. Cụ thể là tổng
số học sinh tham gia
kiểm tra 15 phút là 73,
số học sinh giải đúng
là 66 em.
- Còn một số học sinh
giải bài tập sai hoặc
không giải đợc một bài
tập nào. Một phần là
học sinh yếu từ trớc,
một phần cha cập nhật
và tiếp cận ngay với
phơng pháp.
- Tổ chức ôn tập riêng
để hớng dẫn những học
sinh này giải bài tập
đơn giải hơn để học
sinh tiếp cận dần dần
với các bài tập đi từ
mức độ dễ đến mức độ
khó.
4 - Củng cố các phơng
pháp giải toán chứa
căn bậc hai.
- Trình độ mặt bằng
chung giữa các học
sinh đang có sự phân
hoá rõ nét. Nhóm đối
tợng học sinh yếu

đang có su thế chán và
bỏ bễ bài tập.
- Tiếp tục tổ chức học
ôn thêm cho đối tợng
những học sinh yếu.
- Kịp thời tìm hiểu
nguyên nhân, gia cảnh
của học sinh, động viên
kịp thời tới những học
sinh còn yếu.
5 - Thảo luận cùng đồng
nghiệp để kịp thời
đánh giá về phơng
pháp tạo đồng thuận
và tâm lý yên tâm.
- Các học sinh yếu đã
dần dần theo kịp và
- Điều kiện học thêm,
phòng học thêm cha
có hoặc ít nên cha thể
bố trí để các học sinh
còn yếu theo học.
- Đa phần học sinh
nghèo do đó thiếu
- Đa ra các ví dụ minh
họa để học sinh tự làm
ở nhà thay vì đến lớp ôn
tập vì không có lớp.
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
21

Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
giải bài tập đã tiến bộ
lên rõ rệt.
trang thiết bị học tập
nh máy tính điện tử bỏ
túi
6 - Tiếp tục tìm các sai
lầm và phân tích các
sai lầm của học sinh
để giúp học sinh tránh
các sai lầm đó.
- Tỉ lệ học sinh mắc
sai lầm và hiểu cha sâu
vẫn còn cao
- Hớng dẫn học sinh
giải các bài tập đơn giải
để học sinh nắm đợc
phơng pháp làm bài và
tự tìm ra những sai lầm
trong bài làm của mình
để bài sau làm chính
xác hơn.
7 - Đa ra một số dạng
bài tập tổng quát có
liên quan đến nhiều
kiến thức để học sinh
thực hiện, các bài tập ở
mức độ khó hơn.
- Đa số học sinh đã
nắm đợc phơng pháp,

hiểu kỹ và sâu về các
phơng pháp thì khoảng
50% trên tổng số học
sinh/.
- Nhìn chung học sinh
trung bình và yếu làm
bài tập còn chậm và
sai sót nhiều.
- Những bài tập ở dạng
tổng hợp thì học sinh
trung bình cha làm
hoàn thiện.
- Nên chuyển hớng các
bài tập tổng hợp có độ
khó và độ phức tạp sang
đối tợng học sinh khá
giỏi.
- Những bài tập mang
tính t duy mà học sinh
rất dễ mắc sai lầm thì
cha đa ra cho học sinh
trung bình và yếu.
8 - Củng cố toàn bộ các
phơng pháp về giải
toán căn bậc hai.
- Phân tích kỹ các sai
lầm mà học sinh mắc
phải và tránh những
sai lầm đó.
- Một số học sinh yếu

vẫn cha nhớ và cha
hiểu sâu phơng pháp.
- Một số học sinh khác
đã quên kiến thức của
phần đầu chơng.
- Động viên khích lệ kịp
thời học sinh học đợc và
cha học đợc.
- Nghiêm khắc với
những học sinh còn cố
tình chây lời trong học
tập.
9 - Theo dõi và thu thập
kết quả qua bài kiểm
tra cuối chơng.
- Kết quả bài kiểm tra
cuối chơng I :
Tổng số 73 học sinh
Số học sinh giải bài
tập đúng là 56 em
bằng 76,6%.
- Còn 10% học sinh
giải bài sai một phần.
- Số học sinh giải bài
sai toàn bộ là 13,4%
nguyên nhân là do học
sinh nhận thức chậm,
lời làm bài tập ở nhà
và lên lớp cha chú ý.
- trong năm học sau, khi

áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm này cần phân
loại học sinh và lựa
chọn phơng pháp phù
hợp với từng đối tợng
học sinh.

Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
22
Trêng THCS §ång Khª Tæ Khoa häc tù nhiªn


DuyÖt cña tæ KHTN
DuyÖt cña héi ®ång khoa häc nhµ trêng
Vò V¨n H¹nh S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 9-2007
23
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Mục lục

:

TT
Nội dung
Trang
1
Phần I : Mở đầu
1
2
A - Lý do chọn đề tài :
1

3
B- Thời gian nghiên cứu : .
2
4
C - Mục đích nghiên cứu:
2
5
D - Phạm vi nghiên cứu :
2
6
E - Đối tợng nghiên cứu : .
3
7
F - Phơng pháp nghiên cứu :
4
8
G - Tài liệu tham khảo :
4
9
Phần II : nội dung đề tài :
4
10
A. Chơng I : cơ sở lý luận
: 4
11
I- Quan điểm về đổi mới phơng pháp :
4
12
II- Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm :
6

13
III- Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai :
8
14
B. Chơng II : Nội dung thực hiện
: 9
15
I - Các bớc tiến hành :
10
16
II - Khảo sát đánh giá :
10
17 III - Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về căn bậc hai : . 10
18
IV - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn bậc hai : .
11
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
24
Trờng THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
19
V - Những phơng pháp giải toán về căn bậc hai :
18
20
VI- Kết quả thực hiện : 20
21
VII- Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện : 20
22
VIII- Kết luận : 21
23
Phần III : Theo dõi thực hiện : 23

Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-2007
25