Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 7 - Mô tả toán toán học hệ thống điều khiển rời rạc

BÀI GIẢNG

LÝ THIẾT

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Thạc sĩ VÕ THANH VIỆT

NĂM 2009


CHƯƠNG 7: MÔ TẢ TOÁN TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU
KHIỂN RỜI RẠC
7.1 Hệ thống điều khiển rời rạc
7.2 Phép biến đổi Z
7.3 Mô tả hệ thống rời rạc bằng hàm truyền
7.4 Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi
tiếp, trong đó tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không
phải là hàm liên tục theo thời gian.
Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa tinq hiệu mà ta có
các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau.
Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên
độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử lý loại tín hiệu này
gọi là hệ thống rời rạc.


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

7.1.1 Khái niệm
Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời gian và cả
theo biên độ là kết quả nhận được là tín hiệu số. Hệ thống xử
lý tín hiệu số là hệ thống số.
Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển –
biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách
đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu.
Vì có thời gian trể tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống
phức tạp hơn so với liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật
phân tích và thiết kế đặc biệt.


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Sự phát triển mạnh mẽ của kỷ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ
thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển
số được sử dụng để điều khiển.
Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều
khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật
toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển
phức tạp bằng cáh lập trình.


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi,
từ các bộ điều khiển đơn giản như điêu khiển nhiệt độ, điều
khiển động cơ DC, AC… đến các hệ thống điều khiển phức tạp
như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều
khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho

những ứng dụng khác nhau.


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
r(kT)

u(kT)

Máy tính số

D/A

uR(kT)

Đối tượng

c(t)

cht(kT)
A/D

Cảm biến

Đây là sơ đồ khối của hệ thống điều khiền số thường gặp,
trong hệ thống có hai loại tín hiệu:
Tín hiệu liên tục: c(t), uR(t)
và tín hiệu số: r(kT), cht(kT), u(kT)

7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng
xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến và xuất ra tín hiệu điều
khiển đối tượng.
Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng
bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính.
Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước
tiên ta phải mô tả toán học được quá trình chuyển đổi A/D và
D/A.


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Tuy nhiên, hiện nay không có phương pháp nào cho phép mô
tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng
tử hóa biên độ.
Vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số như sơ đồ khối trên ta khảo
sát hệ rời rạc ở hình sau:
r(kT)

u(kT)

Máy tính số

Lấy mẫu

uR(kT)

Đối tượng

cht(kT)
Lấy mẫu

Cảm biến

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc

c(t)


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Trong chương này, chúng ta phát triển phương pháp phân tích
và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển
rời rạc.
Nếu độ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ để có
thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc,
điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong
phần này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các
hệ thống điều khiển số.


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín
hiệu rời rạc theo thời gian.
Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) đầu ra là tín
hiệu rời rạc x*(t) như hình.

7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
x(t)

x*(t)
T

x(t)
t
0
x*(t)
t
0
s(t)
1

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T …

0

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T …

t


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau:


x(t )  x(t ).s (t )

(7.1)

Trong đó s(t) là chuỗi xung dirac:


s (t ) 

  (t  kT )

k - 

(7.2)


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử x(t) = 0 khi t < 0, ta


được:

x(t )   x(t ) (t  kT )


k 0


 x(t )   x(kT ) (t  kT )

(7.3)

k 0

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:




X ( s )   x(kT )e

 kTs

(7.4)

k 0

Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy
mẫu.


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Định lý Shannon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu
mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều
kiện:
1

f 

T

 2 fc

(7.5)

Trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu.
Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được
sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các
khâu lấy mẫu.


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian
thành tín hiệu liên tục theo thời gian.
Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và
được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc
là khâu giữ bậc 0 (Zero – Order Hold – ZOH) như hình sau


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
x*(t)
ZOH

xR(t)
r(t)

x*(t)

1
t

t
0

0

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T …

c(t)
1

xR(t)

t

t
0

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T …

Khâu giữ bậc 0 (ZOH)

0

T

7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Ta tìm hàm truyền của ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu vào của
khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ
rộng bằng T. ta có:
R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)

Lc (t )
1 1
 L u (t )  u (t  T )   e
s s

C (s) 

1  e Ts

s

 Ts


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Theo định nghĩa:

G ZOH

C (s)

(s) 
R (s)

Do đó:

G ZOH

1  e  Ts 1  e  z
(s) 

s
s

(7.6)

Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. Trong
các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số
lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu
giữ bậc 0 (ZOH).


7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Nhận xét:
Bằng các sử dụng pháp biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá
trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4)
và (7.6).
Tuy nhiên, các biểu thức toán học (7.4) và (7.6) lại chứa hàm
ex nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế
hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả toán học khác

giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi
Z trình bày ở mục 7.2.


7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Định nghĩa
Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là:


X ( z) 

Zx ( k )   x ( k ) z

k

(7.7)

k  

Trong đó: z = eTs (s là biến Laplace)
Ký hiệu:

x(k)

Z

X(z)

Nếu x(k) = 0,k < 0 thì biểu thức định nghĩa trở thành:


X ( z) 

Zx ( k )   x ( k ) z
k 0

k

(7.8)


7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Định nghĩa
• Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn.


7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Định nghĩa
• Ý nghĩa của việc biến đổi Z
Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu
x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT).
Biểu thức lấy mẫu:


X ( z) 


 kTs
x

(
kT
)
e


(7.9)

k  

Biểu thức biến đổi Z:


X ( z )   x(k ) z k

(7.10)

k 0

Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như
nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là
rời rạc tín hiệu đó.


7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Định nghĩa
• Phép biến đổi Z ngược
Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược của X(z) là:

1

x(k ) 
2

k -1
X(z)z
dz

C

Với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC
của X(z) và bao gốc tọa độ.


7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
1. Tính tuyến tính
Nếu:

x1(k)

Z

x2(k)

Z

Thì: a1x1(k) + a2x2(k)

X1(z)
X2(z)

Z

a1X1(z) + a2X2(z)

(7.11)