Bài giảng Động lực học công trình - Chương 4: Các phương pháp tính gần đúng

CHƯƠNG 4:

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.1. Phương pháp năng lượng Rayleigh:
Tổng thế năng U và động năng K ở mọi thời điểm
là một hằng số (bỏ qua các tổn thất về năng lượng):

U + K = const
Khi hệ dao động điều hòa, tại thời điểm ở xa vị trí
cân bằng nhất thế năng đạt Umax, động năng K = 0, tại
vị trí cân bằng động năng đạt Kmax, thế năng U = 0:

Umax + 0 = 0 + Kmax.


Xét hệ mang khối lượng
phân bố m(z) và các khối lượng
tập trung m1, m2, m3,… như hình
vẽ, dao động theo phương
trình:

m(z)dz

m1
z
z1

m(z)
mj

mn

dz

yi ( z, t ) = yi ( z ) sin(i t + i ).
Biểu thức thế năng của hệ khi chỉ kể đến ảnh
hưởng của biến dạng uốn có dạng:

M 2 ( z)
U = 
dz
2 EI
 2 y ( z, t )
M ( z)
=,
Do
2
z
EI


EI  2 y ( z, t ) 2
EI 
2
=
=

+

U  [

]
d
[
y
(
z
)
sin(
t
)]
dz.


z
i
i
i
2
z
2
2
2
1
U max =   EI[ yi( z )] dz
2

Động năng của hệ:
2
z

2
j j

mv
m( z )v
K = 
dz + 
.
2
2
Từ phương trình dao động ta có:

y ( z, t )
= yi ( z )i cos(i t + i )
vz =
t


Vzmax = yi(z)i ,


y ( zj , t )
= yi ( zj )i cos(i t + i )
vj =
t


K max =

Vjmax = yi(zj )i ,

i2
2

2
+
[  m( z ) y ( z )dz  mj yi ( z j )]
2
i

j

Thay vào phương trình cơ bản của Rayleigh:

i2 =

2


EI
[
y
(
z
)]
dz

i
2
+

  m( z ) y ( z)dz  mj yi ( z j )
2
i

j

Để xác định i ta cần biết trước dạng dao động chính
thứ i của hệ.


Nếu yi(z) là đường đàn hồi do trọng lượng các khối
lượng đặt trên hệ gây ra thì thế năng Umax của hệ được
xác định bằng công của ngoại lực Tmax:

m j yi ( z j )
m( z ) yi ( z )
U max = Tmax =   g
dz +  g
.
2
2
j

  g.m( z ). y ( z )dz +  g.m y ( z )
i

 i2 =

j

i

j

j

  m( z ). y

2
i

( z ) dz +  m j y ( z j )
2
i

j

.


Ví dụ1: Tìm tần số dao động
riêng của dầm đơn giản có
nhịp l, mang khối lượng phân
bố đều m và khối lượng tập
trung m1 = 18ml/35 đặt ở giữa
nhịp.

EI

m1

l/2

m

l /2

Giải:
Chọn dao động của dầm là đường đàn hồi do lực
P đặt ở giữa nhịp gây ra:
3

2

3
2
3
Pl 3l z 4 z
3l z 4 z
=
y( z) =
f
,
3
3
48 EI
l
l

Với giá trị: 0  z  l/2, f độ võng giữa dầm.

24
z
y( z ) = f (- 3 )
l
Áp dụng công thức vừa thành lập:
l/2

24 2
2  EI[ f (- 3 )] dz
l
48 EI
2
0
 = l/2
=
4
2
3
ml
3l z 4 z
18
2
+
2  m[ f
]
dz
mlf
3

l
35
0

6 ,9282
 =
2
l

EI
m

1/ s


Nếu sử dụng công thức thứ 2, đường đàn hồi của
dầm vẫn chọn như trên, song f phải là độ võng của
dầm ở giữa nhịp do trọng lượng dầm và trọng lượng
khối lượng tập trung m1 gây ra:
3

4

4

Pl
5 ql
319 mgl
+
=

f =
.
48 EI 384 EI 13440 EI
Sau khi thay vào biểu thức ta cũng tìm được:

6 ,9282
 =
l2

EI
m

1/ s


* Nếu dầm không mang khối lượng tập trung
m1 = 0. Chọn dạng dao động:

i z
yi ( z ) = f sin
l
l
i 2 2
i z

 EI[-

i2 =

0

l

2

f sin

l

]2 dz

l

i z 2
 m[ f sin l ] dz
0

i = 1  1 =

2
l

2

2 2
i = 2  2 = 2
l

EI 9,8696
=

2
m
l

i 4 4 EI
=
4
ml
EI
m

EI 39,4786
=
m
l2

1 / s,
EI
m

1 / s,


Nếu tính theo công thức thứ hai, đường đàn hồi
vẫn chọn như trên và f là độ võng giữa dầm:
4

5
l
f=

mg
384
EI
Với i = 1 ta có:

 i =

g .2.(1 - cos i )
f .i.

4 g 9,8886
1 =
=
2
. f
l

Sai số là 0,19%

EI
m


Ví dụ 2:
Xác định tần số
dao động riêng của dầm
côngxôn có tiết diện thay đổi
như hình vẽ. Cho biết bề
rộng tiết diện ngang b không
đổi, khối lượng, chiều cao

tiết diện ngang, mô men
quán tính tiết diện ngang
thay đổi theo quy luật:

z
m( z ) = mo ,
l
3
ho
z
h( z ) = z, I ( z ) = Io 3 .
l
l

h(z)

z
l

ho


* Chọn dạng dao động y(z) là
đường đàn hồi của dầm có
tiết diện không đổi do tải
trọng phân bố đều gây ra:

h(z)

ho

z
l

4z z4
+ 4 ),
y ( z ) = A(3 l
l
4
ql
A=
24 EI

q

l

2
i

 =

z 3 2 12 z 2 2
 EIo l 3 A [ l 4 ] dz
0
l

z 2
4 z z4 2
 mo l A [3 - l + l 4 ] dz

0

39,3762EIo
=
.
4
ml


6 ,275
1 = 2
l

EIo
mo

h(z)

1/ s
z

Giá trị đúng:

l
q

5 ,315
1 = 2
l

EIo
mo

Sai số trong
hợp này 18%.

1/ s
trường

ho


h(z)

Nếu chọn dạng dao
động là đường đàn hồi của
dầm côngxôn do tải trọng
phân bố bậc nhất gây ra cho
dầm . y(z) = B(1-z/l)2, với
B=ql4/12EIo.
l

2
1

 =

z
l
q

3

z 2 2
 EIo l 3 ( l 2 ) dz
0
l

z
z 2 2
 mo l [(1 l ) ] dz
0

5,4772
1 =
2
l

EIo
mo

30 EIo
=
mo l 4

1/ s

ho

Sai số  3%

CHƯƠNG 4:

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.2. Phương pháp năng lượng Lagrange - Ritz:
Khi hệ ở trạng thái cân bằng thì thế năng toàn
phần U của hệ đạt cực tiểu - là tổng của thế năng của
nội lực U* và thế năng ngoại lực T. (chiều ngoại lực
hướng xuống là dương, tjees năng của nội lực luôn
luôn ngược dấu với thế năng của ngoại lực), ta có:
l

l

EI( z ) 
U = U -T = 
[ y ( z )]2 dz -  q ( z ) y ( z )dz -  Pj y ( z j ),
2
( j)
0
0
*

Pj, q(z) – lực kích thích tập trung và lực kích thích
phân bố bao gồm cả các lực quán tính do các khối
lượng tập trung và khối lượng phân bố gây ra khi hệ
dao động.

CHƯƠNG 4:

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.2.1. Dao động riêng:
Xét hệ có khối lượng phân bố m(z) và dao động
theo dạng chính yj(z) với tần số riêng j. Phương trình
dao động:

yj ( z , t ) = yj ( z ) sin(j t + j ).
Lực quán tính của khối lượng tại thời điểm đạt
giá trị cực trị bằng: Zj(t) = m(z)2jyj(z), lực quán tính có
giá trị thay đổi nên công của lực quán tính có giá trị
bằng một nửa giá trị của lực nhân với chuyển vị
tương ứng:
l

l

1
1
2
2 2


=

U
EI( z )[ y j ( z )] dz

m( z ) j y j ( z )dz.


20
20


Tìm dạng chính thứ j dưới dạng chuỗi:
n

y j ( z ) =  aii ( z )
i =1

ai – các hệ số chưa biết cần xác định. n – số
nguyên bất kỳ, i(z) – các hàm độc lập tuyến tính
được chọn trước, thỏa mãn các điều kiện biên của
hệ và càng phù hợp với dạng dao động càng tốt.
l

n

l

n
EI( z )
1
U =
[ aii( z )]2 dz -  m( z ) 2j [ aii ( z )]2 d z
2 i =1
20

i =1
0

Thế năng toàn phần U là hàm của các hệ số chưa
biết ai:

U = U(a1, a2, a3, … , an)


Từ điều kiện cực tiểu của thế năng toàn phần:

U
= 0; (k = 1, 2, ..., n)
ak
Ta có hệ phương trình:
l
n
n
U l
=  EI( z )[ aii( z )] k( z ) dz -  2j  m( z )[ ai i ( z )] k ( z )dz = 0
ak 0
i =1
i =1
0

l

l

Cki =  EI( z ) i( z ) k ( z ) dz -  2j  m( z ) i ( z ) k ( z ) dz.

0

0

Dễ dàng nhận thấy: Cki = Cik. Sau khi biến đổi hệ
phương trình trên có dạng:

Ck1a1 + Ck 2 a2 + ... + Cknan = 0; (k = 1, 2, 3, ... , n)


Ck1a1 + Ck 2 a2 + ... + Cknan = 0; ( k = 1, 2, 3, ... , n)
Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần
nhất, để các nghiệm ai  0, tức là để tồn tại dao động,
thì định thức các hệ số trong hệ phương trình phải
bằng không:

C11 C12
C21 C22
...
...
Cn1 Cn2

... C1n
... C2 n
= 0.
... ...
... Cnn

Khai triển định thức ta được phương trình bậc n
đối với 2j. Đó là phương trình tần số xác định tần số

dao động riêng j.


Nếu chọn nghiệm là dạng chính thứ j dưới dạng
chuỗi với số một số hạng của chuỗi (n = 1). Phương
trình tần số có dạng:
l

l

C11 a1 = 0 C 11 =  EI( z )[1( z )]2 dz -  2j  m( z )12 ( z )dz = 0
0

0

l
2


 EI( z)[1 ( z)] dz

  2j =

; 1( z )  0

0
l

 m( z)

2
1

( z )dz

0

Nếu chọn với hai số hạng của chuỗi (n = 2) thì:
2
12

C11C22 - C = 0


CHƯƠNG 4:

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG

4.2.2. Dao động cưỡng bức:
Biểu thức thế năng toàn phần của hệ sẽ là:
l

l

1
1
2
2 2



=

U
EI( z )[ y ( z )] dz
m( z ) y ( z )dz 

20
20
l

n

-  q( z ) y( z )dz -  Pj y ( z j ),
0

j =1

q(z): Lực kích thích phân bố;
Pj : Biên độ lực kích thích tập trung thứ j.
Chọn nghiệm dưới dạng chuỗi như phần trước
và thế vào phương trình trên:


l

l

n
1
1

U =  EI( z )[ aii ( z )]2 dz -  m( z ) 2 [ aii ( z )]2 dz 20
20
i =1
i =1
l

n

n

n

n

i =1

j =1

i =1

-  q( z ) aii ( z )dz -  Pj  aii ( z j ).
0

Từ điều kiện cực tiểu của thế năng toàn phần ta
được hệ phương trình:
l
n
n
U l
2

=  EI( z )[ aii( z ) k( z )dz -  m( z ) [ aii ( z )] k ak 0
i =1
i =1
0
l

n

-  q ( z ) k ( z )dz -  Pj k ( z j ) = 0; k = 1, 2, ..., n.
0

j =1


Gọi:

l

l

2




=



Cki  EI( z ) i ( z ) k ( z )dz

 m( z )i ( z ) k ;
0

0
l

n

CkP = -  q( z ) k ( z )dz -  Pj k ( z j ).
0

j =1

Lúc này hệ phương trình có dạng:

Ck 1 a1 + Ck 2 a2 + ... + Cknan + CkP ; k = 1, 2,..., n
Giải hệ này ta tìm được các hệ số ai, tiếp đó sẽ
tìm được chuyển vị động, nội lực động trong hệ dao
động cưỡng bức. Khi tính với tải trọng tĩnh ta cho
 =0


Ví dụ 3: Xác định gần đúng
tần số dao động cơ bản của
dầm đơn giản có nhịp l và
mang khối lượng phân bố
đều m như hình vẽ.

EI = const

m

l

Chọn n = 1 và dạng dao động của dầm (trùng với
biểu thức chính xác của dao động chính) là:

1 ( z ) = sin
l

 EI(12 =

0
l

2



l

z

2

sin z ) dz
l
l
2



 m(sin l
0



2

z ) dz

=

 4 EI
4

l m

,


9,8696
 1 =
2
l

EI
, 1/ s
m

Kết quả trùng với giá trị chính xác của tần số 1.
* Nếu chọn n = 1 và dạng dao động của dầm là đường
đàn hồi do tải trọng phân bố đều gây ra:

1 ( z ) = A(l 3 z - 2lz 3 + z 4 ) / l 4 , A = ql 4 / 24 EI
l
2

 EIA (12 =

0
l

12
12 2
+
3 z
4 zz ) dz
l
l

3
4
z
2
z
z
3
2
+

mA
(
)
dz

3
4
l
l
l
0

= 97 ,56

EI
l 4m