Giải tích bài toán vòm công xôn trung tâm trên môi trường Mathcad bằng phương pháp biến phân khi chân đập vòm ngàm cứng vào nền - TS. Đào Tuấn Anh

GIẢI TÍCH BÀI TOÁN VÒM - CÔNG XÔN TRUNG TÂM
TRÊN MÔI TRƯỜNG MATHCAD BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
KHI CHÂN ĐẬP VÒM NGÀM CỨNG VÀO NỀN.
TS. Đào Tuấn Anh
Tóm tắt: Sự thành công giải tích bài toán ứng suất đập vòm bằng phương pháp vòm - công
xôn trung tâm trên môi trường Mathcad và so sánh kết quả tính toán với phương pháp phần tử
hữu hạn(PTHH) như một minh chứng cho thế mạnh của phần mềm này(Mathcad)trong việc
giải tích các bài toán kỹ thuật cổ điển để hổ trợ các kỹ sư phân tích, kiểm tra kết quả tính toán
thiết kế các công trình xây dựng nói chung và thuỷ lợi nói riêng bằng các phần mềm thương
mại mà phần đa trong số họ không kiểm soát được vì không hiểu bản chất nội dung lập trình
của chúng .
I. ĐẬP VÒM VÀ CÁC YÊU CẦU BỐ TRÍ

Đập vòm đã được xây dựng nhiều trên các
nước phát triển nhưng ở nước ta chỉ có duy
nhất một đập vòm đang được xây dựng là đập
vòm Nậm Chiến (cao 135 m) trên suối Nậm
Chiến ở thượng nguồn sông Đà. Đập này do
Tổng công ty sông đà thi công nhưng do Cơ
quan tư vấn nước ngoài thiết kế (Viện thiết kế
thuỷ công Ucraina). Do vậy việc nghiên cứu
đập vòm ở Việt Nam đang còn nhiều hạn chế.
Đập vòm là một loại đập có kết cấu hết sức
phức tạp nhằm tạo hình để chuyển tải áp lực
xô ngang của nước thành các lực nén tác dụng
dọc theo thân đập do hiệu ứng vòm gây nên.
Do đó đập vòm có kết cấu vỏ mỏng hình vòm
cong một chiều theo phương nằm ngang hoặc
cả hai chiều theo phương ngang và phương
đứng. Sau khi được chuyển tải qua thân đập
các lực xô ngang được truyền vào hai bờ, cho

nên hai vai bờ đập vòm phải vững, thường
phải là loại đá liền khối cứng chắc, cân xứng
và không bị gián đoạn hoặc mở rộng đột ngột
phía hạ lưu. Kết cấu đập vòm cần phải thiết kế
tương xứng với hình dạng tuyến đập, sao cho
dưới tác dụng của ngoại lực trong đập vòm chỉ
chủ yếu tồn tại ứng suất nén.
Muốn vậy tuyến đập phải đối xứng theo
phương dòng chảy. Trong thực tế đây là
điều không thể cho nên thông thường ta phải
xử lý tuyến đập bằng biện pháp công trình
sao cho hai bờ vai đập trở nên cân xứng,
thành tuyến hình chử V, hình thang cân hay

tuyến chữ U...v.v...
II. PHƯƠNG PHÁP VÒM - CÔNG XÔN
TRUNG TÂM.

Có rất nhiều phương pháp tính toán phân
tích trạng thái ứng suất biến dạng đập vòm.
Trước đây người ta hay dùng các phương
pháp giải tích cổ điển, đó là: phương pháp
ống tròn thành mỏng, phương pháp vòm đơn
thuần, phương pháp vòm - công xôn trung
tâm, phương pháp nhiều vòm và công xôn.
Ngày nay người ta hay dùng lý thuyết đàn hồi
(lý thuyết vỏ mỏng) trong các phương pháp
phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân để
giải bài toán ứng suất biến dạng đập vòm với
sự trợ giúp các phần mềm tính toán trên máy

tính điện tử. Thông thường các kỹ sư không
kiểm soát được các kết quả tính toán theo các
phần mềm này vì không rõ bản chất nội dung
lập trình của chúng.
Các phương pháp trên đều xét theo bài toán
phẳng, nhưng trong thực tế đập vòm là một
kết cấu không gian, nghĩa là ngoài phương
ngang đập vòm còn làm việc theo phương
đứng. Phương pháp vòm - công xôn trung tâm
và phương pháp nhiều vòm và công xôn thực
chất đều là một phương pháp rầm - vòm, xét
đập theo bài toán không gian. Để giải bài toán
này một mặt chia đập theo mặt cắt ngang
thành các vòm, mặt khác chia nó ra thành các
công xôn(rầm) gắn chặt vào nền bởi các mặt
cắt thẳng đứng. Mỗi điểm thân đập đồng thời
có vị trí trên một vòm và một rầm công son
143


nhất định. Vì vậy biến dạng của điểm ấy dù
xét theo vòm hay rầm cũng chỉ có một giá trị
mà thôi. Dựa vào nguyên tắc này người ta
thiết lập hệ phương trình cân bằng từ các
phương trình tính toán nội lực của rầm và vòm
khi các tải trọng tác dụng lên đập được phân
phối ra cho rầm chịu một phần và vòm chịu
phần còn lại. Tuỳ theo mức độ chính xác của
bài toán mà người ta có thể chia đập thành hệ
thống nhiều vòm và nhiều rầm hoặc thành hệ

thống nhiều vòm và một rầm tại mặt giữa đập
(công xôn trung tâm) làm đại diện. Cách chia
trước dùng cho phương pháp nhiều rầm và
vòm, thường phải giả thiết trước biểu đồ phân
phối lực (xem hình 1), sau đó tính toán đi ,
tính toán lại cho đến khi tại các điểm tính
toán biến vị của vòm và của rầm sai số nhỏ.
Do vậy khối lượng tính toán lớn.

Hình 1. Phân phối lực theo phương pháp
nhiều rầm và vòm.

phạm vi giải bài toán vòm - công xôn trung
tâm được trình bày trong rất nhiều tài liệu của
các tác giả khác nhau như G. Ritter, V.P.
Skrưlnhikovưi, A. Stukki, J. Lombardi, L.A.
Rozinưi, L.B. Grimze và những người khác[1].
Theo Kh.G. Gannhiep phương trình cơ bản
của bài toán vòm - công xôn trung tâm được
thiết lập như sau. Xem công xôn trung tâm tựa
trên các vòm tương tự như rầm trên nền đàn
hồi chịu ảnh hưởng bởi tính biến dạng của các
khoanh vòm độc lập, được đặc trưng bởi hệ số
nền K. Lúc đó phản lực nền đàn hồi chính là
phần tải trọng mà vòm chịu được xác định
như sau:
pa(y)=K(y)w(y)
(1)
Trong đó w(y) - chuyển vị uốn của công
xôn trung tâm. Gốc toạ độ được lấy từ đáy

công xôn trung tâm(nơi tiếp xúc giáp với mặt
nền) và trục y hướng thẳng đứng lên trên. Lúc
này tải trọng được phân phối cho công xôn pk
được xác định như sau:
pk(y)= p(y) - K(y)w(y)
(2)
Trong đó p(y) - tải trọng toàn phần của pá
lực nước tác dụng lên vòm và công xôn.
Hệ số nền K(y) được xác định như sau:
K(y)= 1
(3)
f a ( y)

Hình 2. Phân phối lực theo phương pháp
vòm – công xôn trung tâm
Cách chia sau áp dụng cho phương pháp
vòm - công xôn trung tâm và thường được
ứng dụng nhiều hơn trong việc tính toán thiết
kế định hình cấu tạo đập vòm. Theo phương
pháp này tại trọng phân phối theo phương
đứng tại vị trí có rầm đỉnh làm đại diện, phần
còn lại theo phương ngang được phân phối
cho các vòm và thay đổi theo các cao trình
khác nhau( xem hình 2).
Cách tiếp cận để giải bài toán vòm - công
xôn trung tâm rất khác nhau, từ đó các tác giả
đưa ra các phương pháp khác nhau để giải bài
toán. Các phương pháp truyền thống trong
144

Với fa(y) là độ võng của vòm nằm ngang
tại đỉnh dưới tác dụng của tải trọng đơn vị
phân bố đều. Đối với vòm ngàm cứng hai đầu
bằng phương pháp tính toán chuyển vị trong
cơ học kết cấu ta có thể tìm được:
r 20
f a ( y) 
 ( 0 ) với
Ee( y )

 ( 0 ) 

 0 ( 0  sin  0 )(1  cos  0 )
 0   0 sin  0 cos  0  2 sin 2  0
2

Trong đó e(y)- chiều dày của vòm tại mặt
cắt có toạ độ phương đứng y, m.
 0 - bán giá trị góc ở tâm của cung vòm
này, radian.
r0 - bán kính trung bình của vòm, m.
E - mô đun đàn hồi của bê tông, KN/m2
Giá trị w(y) có thể tìm được bằng việc giải
phương trình vi phân độ uốn của rầm trên nền
đàn hồi:
[EI(y)w''(y)]''+K(y)w(y)=p(y)
(4)


Khai triển thành phần vi phân của phương

trình (4) ta được:
IV

'

III. DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ
HỔ TRỢ GIẢI BÀI TOÁN VÒM - CÔNG XÔN
TRUNG TÂM VÀ CÁC HẠN CHẾ TRƯỚC
ĐÂY

Theo phương pháp biến phân ta xác định
được các biểu thức biến phân khi cực tiểu thế
năng hệ thống kết cấu. Hàm thế năng có thể
viết ở dạng sau:
H

''
1
    p( y ) w( y )dy   EI ( y) w '' ( y ) w( y )dy 
20
0





H
+ 1  K ( y ) w( y ) 2 dy   0  0

2

0

0

(5)

0

H- chiều cao của công xôn trung tâm.
Đối với các dạng tiếp giáp đập vòm với nền
khác nhau ta có giá trị hàm thế  0 ban đầu
khác nhau, với trường hợp tiếp giáp là ngàm
cứng:  0  0
Sử dụng phương pháp biến phân Relaya -Ritxa
biểu thức tính độ võng của rầm có thể viết:
n

w( y )   A j  y ( y )

(6)

pi 

A j

Sử dụng hàm số uốn (6) và phương trình
(5), biểu thức (7) có thể viết dưới dạng:
A1 a11  A2 a12  ...  A j a1 j  ...  An a1n  p1 


A1 a n1  A2 a n 2  ...  A j a nj  ...  An a nn  p n 

(8)

Hay viết một cách khác:

a A   p 
ij

j

j

Đối với công xôn ngàm cứng ta có:

(10)

 p ( y) ( y)dy
0

Các hàm φi(y), biểu thị độ uốn công xôn,
cần phải thể hiện được đặc trưng làm việc của
kết cấu.Vì vậy khi lựa chọn số lượng hàm tiêu
biểu cần phải hiểu được bản chất kết cấu công
trình, thường chọn từ 2 đến 4 hàm.
Đối với đập vòm sơ đồ tính toán công xôn
hợp lý nhất là theo sơ đồ rầm được tách ra từ
bản. Và tiện lợi nhất là sử dụng hàm cơ bản
dao động theo phương vuông góc của rầm
(Vlasov V.Z [2] ). Chú ý khi xem xét bài toán

dao động tự do của rầm có trọng lượng một
nhịp có chiều dài H từ phương trình vi phân:
 IV 

4

H4

(12)

(  - là một thông số đặc trưng cho dao
động riêng của rầm)
tích phân chung phương trình vi phân đồng
nhất (12) có thể viết dưới dạng:
y
y
y
y
(13)
 ( y )  C1 sin
 C 2 cos
 C 3 sh
 C 4 ch
H

H

H

H

Từ điều kiện biên ở hai đầu công xôn(y=0
và y=H) mà ta suy ra được các giá trị C i và
 , tức là phụ thuộc vào các điều kiện biên mà
hàm  ( y ) có dạng này hay dạng khác. Đối
với đập vòm được ngàm cứng với nền, có thể
sử dụng lời giải của Vlasov V.Z [2]:
 (0)  0,  ' (0)  0,  '' ( H )  0,  ''' ( H )  0
Từ đó ta tìm ra được hàm số  ( y ) :

j 1

Các giá trị Aj có thể tìm ra được từ điều
kiện cực tiểu hàm thế năng (5) :

(7)
0





H

(4 )

Với EI(y) - độ cứng của công xôn. I(y) mô
men quán tính của tiết diện công xôn biến đổi
theo phương toạ độ y. Để giải phương trình
trên có thể dùng các phương pháp gần đúng,

phương pháp sai phân, phương pháp biến
phân..v.v.

''

''

'

 EI( y) w '' ( y)  k ( y) w ( y)  p( y)

H


 EI ( y) ( y )  ( y)dy   K ( y) ( y) ( y)dy  (11)

'''

EI( y) w ( y)  2EI ( y) w ( y) 

H

H

aij 

 ( y)  sin 

Với:

y
y
y
y
 sh   (cos   ch )
H
H
h
H



(14)

sin   sh
cos   ch

Và  xác định từ điều kiện định thức hệ
phương trình xác định Ci:
cos ch  1 , suy ra
các nghiệm của  là :
1 =1.8751;  2 =4.6941;  3 =7.8548;
 4 =10.9955; khi i>4 thì  i4  2i  1  .
2

Mỗi giá trị của  i ta có một hàm số
 i ( y ) , thông thường để giải bài toán vòm
công xôn trung tâm người ta lấy 2 giá trị. Sau
145

khi cú hm i ( y ) ta thay vo (11) tớnh toỏn
cỏc tớch phõn ai , j v pi , thay vo h phng
trỡnh (8) gii ra cỏc h s A j , t ú ta theo
(6) ta xỏc nh c hm un w( y ) , tc cỏc
giỏ tr vừng ca rm ti cỏc im cú to
y. T õy ta xỏc nh c cỏc ni lc tỏc
dng lờn rm v phn ỏp lc nc phõn b
cho vũm , sau ú ta tớnh toỏn ng sut trong
rm v ni lc vũm theo phng phỏp vũm
n thun vi pỏ lc nc ó tr i phn do
cụng xụn chu. T ú ng sut p vũm hon
ton c xỏc nh.
iu khú khn t trc ti nay khi gii bi
toỏn ny l ch cỏc hm tớch phõn trong (11)
khụng gii tớch ra c, phi tớnh gn ỳng v
s dng h thng bng biu. Phng phỏp tra
bng ó lm chm quỏ trỡnh tớnh toỏn v thiu
tớnh t ng trong tớnh toỏn, gõy khú khn cho
vic thit k la chn kt cu p vũm gia
hng ngn phng ỏn cu to p khỏc nhau.
Vn ny ó hn ch vic tỡm phng ỏn ti
u khi la chn hỡnh dng p, c bit khi
tiờu chớ a ra c kt hp c iu kin ng
sut, iu kin n nh v k c phi gii bi
toỏn ng sut nhit p vũm xem xột nh
hng ca iu kin nhit mụi trng n
phng phỏp thi cụng v ng x thõn p
trong quỏ trỡnh vn hnh. Mun gii quyt
iu ú cn phi gii tớch c cỏc phng

trỡnh trong bi toỏn vũm - cụng xụn trung tõm
khi s dng phng phỏp bin phõn, mt bi
toỏn thng hay s dng phõn tớch ng
sut p trong giai on thit k s b p
vũm nh dng kt cu p. Hin nay cú
phn mm Mathcad cú th th giỳp ta gii
tớch bi toỏn ny trờn mụi trng ca nú khi
vit ra cỏc cụng thc toỏn hc theo ngụn ng
thụng thng.
IV. GII TCH BI TON VềM CễNG XễN
- TRUNG TM BNG PHNG PHP BIN
PHN TRấN MễI TRNG MATHCAD

1) Gii thiu phn mm Mathcad.
Công ty Mathsoft Inc. sản xuất Mathcad
không phải không có cơ sở khi nói rằng sản
phẩm của họ là phương tiện tính toán kỹ thuật
146

của các bác học và các nhà chuyên môn trên
toàn thế giới. Mathcad có thể thay thế các
chương trình vi tính khác trong việc thực hiện
các chức năng tính toán phức tạp cần đến vòng
lặp, phân nhánh, chương trình con v.v... Nó có
thể xác định các giá trị biểu thức dưới dạng
ký hiệu toán học thông thường, tính toán vi
phân, tích phân xác định và không xác định
của bất kỳ hàm số phức tạp nào. Giải các
phương trình, hệ phương trình ở các dạng phức
tạp khác nhau. Mathcad xây dựng các đồ thị,

biểu đồ phụ giúp tính toán, nhập các hình vẽ
hai chiều, ba chiều từ Autocad và từ chúng tạo
ra các cơ sở dữ liệu tính toán và biểu diễn kết
quả bằng ma trận, đồ thị, dựng hình.v.v
Trên môi trường Mathcad có thể thành lập sẳn
các chuổi văn bản thuyết minh xen kẽ với các
phần tính toán với chất lượng trình bày cao, có
thể sử dụng nhiều lần với kết quả tính toán
khác nhau, mỗi lần in ra trực tiếp thành hồ sơ,
đảm bảo tốc độ cao trong việc hoàn thành hồ
sơ tính toán thiết kế. Nó có khả năng liên hệ
qua lại đa dạng với các chương trình thông
dụng khác (Excel, Matlab, Autocad,
Wordpadv.v..) hoặc với những dữ liệu
Mathcad qua Internet.
2) Gii tớch bi toỏn vũm - cụng xụn trung
tõm bng phng phỏp bin phõn trờn mụi
trng Mathcad.
Trờn mụi trng Mathcad cỏc phng phỏp
gii tớch c in khụng nhng gi nguyờn tớnh
nguyờn bn ca mỡnh trờn trng thỏi biu th
toỏn hc cng nh ngụn t m cũn tng nng
lc trong vic gii tớch toỏn hc v cú th gii
cỏc bi toỏn m trc õy khụng gii c
hoc gii quỏ phc tp vi khi lng bng
biu ln, khụng a n dng nghim tng
quỏt ngn gn theo cụng thc lm tin
gii mt cỏch t ng cỏc bc tip theo( vớ
d phng phỏp vũm - cụng xụn trung tõm khi
ỏp dng gii bi toỏn ng sut nhit p vũm).

Cỏc kt qu ca phng phỏp gii tớch c in
v phng phỏp phn t hu hn s c so
sỏnh vi nhau b tr cho nhau, quy nh
ln nhau nhm a ra kt qu chớnh xỏc cui
cựng. Do Mathcad cú th gii cỏc phng


trỡnh tớch phõn phc tp vi cỏc hm tớch phõn
khụng cú trong cỏc hm bin i thụng
thng nờn ta cú th tn dng th mnh ny
ca nú trin khai gii tớch phng trỡnh c
s (4) qua vic tớnh toỏn cỏc giỏ tr ai , j , pi ,

ú l phõn tớch ng sut la chn cu to
p vũm Nm Ngn trong phng ỏn so sỏnh
thit k p u mi ca cụng trỡnh thu in
Nm Ngn, tnh H Giang. Chiu cao p
Nm Ngn 50m, chiu rng tuyn ti cao trỡnh
nh p l 140m, ti ỏy l 20m. Trỡnh t gii
tớch bi toỏn vũm cụng xụn trung tõm c
th hin qua tng bc di õy.

Aj v hm w(y) ti cỏc biu thc v h biu
thc, t(6) n (14) trong mc II trờn. Vic
tớnh toỏn c minh ho qua mt vớ d c th
I. Số liệu đầu vào
1. Chiều cao đập vòm:

H 50

Hm

50

2. Chiều dài tuyến tại cao trình đỉnh đập: L,m

L 140

3. Chiều dài tuyến tại cao trình đáy đập:

L0 20

T

4. Mô đun đàn hồi của bê tông: Eb

2

m

5. Số lớp tính toán theo cao trình đập: NL
6. Trọng lượng riêng của nước và bê tông:

T
3

m

47.5
45

Eb 2000000

42.5

NL 50
b 2.4

37.5

a

7. 1/2 góc ở tâm

40
35

60
180

32.5
30

II. Chọn cấu tạo đập vòm
1. Chiều dài tuyến tại cao trình đỉnh đập: l,m
i 0 NL

yi i

y
H

y1
l L0 L L0

l L0 L L0

27.5
25

y

22.5

2. Chọn các hàm biến của đường kính trong, đường kính ngoài, đường kính giữa, toạ độ tâm của đập vòm

20

.

17.5
z H y

e0 8.0

l
Rn
2 sin a

Rn

Rtr Rn e

L 0 L L 0

az 2.15 z 0.013 z
y1 y

e1 2.0 e e1 e0 e1 1

xn 100.0 ( Rn az)

xtr xn e

15
12.5

e e1 e0 e1 1

Rtr Rn e

2 sin a
2

e
Ro Rn
2

Sina i

10
7.5

Rn Rtr

Ro

5

2

2.5

li

0

2 Rn i
180

x0 xn 0.5 0.5 xtr đ 2a

5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25

f

xn xtr

3. Phân tích ứng suất đập vòm
1. Xác định các đại lượng vật lý đặc trưng kết cấu đập:

ai

a a Sina i 1 cos a

a



2

2

a Sina i cos a 2 Sina i

fai Roi

2

Sin 1 cos

2 Sin cos 2 Sin
2 4.6941

1

kn

E b ei



f Ro
2 a



2



1

I

fa


e 3
12

kn

E b e

.
1

fa

1 2:

2. Chọn hàm đặc trưng của hàm số uốn công xôn
1 1.8751

ai

sin 1 sinh 1
cos 1 cosh 1

2

sin 2 sinh 2
cos 2 cosh 2

1i sin 1 i sinh 1 i 1 cos 1 i cosh 1 i
2i sin 2 i sinh 2 i 2 cos 2 i cosh 2 i
A 1 A 2 :

3. Xác định các hệ số của hàm số uốn
d 1 1



d 1
d

d 1 2





f 1 1I



d



f 1 21I




2

d 4 1

f 1 12I

f 1 2I

d

d 2 1







d 2 2





1 I

d 2
2 1
d



d 3 1





d 3

3 1
d



d 4 1





d 4
4 1
d



d2



d 3 2





d 3
3 2
d

d 4 2





d 4
4 2
d



d


2 2

f 2 1I



2 d 3 1

d 4 1

2 I

f 2 12I



d 4 2

1 I

f 2 21I



d 4 2

2 I

f 2 2I



1 d

I



2 d 3 1

2 d

I



2 d 3 2

1 d

I



2 d 3 2

d
d

2 d

d

I



d 2 I
1
2
d
2

d
f 3 12I
I 2
2
d
2
f 3 21I d 2 I 1
d
2
f 3 2I d I 2
2
d
f 3 1I

d





d 2 1



d 2 1



d 2 2

d 2 2

x



147


4

1

4

H kn 1 1
Eb

fk1

H kn 1 2
Eb

fk12

1

1




a22 f12I f22I f32I fk2 d
0





a11 6.529 10

3

a12 5.193 10

3

4

fk2

H kn 2 2
Eb

a12 f112I f212I f312I fk12 d
0
1
p
1
4
p 0 H H
p1 H
d

Eb

1
0
p
2
4
p2 H
d

Eb
0


a11 f11I f21I f31I fk1 d
0
1

a21 f121I f221I f321I fk21 d

0



4

H kn 2 1
Eb

fk21



a21 5.193 10



3

a22 1.819 10

4

p1 45.584

p2 52.648

Given
A 1 a11 A 2 a12
A 1 a21 A 2 a22

p1

A1
A1
Find
A2
A2

p2

A 1 6.055 10

3

A 2 1.165 10

3

5. Các thành phần áp lực thuỷ tĩnh thượng lưu tác dụng lên vòm và công xôn đập:

4. Xác định hàm số uốn công xôn:
p i 0 H yi

w A1 1 A2 2

50

40
p

pa

30

pk

y
20

10

0

0

0.003

0.006

0.009

0.012

0.015

w

50
48
46

44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

pa kn i wi
i

p k p p a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

y

6. Xác định ứng suất trong công xôn do áp lực nước và trọng lượng bản thân đập
49

N i



50

2.4 en

n i

k 1 9
7. X ác

xk i

N 50 0

Fe e

Mi

n i

ei k 5

kyk i

8

Ni
Fei





pkn n i 0.5 2.4 en x0n x0i



12 xk i Mi

ei 3
16

định ứng suất vòm:
ứng suất vòm mặt thượng lưu
2 Rn i sin

A p
i

a 2

sin a

j 0 4

j j

16

ji



2

ei


1v

0.5 sin a

a

Roi 2

a

2

12

2

0.5 sin a a

sin a

yei j Roi
cos j
a





6 A p yei j
Rn i Ap cos j
i
i

p


2
ai
ei

e

i







ứng suất vòm mặt hạ lưu
2v

ji



6 Ap yei j
Rn i Ap cos j
i
i

p


2
ai
ei

e

i







ứng suất vòm mặt thượng lưu

V. SO SNH KT QU TNH TON BNG
PHNG PHP GII TCH VềM CễNG XễN
TRUNG TM VI PHNG PHP PHN T
HU HN

xem xột tin cy kt qu gii tớch bi
toỏn vũm cụng xụn trung tõm chỳng ta cú th
so sỏnh chỳng vi kt qu tớnh toỏn ng sut
148

vũm v cụng xụn bng phng phỏp phn t
hu hn kt hp bin phõn cc b vi s tr
giỳp ca chng trỡnh tớnh ng sut RAS[3].
Chng trỡnh Ras dựng phn t khi 32 nỳt,
cú c mụ hỡnh hoỏ nỳt liờn kt ti ni tip xỳc
cỏc lp vt liu, gii bi toỏn ng sut bin
dng khụng gian v h s an ton bn cc b.

Trong hồ sơ thiết kế kết quả tính toán của hai
phương pháp đều được dùng đến, trong đó
phương pháp vòm - công xôn trung tâm dùng để
chọn cấu tạo đập vòm, còn kết quả tính toán ứng
suất bằng phương pháp PTHH dùng để kiểm tra
độ bền đập và phân bố vùng vật liệu.
1) So sánh kết quả tính toán ứng suất
công xôn tại mặt cắt rầm đỉnh

Hạ lưu

Thượng lưu

Để thể hiện kết quả cho đơn giản trong
Mathcad hình dạng đập tại mặt cắt rầm đỉnh
dùng để biểu thị ứng suất không mô phỏng
uốn cong như thực tê và kích thước chiều
ngang khác tỷ lệ so với chiều đứng. Dấu âm
và phổ màu xanh theo phương pháp PTHH
biểu thị ứng suất nén, dấu dương và màu vàng
- ứng suất kéo.

Thượng lưu

Hạ lưu

a) øng suÊt c«ng x«n (kg/cm2) theo kÕt qu¶ tÝnh to¸n b»ng ph­¬ng ph¸p PTHH
b) b) øng suÊt c«ng x«n (T/m2) theo kÕt qu¶ kêt hợp với biến phân cục bộ. tÝnh to¸n bằng
phương pháp Vòm - công xôn trung tâm.
Hình 3. So sánh kết quả tính toán ứng suất công xôn giữa phương pháp giải tích vòm - công

xôn trung tâm với phương pháp PTHH kết hợp biến phân cục bộ (RAS).
Nhìn vào kết quả biểu thị trên hình 4.a) và
4.b) ta thấy theo kết quả tính toán cả hai
phương pháp vùng ứng suất nén phân bố là
chủ yếu tại mặt cắt rầm đỉnh và có giá trị lớn
nhất khoảng 16kG/cm2 (160T/m2). Theo
phương pháp giải tích cổ điển Vòm – công
xôn trung tâm vùng ứng nén lớn nhất phân bố
ở chân hạ lưu rầm đỉnh, còn theo phương pháp
PTHH vùng này lại phân bố ở 1/3 chiều cao
đập tại phía hạ lưu mặt cắt rầm đỉnh.
Theo kết quả tính toán cả hai phương pháp
vùng ứng suất kéo phân bố ít, có giá trị lớn
nhất khoảng 3-5kG/cm2(30-50 T/m2) và đều ở
mặt thượng lưu mặt cắt rầm đỉnh tại vị trí 1/3

chiều cao đập vòm.
Như vậy ta thấy kết quả tính toán của hai
phương pháp gần như nhau. Tất nhiên phương
pháp PTHH có sơ đồ tính toán không gian và
kết quả chính xác hơn, nhưng kết quả của
phương pháp vòm – công xôn trung tâm phản
ánh hợp lý so với thực tế hơn. Do vậy khi
phân bố vùng vật liệu ta phải kết hợp kết quả
cả hai phương pháp. Vùng ứng suất kéo tại
mặt cắt rầm đỉnh quá ít và có giá trị bé hơn
nhiều so với khả năng chịu kéo của vật liệu bê
tông M200 nên chúng ta không cần để ý tới.
2) So sánh kết quả tính toán ứng suất vòm
tại các mặt thượng lưu và hạ lưu đập.

149


õy ph mu biu th kt qu tớnh toỏn
ca phng phỏp PTHH tng t nh trờn,
cũn ph mu biu th trong phng phỏp vũm
cụng xụn trung tõm cú mt ớt thay i, t
mu xanh nc bin n mu u biu th
ng sut nộn. Do tớnh i xng ca p vũm

a) ng sut vũm (T/m2) theo kết quả tính
toán bng phng phỏp Vũm - cụng
xụn trung tõm (ti 1/2mt thng lu p vũm).

nờn n gin trờn Mathcad biu th kt qu
ti ẵ mt thng lu v ti ẵ mt h lu p.
Cũn theo phng phỏp PTHH mt thng lu
v h lu p dựng biu th kt qu tớnh
toỏn cú gn c mt phn nn (d dng nhn ra
ng biờn thõn p trờn hỡnh v).

b) ng sut vũm (T/m2) theo kết quả
tính toán bng phng phỏp Vũm - cụng
xụn trung tõm (ti 1/2mt h lu p vũm).

Thang mầu biểu thị ứng suất (kg/cm2)

c) ng sut vũm (kg/cm2) mt thng lu p
theo kết quả tính toán bng phương pháp PTHH
kờt hp vi bin phõn cc b.

d) ng sut vũm (kg/m2) mt h lu p
tính toán bng phương pháp PTHH
kờt hp vi bin phõn cc b.

Hỡnh 4. So sỏnh kt qu tớnh toỏn ng sut theo phng vũm gia phng phỏp gii tớch vũm cụng xụn trung tõm vi phng phỏp PTHH kt hp bin phõn cc b (RAS).

Chỳng ta cú th thy rng theo kt qu tớnh
toỏn c hai phng phỏp ng sut vũm (dc
thõn p theo phng nm ngang) ti mt
thng lu, h lu p u phõn b v cú giỏ
tr (u l ng sut nộn) gn nh nhau. S
khỏc bit ch ch vựng ng sut vũm ln
nht theo phng phỏp PTHH nm gia
p, cũn vựng ng sut vũm theo phng
phỏp gii tớch c in vũm cụng xụn trung
150

tõm trờn cựng mt cao trỡnh u nh nhau(
c hai bờn v gia p). iu ú th hin c
trng phng phỏp rm nh (ch cú mt rm
ti nh i din cho tt c cỏc rm). V ú
cng l sai s tớnh toỏn do nhc im va
núi ca phng phỏp vũm - cụng xụn trung
tõm.
V. KT LUN.

Qua vic kho sỏt trng thỏi ng sut p

vòm Nậm Ngần bằng hai phương pháp trên
chúng ta thấy rằng thân đập có kết cấu mỏng
mà trong đó chỉ phân bố chủ yếu ứng suất nén
và có giá trị không lớn. Điều đó khẳng định
tính ưu việt của phương pháp giải tích cổ điển
vòm công xôn trung tâm khi dùng nó tính toán
lựa chọn cấu tạo tối ưu của đập vòm giữa
hàng ngàn phương án một cách nhanh chóng.
Từ đây chúng ta cũng thấy được thế mạnh của
phần mềm Mathcad khi giải tích các bài toán

kỹ thuật cổ điển trong việc tính toán thiết kế
công trình thuỷ lợi nói riêng và công trình xây
dựng nói chung, qua đó hỗ trợ các kỹ sư phân
tích, kiểm tra kết quả tính toán bằng các phần
mềm thương mại, để loại trừ các kết quả tính
toán không hợp lý và phát hiện ra nhầm lẫn dữ
liệu đầu vào các phần mềm tính toán mà hầu
như đa số kỹ sư không kiểm soát được do
không hiểu bản chất nội dung lập trình của các
phần mềm này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] M.M. Grisin và những người khác, Đập bê tông (trên nền đá); Nhà xuất bản xây dựng
Matxcơva, 1975(Tiếng Nga).
[2] V.Z. Vlasov, N.N. Leonchiep , Rầm, bản và kết cấu ống mỏng trên nền đàn hồi;
Matxcơva, 1960 (Tiếng Nga).
[3] Đào Tuấn Anh, Trạng thái ứng suất biến dạng không gian của đập đất có thiết bị chống
thấm mỏng; Luận án Tiến Sỹ, Trường Đại học tổng hợp xây dựng quốc gia Matxcơva, 2002(

Tiếng Nga).
Abstract:
ANALYZING THE PROBLEM OF CENTRAL ARCH-CONSOLE
IN MATHCAD ENVIRONMENT USING METHOD OF VARIATION
IN CASE OF DAM TOE RIGIDLY RESTRAINED BY THE FOUNDATION
Dr. Dao Tuan Anh
The success in analyzing the problem of arch dam stresses using method of central archconsole in MathCad environment in comparison with calculated results using Finite Element
Method (FEM) is considered a proof of the advantage of this software (MathCad) in analyzing
classically technical problems and assisting analytical engineers, in verifying the design of
construction works in general and hydraulic works in particular using commercial softwares,
most of which cannot be controlled as the essence of their programming contents is
incomprehensible.

151