(Luận văn thạc sĩ) Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THƠM

DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ
DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH
SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên - 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THƠM

DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ
DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH
SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC CƠ SỞ
Ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học
Mã số:8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS Nguyễn Hữu Châu

Thái Nguyên - 2019
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019
Tác giả luận văn

Phan Thị Thơm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài: “Dạy học nội dung ứng dụng nguyên
lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực
suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở”, tôi đã nhận được sự hướng
dẫn, giúp đỡ, động viên của các cá nhân và tập thể. Tôi xin được bày tỏ sự cảm

ơn sâu sắc nhất tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS.TS. Nguyễn Hữu Châu,
người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng đào tạo
trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu, các GV tổ
Toán - Tin trường THCS Trần Đăng Ninh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi
trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019
Tác giả

Phan Thị Thơm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................... iv
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................... iv
DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................ vi
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu ..................................................... 2

4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 4

1.1. Năng lực........................................................................................................ 4
1.2. Năng lực toán học ......................................................................................... 7
1.3. Năng lực suy luận ......................................................................................... 9
1.3.1. Đặc trưng chung của suy luận ................................................................... 9
1.3.2. Suy luận suy diễn ..................................................................................... 11
1.3.3. Suy luận quy nạp ..................................................................................... 12
1.4. Nguyên lý Dirichlet .................................................................................... 14
1.4.1. Nội dung nguyên lý Dirichlet .................................................................. 14
1.4.2. Ví trí của nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chương
trình trung học cơ sở .............................................................................. 15
1.4.3. Ý nghĩa của việc vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán
chứng minh sự tồn tại ............................................................................ 16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




1.4.4. Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng
minh sự tồn tại rèn luyện được năng lực suy luận toán học cho học
sinh THCS......................................................................................................... 18
1.5.

Thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong việc
rèn luyện năng lực suy luận toán học tại trường THCS hiện nay ................ 21

1.5.1. Mục đích, mẫu khảo sát ........................................................................... 21
1.5.2. Phương pháp điều tra............................................................................. 21
1.5.3. Phương pháp xử lý số liệu ..................................................................... 22
1.5.4. Kết quả nghiên cứu ................................................................................ 22
1.5.5. Kết luận ................................................................................................. 23
1.6. Kết luận chương 1....................................................................................... 24
Chương 2: RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC THÔNG
QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET
TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHO HS THCS ............. 26

2.1. Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy .......................... 26
2.2. Rèn luyện cho HS các quy tắc suy luận logic ............................................ 31
2.3. Rèn luyện cho học sinh biết phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong
bài toán............................................................................................................... 33
2.4. Xây dựng hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải
toán chứng minh sự tồn tại ................................................................................ 36
2.4.1. Xây dựng bài toán số học ........................................................................ 36
2.4.2. Xây dựng bài toán hình học..................................................................... 42
2.5. Kết luận chương 2....................................................................................... 50
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 51

3.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm ........................................................... 51
3.2. Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm ..................................... 51
3.2.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 51
3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm .............................................................. 52
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

3.2.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ........................................................ 52
3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................... 53
3.3.1. Quy trình tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................. 53
3.3.2. Phân tích chất lượng học sinh trước khi tiến hành thực nghiệm ............. 54
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................... 54
3.4.1. Phân tích định tính ................................................................................... 54
3.4.2. Phân tích định lượng ................................................................................ 55
3.4.3. Kết luận chương 3 ................................................................................... 57
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 60
PHỤ LỤC ...............................................................................................................

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

Viết đầy đủ

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xuất bản

THCS

Trung học cơ sở

Tr.

Trang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1.

Tình hình thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận
Toán học ........................................................................................ 22

Bảng 3.1.

Kết quả học tập học kỳ I năm học 2018 - 2019 của hai lớp 8A3
và 8A4 trường THCS Trần Đăng Ninh ......................................... 54

Bảng 3.2.

Kết quả điểm kiểm tra của HS hai lớp 8A3 và lớp 8A4 trường
THCS Trần Đăng Ninh ................................................................. 55

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Các thành phần của năng lực ............................................................... 5
Hình 1.2. Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục ............................................. 6
Hình 1.3. Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học........................... 8
Hình 1.4 ............................................................................................................. 17
Hình 2.1 ............................................................................................................. 36
Hình 2.2 ............................................................................................................. 42
Hình 2.3 ............................................................................................................. 44
Hình 2.4 ............................................................................................................. 46

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 tác động đến tất cả các ngành, các lĩnh
vực trong xã hội. Nền giáo dục nước nhà cũng đứng trước những cơ hội và thử
thách to lớn. Câu hỏi lớn của ngành giáo dục được đặt ra là: cần phải giáo dục
và đào tạo ra con người như thế nào để phù hợp với cuộc cách mạng công
nghiệp 4.0 và xu thế phát triển của nhân loại giúp cho đất nước Việt Nam tránh

bị tụt hậu, vươn ra ngang tầm với thế giới. Trả lời câu hỏi trên không chỉ là
công việc của các cấp lãnh đạo mà còn của từng giáo viên, những người trực
tiếp “nhào nặn” những sản phẩm con người của tương lai. Trong khi những lao
động chân tay dần được thay thế bởi máy móc thì con người cần được trang bị
tốt những năng lực mà máy móc khó có thể thay thế. Một trong những năng lực
như thế là năng lực suy luận Toán học.
Ngày 17 tháng 9 năm 2017, tại trường quốc tế Châu Á Thái Bình Dương
(APC), đã diễn ra ngày hội toán học với tâm điểm là buổi tọa đàm “Học toán để
làm gì”. Theo GS Vũ Hà Văn, cơ bản có bốn động cơ học toán. Một là học toán
cho cuộc sống hàng ngày, tức là cộng trừ nhân chia, tính chi phí, lãi suất, phần
trăm… Hai là toán giải trí, toán thể thao, tức là toán olympic. Loại toán này
giúp người giải rèn khả năng vượt qua khó khăn, có cảm giác sung sướng khi
giành chiến thắng. Ba là, học toán để thông minh hơn, để rèn luyện tư duy
logic. Cuối cùng, học toán để làm việc kiếm tiền. Năng lực suy luận logic là
một trong các năng lực mà toán học có thể rèn luyện, một năng lực cần thiết
trong thời đại “kết nối”.
Trong thực tế, câu hỏi: liệu có tồn tại hay không, liệu vấn đề đấy có xảy ra
hay không… khiến cho chúng ta mất thời giờ hơn là câu hỏi: phải làm công
việc ấy, phải giải quyết vấn đề ấy như thế nào. Bởi một vấn đề phải có “tồn tại,
xảy ra” thì mới có “làm thế nào”. Để trả lời câu hỏi này chúng ta cần rất nhiều
thông tin, dùng các quy luật suy luận để kiểm chứng. Trong phạm vi toán trung
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




học cơ sở, có một nguyên lý được sử dụng để trả lời câu hỏi vấn đề có tồn tại
hay không, đó là nguyên lý Dirichlet. Nguyên lý Dirichlet được nhà toán học
người Đức Johann Dirichlet đề xuất. Nguyên lý được phát biểu ở dạng đơn giản
như sau: “Nếu nhốt ba con thỏ vào hai cái chuồng thì có ít nhất một chuồng

nhốt hai con thỏ”. Nhiều bài toán tưởng chừng như đi vào ngõ cụt đối với các
phương pháp thông thường thì khi vận dụng nguyên lý Dirichlet ta được lời
giải hay và đẹp. Trong kỳ thi tìm kiếm tài năng toán học trẻ năm 2019 (VMS),
có nhiều bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet để tìm kiếm lời giải.
Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Dạy học nội dung
ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn
luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về năng lực suy luận toán học, nguyên lý Dirichlet
đồng thời đề xuất các biện pháp nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học
thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán
chứng minh sự tồn tại cho HS THCS và góp phần nâng cao chất lượng giảng
dạy môn toán trong trường trung học cơ sở.
3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1. Khách thể: Quá trình dạy học môn Toán ở trung học cơ sở.
3.2. Đối tượng: Rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung
học cơ sở thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải
toán chứng minh sự tồn tại.
3.3. Phạm vi: Luận văn tập trung đề xuất các biện pháp rèn luyện năng lực
suy luận toán học cho HS THCS khá, giỏi thông qua dạy học nội dung ứng
dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu áp dụng các biện pháp rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS
THCS thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải
toán chứng minh sự tồn tại thì chất lượng dạy và học môn Toán được nâng cao.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về năng lực suy luận toán học.
Tìm hiểu thực trạng của việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý
Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại ở trường THCS.
Tìm hiểu và đề xuất các biện pháp nâng cao năng lực suy luận Toán học
cho HS THCS thông qua dạy học nội dung ứn dụng nguyên lý Dirichlet.
Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi của các biện pháp sư
phạm đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Đề tài có sử dụng phối hợp các phương pháp: Phân tích, tổng hợp, thu
thập thông tin, nghiên cứu tài liệu…về hệ thống các lý luận chung về năng lực
toán học, năng lực suy luận toán học. Nghiên cứu tài liệu về lý luận dạy học,
nghiên cứu, phân tích các thuật ngữ, ký hiệu toán học, biểu tượng toán học
trong chương trình trung học cơ sở.
6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn: Điều tra thực trạng dạy học
Toán có vận dụng nguyên lý Dirichlet.
Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: nghiên cứu vở viết, bài kiểm tra của
học sinh để tìm hiểu năng lực suy luận Toán học của HS.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm
tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Năng lực
Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh
“competentia”. Ngày nay, khái niệm năng lực được hiểu nhiều nghĩa khác
nhau. Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân
đối với một công việc..
Năng lực bao gồm các kiến thức, kỹ năng cũng như quan điểm và thái độ
mà một cá nhân có để hành động thành công trong các tình huống mới.
Năng lực là “khả năng giải quyết” và mang nội dung khả năng và sự sẵn
sàng để giải quyết các tình huống.
Theo John Erpenbeck, “năng lực được tri thức làm cơ sở, được sử dụng
như khả năng, được quy định bởi giá trị, được tăng cường qua kinh nghiệm và
được thực hiện hóa qua ý chí”.
Weinert (2001) định nghĩa: “năng lực là những khả năng nhận thức và kỹ
năng vốn có hoặc học được của cá thể nhằm giải quyết các vấn đề xác định,
cũng như sự sẵn sàng về động cơ, ý chí, ý thức xã hội và khả năng vận dụng
các cách giải quyết vấn đề trong những tình huống thay đổi một cách thành
công và có trách nhiệm”.
Theo Từ điển Bách khoa Việt nam: “Năng lực là đặc điểm của cá nhân thể
hiện mức độ thông thạo - tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc
chắn - một hay một số dạng hoạt động nào đó”.
Theo PGS.TS. Hoàng Hòa Bình, năng lực là thuộc tính cá nhân được hình
thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép
con người thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong
muốn trong những điều kiện cụ thể. Hai đặc trưng cơ bản của năng lực là:
Được bộc lộ, thể hiện qua hoạt động; Đảm bảo hoạt động có hiệu quả, đạt kết
quả mong muốn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

Như vậy, năng lực là khả năng thực hiện thành công và có trách nhiệm các
nhiệm vụ giải quyết các vấn đề trong các tình huống xác định cũng như các tình
huống thay đổi trên cơ sở huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các
thuộc tính tâm lý khác như động cơ, ý chí, quan niệm, giá trị…, suy nghĩ thấu
đáo và sự sẵn sàng hành động.
Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu
trúc của chúng. Cấu trúc chung của năng lực (năng lực hành động) được mô tả
là sự kết hợp của bốn năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực
phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.
Năng lực
chuyên môn

Năng lực
phương pháp

Năng lực hành động
Năng lực
cá thể

Năng lực
xã hội

Hình 1.1. Các thành phần của năng lực
Năng lực chuyên môn: là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng
như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và
chính xác về mặt chuyên môn. Nó được tiếp nhận thông qua việc học nội dung chuyên môn và chủ yếu gắn với các khả năng nhận thức và tâm lý vận động.
Năng lực phương pháp: là khả năng đối với những hành động có kế hoạch,
định hướng mục đích trong việc giải quyết nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực
phương pháp bao gồm năng lực phương pháp chuyên và phương pháp chuyên

môn. Trung tâm của phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử
lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức. Nó được tiếp nhận qua việc học
phương pháp luận - giải quyết vấn đề.
Năng lực xã hội: là khả năng đạt được mục đích trong những tình huống
giao tiếp, ứng xử xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác. Nó được tiếp nhận qua việc học
giao tiếp.
Năng lực cá thể: là khả năng xác định, đánh giá được cơ hội phát triển cũng
như những giới hạn của cá nhận, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế
hoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi
phối các thái độ và hành vi ứng xử. Nó được tiếp nhận qua việc học cảm xúc đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách nhiệm.
Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn mục tiêu giáo
dục theo Tổ chức Giáo dục, Khoa học và Văn hóa Liên hợp quốc (UNESCO):
Các thành phần năng lực

Các mục tiêu giáo dục
theo UNESCO

Năng lực chuyên môn

Học để biết

Năng lực phương pháp

Học để làm

Năng lực xã hội

Học để cùng chung sống

Năng lực cá thể

Học để tự khẳng định

Hình 1.2. Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục
Mô hình năng lực theo OECD: Trong các chương trình dạy học hiện
nay của các nước thuộc khối OEDC, người ta sử dụng mô hình đơn giản hơn,
phân chia năng lực thành hai nhóm chính: các năng lực chung và các năng lực
chuyên môn.
Nhóm năng lực chung bao gồm:
 Sử dụng một cách tương tác các phương tiện thông tin, giao tiếp và
các phương tiện làm việc (ví dụ như ngôn ngữ, công nghệ);
 Tương tác trong các nhóm xã hội không đồng nhất;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




 Khả năng hành động tự chủ.
Năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt. Ví dụ mô
hình năng lực trong môn Toán (theo chuẩn của Đức năm 2012) bao gồm các
năng lực sau:
 Các năng lực toán học chung: lập luận toán học; giải quyết các vấn đề
toán; mô hình hóa toán học; sử dụng các cách trình bày biểu đồ, đồ thị, bảng
biểu, sử dụng các kí hiệu, công thức, các yếu tố kỹ thuật; giao tiếp toán học.

 Các tư tưởng toán học chủ đạo: thuật toán và số học; đo lường; không
gian và hình học; quan hệ hàm số; dữ liệu và ngẫu nhiên [3].
1.2. Năng lực toán học
Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với
môn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Hiệp hội giáo
viên Toán của Mĩ mô tả: “Năng lực Toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng
nội dung kiến thức toán”. Ở Việt Nam trong những năm gần đây, các nhà
nghiên cứu thường nhắc tới quan niệm về năng lực toán học của các nhà giáo
dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện Khoa học Giáo
dục Việt Nam).
Theo Blohm & Jensen (2007): “Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng
hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định”.
Theo Niss (1999): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử
dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến
toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu,
quyết định và giải thích)”.
Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai
cụm. Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn
đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học. Cụm
thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu
hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện
học toán.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học
tập và ứng dụng toán học. Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên
quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau.

Năng lực
giải quyết
vấn đề
toán học

Năng lực
tư duy
toán học
Năng lực
biểu diễn

Năng lực
Mô hình
hóa toán
học

Năng lực
sử dụng ngôn ngữ
và kí hiệu hình
thức

Năng lực
suy luận
toán học

Năng lực sử
dụng công cụ,
phương tiện
toán học

Năng lực
giao tiếp
toán học

Hình 1.3. Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học
Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát
triển cho người học thông qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt
Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa
toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học;
năng lực học tập độc lập và hợp tác” [10].
Một trong những mục tiêu chung của Chương trình giáo dục phổ thông môn
Toán (Ban hành kèm theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) là hình thành và phát triển
năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán
học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng
lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
1.3. Năng lực suy luận
1.3.1. Đặc trưng chung của suy luận
Sự hiểu biết của con người về thời gian khách quan được phản ánh bằng
các khái niệm và phán đoán. Con người không những biết kết hợp các khái
niệm với nhau để xây dựng phán đoán, mà còn sử dụng các phán đoán để rút ra
phán đoán mới. Hầu hết các luận điểm khoa học được phát hiện nhờ hình thức
này của tư duy. Dựa vào các tri thức đã biết con người rút ra tri thức mới theo
các quy tắc xác định.

Suy luận là hình thức của tư duy nhờ đó rút ra phán đoán mới từ một hay
nhiều phán đoán theo các quy tắc logic xác định.
Bất kỳ suy luận nào cũng bao gồm tiền đề, lập luận và kết luận.
Tiền đề: là một hay một số phán đoán đã được thực tiễn thừa nhận hoặc
được khoa học chứng minh là đúng. Trên cơ sở giá trị đúng của các tiền đề có
thể rút ra các phán đoán mới, chứa đựng tri thức mới mà bản thân riêng rẽ từng
tiền đề không thể có được.
Lập luận: là phương pháp logic rút ra kết luận từ các tiền đề. Các phương
pháp logic này không chỉ thể hiện trình tự sắp xếp các phán đoán thuộc tiền đề
mà còn bao gồm cả những quy luật mà những quy tắc logic chi phối trình tự
sắp xếp để đưa ra phán đoán mới một cách tất yếu.
Kết luận: là phán đoán mới thu được từ các tiền đề thông qua lập luận. Kết
luận có nhiều dạng khác nhau, có kết luận phù hợp, có kết luận không phù hợp
với hiện thực khách quan, có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất yếu từ
những lập luận logic của các tiền đề.
Nếu ký hiệu tiền đề hay tập hợp tiền đề là X1 , X 2 ,..., X n và kết luận là Y ,
chúng ta có thể viết dưới dạng X1 , X 2 ,..., X n  Y .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




Nếu X1 , X 2 ,..., X n  Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic
hay hệ quả logic.
Ký hiệu suy luận logic:
X 1 , X 2 ,..., X n
Y

Trong tiếng Việt, phán đoán đứng trước các từ “nên”, “cho nên”, “do đó”,
“vì vậy”, “suy ra”… và đứng sau các từ “vì”, “bởi vì”, … là tiền đề. Ngược lại,

phán đoán đứng sau các từ “nên”, “cho nên”, “do đó”, “vì vậy”,… và đứng
trước các từ “vì”, “bởi vì”,… là kết luận.
Nắm vững cách biểu thị đó giúp chúng ta nhận biết nhanh chóng tiền đề
và kết luận khi phân tích bất cứ một suy luận nào. Bởi vì, trong thực tế khi nói
và viết chúng ta không bao giờ biểu thị thành một suy luận, mà chỉ biểu thị
bằng ngôn ngữ tự nhiên dựa trên cơ sở của các từ đã nêu trên.
Quan hệ suy diễn logic giữa các tiền đề và kết luận được quy định bởi
mối liên hệ giữa các tiền đề về mặt nội dung. Nếu các phán đoán không có liên
hệ về mặt nội dung thì không thể lập luận và rút ra kết luận. Tính chân thực của
kết luận phân tích và tính chân thực của các tiền đề và tính đúng đắn logic của
mối liên hệ nội dung giữa các tiền đề. Trong quá trình lập luận để thu được tri
thức chân thực mới cần tuân theo hai điều kiện: Thứ nhất, các tiên đề của suy
luận phải chân thực; thứ hai, phải tuân theo các quy tắc logic của lập luận.
Suy luận là hình thức phản ánh các sự vật, hiện tượng của thế giới khách
quan và các quy luật vận động của chúng vào ý thức chủ quan của con người.
Vì các sự vật, hiện tượng nằm trong các mối liên hệ và quan hệ qua lại với
nhau, phụ thuộc vào các quy luật, cho nên không những tồn tại khả năng, mà
còn tồn tại cả tính tất yếu nhận thức được các sự vật và hiện tượng, các mối liên
hệ và quan hệ qua lại có tính quy luật của chúng trên cơ sở hiểu biết các sự vật
và hiện tượng khác. Mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tượng của thế giới bên
ngoài, còn tính tất yếu logic lại bị quy định bởi tính tất yếu khách quan. Do đó,
mối liên hệ qua lại phổ biến, có tính quy luật giữa các sự vật và hiện tượng của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




thế giới khách quan là cơ sở quyết định sự vận động của tư tưởng từ cái đã biết
tới cái chưa biết trong quá trình lập luận tri thức mới.
Trong logic toán người ta sử dụng công cụ hình thức của toán học để tiến

hành suy luận. Ở một số phần của logic hình thức, chúng ta có thể sử dụng
công cụ đó để rút ra tri thức mới và có thể xác định tính chân thực của tri thức
mới đó.
Căn cứ vào cách thức lập luận, suy luận được chia ra thành suy luận suy
diễn, suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy. Bài toán “Ứng dụng nguyên lý
Dirichlet” thường sử dụng nhiều đến suy luận suy diễn và suy luận quy nạp nên
trong khuôn khổ của đề tài, tác giả chỉ trình bày về năng lực suy diễn và năng
lực quy nạp.
1.3.2. Suy luận suy diễn
Suy luận suy diễn: là suy luận mà kết luận được rút ra bằng cách đi từ cái
chung đến cái riêng, từ cái toàn thể đến cái bộ phận. Đặc trưng của suy diễn là
việc rút ra mệnh đề mới từ các mệnh đề đã có được thực hiện theo các quy tắc
logic. Suy diễn gồm có suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp.
Suy diễn trực tiếp là suy diễn trong đó kết luận được rút ra từ một tiền đề.
Suy diễn gián tiếp là suy diễn trong đó kết luận được suy ra từ hai hay
nhiều tiền đề có mối liên hệ logic với nhau. Đơn vị nhỏ nhất của suy diễn gián
tiếp là “tam đoạn luận”. Một “tam đoạn luận” gồm ba phán đoán đơn (hai phán
đoán tiền đề và một phán đoán kết luận).
Các quy tắc của suy luận suy diễn
- Quy tắc khẳng định (modus ponens)

pq
p
q

pq

- Quy tắc phủ định (modus tollens)

q

p

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




pq
qr
- Quy tắc tam đoạn luận (Syllogism)
pr

- Quy tắc tam đoạn luận rời

pq

pq

q
p

p
q

Nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra mà một trường hợp sai thì chắc
chắn trường hợp còn lại sẽ đúng.
- Quy tắc mâu thuẫn  p1  p2  ...  pn   q    p1  p2  ...  pn  q   0
Để chứng minh vế trái là một hằng đúng ta chứng minh nếu thêm phủ
định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn.
pr

qr
- Chứng minh theo trường hợp
 p  q   r

Nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có thể suy ra r.
- Một số luật thêm
Quy tắc cộng

p
pq
, quy tắc rút gọn
pq
p

1.3.3. Suy luận quy nạp
Quy nạp là quá trình hoạt động logic để rút ra kết luận bằng cách đi từ cái
riêng đến cái chung, từ cái bộ phận đến cái toàn thể. Đặc trưng của suy luận
quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở
nhận xét, kiểm tra để rút ra kết luận. Do vậy, kết luận rút ra trong quá trình suy
luận quy nạp có thể đúng, có thể sai, có tính ước đoán.
Cơ sở khách quan của suy diễn quy nạp là sự thống nhất biện chứng của
thế giới vận động, phát triển không ngừng, một thế giới vừa mang tính đa dạng
thể hiện qua sự khác biệt giữa các sự vật, hiện tượng vừa là sự thống nhất toàn
vẹn trong tính chất, cũng như trong các quy luật phát triển của nó. Vì vậy, cái
chung tồn tại trong mỗi cái riêng, mọi cái riêng trừu tượng cái cá biệt, đơn lẻ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

đặc thù của mình làm nên cái chung. Do đó, nhận thức cái chung phải thông
qua nhận thức cái riêng, cái đơn lẻ, phải thông qua suy luận quy nạp.
Sơ đồ của suy luận quy nạp
S1 có tính chất P
S2 có tính chất P
……………….
Sn có tính chất P
S có tính chất P
Trong đó S1,, S2, …, Sn,… là các phần tử của tập S.
Chẳng hạn, 1 3  4
1 3  5  9
1 3  5  7  16

…
Kết luận: Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương.
Suy luận quy nạp được phân thành các dạng: Quy nạp hoàn toàn; quy nạp
không hoàn toàn; quy nạp toán học
Quy nạp hoàn toàn là một suy luận logic mà kết luận về một dấu hiệu xác
định của một tập hợp được rút ra từ kết luận dấu hiệu đó đúng đối với tất cả các
đối tượng của tập hợp đang xét.
Quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ
dựa vào một số trường hợp cụ thể đã được xét đến. Kết luận của phép suy luận
quy nạp không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có
thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ
Quy nạp toán học
Đối với tập hợp các đối tượng được sắp xếp hoàn toàn theo một trật tự nào
đó và được ký hiệu theo chỉ số thứ tự ta có thể thực hiện phương pháp quy nạp
toán học và kết luận thu được là hoàn toàn đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN

Để chứng minh tập hợp A gồm vô hạn đếm được phần tử có tính chất P, ta
tiến hành như sau:
Bước 1: Kiểm tra thấy phần tử đầu tiên của tập hợp có tính chất P.
Bước 2: Giả sử tính chất P đúng với phần tử thứ k (k = 1, 2, …, n)
Bước 3: Ta chứng minh tính chất P đúng với phần tử thứ k + 1.
Suy ra tính chất P đúng với mọi phần tử của tập A.
1.4. Nguyên lý Dirichlet
1.4.1. Nội dung nguyên lý Dirichlet
Trong thực tế cuộc sống, có những vấn đề ta chỉ cần biết có tồn tại hay
không mà không nhất thiết phải biết chính xác đó là cái gì. Nhà toán học Đức
Johann Dirichlet (1805 - 1859) đã đưa ra nguyên lý đơn giản nhưng có những
ứng dụng không ngờ. Nguyên lý này thường được gọi là nguyên lý ngăn kéo
hay nguyên lý Dirichlet.
Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì
bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.
Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Nếu nhốt n.m + r (m, n, r là các số nguyên
dương) con thỏ vào n cái chuồng thì phải có ít nhất một chuồng chứa không ít
hơn m + 1 con thỏ.
Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì
 n  m  1
con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phần
m 

tồn tại một chuồng có ít nhất 

nguyên của số α.

Nguyên lí Dirichlet cho diện tích: Nếu K là một hình phẳng, còn
K1 , K2 ,..., Kn

là các hình phẳng sao cho

Ki  K

với

i  1, n ,

và

| K || K1 |  | K2 | ... | K n | , ở đây |K| là diện tích của hình phẳng K, còn | K i | là

diện tích hình phẳng K i , i  1, n , thì tồn tại ít nhất hai hình phẳng K i , K j
( 1  i  j  n ) sao cho K i , K j có điểm trong chung.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN




1.4.2. Ví trí của nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chương trình
trung học cơ sở
Từ ngày 24 tháng 3 năm 2019, Hội Toán học Việt Nam đã tổ chức kỳ thi
“Tìm kiếm tài năng toán học trẻ 2019 (MYTS - 2019)” giành cho học sinh từ
lớp 3 đến lớp 9 trong toàn quốc. Cuộc thi đã nhận được sự hưởng ứng nhiệt
tình từ các lớp học sinh. Trong hệ thống bài toán mà Hội toán học đưa ra thì đề
thi của tất cả lớp từ lớp 4 đến lớp 9 đều có bài sử dụng nguyên lý Dirichlet.
Bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải tuy HS đã được làm quen

sớm từ chương trình Tiểu học. Xong nó vẫn chỉ là một chương trình lồng ghép
một cách nhẹ nhàng khi bồi dưỡng học sinh giỏi.
Với cách phát biểu dễ hiểu đối với ngay cả học sinh lớp 3, “có ba con thỏ
nhốt vào hai chuồng thì tồn tại 1 chuồng nhốt ít nhất 2 con thỏ” thì đối với học
sinh THCS, các em đã có đủ công cụ hỗ trợ suy luận: số học, hình học, đại số,
bài toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet trở thành bài toán thú vị với cách chứng
minh không theo mô tuýp riêng.
Đối với chương trình THCS, nguyên lý Dirichlet không được phát biểu một
cách chính thức trong sách giáo khoa xong được viết thành các chuyên đề “Ứng
dụng nguyên lý Dirichlet” trong các tài liệu chuyên toán từ lớp 6 đến lớp 9 mà
các trường THCS chất lượng cao thường sử dụng trong quá trình giảng dạy.
Tuy là một chủ đề riêng trong tài liệu chuyên toán nhưng bài toán sử dụng
nguyên lý Dirichlet lại xuất hiện đan xen trong từng chương mới trong chương
trình lớp 7, lớp 8, lớp 9 đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức mới học về
số học, hình học, đại số trong chương kết hợp với nguyên lý Dirichlet để giải
toán. Trong cuộc sống, vấn đề tồn tại hay không tồn tại là vấn đề rất quan
trọng, phải xác định được là có tồn tại vấn đề thì mới tìm cách giải quyết vấn
đề. Trong Toán học, nguyên lý Dirichlet là một cách giúp các em xác định sự
tồn tại của vấn đề. Do đó, học sinh cần được biết, hiểu và vận dụng được
nguyên lý Dirichlet.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN