Nghiên cứu tính toán tần số dao động riêng công trình biển dạng khung bằng phương pháp phần tử hữu hạn

K n2

... K 1n   x1 
... K 2 n   x 2 
 0
... ...   ... 

... K nn   x n 

Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải

Số 37 – 01/2014


CHóC MỪNG NĂM MỚI 2014

Nghiệm của phương trình trên có dạng là các hàm điều hoà:

xi  X M i sin pi t   i 

(4)

Trong đó:
p i và  i - Tần số dao động riêng và góc lệch pha của dao động riêng;

xi - Vectơ chuyển vị của dạng dao động thứ i;
X M i - Vectơ biên độ dao động của dạng dao động thứ i.

 x1 
 X M1 
X 

x 
;
xi   2  X M i   M 2 
 ... 
 ... 
 X Mn 
 x n 
i
i

Thay giá trị xi vào phương trình dao động ta có:

H i X M i  0
H i - Ma trận đặc trưng có dạng sau: H i  K   pi2 M 
Để cho phương trình trên có nghiệm x M i  0 thì H i  0
detH i 

K 11  pi2 M 11

K 12  pi2 M 12

...

K 21  pi2 M 21

K 22  pi2 M 22

... K 2 n  pi2 M 2 n

...

...

K n1  pi2 M n1

K n1  pi2 M n1

K 1n  pi2 M 1n

...

...

0

... K nn  pi2 M nn

Các giá trị pi được gọi là các trị riêng, X M i là các vectơ riêng. Nếu xác định được pi ta sẽ
xác định được vectơ riêng. Có thể viết như sau:

K X M i  pi2 M X M i

(5)

Để đưa về bài toán tìm trị riêng dạng chuẩn

Ax  x ta có thể nhân cả hai vế với

M 1 . Tuy nhiên tích M 1 K  không phải là ma trận đối xứng gay khó khăn trong việc tìm trị
riêng. Để bảo toàn tính đối xứng phân tích ma trận M  thành tích hai ma trận tam giác trên và

tam giác dưới theo phương pháp Cholesky:

M   U U T
U  - Ma trận tam giác dưới;
U T - Ma trận tam giác trên.
Trong trường hợp M  là ma trận đường chéo:
T
U   U T  M 1/ 2 ; U 1  U 1   M 1 / 2
T
T 1
Đặt: X u i  U  X M i X M i  U   X u i ta có:
1
1
K  U T  X u i  pi2 M  U T  X u i
1
Nhân cả hai vế với U  :
1
1
U 1 K  U T  X u i  pi2 U 1 M  U T  X u i
do:

U 1 M  U T   U 1 U U T U T 
E  - Ma trận đơn vị.
1

1

(6)

 E 

Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải

Số 37 – 01/2014

57