Bài giảng Sức bền vật liệu 1 - ĐH Phạm Văn Đồng (2013)

-

TRƯ NG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
KHOA KỸ THU T - CỌNG NGH
*******
ThS. NGUY N QU C B O

BÀI GI NG

S C B N V T LI U 1
(Dùng cho sinh viên cao đ ng)

STRENGTH OF MATERIALS
PART 1

Qu ng Ngưi, 12/2013


M CL C
M c l c …………………..……………………………...........……..…………. 2
Lời nói đ u ………………………………………………...........….…………... 4
Các kí hi u thông d ng ………………………………...…............…...………. 5
Ch

ng 1.

CÁC KHÁI NI M C

B N

1.1. Đối t ợng và nhiệm vụ nghiên c u c a môn học ……..........…...……. 7

1.2. Các giả thiết cơ bản về vật liệu …..………...………..........………..…. 8
1.3. Ngoại lực ………..…………...…………………..…..........…………. 10
1.4. Nội lực ………………..……………..……………..........…………… 12
1.5.

ng suất ……………………..……………………..........……...…… 21

1.6. Biến dạng và chuyển vị ………....……………..…............………..… 23
1.7. Các ví dụ …………………………..…………..........……………….. 24
Câu hỏi ôn tập………………………………………….......………....…………. 33
Trắc nghiệm ……….. .. …………………………………………...........………. 34
Ch

ng 2.

THANH CH U KÉO - NÉN ĐÚNG TỂM

2.1. Khái niệm .............................…………………..............……………. 36
2.2.

ng suất trên mặt cắt ngang ………......…………..........………..….. 36

2.3. Biến dạng c a thanh chịu kéo - nén ………………..........…..………. 38
2.4. Các đặc tr ng cơ học c a vật liệu ………...………............…………. 41
2.5. Tính toán điều kiện bền .......................................……..…………..…. 44
2.6. Bài toán kéo - nén siêu tĩnh …....…………...….......………………… 46
2.7. Các ví dụ …………………………………………………………….. 47
Câu hỏi ôn tập……………………………………………………………………. 56
Trắc nghiệm ……….. .. ………………………………………………………… 56
Ch

ng 3.

Đ C TR NG HỊNH H C C A M T C T NGANG

3.1. Khái niệm ……..……...…………………….………………………... 58
3.2. Diện tích - Momen tĩnh ………………….....………………………... 58
3.3. Momen quán tính …...……………….......……………....…………... 61
3.4. Momen chính trung tâm c a một số mặt cắt đơn giản …..................... 63
3.5. Công th c chuyển trục song song c a momen quán tính ……....….... 65
3.6. Công th c xoay trục c a momen quán tính ........………...……..…….67
2


3.7. Các ví dụ …………………………………………………………….. 68
Câu hỏi ôn tập……………………………………………………………………..73
Trắc nghiệm ……….. .. …………………………………………………………..74
Ch

ng 4.

THANH CH U U N PH NG

4.1. Khái niệm ………………………...……………..…………………… 76
4.2. Dầm chịu uốn thuần tuý phẳng …...………………….……………… 77
4.3. Dầm chịu uốn ngang phẳng …………...……………..……………… 90
Câu hỏi ôn tập…………………………………………….……………………. 104
Trắc nghiệm ……….. . ……………………………………………………..… 104
Ch

ng 5.

THANH TRọN CH U XO N THU N TUụ

5.1. Khái niệm ……..…………………....................................…………. 106
5.2.

ng suất trên mặt cắt ngang c a thanh tròn …………....…….……. 108

5.3. Biến dạng c a thanh tròn chịu xoắn ……………………....…..……. 112
5.4. Tính toán thanh tròn chịu xoắn ..............................….….............….. 113
5.5. Bài toán xoắn siêu tĩnh ........……………….…..…………………… 114
5.6. Các ví dụ …………………………………………..……………….. 114
Câu hỏi ôn tập………………………………………………………..…………..122
Trắc nghiệm ……….. .. ………………………………………..………………..122
Ph l c
PL 01. Các đơn vị đo lường thông dụng ……...……..……..……..……...... 124
PL 02. Bảng tra hệ số mođun đàn hồi dọc…………………..…...…......……125
PL 03. Bảng tra hệ số biến dạng dọc…………….……...............……...……125
PL 04. Bảng tra ng suất cho phỨp..………………..........…..…….…..…… 126
TƠi li u tham kh o ………………...…………............……………….....….. 127

3


LỜI NịI Đ U
S c bền vật liệu là một môn khoa học thực
nghiệm thuộc khối kiến thức kỹ thuật cơ sở được
giảng dạy trong các ngành kỹ thuật ở các trường đại
học, cao đẳng. Mục đích của môn học là cung cấp

những kiến thức cần thiết về cơ học vật rắn biến dạng
nhằm giải quyết các vấn đề liên quan từ thiết kế đến
chế tạo, và hỗ trợ cho việc nghiên cứu các môn học
chuyên ngành khác trong lĩnh vực cơ khí và xây dựng.
Bài giảng S c bền vật liệu 1 được biên soạn
theo chương trình giảng dạy của Trường Đại học
Phạm Văn Đồng dành cho sinh viên bậc cao đẳng
ngành cơ khí đào tạo theo học chế tín chỉ. Bài giảng
gồm 5 chương. Trong mỗi chương đều có phần Câu
hỏi ôn tập và Trắc nghiệm giúp cho học viên củng
cố các kiến thức đã học. Đi kèm với Bài giảng này,
chúng tôi có biên soạn tài liệu Bài tập S c bền vật
liệu 1.
Bài giảng này đã được hiệu chỉnh và bổ sung
nhiều lần, tuy nhiên cũng không tránh khỏi những sai
sót, rất mong được sự đóng góp của bạn đọc để tài
liệu ngày càng được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin
chân thành cảm ơn.
Quảng Ngãi, tháng 12/2013
Người biên soạn:
Mobil:

090 531 1727

Email:

4


CỄC Kệ HI U THỌNG D NG

Kí hi u
z
Hệ toạ độ

X,Y
 ,

Tên g i
Trục thanh
Hệ trục chính trung tâm
Toạ độ cực
Môđun đàn hồi dọc (môđun đàn hồi

Đặc

E

trưng



Young)

G

Môđun đàn hồi tr ợt (môđun đàn hồi cắt)

vật liệu

Sx , Sy

Jx , Jy

Đặc
trưng
hình học

Jo
J xy

kN/cm 2

Hệ số Poisson
Momen tĩnh đối với trục x, y.
Momen quán tính c a hình phẳng đối với
trục x, y.
Momen quán tính cực
Momen quán tính ly tâm (c a hình phẳng
đối với hệ trục xy).

kN/cm 2

m3
m4
m4
m4

Wx , Wy

Momen chống uốn đối với trục x, y.

m3

Wo

Momen chống xoắn c a mặt cắt tròn

m3

ix , i y

Ngo i lực

Đ nv

Bán kính quán tính c a tiết diện đối với trục
x, y

m

P

Lực tập trung

M

Momen tập trung

N.m

q

C

ng độ c a lực phân bố trên 1 đoạn

N/cm

p

C

ng độ c a lực phân bố trên 1 diện tích

N/cm 2

m

C

ng độ c a momen phân bố trên 1 đoạn

N/m




p

N

ng suất pháp

N/m 2

ng suất tiếp

N/m 2

ng suất toàn phần

N/m 2

5


 1 , 2 , 3

ng su t

 tl

 ch

b

  ,  
 th

N i lực

v vƠ bi n
d ng

hi u khác

ng suất giới hạn tỉ lệ

N/m 2

ng suất giới hạn chảy

N/m 2

ng suất giới hạn bền

N/m 2

ng suất cho phép

N/m 2

ng suất tới hạn

N/m 2

Lực dọc

N

Qx, Qy

Lực cắt

N

Mx, My

Momen uốn

Nm

Mz

Momen xoắn

Nm



l



y, 
EF

Các kí

N/m 2

Nz



Chuy n

Các ng suất chính c a trạng thái ng suất

Biến dạng dài tỉ đối
Biến dạng góc tỉ đối
Biến dạng dài tuyệt đối
Góc xoắn tỉ đối c a thanh
Độ võng và góc xoay c a thanh chịu uốn
Độ c ng c a mặt cắt khi thanh chịu kéonén

EJ

Độ c ng c a mặt cắt khi thanh chịu uốn

GJ

Độ c ng c a mặt cắt khi thanh chịu xoắn





Độ mảnh c a thanh
Hệ số giảm ng suất cho phép (hệ số uốn
dọc)

6


Ch

ng 1.

CỄC KHỄI NI M C

B N

A. M C TIểU
- Cung cấp những khái niệm cơ bản như: nội lực, ng suất, biến dạng và các
giả thiết cơ bản về vật liệu.
- Nắm vững các nội dung để làm cơ sở cho các chương sau, nhất là vẽ biểu
đồ nội lực.

B. N I DUNG
1.1. Đ I T
1.1.1. Đ i t

NG VĨ NHI M V NGHIểN C U C A MỌN H C
ng

Khác với Cơ học lý thuyết, khảo sát sự cân bằng và chuyển động c a vật rắn
tuyệt đối, còn S c bền vật liệu (SBVL) khảo sát vật thể thực t c là vật rắn biến
dạng.
Đối t ợng nghiên c u c a SBVL là các vật rắn biến dạng và có các dạng
vật thể là:

- Khối (H. 1.1a): là những vật thể có kích th ớc theo 3 ph ơng t ơng
đ ơng nhau. VD: hộp, viên bi, móng máy, …
- Tấm và vỏ (H. 1.1b,c): là những vật thể có kích th ớc theo 2 ph ơng lớn
hơn nhiều so với ph ơng th ba. VD: sàn nhà, trần nhà, t

ng, vỏ bồn ch a, …

- Thanh (H. 1.1d,e): là những vật thể có kích th ớc theo 1 ph ơng lớn hơn
nhiều so với ph ơng th ba.
a)

c)

b)

e)

d)

Hình 1.1

7


Nội dung nghiên c u

đây, ch yếu là thanh và hệ thanh (khung, dàn).

- Thanh có thanh thẳng và thanh cong.
- Hệ thanh (khung) có khung phẳng và khung không gian.

Trong tính toán thanh đ ợc biểu diễn bằng đ

ng trục c a nó.

1.1.2. Nhi m v
S c bền vật liệu là một phần c a cơ học vật rắn biến dạng. Nó cung cấp các
kiến th c cơ bản để tính độ bền, độ c ng vững và ổn định cho các chi tiết máy
cũng nh 1 bộ phận c a công trình khi chịu tác dụng c a ngoại lực.
Khi thiết kế các chi tiết máy hoặc các bộ phận c a công trình ta phải đảm
bảo 2 điều kiện:
- Về an toàn:
+ Chi tiết không bị phá h y t c là đ bền (điều kiện bền).
+ Chi tiết không bị biến dạng dọc, xoay, ... quá lớn t c là đ c ng (điều
kiện c ng).
+ Chi tiết dịch chuyển trong phạm vi cho phép t c là đảm bảo về chuyển
vị (điều kiện ổn định).
- Về kinh tế: tiết kiệm vật liệu nhất.
* S c bền vật liệu có nhiệm vụ đ a ra các ph ơng pháp tính toán về độ bền,
độ c ng và độ ổn định c a các chi tiết máy hoặc các bộ phận c a công trình.
Cùng với các kết quả c a S c bền vật liệu, bằng ph ơng pháp suy diễn toán
học, S c bền vật liệu tìm ra mối liên hệ giữa tác dụng c a môi tr

ng (ngoại lực)

với sự biến đổi về đặc tr ng hình học (biến dạng) và trạng thái cơ học bên trong
(nội lực) c a vật thể.
1.2. CÁC GI THI T C

B N V V T LI U

Để việc tính toán đ ợc đơn giản nh ng vẫn đảm bảo đ ợc độ chính xác cần
thiết môn SBVL công nhận các giả thiết sau:
1.2.1. Gi thi t 1
Vật liệu có tính liên tục, đồng nhất và đẳng hướng.
Nghĩa là:
- Liên tục: thể tích c a vật thể đều có vật liệu, không có lỗ hổng, vết n t tế
vi.
8


- Đồng nhất: tính chất cơ học, vật lý c a vật liệu

mọi nơi trong vật thể

đều giống nhau.
- Đẳng h ớng: tính chất c a vật liệu theo mọi ph ơng đều nh nhau.
Gỉa thiết này chỉ đúng với vật liệu nh : thép, đồng, …; còn gạch, gỗ, … thì
không đúng.
1.2.2. Gi thi t 2
Vật liệu đàn hồi hoàn toàn và tuân theo định luật Hooke.
Nghĩa là:
- Khi có lực tác dụng thì vật thể bị biến dạng, khi bỏ lực tác dụng đi thì vật
thể tr lại hình dạng và kích th ớc ban đầu c a nó.
Vật liệu thoả mãn giả thiết này gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính. Thực tế
không có vật liệu đàn hồi hoàn toàn mà có biến dạng d .
- Tuân theo định luật Hooke: Trong phạm vi biến dạng đàn hồi c a vật liệu,
biến dạng c a vật thể tỉ lệ bậc nhất với lực gây ra biến dạng đó.
Giả thiết này chỉ đúng với kim loại nh thép, đồng, … có lực tác dụng trong
phạm vi nào đó và phạm vi nghiên c u c a SBVL cũng chỉ giới hạn trong các vật
liệu tuân theo định luật này.

1.2.3. Gi thi t 3
Biến dạng c a vật thể là bỨ.
* Ghi chú
Áp dụng các giả thiết trên trong tính toán ta có thể:
- Nghiên c u một phân tố bỨ để suy rộng cho cả vật thể (phỨp tính vi tích
phân).
- Xem điểm đặt các ngoại lực không đổi trong khi vật thể bị biến dạng (sơ đồ
không biến dạng).
- Áp dụng nguyên lí cộng tác dụng (nguyên lí độc lập tác dụng):
“Một đại lượng (nội lực, biến dạng, chuyển vị, ng suất,…) do nhiều nguyên
nhân gây ra sẽ bằng tổng đại lượng đó do từng nguyên nhân riêng lẻ gây ra”
Do đó thay việc tính toán bài toán ph c tạp bằng cách giải các bài toán đơn
giản hơn để giải quyết.

9


1.3. NGO I L C
1.3.1. Đ nh nghƿa
Ngoại lực là lực tác động từ các vật khác hoặc từ môi tr

ng bên ngoài lên

vật thể đang xét.
1.3.2. Phơn lo i
Ngoại lực gồm: tải trọng và phản lực.
1.3.2.1. Tải trọng
a) Định nghĩa
Tải trọng là lực ch động tác dụng trực tiếp lên vật thể mà vị trí, tính chất và
trị số đư biết.

VD: trọng l ợng c a vật, …
b) Phân loại:
Tải trọng đ ợc chia ra nh sau:
- Căn c vào tính chất tác dụng:
+ Tải trọng tĩnh: nêú nó tăng rất chậm từ 0 đến một giá trị nhất định rồi
giữ nguyên giá trị đó không kể lực qúan tính.
+ Tải trọng động: giá trị c a nó tăng đột ngột hay kể đến quán tính.
- Căn c vào hình th c tác dụng:
+ Tải trọng tập trung: là tải tác dụng lên vật trên 1 diện tích truyền lực
khá bé, có thể coi nh 1 điểm. Tải trọng tập trung có thể là lực tập trung hoặc
momen tập trung.
Th nguyên là: [lực] hoặc [lực] x [chiều dài].
Đơn vị th

ng dùng là: N, kN, … hoặc N.m, kNm, …

+ Tải trọng phân bố: là tải trọng tác dụng lên 1 đoạn dài hay trên 1 diện
tích truyền lực đáng kể c a vật.
Lực phân bố có thể là lực phân bố đều (hình chữ nhật), lực phân bố không
đều (hình tam giác, hình thang, ...)
Đơn vị: Tải trọng phân bố trên 1 đoạn q là: N/cm, kN/m, T/m, …; tải trọng
phân bố trên 1 diện tích p là: N/m 2 , kN/m 2 , T/m 2 ,...
* Chú ý

10


1. Để tính toán một chi tiết hoặc một kết cấu, trước tiên ta phải thiết lập sơ
đồ tính, đó là sơ đồ kết cấu. Trong sơ đồ kết cấu, mỗi một dầm được biểu diễn
bởi 1 đường trục và các liên kết đã được mô hình hoá. Các tính toán đều được

thực hiện trên sơ đồ này (H. 1.2).
M  ql 2
M  ql 2

P  ql

q

H

HA
A
VA

C

l

D

B
VB

l

l

V

Hình 1.2

2. Khi tính phản lực liên kết từ điều kiện cân bằng, trên sơ đồ kết cấu ta
phải thay lực phân bố bằng hợp lực (lực tập trung) c a nó. Giá trị c a hợp lực
bằng diện tích c a biểu đồ lực phân bố, còn đường tác dụng c a nó đi qua vị trí
khối tâm c a biểu đồ đó.
Thường có 2 trường hợp (H. 1.3):
- Lực phân bố là hằng số (qui luật hình chữ nhật):
+ Lực tập trung: Q = q.L.
+ Trọng tâm đặt tại trong tâm hình chữ nhật: xC  .L
1
2

- Lực phân bố là hàm bậc nhất (qui luật hình tam giác):
+ Lực tập trung: Q =

1
q.l.
2

+ Trọng tâm đặt tại trọng tâm hình tam giác: xC  .l
2
3

Q
Q

L/2

q
2/3 L

L/2

L
Hình 1.3
11


1.3.2.2. Phản lực liên kết
a) Định nghĩa
Phản lực liên kết là lực thụ động, phát sinh tại chỗ tiếp xúc giữa vật thể đang
xét và các vật thể khác khi tải trọng tác dụng.
VD: Lực phát sinh tại các gối đỡ tác động lên trục, ...
Giá trị phản lực phụ thuộc vào tải trọng. Liên kết có chuyển động bị cản tr
theo ph ơng nào thì xuất hiện phản lực liên kết theo ph ơng đó.
b) Các liên kết và phản lực liên kết
Khi chịu tác dụng c a ngoại lực, một thanh muốn duy trì đ ợc hình dạng và
vị trí ban đầu thì phải liên kết với vật thể khác. Tùy theo tính chất cản tr chuyển
động mà có các sơ đồ liên kết th

ng gặp là:

- Gối di động (H. 1.4a): chỉ cản tr chuyển động theo ph ơng thẳng đ ng,
phát sinh phản lực liên kết V theo ph ơng cản tr , gồm khớp di động, liên kết
tựa, …
- Gối cố định (H. 1.4b): cản tr chuyển động theo ph ơng bất kỳ. Phản lực
th

ng đ ợc phân làm hai thành phần: thẳng đ ng V và nằm ngang H, gồm khớp

bản lề, …

- Ngàm (H. 1.4c): cản tr chuyển động theo ph ơng bất kỳ và xoay. Phản
lực th

ng đ ợc phân làm ba thành phần: thẳng đ ng V, nằm ngang H và ngẫu

lực M, gồm liên kết ngàm, …

H

H

M

H
V

V

V

a)

V
b)

V
c)

Hình 1.4
1.4. N I L C

1.4.1. Đ nh nghƿa
Trong vật thể, giữa các phần tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể 1 hình
dáng nhất định. D ới tác dụng c a ngoại lực, các lực liên kết giữa các phần tử
12


c a vật tăng lên để chống lại sự biến dạng. Độ gia tăng c a lực liên kết đ ợc gọi
là nội lực.
* Vậy: Nội lực là lượng thay đổi c a lực liên kết để chống lại sự biến dạng
c a vật do ngoại lực gây ra.
Độ gia tăng này (nội lực) chỉ đạt đến một giá trị thì vật liệu sẽ bị phá h y. Vì
vậy, xác định nội lực là một trong những vấn đề cơ bản c a SBVL.
1.4.2. Xác đ nh n i l c trên m t c t ngang c a thanh
Nội lực đ ợc xác định bằng phương pháp mặt cắt (hay phương pháp
Cauchy).
Xét 1 vật thể chịu lực

trạng thái cân bằng (H. 1.5). Để tìm nội lực tại 1

điểm C nào đó trong vật thể, ta t

ng t ợng dùng 1 mặt phẳng  cắt qua C. Vật

thể đ ợc chia ra làm 2 phần A và B. Gọi F là diện tích mặt cắt.
Giả sử xét sự cân bằng c a phần A thì ta phải tác dụng lên mặt F một hệ lực
phân bố. Đó là nội lực cần tìm.
Vì phần A cân bằng nên nội lực và ngoại lực tác dụng lên nó hợp thành 1 hệ
cân bằng:

( Fke ,  Fki )  0 .

Do đó ta áp dụng điều kiện cân bằng tĩnh học để xác định nội lực d ới tác
dụng c a ngoại lực.



P
1

(A)

P

C

P
5

(B)

P
4

2

P

P

P

P

3

1

6

(A)

C

2

Hình 1.5
* Chú ý

13


Ta cũng có thể xỨt sự cân bằng c a phần B , nhưng chú ý là trên mặt cắt nội
lực c a phần B thì cùng phương, cùng trị số, nhưng ngược chiều với nội lực trên
mặt cắt ở phần A.
Như vậy muốn xác định nội lực c a một mặt cắt nào đó ta có thể xỨt sự cân
bằng c a phần bên phải hoặc phần bên trái c a mặt cắt đó.
1.4.3. Các thƠnh ph n n i l c trên m t c t ngang c a thanh
Xét sự cân bằng 1 trong 2 phần c a mặt cắt. Trên mặt cắt ngang ta có hệ
trục Oxyz nh hình vẽ (H. 1.6). Hệ nội lực đ ợc thu gọn về trọng tâm O c a mặt
cắt ngang ta đ ợc vector chính R và mômen chính M .

P1
MZ
O

(A)

MX

QX
NZ

P2

z

MY
QY
P3

y

x

Hình 1.6
- Vector R đ ợc phân tích thành:
+ Q x : Lực cắt theo ph ơng x.
+ Q y : Lực cắt theo ph ơng y.
+ N z : Lực dọc theo ph ơng z (trục thanh).
- Momen M đ ợc phân tích thành:

+ M x : Momen uốn nằm trong mặt phẳng Oyz làm mặt cắt ngang quay
quanh trục x.
+ M y : Momen uốn nằm trong mặt phẳng Oxz làm mặt cắt ngang quay
quanh trục y.

14


+ M z : Momen xoắn nằm trong mặt phẳng Oxy làm mặt cắt ngang quay
quanh trục z.
Lực cắt, lực dọc, momen uốn, momen xoắn là hợp lực c a nội lực trên
mặt cắt ngang.
* Vậy: Trên mặt cắt ngang c a thanh có tất cả 6 thành phần nội lực là:
Qx , Qy , N z , M x , M y và M z .

* Chú ý:
Đối với bài toán phẳng, là bài toán có ngoại lực tác dụng nằm trong 1 mặt
phẳng ch a trục thanh, thường là mặt phẳng Oyz.
Trong mặt phẳng Oyz, chỉ có 3 thành phần nội lực: N z , Qy , M x và được biểu
diễn như hình 1.7

MX
NZ
z

QY

y

Hình 1.7

1.4.4. Tính các thƠnh ph n n i l c
Để tính các thành phần nội lực ta áp dụng ph ơng pháp mặt cắt và viết các
ph ơng trình cân bằng tĩnh học sau khi đư thay thế phần bỏ đi bằng các nội lực
trên mặt cắt.
- Trong bài toán không gian: ta có 6 ph ơng trình cân bằng:
ΣX  Qx +  Pkx  0

ΣY = Q y +  Pky  0

ΣZ  N z +  Pkz  0

uur
Σ M = M +
m
 x Pk = 0
x
x

uur

Σ
=
M
+
M
m
Pk = 0

y
y

y

uu
r

Σ
M
=
M
+
m
P

 z k =0
z
z

 
 
 

15

(1.1)


Trong đó: Pk là các ngoại lực tác dụng lên phần thanh đang xét.
- Trong bài toán phẳng: các ngoại lực tác dụng lên thanh đều nằm trong mặt

phẳng Oyz nên: Qx  M y  M z  0 tại bất kỳ mặt cắt ngang nào c a thanh nên ta

có 3 ph ơng trình cân bằng nh sau:

ΣY = Q +
 Pky  0
y


ΣZ  N z +  Pkz  0
uur

Σ M x = M x +  mx Pk = 0

 

(1.2)

1.4.5. Qui ớc d u c a n i l c
Trong tr

ng hợp bài toán phẳng, chọn hệ trục Oxy

2 mặt cắt nh Hình

1.8. Ta qui ớc dấu các nội lực nh sau:
- Lực dọc ( N z ): coi là d ơng (+) khi nó có chiều đi ra khỏi mặt cắt (trùng
vectơ pháp tuyến ngoài c a mặt cắt).
- Lực cắt ( Q y ): coi là d ơng (+) khi nó có xu h ớng làm quay phần thanh
đang xét theo chiều kim đồng hồ (quay pháp tuyến ngoài c a mặt cắt đi 1 góc
90 0 theo chiều kim đồng hồ thì trùng với chiều c a lực).
- Mômen uốn ( M x ): coi là d ơng khi nó làm căng thớ d ới c a đoạn thanh

đang xét.

MX  0

QY  0

MX  0

NZ  0

NZ  0

Hình 1.8

y

z

QY  0

* Chú ý: Chiều dương nội lực c a phần bên trái và phần bên phải ngược
chiều nhau.
1.4.6. Bi u đồ n i l c
1.4.6.1. Định nghĩa
Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến thiên c a thành phần nội lực theo
trục thanh.

16

Khi tính toán ta phải sử dụng các biểu đồ nội lực vì ta cần tìm trị số c a nội
lực tại mỗi vị trí c a nó trên thanh, cũng nh xác định đ ợc vị trí mặt cắt có trị số
nội lực lớn nhất và trị số c a nó.
Nói chung ta có 6 biểu đồ nội lực, nh ng tuỳ thuộc vào tính chất c a hệ
ngoại lực tác dụng lên thanh mà ta sẽ có số biểu đồ cần thiết.
1.4.6.2. Cách vẽ biểu đồ nội lực
a) Các phương pháp vẽ biểu đồ nội lực
Có nhiều ph ơng pháp để xác định nội lực nh :
- Phương pháp giải tích (phương pháp mặt cắt biến thiên): dùng ph ơng
pháp mặt cắt để xác định nội lực d ới dạng biểu th c giải tích theo z rồi vẽ đồ
thị.
- Phương pháp nhận xỨt: ph ơng pháp dựa trên các biểu th c liên hệ giữa
ngoại lực và nội lực.
- Phương pháp cộng tác dụng: dựa vào nguyên lý cộng tác dụng.
- Phương pháp vạn năng: dùng biểu th c nội lực đư đ ợc thiết lập d ới
dạng tổng quát đối với từng bài toán (kéo/nén, uốn, xoắn) cho mỗi đoạn để tính.
b) Trình tự vẽ biểu đồ nội lực bằng phương pháp giải tích
Ta tiến hành theo 4 b ớc sau:
1. Xác định các phản lực liên kết (nếu có):
- Thay các liên kết bằng các phản lực liên kết.
- Xác định các giá trị c a phản lực liên kết cần thiết c a các liên kết bằng
cách lập các ph ơng trình cân bằng tĩnh học.
2. Phân đoạn thanh:
- Phân đoạn sao cho nội lực liên tục trên từng đoạn
- Dựa vào sự phân bố c a tải trọng, thanh đ ợc chia thành những đoạn sao
cho trong mỗi đoạn không có lực tập trung, momen tập trung hoặc không có
b ớc nhảy c a lực phân bố.
3. Xác định các gía trị c a nội lực trên từng đoạn:
- Dùng ph ơng pháp mặt cắt cho từng đoạn và đặt các nội lực trên mặt cắt
theo chiều d ơng.

17


- Lập các ph ơng trình cân bằng để xác định các nội lực (đó là các biểu th c
giải tích).
4. Vẽ các biểu đồ nội lực:
Dựa vào các giá trị c a các nội lực vừa tìm, ta vẽ biểu đồ cho từng loại nội
lực.
* Chú ý: Ta qui ước hệ trục c a các biểu đồ nội lực như hình 1.9 với:
- Trục hoành xác định vị trí mặt cắt theo trục thanh, trục tung xác định trị
số c a nội lực
- Tung độ dương c a nội lực N z , Qy biểu diễn phía trên trục hoành và ghi
dấu (+) hoặc (-) trên biểu đồ.
- Tung độ dương c a nội lực M x biểu diễn phía dưới trục hoành và không
ghi dấu (+) hoặc (-) trên biểu đồ.
Nz
Qy
N

O

O

z

z

Mx

Hình 1.9
1.4.7. Liên h vi phơn gi a n i l c vƠ t i tr ng phơn b (Đ nh lỦ Jurapski)
1.4.7.1. Định lý Jurapski
Cho 1 thanh AB chịu lực phân bố bất kỳ q(z) nh hình 1.10. Xét 1 đoạn
thanh dz

hoành độ z, do phân tố dz quá ngắn nên ta có thể xem lực phân bố đều

và bằng q. Trên mặt cắt ngang xuất hiện các nội lực t ơng ng: lực cắt Q y ,
momen uốn M x .
Xét điều kiện cân bằng c a các nội lực trên các mặt cắt và ngoại lực phân
bố q, ta có:

Y  Q

y

 dQy  Qy  q.dz  0

 M  M x  dM x   M x  Qy .dz  q

18

dz 2
2

(a)
0

(b)

q(z
)

A

dz

B

q

QY

M X  dM X
QY  dQY

MX
dz

Hình 1.10
(a) 

q

(b) 

Qy 

dQy

Bỏ qua đại l ợng VCB bậc hai: dz 2  0 .
dz

(c)

dM x
dz

(d)

d 2M x
dz 2

(e)

Kết hợp (c) và (d), ta có:
q

* Định lý:
1. Đạo hàm bậc nhất c a lực cắt Q y bằng cường độ c a tải trọng phân bố
q(z) tại mặt cắt tương ng.
dQ y
dz

 q(z)

(1.3)

2. Đạo hàm bậc nhất c a momen uốn M x bằng trị số c a lực cắt Q y tại mặt
cắt tương ng.
dM x
 Qy
dz

(1.4)

3. Đạo hàm bậc hai c a momen uốn M x bằng cường độ tải trọng phân bố
q(z) tại mặt cắt tương ng.
d 2 M x ( z ) dQ y ( z )

 q(z)
dz
dz 2

* Nhận xỨt
Ta áp dụng quan hệ vi phân c a định lý Jurapski để:
- Vẽ nhanh biểu đồ nội lực Qy và M x (phương pháp vẽ nhanh).
19

(1.5)


- Kiểm tra các biểu đồ nội lực.
1.4.7.2. Vẽ nhanh biểu đồ nội lực bằng nhận xỨt
Dựa vào các liên hệ trên ta có thể vẽ nhanh các biểu đồ nội lực với một số
nhận xét nh sau:
1. Tại điểm đặt c a ngoại lực tập trung P thì biểu đồ Qy có b ớc nhảy (chiều
và trị số b ớc nhảy trùng chiều và trị số c a ngoại lực), còn biểu đồ M x gẫy

khúc.
2. Tại điểm đặt c a momen tập trung M thì biểu đồ Qy không đổi, còn biểu
đồ M x có b ớc nhảy (chiều và trị số b ớc nhảy trùng chiều và trị số c a momen
tập trung).
3. Nếu trên đoạn thanh biểu th c c a tải trọng ngang phân bố q(z) có bậc n
thì biểu th c Qy có bậc (n + 1), M x có bậc (n + 2). Cụ thể:
- Không có tải trọng phân bố [q(z) = 0]


dQ
d 2M
 0,
 0 . Do đó: Biểu đồ Qy là 1 hằng số và M x là 1 hàm bậc
dz
dz 2

nhất trong đoạn đó.
* Đặc biệt: Q = 0 thì M là hằng số.
- Tải trọng phân bố đều [q(z) = C]

 Do đó: Biểu đồ Qy là 1 hàm bậc nhất và M x là 1 hàm bậc hai trong đoạn
đó.
* Đặc biệt: tại Q = 0 thì M x có cực trị.
- Tải trọng phân bố theo đường bậc nhất

 Do đó: Biểu đồ Qy là 1 hàm bậc hai và M x là 1 hàm bậc ba trong đoạn
đó.
* Đặc biệt: tại q = 0 thì biểu đồ Qy có cực trị và tại Q = 0 thì M có cực trị.
4. Nếu trên đoạn thanh qz  > 0 (h ớng lên)

 Qy đồng biến, M x lõm về phía trên và ng ợc lại.
5. Nếu trên đoạn thanh Qy > 0

 M x đồng biến và ng ợc lại.
20


6. Giá trị lực cắt Qy

điểm sau bằng giá trị c a Qy

điểm truớc cộng với

diện tích c a tải trọng qz  trên đoạn đó:

Qys  Qyt  F q(z )

(1.6)

7. Giá trị momen uốn M x điểm sau bằng giá trị c a M x
với diện tích c a tải trọng Qy trên đoạn đó:

điểm truớc cộng

 

M xs  M xt  F Qy

(1.7)

* Chú ý:
1. Khi vẽ nhanh ta vẽ từ trái sang phải và biểu đồ bắt đầu từ trục thanh và
kết thúc ở trục thanh. Vẽ biểu đồ Qy trước rồi mới vẽ M x .
2. Các giá trị q(z), Qy và M x là các giá trị đại số. q(z) >0 khi có chiều tác
dụng hướng lên trên
1.5.

NG SU T

1.5.1. Đ nh nghƿa
ng suất là trị số c a nội lực trên 1 đơn vị diện tích c a mặt cắt.
Xét 1 phân tố diện tích dF bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt c a phần

A. (H. 1.11a). Gọi P là vector nội lực tác dụng trên diện tích F .

ng suất toàn phần tại C (kí hiệu p ) là vector đ ợc định nghĩa bằng biểu
th c:

P dP

F  0 F
dF

p  lim

P1

(A)

P2

C
F

P1

P



(A)

P2

C

P3

P3
a)

b)
Hình 1.11

21



p

Th nguyên c a ng suất là:
Đơn vị c a ng suất th

luc

chieu dai 2

ng dùng là: kN/cm2, hoặc N/m2.

* Chú ý
1. Cần phân biệt ng suất và áp suất.
2.

ng suất được dùng cho nội lực.

ng suất đặc trưng cho m c độ chịu đựng c a vật liệu tại 1 điểm. Xác

định ng suất là cơ sở để đánh giá m c độ an toàn c a vật liệu.
1.5.2. Các thƠnh ph n c a ng su t
Trong tính toán ta th
1.11b):
-

ng phân ng suất toàn phần p làm 2 thành phần (H.

ng suất pháp (  ): thành phần vuông góc với mặt cắt.
ng suất tiếp (  ): thành phần nằm trong mặt cắt.
p =  2  2

Nh vậy:

(1.8)

1.5.3. Kí hi u vƠ qui ớc v d u c a ng su t
Nh hình 1.12.
1.5.3.1.

ng suất pháp

- Kí hiệu  : có 1 chỉ số là ph ơng c a pháp tuyến.

VD:  z (h ớng theo trục z).

-  > 0: khi vector biểu diễn có chiều trùng chiều > 0 c a pháp tuyến ngoài

c a mặt cắt.
1.5.3.2.

ng suất tiếp

- Kí hiệu  : có 2 chỉ số, số th nhất chỉ ph ơng pháp tuyến c a mặt cắt, số

th hai chỉ ph ơng c a ng suất tiếp.

VD:  zx (song song với trục x),  zy (song song với trục y)

Z

 Zx

x

y

Z  0

z

 Zy  0

 Zy
Hình 1.12

22

y

z


-  > 0: khi pháp tuyến ngoài c a mặt cắt quay 1 góc 900 theo chiều quay

c a kim đồng hồ, sẽ trùng với chiều c a  .
* Chú ý:

ng suất pháp gây biến dạng dài, còn ng suất tiếp gây biến dạng

góc.
1.6. BI N D NG VĨ CHUY N V
1.6.1. Đ nh nghƿa

- Biến dạng: là sự thay đổi hình dáng hình học c a vật thể duới tác dụng c a
lực.
- Chuyển vị: là sự thay đổi vị trí c a 1 điểm c a vật thể khi vật thể bị biến
dạng.
1.6.2. Bi n d ng vƠ chuy n v c a thanh
Thanh đ ợc mô tả b i trục và tiết diện.
1.6.2.1. Các loại biến dạng c a thanh
Biến dạng c a thanh là sự thay đổi kích th ớc, hình dáng c a tiết diện, sự
thay đổi chiều dài, độ cong, độ xoắn c a trục thanh.
Biến dạng c a thanh có (H. 1.13):
- Biến dạng dài (biến dạng dọc):

+ dz : biến dạng dài tuyệt đối (biến dạng dọc tuyệt đối) c a đoạn dz theo

ph ơng z.
+

dz
  z : biến dạng dài tương đối (biến dạng dọc tương đối) theo
dz

ph ơng z.
- Biến dạng góc:là độ thay đổi c a góc vuông hay góc tr ợt
+  : góc trượt tỉ đối.

N

N

dz

dz  dz
Hình 1.13
1.6.2.2. Các loại chuyển vị c a thanh:
23




Chuyển vị c a thanh là sự thay đổi vị trí c a tiết diện tr ớc và sau khi thanh
bị biến dạng.
Chuyển vị thanh có:
- Chuyển vị dài: là chuyển vị thẳng c a trọng tâm tiết diện.
- Chuyển vị góc: là chuyển vị xoay c a mặt phẳng tiết diện quanh trọng tâm
c a nó.
1.7. CÁC Vệ D
* VD 1.1: Cho 1 dầm chịu lực nh hình vẽ (H. 1.14). Xác định:
a) Phản lực liên kết tại các gối đỡ A, B.
b) Trị số nội lực tại vị trí mặt cắt z = 10 m.
Giải:
a) Tính các phản lực liên kết:
Tải trọng tác dụng lên dầm gồm:
- Lực phân bố: q = 1 kN/m, do đó: Q = q x 8 = 8 kN.
- Lực tập trung: P = 15 kN.
- Momen tập trung: M = 52 kN.m.
Thay các liên kết tại A và B bằng các phản lực liên kết: H A , VA , VB .
Xét sự cân bằng c a dầm, ta có:

 Z  H A  0



 Y  VA  VB  Q  P  0


 M A   Qx4  M  VB x14  Px 20  0

 H A  0; VA  3 kN ; VB  20 kN
b) Tính nội lực tại z = 10:
q  1kN / m

M  52kNm

B

A
q
A

P  15kN

1

8
m

M

16
m

6

m
M
X

Z  10

N
Z

Hình 1.14
24


Dùng mặt cắt 1-1 tại C (z = 10m) và xét cân bằng c a phần bên trái:

Z  N  0
Y  Q  3  8  0  Q   5 kN.
 M  M  3x10  8x6  52  0  M
z

y

x

y

x

x

  70 kNm

Vậy: N z  0; Qy   5 kN (ngược chiều hình vẽ); M x  - 70 kNm (ngược
chiều hình vẽ).
* VD 1.2: Vẽ biểu đồ nội lực N z , Qy và M x c a thanh chịu nh hình vẽ với
lực tập trung P = 50 kN, momen tập trung M = 50 kNm, a = 3 m, b = 4 m (H.
1.15a).
Giải:
- Bước 1: Xác định các phản lực liên kết (H. 1.15b)
+ Tải trọng tác dụng lên thanh gồm: P là lực tập trung, M là momen tập
trung.
+ Các phản lực liên kết gồm: Thay thế gối đỡ cố định A bằng 2 thành
phần phản lực H A , VA và gối đỡ di động B bằng phản lực thẳng đ ng VB .
Dầm cân bằng d ới tác dụng c a hệ lực: ( H A ,VA ,VB , P)  0 .

Để xác định phản lực tại gối tựa A và B ta lập ph ơng trình cân bằng c a
hệ:

 Z  H A  P  0.


 Y  P  VA  VB  0

 M A  VB .(2a  b)  P.a  M  0


(a)
(b)
(c )

(a)  H A  P  50 kN
(c)  VB 

P.a  M 50 x3  50

 10kN.
2a  b
64

(b)  VA  P  VB  50  10  40kN.
- Bước 2: Phân đoạn thanh.

Theo tải trọng tác dụng, ta chia thanh làm 3 đoạn: AC, CD và DB.
- Bước 3: Xác định các giá trị nội lực.
Để xác định giá trị nội lực tại các mặt cắt ngang c a thanh ta t
cắt thanh tại vị trí nào đó có hoành độ z.
25

ng t ợng